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Rikai

代数的位相幾何学 50 本ノック

学部50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ第 1〜6 章（基本群、ホモロジー、コホモロジー、ホモトピー群、Jordan の曲線定理）を学んだ学部生。計算と定理の仮定の確認を目的とします。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 4 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

  • A. Hatcher, Algebraic Topology
  • G. E. Bredon, Topology and Geometry
  • J. R. Munkres, Elements of Algebraic Topology
  • 田村一郎『トポロジー』（岩波書店）

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

  • 1〜12: 基本群と被覆空間
  • 13〜22: 特異ホモロジー
  • 23〜31: 胞体ホモロジーと写像度
  • 32〜39: コホモロジーと双対性
  • 40〜45: ホモトピー群とファイブレーション
  • 46〜50: Jordan の曲線定理と領域不変性

形式: 単一選択 17・複数選択 9・○× 5・数値 8・並べ替え 3・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 10 / 26 / 14 / 0。

この冊で使う定義・定理（65）

  • 系 4.3 Euler 標数のホモロジー表示 胞体ホモロジーと写像度：CW 複体で計算し、Brouwer の不動点定理と Lefschetz の不動点定理を証明する → 26 番
  • 系 7.5 Lefschetz の定理の帰結 胞体ホモロジーと写像度：CW 複体で計算し、Brouwer の不動点定理と Lefschetz の不動点定理を証明する → 30 番
  • 定義 3.3 胞体鎖複体 胞体ホモロジーと写像度：CW 複体で計算し、Brouwer の不動点定理と Lefschetz の不動点定理を証明する → 24, 25 番
  • 定義 5.1 写像度 胞体ホモロジーと写像度：CW 複体で計算し、Brouwer の不動点定理と Lefschetz の不動点定理を証明する → 27, 28, 31 番
  • 定義 4.2 Euler 標数 胞体ホモロジーと写像度：CW 複体で計算し、Brouwer の不動点定理と Lefschetz の不動点定理を証明する → 23, 26 番
  • 定義 7.1 Lefschetz 数 胞体ホモロジーと写像度：CW 複体で計算し、Brouwer の不動点定理と Lefschetz の不動点定理を証明する → 30 番
  • 例 3.5 球面と複素射影空間 胞体ホモロジーと写像度：CW 複体で計算し、Brouwer の不動点定理と Lefschetz の不動点定理を証明する → 24 番
  • 例 5.5 z ↦ z^k の写像度 胞体ホモロジーと写像度：CW 複体で計算し、Brouwer の不動点定理と Lefschetz の不動点定理を証明する → 25 番
  • 例 4.4 Euler 標数の例 胞体ホモロジーと写像度：CW 複体で計算し、Brouwer の不動点定理と Lefschetz の不動点定理を証明する → 23, 26 番
  • 命題 5.2 写像度の基本性質 胞体ホモロジーと写像度：CW 複体で計算し、Brouwer の不動点定理と Lefschetz の不動点定理を証明する → 27, 28, 31 番
  • 定理 6.1 Brouwer の不動点定理 胞体ホモロジーと写像度：CW 複体で計算し、Brouwer の不動点定理と Lefschetz の不動点定理を証明する → 29 番
  • 定理 3.4 胞体ホモロジー定理 胞体ホモロジーと写像度：CW 複体で計算し、Brouwer の不動点定理と Lefschetz の不動点定理を証明する → 24, 25, 36 番
  • 定理 6.3 毛玉の定理 胞体ホモロジーと写像度：CW 複体で計算し、Brouwer の不動点定理と Lefschetz の不動点定理を証明する → 31 番
  • 定理 7.2 Lefschetz の不動点定理 胞体ホモロジーと写像度：CW 複体で計算し、Brouwer の不動点定理と Lefschetz の不動点定理を証明する → 30 番
  • 系 6.5 Poincaré 双対の帰結 コホモロジーと双対性：普遍係数定理・カップ積・de Rham の定理・Poincaré 双対を証明する → 35, 37, 39 番
  • 系 3.5 有限生成の場合 コホモロジーと双対性：普遍係数定理・カップ積・de Rham の定理・Poincaré 双対を証明する → 32, 33, 38 番
