代数的位相幾何学

数学学部無料 7 章有料 0 章

基本群と被覆空間、特異ホモロジー、胞体ホモロジーと写像度、コホモロジーと双対性、高次ホモトピー群を扱う。

想定読者: 大学生（理系）

前提テーマ:位相空間論、代数学（群・環・体）

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章基本群と被覆空間無料道のホモトピーから基本群を定義し、被覆空間の持ち上げ性質を使って π₁(S¹)=ℤ を証明する。持ち上げ定理、van Kampen の定理、普遍被覆の存在と被覆空間の Galois 対応までを証明つきで一貫して扱う。
2. 第 2 章特異ホモロジー無料特異単体の鎖複体からホモロジー群を定義し、ホモトピー不変性（柱体の鎖ホモトピー）、長完全列、重心細分による切除定理、Mayer–Vietoris 完全列を証明して、球面のホモロジーを計算する。
3. 第 3 章胞体ホモロジーと写像度無料CW 複体の胞体鎖複体が特異ホモロジーを計算することを証明し、Euler 標数をトレース公式の特別な場合として導く。球面の写像度、局所写像度の和公式、Brouwer・毛玉の定理、単体複体上の Lefschetz の不動点定理まで扱う。
4. 第 4 章コホモロジーと双対性無料特異コチェインからコホモロジーを定義し、普遍係数定理とカップ積の次数付き可換性を証明する。Mayer–Vietoris 論法で de Rham の定理と微分形式の Poincaré 双対を示し、単体的ホモロジーと特異ホモロジーの一致も補う。
5. 第 5 章ホモトピー群とファイブレーション無料高次ホモトピー群を定義して可換性を示し、対とファイブレーションの長完全列を証明する。Hopf ファイブレーションから π₂(S²)=ℤ を導き、写像度と積分公式を通じて π₃(SU(2))=ℤ とインスタントン数の整数性を説明する。
6. 第 6 章Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理無料球面に埋め込まれた円板と球面の補集合のホモロジーを Mayer–Vietoris とコンパクト性で計算し、Jordan–Brouwer の分離定理、平面の Jordan 曲線定理、領域不変性を証明する。曲線の内部と外部、境界の性質まで扱う。
7. 第 7 章Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理無料(n−1)-連結な空間で Hurewicz 準同型 π_n → H_n が同型であることを、Eilenberg の部分複体と立方体の中での写像の移動から証明する。帰結として π_n(S^n)=ℤ、Hopf の写像度定理、球面の懸垂同型、π₃(SU(N))=ℤ を導く。