## 2. 準備：複素べきと級数の収束
複素数 $s$ と正の実数 $n$ に対し、$n^{-s} := e^{-s \log n}$（$\log n$ は実自然対数）と定めます。$s = \sigma + it$（$\sigma, t \in \mathbb{R}$）と書くと
$$
|n^{-s}| = |e^{-(\sigma + it)\log n}| = e^{-\sigma \log n} = n^{-\sigma}
$$
です。つまり**絶対値は実部だけで決まります**。この一行が以後すべての収束判定の土台になります。
以下、$s$ の実部を $\sigma$、虚部を $t$ と書く習慣に従います。また $p$ は常に素数を走る変数とし、$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$（$0$ を含めない）とします。
複素数 $s$ が $\operatorname{Re} s > 1$ を満たすとき、
$$
\zeta(s) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}
$$
と定める。この級数は $\operatorname{Re} s > 1$ で絶対収束し、さらに任意の $\delta > 0$ に対し半平面 $\operatorname{Re} s \ge 1 + \delta$ 上で一様収束する。したがって $\zeta$ は $\operatorname{Re} s > 1$ で正則である。
収束を確かめておきます。$\sigma \ge 1 + \delta$ のとき $|n^{-s}| = n^{-\sigma} \le n^{-1-\delta}$ であり、$\sum_{n \ge 1} n^{-1-\delta}$ は積分判定法（$\int_1^\infty x^{-1-\delta}dx = 1/\delta < \infty$）により収束します。よってワイヤシュトラスの $M$ 判定法から一様収束が従い、正則関数列の一様収束極限は正則なので $\zeta$ は正則です。一方 $\sigma \le 1$ では $\sum n^{-\sigma} \ge \sum n^{-1} = \infty$ なので、この級数はもう使えません。$\sigma = 1$ が級数表示の限界です。
## 3. オイラー積：ゼータ関数が素数を知っている理由
$\operatorname{Re} s > 1$ を満たすすべての複素数 $s$ に対して
$$
\zeta(s) = \prod_{p:\ \text{素数}} \left(1 - p^{-s}\right)^{-1}
$$
が成り立つ。ここで右辺は $\lim_{N \to \infty} \prod_{p \le N} (1 - p^{-s})^{-1}$ の意味であり、この極限は存在する。
$\sigma = \operatorname{Re} s > 1$ を固定します。
**第 1 段（各因子の展開）.** 任意の素数 $p$ に対し $|p^{-s}| = p^{-\sigma} \le 2^{-\sigma} < 1$ ですから、等比級数の公式が使えて
$$
\left(1 - p^{-s}\right)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} p^{-ks}
$$
が絶対収束します。
**第 2 段（有限個の積の展開）.** $N$ 以下の素数を $p_1 < p_2 < \cdots < p_r$ とします。絶対収束する級数は有限個であれば自由に掛け合わせて項別に並べ替えられるので
$$
\prod_{p \le N} \left(1 - p^{-s}\right)^{-1} = \sum_{k_1, \ldots, k_r \ge 0} \left(p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r}\right)^{-s} = \sum_{n \in A_N} n^{-s}
$$
となります。ここで $A_N$ は「素因数がすべて $N$ 以下であるような自然数」の集合です。二つ目の等号で**素因数分解の一意性**（
この証明で使った算術の事実は素因数分解の一意性だけです。逆に言えば、オイラー積は一意分解の**解析的な言い換え**です。だからこそ、$\zeta$ の解析的な性質を調べることが素数を調べることになるのです。
まず、この積表示から $\zeta$ が右半平面で消えないことが出ます。
$\operatorname{Re} s > 1$ ならば $\zeta(s) \neq 0$ である。
$\sigma > 1$ とします。$\sum_n |n^{-s}|$ が収束するので並べ替えが自由にでき、任意の素数 $p$ に対し
$$
\zeta(s)\left(1 - p^{-s}\right) = \sum_{n \ge 1} n^{-s} - \sum_{n \ge 1} (pn)^{-s} = \sum_{p \,\nmid\, n} n^{-s}
$$
が成り立ちます（$\sum_n (pn)^{-s}$ はちょうど $p$ の倍数にわたる和だからです）。これを $p \le N$ なる素数について順に繰り返すと
$$
\zeta(s) \prod_{p \le N} \left(1 - p^{-s}\right) = \sum_{n \in B_N} n^{-s}, \qquad B_N := \{n \in \mathbb{N} : n \text{ の素因数はすべて } N \text{ より大きい}\}
$$
を得ます。$B_N$ には $1$ が属し、$1$ 以外の元は $N$ より大きい素因数を持つので $N$ より大きい数です。よって
$$
\left|\zeta(s)\prod_{p \le N}\left(1 - p^{-s}\right)\right| \ge 1 - \sum_{n > N} n^{-\sigma}.
