数学 › 代数的位相幾何学 › コホモロジーと双対性

キャップ積の基本性質

命題 4.8（「コホモロジーと双対性」§4） ・ ✓公理まで証明済み

a∈Cn(X;R)a\in C_n(X;R)、φ∈Ck(X;R)\varphi\in C^k(X;R) とする。

  1. ∂(a⌢φ)=(−1)k(∂a⌢φ−a⌢δφ)\partial(a\frown\varphi)=(-1)^k\bigl(\partial a\frown\varphi-a\frown\delta\varphi\bigr)。
  2. したがってキャップ積は Hn(X;R)×Hk(X;R)→Hn−k(X;R)H_n(X;R)\times H^k(X;R)\to H_{n-k}(X;R)、([a],[φ])↦[a⌢φ]([a],[\varphi])\mapsto[a\frown\varphi] を誘導する。
  3. ψ∈Cn−k(X;R)\psi\in C^{n-k}(X;R) について ψ(a⌢φ)=(φ⌣ψ)(a)\psi(a\frown\varphi)=(\varphi\smile\psi)(a)。k=nk=n では a⌢φa\frown\varphi は 00 鎖で、その係数の和は φ(a)\varphi(a) に等しい。
  4. ψ∈Cl(X;R)\psi\in C^l(X;R) について (a⌢φ)⌢ψ=a⌢(φ⌣ψ)(a\frown\varphi)\frown\psi=a\frown(\varphi\smile\psi)。
  5. 連続写像 f:X→Yf:X\to Y と φ∈Ck(Y;R)\varphi\in C^k(Y;R) について f♯(a⌢f∗φ)=f♯a⌢φf_\sharp(a\frown f^*\varphi)=f_\sharp a\frown\varphi。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 0 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。