代数幾何 I 50 本ノック

修士50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ第 1〜7 章（アフィン多様体、層、スキーム、ファイバー積、分離・固有射、準連接層、非特異性と微分）を読み終え、定義や仮定の要不要を手を動かして確かめたい修士課程の人。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 3 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer GTM 52
• R. Vakil, The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry
• Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford University Press
• U. Görtz, T. Wedhorn, Algebraic Geometry I, Vieweg+Teubner

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜8: アフィン代数多様体と座標環
• 9〜16: 層：茎・層化・順像と逆像
• 17〜24: アフィンスキームとスキーム・Proj
• 25〜31: スキームの性質と射・ファイバー積
• 32〜37: 分離射・固有射と付値判定法
• 38〜44: 準連接層・連接層と直線束
• 45〜50: 次元・正規性・非特異性と微分の層

形式: 単一選択 16・複数選択 11・○× 5・数値 7・並べ替え 3・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 0 / 11 / 32 / 7。

この冊で使う定義・定理（85）

• 定義 3.1 局所環付き空間とその射 アフィンスキームとスキーム：構造層・貼り合わせ・Proj → 21 番
• 定義 6.1 Proj アフィンスキームとスキーム：構造層・貼り合わせ・Proj → 23 番
• 例 8.1 Spec Z と離散付値環の Spec アフィンスキームとスキーム：構造層・貼り合わせ・Proj → 24 番
• 例 8.4 Spec Z[x] の図 アフィンスキームとスキーム：構造層・貼り合わせ・Proj → 18 番
• 命題 7.2 体と局所環に値をもつ点 アフィンスキームとスキーム：構造層・貼り合わせ・Proj → 21, 22 番
• 定理 6.3 Proj はスキーム アフィンスキームとスキーム：構造層・貼り合わせ・Proj → 22, 23 番
• 定理 3.4 Spec への射と環準同型 アフィンスキームとスキーム：構造層・貼り合わせ・Proj → 21, 22 番
• 定義 4.1 アフィン多様体・準アフィン多様体・座標環 アフィン代数多様体と座標環：零点定理が作る幾何と代数の辞書 → 6 番
• 定義 8.1 支配的な射・双有理同値 アフィン代数多様体と座標環：零点定理が作る幾何と代数の辞書 → 3 番
• 定義 3.1 Noether 位相空間・既約成分 アフィン代数多様体と座標環：零点定理が作る幾何と代数の辞書 → 7 番
• 例 5.4 尖点 3 次曲線：全単射で両連続だが同型でない射 アフィン代数多様体と座標環：零点定理が作る幾何と代数の辞書 → 5 番
• 補題 3.2 既約な集合の基本性質 アフィン代数多様体と座標環：零点定理が作る幾何と代数の辞書 → 7 番
• 補題 4.5 射は座標関数で判定できる アフィン代数多様体と座標環：零点定理が作る幾何と代数の辞書 → 4 番
• 補題 5.2 主開集合はアフィン多様体と同型 アフィン代数多様体と座標環：零点定理が作る幾何と代数の辞書 → 8 番
• 補題 2.2 V と I の性質 アフィン代数多様体と座標環：零点定理が作る幾何と代数の辞書 → 1, 2 番
• 命題 8.2 支配的な射と関数体 アフィン代数多様体と座標環：零点定理が作る幾何と代数の辞書 → 3 番
• 命題 3.4 既約成分への分解 アフィン代数多様体と座標環：零点定理が作る幾何と代数の辞書 → 7 番
• 定理 5.1 射と座標環の準同型・反変同値 アフィン代数多様体と座標環：零点定理が作る幾何と代数の辞書 → 4, 5, 6 番
• 定理 7.2 アフィン多様体の次元 アフィン代数多様体と座標環：零点定理が作る幾何と代数の辞書 → 3 番