$$
$\sum_n n^{-\sigma}$ が収束するので、$N$ を十分大きく取れば $\sum_{n>N} n^{-\sigma} \le 1/2$ とできます。そのとき左辺は $1/2$ 以上、特に $0$ ではありません。積の一因子である $\zeta(s)$ が $0$ なら左辺は $0$ になってしまうので、$\zeta(s) \neq 0$ です。
素数は無限個存在する。
$s$ を $1$ より大きい実数に限って考えます。まず $\zeta(s) \to \infty$（$s \to 1+0$）を示します。任意の $N$ を固定すると、正項級数なので $\zeta(s) \ge \sum_{n=1}^{N} n^{-s}$ です。右辺は $s$ の連続関数で、$s \to 1+0$ のとき調和数 $H_N = \sum_{n \le N} 1/n$ に収束します。よって $\liminf_{s \to 1+0} \zeta(s) \ge H_N$ が任意の $N$ で成り立ち、$H_N \to \infty$ ですから $\zeta(s) \to \infty$ です。
さて素数が有限個 $p_1, \ldots, p_r$ しかないと仮定します。
同じ道具をもう少し押すと、ユークリッドの証明（
）では届かない「素数の密度」の情報が出ます。
$\displaystyle\sum_{p:\ \text{素数}} \frac{1}{p} = \infty$ である。
$s > 1$ を実数とします。
$\sum_n 1/n^{2}$ は収束するのに $\sum_p 1/p$ は発散する。これは「素数は平方数よりずっと多い」という定量的な情報で、素数の無限性よりはるかに強い主張です。オイラー積が素数の**分布**を掴んでいることの最初の証拠と言えます（この発散は
としても扱いました）。
バーゼル問題の答え $\zeta(2) = \pi^{2}/6 = 1.644934\ldots$ を認めます。
## 4. 解析接続：級数の外側へゼータ関数を延ばす
級数表示
は $\operatorname{Re} s > 1$ でしか意味を持ちません。しかし素数の情報が濃く現れるのは、むしろその外側です。そこで**解析接続**という操作が要ります。
領域 $U \subset \mathbb{C}$ 上の正則関数 $f$ と、$U$ を含む領域 $V \supset U$ 上の正則関数 $F$ が $F|_{U} = f$ を満たすとき、$F$ を $f$ の $V$ への**解析接続**という。$V$ が連結ならば、そのような $F$ は存在すれば一意である（一致の定理）。有理型関数への拡張も同様に「有理型接続」として扱う。
一意性は重要です。「$\zeta(-1) = -1/12$」といった等式が、勝手な定義の産物ではなく**一意に決まった値**であることを保証するのがこの定理だからです。実際の接続には、$\operatorname{Re} s > 1$ で $\zeta$ に一致し、より広い範囲で収束する式を一つ見つければ十分です。交代級数がその役を果たします。
$$
\eta(s) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{s}}
$$
は半平面 $\operatorname{Re} s > 0$ の各コンパクト部分集合上で一様収束し、そこで正則関数を定める。
第 $2n-1$ 項と第 $2n$ 項を組にして $g_n(s) := (2n-1)^{-s} - (2n)^{-s}$ とおきます。$\frac{d}{dx}\left(-x^{-s}\right) = s x^{-s-1}$ ですから、微積分学の基本定理より
$$
g_n(s) = \int_{2n-1}^{2n} s\, x^{-s-1}\,dx.
$$
$|x^{-s-1}| = x^{-\sigma-1}$ なので、$\sigma \ge \delta > 0$ かつ $|s| \le M$ を満たす $s$ に対し
$$
|g_n(s)| \le |s| \int_{2n-1}^{2n} x^{-\sigma-1}dx \le M (2n-1)^{-\delta-1}.