  • 定義 4.1 カップ積 コホモロジーと双対性：普遍係数定理・カップ積・de Rham の定理・Poincaré 双対を証明する → 34 番
  • 定義 3.2 Ext コホモロジーと双対性：普遍係数定理・カップ積・de Rham の定理・Poincaré 双対を証明する → 32, 33, 36 番
  • 定義 5.1 積分写像 コホモロジーと双対性：普遍係数定理・カップ積・de Rham の定理・Poincaré 双対を証明する → 38 番
  • 例 6.6 例 コホモロジーと双対性：普遍係数定理・カップ積・de Rham の定理・Poincaré 双対を証明する → 39 番
  • 命題 4.2 カップ積の基本性質 コホモロジーと双対性：普遍係数定理・カップ積・de Rham の定理・Poincaré 双対を証明する → 34 番
  • 定理 5.4 de Rham の定理 コホモロジーと双対性：普遍係数定理・カップ積・de Rham の定理・Poincaré 双対を証明する → 38 番
  • 定理 4.4 カップ積の次数付き可換性 コホモロジーと双対性：普遍係数定理・カップ積・de Rham の定理・Poincaré 双対を証明する → 34 番
  • 定理 6.4 Poincaré 双対定理（de Rham 版） コホモロジーと双対性：普遍係数定理・カップ積・de Rham の定理・Poincaré 双対を証明する → 35, 37, 39 番
  • 定理 3.4 普遍係数定理 コホモロジーと双対性：普遍係数定理・カップ積・de Rham の定理・Poincaré 双対を証明する → 32, 33, 36 番
  • 系 2.7 基本群と被覆空間：ループの代数で穴を数え、π₁(S¹)=ℤ・van Kampen・Galois 対応まで → 1, 6, 7, 11 番
  • 系 4.2 円板から円周へのレトラクションは存在しない 基本群と被覆空間：ループの代数で穴を数え、π₁(S¹)=ℤ・van Kampen・Galois 対応まで → 6 番
  • 系 6.2 van Kampen の定理の特別な場合 基本群と被覆空間：ループの代数で穴を数え、π₁(S¹)=ℤ・van Kampen・Galois 対応まで → 7 番
  • 定義 3.1 被覆空間 基本群と被覆空間：ループの代数で穴を数え、π₁(S¹)=ℤ・van Kampen・Galois 対応まで → 4 番
  • 定義 2.3 基本群 基本群と被覆空間：ループの代数で穴を数え、π₁(S¹)=ℤ・van Kampen・Galois 対応まで → 2, 3 番
  • 例 3.3 被覆空間の例 基本群と被覆空間：ループの代数で穴を数え、π₁(S¹)=ℤ・van Kampen・Galois 対応まで → 4, 10 番
  • 例 6.4 n ≥ 2 の球面は単連結 基本群と被覆空間：ループの代数で穴を数え、π₁(S¹)=ℤ・van Kampen・Galois 対応まで → 1, 12 番
  • 例 6.5 S¹ ∨ S¹ の基本群は非可換 基本群と被覆空間：ループの代数で穴を数え、π₁(S¹)=ℤ・van Kampen・Galois 対応まで → 2, 8, 9, 14 番
  • 命題 2.4 基点の取り替え 基本群と被覆空間：ループの代数で穴を数え、π₁(S¹)=ℤ・van Kampen・Galois 対応まで → 2 番
  • 定理 7.2 普遍被覆の被覆変換群 基本群と被覆空間：ループの代数で穴を数え、π₁(S¹)=ℤ・van Kampen・Galois 対応まで → 8 番
  • 定理 7.4 被覆空間の Galois 対応 基本群と被覆空間：ループの代数で穴を数え、π₁(S¹)=ℤ・van Kampen・Galois 対応まで → 8, 9, 10 番
  • 定理 3.6 ホモトピーの持ち上げ 基本群と被覆空間：ループの代数で穴を数え、π₁(S¹)=ℤ・van Kampen・Galois 対応まで → 5, 12 番
  • 定理 5.1 持ち上げ定理（lifting criterion） 基本群と被覆空間：ループの代数で穴を数え、π₁(S¹)=ℤ・van Kampen・Galois 対応まで → 12 番
  • 定理 4.1 円周の基本群 基本群と被覆空間：ループの代数で穴を数え、π₁(S¹)=ℤ・van Kampen・Galois 対応まで → 1, 3, 5, 6, 10, 11 番
  • 定理 6.1 van Kampen の定理 基本群と被覆空間：ループの代数で穴を数え、π₁(S¹)=ℤ・van Kampen・Galois 対応まで → 9 番
  • 系 3.8 被覆空間の高次ホモトピー群 ホモトピー群とファイブレーション：長完全列・Hopf ファイブレーションから π₃(SU(2)) = ℤ へ → 40, 41, 44 番
  • 例 5.5 SU(2) の巻き付き数の積分公式 ホモトピー群とファイブレーション：長完全列・Hopf ファイブレーションから π₃(SU(2)) = ℤ へ → 42 番