• 定理 2.3 イデアルと代数的集合の対応 アフィン代数多様体と座標環：零点定理が作る幾何と代数の辞書 → 1, 2 番
• 定理 4.6 アフィン多様体の正則関数 アフィン代数多様体と座標環：零点定理が作る幾何と代数の辞書 → 8 番
• 定義 4.1 正規スキーム 次元・正規性・非特異性と微分の層：多様体の局所的な形を測る → 48 番
• 定義 2.1 スキームの次元・余次元 次元・正規性・非特異性と微分の層：多様体の局所的な形を測る → 47 番
• 定義 3.1 Zariski 接空間・正則スキーム・非特異多様体 次元・正規性・非特異性と微分の層：多様体の局所的な形を測る → 45, 46, 49, 50 番
• 例 3.2 尖点と結節点の接空間 次元・正規性・非特異性と微分の層：多様体の局所的な形を測る → 50 番
• 例 7.5 平面曲線の特異点の求め方 次元・正規性・非特異性と微分の層：多様体の局所的な形を測る → 45, 49 番
• 例 4.5 2 次錐は正規だが特異 次元・正規性・非特異性と微分の層：多様体の局所的な形を測る → 48 番
• 補題 2.3 体上有限型のスキームの閉点 次元・正規性・非特異性と微分の層：多様体の局所的な形を測る → 24 番
• 補題 2.2 次元と局所環 次元・正規性・非特異性と微分の層：多様体の局所的な形を測る → 47 番
• 定理 2.4 多様体の次元 次元・正規性・非特異性と微分の層：多様体の局所的な形を測る → 47, 50 番
• 定理 4.4 正規スキームの余次元 1 の点と関数の延長 次元・正規性・非特異性と微分の層：多様体の局所的な形を測る → 48 番
• 定義 5.1 ファイバー積・底変換・ファイバー スキームの性質と射：ファイバー積・はめ込み・有限型 → 25, 26, 28, 30 番
• 定義 3.1 準コンパクト・アフィン・局所有限型・有限型・有限な射 スキームの性質と射：ファイバー積・はめ込み・有限型 → 27, 36 番
• 定義 2.1 被約・既約・整・連結・準コンパクト・Noether スキームの性質と射：ファイバー積・はめ込み・有限型 → 29, 31 番
• 例 5.5 体の拡大とファイバー積・2 次曲線の族 スキームの性質と射：ファイバー積・はめ込み・有限型 → 28 番
• 例 6.3 有限型だが有限でない射・二重点の閉はめ込み スキームの性質と射：ファイバー積・はめ込み・有限型 → 27 番
• 命題 5.3 ファイバーの底空間 スキームの性質と射：ファイバー積・はめ込み・有限型 → 25 番
• 命題 6.2 有限射は閉写像でファイバーは有限 スキームの性質と射：ファイバー積・はめ込み・有限型 → 36 番
• 命題 2.2 整 ⇔ 被約かつ既約 スキームの性質と射：ファイバー積・はめ込み・有限型 → 20, 31 番
• 命題 6.1 射の性質の保存 スキームの性質と射：ファイバー積・はめ込み・有限型 → 27 番
• 定理 5.2 ファイバー積の存在 スキームの性質と射：ファイバー積・はめ込み・有限型 → 26, 28, 30, 31 番
• 定理 4.3 被約誘導構造 スキームの性質と射：ファイバー積・はめ込み・有限型 → 29 番
• 定義 7.1 局所自由層・可逆層・Picard 群 準連接層・連接層と直線束：加群を幾何に移す → 43 番
• 定義 8.2 次数加群に伴う層・ねじり層 準連接層・連接層と直線束：加群を幾何に移す → 41 番
• 定義 3.2 加群に伴う層 準連接層・連接層と直線束：加群を幾何に移す → 38 番
• 例 8.4 P^1 上の O(n) の変換関数 準連接層・連接層と直線束：加群を幾何に移す → 42 番
• 補題 7.2 連接層の台と中山の補題 準連接層・連接層と直線束：加群を幾何に移す → 44 番
• 命題 6.2 引き戻しと順像 準連接層・連接層と直線束：加群を幾何に移す → 42, 44 番
• 命題 3.3 M~ の茎・切断・制限 準連接層・連接層と直線束：加群を幾何に移す → 38, 39 番
• 定理 9.3 準連接層は Γ_* から復元される 準連接層・連接層と直線束：加群を幾何に移す → 40, 41 番
• 定理 7.3 局所自由性の判定 準連接層・連接層と直線束：加群を幾何に移す → 43 番
• 定理 9.5 Serre の定理：十分ねじれば大域切断で生成される 準連接層・連接層と直線束：加群を幾何に移す → 40 番
• 定理 4.3 加群と準連接層の圏同値 準連接層・連接層と直線束：加群を幾何に移す → 39 番
• 定理 8.3 ねじり層 O(n) 準連接層・連接層と直線束：加群を幾何に移す → 40, 41, 42 番