$$
$\sum_n (2n-1)^{-1-\delta} < \infty$ ですから、ワイヤシュトラスの $M$ 判定法により $\sum_n g_n$ はこの集合上で一様収束します。各 $g_n$ は整関数なので、和は正則です。半平面 $\operatorname{Re} s > 0$ の任意のコンパクト集合はこの形の集合に含まれるので、広義一様収束が言えました。
$\sum_{n \le 2N} (-1)^{n-1}n^{-s} = \sum_{n \le N} g_n(s)$ ですから、$\eta$ の偶数番目の部分和は収束します。奇数番目の部分和との差は $(2N+1)^{-s}$ で、絶対値は $(2N+1)^{-\sigma} \to 0$（$\sigma > 0$）ですから、$\eta(s)$ 自身も同じ値に収束します。
$\zeta$ は半平面 $\operatorname{Re} s > 0$ 上の有理型関数に一意に接続され、その接続は $s = 1$ のみを極として持つ。この極は単純極で、留数は $1$ である。すなわち
$$
\lim_{s \to 1}\,(s-1)\zeta(s) = 1 .
$$
**第 1 段（恒等式）.** $\operatorname{Re} s > 1$ では級数が絶対収束するので、偶数項だけを取り出して
$$
\sum_{n \text{ 偶数}} n^{-s} = \sum_{m \ge 1} (2m)^{-s} = 2^{-s}\zeta(s)
$$
と書けます。したがって
$$
\eta(s) = \sum_{n \ge 1} n^{-s} - 2\sum_{n \text{ 偶数}} n^{-s} = \zeta(s) - 2 \cdot 2^{-s}\zeta(s) = \left(1 - 2^{1-s}\right)\zeta(s).
$$
**第 2 段（接続の定義）.** そこで $\operatorname{Re} s > 0$、$s \ne 1$ において
$$
\zeta(s) := \frac{\eta(s)}{1 - 2^{1-s}}
$$
と定めます。
同じ手口をさらに進める（あるいはテータ関数のメリン変換を使う）と、$\zeta$ は複素平面全体へ接続され、次の顕著な対称性が現れます。
$\zeta$ は $\mathbb{C}$ 全体へ有理型に接続され、$s = 1$ を唯一の極（単純極、留数 $1$）とする。さらに、すべての $s \in \mathbb{C}$ に対して
$$
\zeta(s) = 2^{s}\,\pi^{s-1}\,\sin\!\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\,\zeta(1-s)
$$
が有理型関数の等式として成り立つ。同値な形として、**完備ゼータ関数**
$$
\xi(s) := \frac{1}{2}\,s(s-1)\,\pi^{-s/2}\,\Gamma\!\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)
$$
は整関数であり、$\xi(s) = \xi(1-s)$ を満たす。
この定理の証明はリーマンの 1859 年の論文にあり、ヤコビのテータ関数 $\theta(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-\pi n^{2}x}$ の変換公式 $\theta(1/x) = \sqrt{x}\,\theta(x)$（ポアソン和公式から出ます）をメリン変換に通すのが標準的です。詳しい証明は Edwards『Riemann's Zeta Function』第 1 章、または Titchmarsh 第 2 章にあります。ここでは主張を認めて先に進みます。
$\xi(s) = \xi(1-s)$ は、複素平面を直線 $\operatorname{Re} s = 1/2$ で折り返す鏡映対称性です。この直線が「臨界線」と呼ばれるのは、関数等式の対称軸だからです。さらに $n^{-\bar{s}} = \overline{n^{-s}}$ より $\zeta(\bar{s}) = \overline{\zeta(s)}$ が $\operatorname{Re} s > 1$ で成り立ち、一致の定理で全平面へ伝わります。したがって**零点は実軸に関しても対称**です。零点は上下左右の二重の対称性を持って配置されているわけです。
$s = -1$ を
## 5. 零点の地図とリーマン予想
$k = 1, 2, 3, \ldots$ に対し $\zeta(-2k) = 0$ である。さらに、半平面 $\operatorname{Re} s < 0$ における $\zeta$ の零点はこれらに限る。
$\sigma = \operatorname{Re} s < 0$ とし、
## 6. なぜこれが素数分布の最重要問題なのか
リーマン予想が「ゼータ関数のマニアックな性質」ではなく素数の問題である理由は、**明示公式**にあります。素数を数える代わりに、素数べきに $\log p$ の重みを付けたチェビシェフ関数を使うと式が最も簡単になります。
フォン・マンゴルト関数を
$$
\Lambda(n) := \begin{cases} \log p & (n = p^{k},\ p \text{ は素数},\ k \ge 1) \\ 0 & (\text{それ以外}) \end{cases}
$$