  • 命題 3.6 ファイバー束はファイブレーション ホモトピー群とファイブレーション：長完全列・Hopf ファイブレーションから π₃(SU(2)) = ℤ へ → 45 番
  • 命題 5.4 写像度の積分表示 ホモトピー群とファイブレーション：長完全列・Hopf ファイブレーションから π₃(SU(2)) = ℤ へ → 42 番
  • 命題 4.2 Hopf ファイブレーション ホモトピー群とファイブレーション：長完全列・Hopf ファイブレーションから π₃(SU(2)) = ℤ へ → 43, 45 番
  • 命題 2.4 ホモトピー群の基本性質 ホモトピー群とファイブレーション：長完全列・Hopf ファイブレーションから π₃(SU(2)) = ℤ へ → 41 番
  • 命題 2.6 球面の低次ホモトピー群 ホモトピー群とファイブレーション：長完全列・Hopf ファイブレーションから π₃(SU(2)) = ℤ へ → 40, 44, 45 番
  • 定理 3.7 ファイブレーションの長完全列 ホモトピー群とファイブレーション：長完全列・Hopf ファイブレーションから π₃(SU(2)) = ℤ へ → 43, 45 番
  • 定理 4.3 Hopf ファイブレーションの帰結 ホモトピー群とファイブレーション：長完全列・Hopf ファイブレーションから π₃(SU(2)) = ℤ へ → 40, 41, 43 番
  • 定理 5.3 π₃(SU(2)) = ℤ ホモトピー群とファイブレーション：長完全列・Hopf ファイブレーションから π₃(SU(2)) = ℤ へ → 43, 44 番
  • 系 5.2 球面は同じ次元の空間に単射で入らない Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理：特異ホモロジーで平面と球面の分離を証明する → 48, 49 番
  • 注意 4.3 Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理：特異ホモロジーで平面と球面の分離を証明する → 50 番
  • 定理 3.1 埋め込まれた円板と球面の補集合 Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理：特異ホモロジーで平面と球面の分離を証明する → 50 番
  • 定理 5.1 領域不変性 Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理：特異ホモロジーで平面と球面の分離を証明する → 48, 49 番
  • 定理 4.1 Jordan–Brouwer の分離定理 Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理：特異ホモロジーで平面と球面の分離を証明する → 47, 50 番
  • 定理 4.2 Jordan の曲線定理 Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理：特異ホモロジーで平面と球面の分離を証明する → 46, 47 番
  • 系 4.2 ホモトピー同値は同型を与える 特異ホモロジー：連続写像の単体で穴を数え、ホモトピー不変性・切除・Mayer–Vietoris を証明する → 14, 15, 17, 18, 19, 21, 22 番
  • 系 6.6 次元の不変性 特異ホモロジー：連続写像の単体で穴を数え、ホモトピー不変性・切除・Mayer–Vietoris を証明する → 19 番
  • 系 3.2 対の長完全列 特異ホモロジー：連続写像の単体で穴を数え、ホモトピー不変性・切除・Mayer–Vietoris を証明する → 20, 21 番
  • 例 6.7 2 点を除いた平面 特異ホモロジー：連続写像の単体で穴を数え、ホモトピー不変性・切除・Mayer–Vietoris を証明する → 17 番
  • 命題 2.2 特異ホモロジー：連続写像の単体で穴を数え、ホモトピー不変性・切除・Mayer–Vietoris を証明する → 14 番
  • 命題 2.4 H₀ と点のホモロジー 特異ホモロジー：連続写像の単体で穴を数え、ホモトピー不変性・切除・Mayer–Vietoris を証明する → 13, 14 番
  • 定理 5.3 切除定理 特異ホモロジー：連続写像の単体で穴を数え、ホモトピー不変性・切除・Mayer–Vietoris を証明する → 20 番
  • 定理 6.1 球面のホモロジー 特異ホモロジー：連続写像の単体で穴を数え、ホモトピー不変性・切除・Mayer–Vietoris を証明する → 13, 15, 16, 17, 18, 19, 22 番
  • 定理 5.4 Mayer–Vietoris 完全列 特異ホモロジー：連続写像の単体で穴を数え、ホモトピー不変性・切除・Mayer–Vietoris を証明する → 15, 16, 18, 22 番

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