• 定義 3.1 対角射・分離射・準分離射 分離射・固有射と付値判定法：Hausdorff 性とコンパクト性のスキーム版 → 32 番
• 定義 5.1 普遍閉・固有射 分離射・固有射と付値判定法：Hausdorff 性とコンパクト性のスキーム版 → 34 番
• 定義 8.1 代数多様体・完備多様体・射影多様体 分離射・固有射と付値判定法：Hausdorff 性とコンパクト性のスキーム版 → 35 番
• 例 3.3 原点を二重にした直線は分離的でない 分離射・固有射と付値判定法：Hausdorff 性とコンパクト性のスキーム版 → 34 番
• 例 7.4 射影直線と射影平面曲線 分離射・固有射と付値判定法：Hausdorff 性とコンパクト性のスキーム版 → 33 番
• 補題 3.5 アフィン開被覆による分離性の判定 分離射・固有射と付値判定法：Hausdorff 性とコンパクト性のスキーム版 → 32 番
• 命題 3.4 分離スキームのアフィン開集合の交わり 分離射・固有射と付値判定法：Hausdorff 性とコンパクト性のスキーム版 → 32 番
• 命題 6.2 分離射・固有射の保存 分離射・固有射と付値判定法：Hausdorff 性とコンパクト性のスキーム版 → 33, 34, 35, 37 番
• 定理 7.3 射影空間は固有 分離射・固有射と付値判定法：Hausdorff 性とコンパクト性のスキーム版 → 33 番
• 定理 8.4 固有かつアフィンな射は有限 分離射・固有射と付値判定法：Hausdorff 性とコンパクト性のスキーム版 → 35 番
• 定理 8.3 完備多様体の大域正則関数は定数 分離射・固有射と付値判定法：Hausdorff 性とコンパクト性のスキーム版 → 35 番
• 定理 5.4 固有性の付値判定法 分離射・固有射と付値判定法：Hausdorff 性とコンパクト性のスキーム版 → 37 番
• 定理 5.3 分離性の付値判定法 分離射・固有射と付値判定法：Hausdorff 性とコンパクト性のスキーム版 → 37 番
• 定義 6.1 順像・逆像・制限・摩天楼層 層：茎・層化・順像と逆像 → 13, 14, 16 番
• 定義 5.1 部分層・核・余核・像・商層 層：茎・層化・順像と逆像 → 10, 11, 13 番
• 定義 2.1 位相空間上の前層 層：茎・層化・順像と逆像 → 9 番
• 定義 2.2 層 層：茎・層化・順像と逆像 → 9, 15 番
• 定義 3.1 茎・芽 層：茎・層化・順像と逆像 → 14, 15, 16 番
• 例 2.4 連続関数の層と定数前層 層：茎・層化・順像と逆像 → 12, 14 番
• 命題 6.2 大域切断と順像は左完全 層：茎・層化・順像と逆像 → 13 番
• 命題 3.2 茎による単射・全射・同型の判定 層：茎・層化・順像と逆像 → 10, 11, 15 番
• 定理 4.3 層化の存在と普遍性 層：茎・層化・順像と逆像 → 11, 12 番
• 定理 5.2 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる 層：茎・層化・順像と逆像 → 10 番
• 定義 2.1 整元・整拡大・整閉包 整拡大：整閉包・横たわり・上昇定理と下降定理 → 36 番
• 定理 9.4 Jacobi 判定法 Kähler 微分と滑らかさの入口：導分・基本完全列・エタール代数・Jacobi 判定法 → 45, 46 番
• 定義 4.1 素スペクトルと Zariski 位相 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 17 番
• 命題 4.7 極小素イデアルの存在 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 20 番
• 命題 4.8 Spec の連結性と冪等元 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 19 番
• 命題 4.6 剰余環と局所化のスペクトル 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 17 番
• 定理 4.4 Spec の位相の基本性質 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 18, 20, 24 番
• 命題 5.4 台の性質 加群・完全列・中山の補題：行列式のトリックと局所的性質 → 39 番