で定め、$\psi(x) := \sum_{n \le x}\Lambda(n)$ とおく。また対数積分（
この式は驚くべきものです。左辺は素数を数える階段関数、右辺は滑らかな項 $x$ と、零点ごとの波の重ね合わせです。$\rho = \beta + i\gamma$ と書くと
$$
\left|\frac{x^{\rho}}{\rho}\right| = \frac{x^{\beta}}{|\rho|}
$$
ですから、**各零点の寄与の大きさは実部 $\beta$ だけで決まります**。$\beta$ が $1$ に近い零点があれば誤差は $x$ とほぼ同じ大きさになり、素数の分布は大きく乱れます。逆にすべての $\beta$ が $1/2$ なら、誤差はどれも $\sqrt{x}$ の程度に揃います。リーマン予想とは「誤差項が可能な限り小さい」という主張なのです。
B["対数微分: -zeta'/zeta(s) = sum Lambda(n) n^-s"]
B --> C["ペロンの公式で複素積分に直す"]
C --> D["留数定理: s=1 の極 と 非自明零点 rho の寄与を拾う"]
D --> E["明示公式: psi(x) = x - sum_rho x^rho / rho - ..."]
E --> F["|x^rho| = x^(Re rho): 誤差の指数 = 零点の実部"]
F --> G["リーマン予想 (Re rho = 1/2) は誤差 O(sqrt(x)) と同値"]`} />
この直観を厳密にしたのがフォン・コッホの定理です。
次の二つは同値である。
1. リーマン予想（
リーマン予想が素数以外にも波及することを示すため、同値な言明をいくつか挙げます。見た目の分野がまったく違うのに、すべて臨界線上の零点という一点に帰着します。
| 同値な言明 | 内容 | 出典 |
|---|---|---|
| 素数計数の誤差 | $\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O(\sqrt{x}\log x)$ | von Koch (1901) |
| チェビシェフ関数 | 任意の $\varepsilon > 0$ で $\psi(x) = x + O(x^{1/2+\varepsilon})$ | 明示公式から |
| メルテンス関数 | 任意の $\varepsilon > 0$ で $\sum_{n \le x}\mu(n) = O(x^{1/2+\varepsilon})$ | 古典的 |
| 約数和の上界 | $n > 5040$ なるすべての $n$ で $\sigma(n) < e^{\gamma} n \log\log n$ | Robin (1984) |
| 調和数による判定 | すべての $n \ge 1$ で $\sigma(n) \le H_n + e^{H_n}\log H_n$（等号は $n=1$ のみ） | Lagarias (2002) |
ここで $\mu$ はメビウス関数、$\sigma(n)$ は $n$ の約数の総和、$H_n = \sum_{k \le n} 1/k$、$\gamma$ はオイラー・マスケローニ定数です。最後の二つは複素解析をまったく含まない初等的な形をしていますが、リーマン予想と完全に同値です。とくに Lagarias の判定は、リーマン予想を算術の $\Pi_1$ 文として書き下すための道具にもなります（
）。
さらに、この構図は $\zeta$ に限りません。数論に現れる多くの対象——ディリクレの $L$ 関数、代数体のデデキント・ゼータ関数、そして [楕円曲線とモジュラー形式](/mathematics/number-theory/elliptic-curves-and-modular-forms) で扱う楕円曲線の $L$ 関数（
のトレース $a_p$ から作られます）——にも同型の関数等式と「一般化リーマン予想」があります。同じ形の予想が広い範囲で立つこと自体が、零点の位置が偶然ではないことを示唆しています。リーマン予想は、素数分布という一つの問題であると同時に、$L$ 関数という一族全体の設計図についての問いでもあるのです。
## 7. 演習
$\operatorname{Re} s > 1$ のとき $\left(1 - 2^{1-s}\right)\zeta(s) = \sum_{n\ge1}(-1)^{n-1}n^{-s}$ が成り立つことを、絶対収束を根拠として示してください。また $s = 2$ でこの等式を確かめ、$\sum_{n \ge 1}(-1)^{n-1}/n^{2}$ の値を求めてください。
$\operatorname{Re} s = \sigma > 1$ で $\sum_n |n^{-s}| = \sum_n n^{-\sigma} < \infty$ なので、級数の項を自由に並べ替え・分割できます。偶数 $n = 2m$ にわたる和は
$$
\sum_{m \ge 1}(2m)^{-s} = 2^{-s}\sum_{m\ge1} m^{-s} = 2^{-s}\zeta(s)
$$
です。したがって
$$
\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{s}} = \sum_{n \ge 1}n^{-s} - 2\sum_{n \text{ 偶数}} n^{-s} = \zeta(s) - 2\cdot 2^{-s}\zeta(s) = \left(1-2^{1-s}\right)\zeta(s).
$$
$s = 2$ とすると $1 - 2^{-1} = 1/2$ なので
$$
\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}} = \frac{1}{2}\zeta(2) = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi^{2}}{6} = \frac{\pi^{2}}{12} = 0.822467\ldots
$$
です。
$\mu$ をメビウス関数とします。$\mu(n)^{2}$ は $n$ が平方因子を持たないとき $1$、そうでないとき $0$ です。$\operatorname{Re} s > 1$ において
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)^{2}}{n^{s}} = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}
$$
を示してください。
$\sigma > 1$ とします。
## 参考文献
- B. Riemann, "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", *Monatsberichte der Berliner Akademie*, 1859. — 関数等式・明示公式・リーマン予想が最初に現れた原論文。
- H. M. Edwards, *Riemann's Zeta Function*, Academic Press, 1974（Dover 版 2001）— 第 1 章がリーマンの原論文の逐条解説、第 3 章が明示公式。
- E. C. Titchmarsh, *The Theory of the Riemann Zeta-Function*, 2nd ed. (revised by D. R. Heath-Brown), Oxford University Press, 1986. — 第 2 章に関数等式、第 14 章にリーマン予想と誤差項の同値性。
- T. M. Apostol, *Introduction to Analytic Number Theory*, Springer, 1976. — 第 11〜13 章。オイラー積から素数定理までを学部レベルで丁寧に扱う。
- H. von Koch, "Sur la distribution des nombres premiers", *Acta Mathematica* 24 (1901), 159–182. —
の原論文。
- J. B. Conrey, "The Riemann Hypothesis", *Notices of the American Mathematical Society* 50 (2003), 341–353. — 現代的な研究状況の概観。
## Appendix: 零点はなぜ「波」なのか
**明示公式の各項を波として読む方法を補足します。**
の和に現れる零点は共役対 $\rho = \tfrac12 + i\gamma$ と $\bar\rho = \tfrac12 - i\gamma$ で現れます（
の後で述べた実軸対称性によります）。リーマン予想を仮定してこの対の寄与をまとめると、$x^{\rho} = x^{1/2}e^{i\gamma\log x}$ と $\overline{x^{\rho}} = x^{1/2}e^{-i\gamma\log x}$ の和になるので
$$
\frac{x^{\rho}}{\rho} + \frac{x^{\bar\rho}}{\bar\rho} = 2\operatorname{Re}\frac{x^{\rho}}{\rho} = \frac{2\sqrt{x}}{|\rho|}\cos\!\left(\gamma\log x - \arg\rho\right)
$$
という実数の式になります。これは変数 $u = \log x$ について周期 $2\pi/\gamma$ の余弦波で、振幅は $2\sqrt{x}/|\rho|$ です。
つまり明示公式は「$\psi(x) = x - (\text{無数の余弦波の重ね合わせ})$」と読めます。素数の分布は、主要項 $x$ に零点由来の波が干渉して階段状の形が作られる、という描像です。振幅は $2\sqrt{x}/|\rho|$ なので、虚部 $\gamma$ の小さい零点ほど大きく効きます。$\gamma_1 = 14.13$ の零点が最も強い波を出し、その周期は $\log x$ について $2\pi/14.13 \approx 0.445$、すなわち $x$ が $e^{0.445} \approx 1.56$ 倍になるごとに一周します。
もし臨界線から外れた零点 $\rho = \beta + i\gamma$（$\beta > 1/2$）が存在すれば、その波の振幅は $x^{\beta}$ に比例して他より速く育ち、いずれすべての波を圧倒します。リーマン予想とは「どの波も突出しない」、言い換えれば素数の分布が主要項のまわりで可能な限り整然と揺れている、という主張なのです。