スキームの性質と射：ファイバー積・はめ込み・有限型

0. この記事の要点

「方程式 $y^2 = x$ を $x$ 軸へ射影すると、$x = a$ の上には何個の点が重なるか」を、$a = 0$ のように 2 点が 1 点に潰れる場合まで含めて正確に数えるには、点の個数だけでなく重なり方も記録する仕組みが要ります。この記事は、そのための道具であるファイバー積と、スキームや射に付ける基本的な条件（有限性・閉部分スキームなど）を整える回です。読み終えると、射の上のファイバーを具体的に計算し、条件が合成や底変換で保たれることを確かめられるようになります。

• スキームが整であることは、被約（冪零な関数がない）かつ既約であることと同値です。整スキームの生成点の局所環は体で、関数体と呼びます。局所 Noether 性、射が局所有限型・アフィン・有限であることは、アフィン開被覆の取り方によりません。
• スキームの圏にはファイバー積 $X \times_S Y$ がつねに存在し、アフィンスキームでは $\operatorname{Spec}(A \otimes_R B)$ です。射 $f\colon X \to Y$ の点 $y$ の上のファイバー $X \times_Y \operatorname{Spec}\kappa(y)$ の底空間は $f^{-1}(y)$ と同相です。
• 開はめ込み・閉はめ込み・有限型・有限・アフィンという性質は、合成と底変換で保たれます。有限射は閉写像で、ファイバーは有限集合です。
• 閉集合には被約な閉部分スキームの構造がただ一つ入り、被約スキームからの射で像がその閉集合に入るものは、そこを一意に経由します。
• スキーム $X$ は、アフィンスキーム $T$ に $X(T) = \operatorname{Hom}(T, X)$ を対応させる点の関手で決まります。ファイバー積の点の関手は、集合のファイバー積です。
• 体 $k$ 上の整な有限型スキームの間で、支配的な有理写像は関数体の $k$ 準同型と 1 対 1 に対応し、**双有理同値**であることと関数体が $k$ 同型であることは同値です。

この記事で使う事前知識

• 局所環・剰余体: ただ一つの極大イデアルをもつ環と、それによる商の体。→ 局所環・剰余体
• 局所化: 環に分母として許す元を決め、その元で割れるようにした環。→ 局所化
• 茎（芽）: 点の近くでの関数の「芽」を集めたもの。→ 層：茎・層化・順像と逆像
• スキーム: 環の Spec を局所的な部品として貼り合わせた空間。→ スキーム
• テンソル積: 加群 $M, N$ から作る、双線形写像を一つの線形写像として扱うための加群。→ テンソル積と平坦性
• 整拡大: 大きい環の各元が、小さい環係数のモニック多項式の根になる拡大。→ 整拡大

1. 動機

記事 アフィンスキームとスキーム でスキームを定義しました。スキームは非常に一般的な対象で、$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ も、冪零元をもつ $\operatorname{Spec} k[x]/(x^2)$ も、無限個の変数の多項式環の Spec も含みます。幾何を行うには、対象と射に適切な有限性や正則性の条件を付ける必要があります。この記事では、その基本的な語彙を整えます。

中心になるのはファイバー積です。スキームの圏での積は、底空間の直積ではありません（記事 アフィン代数多様体と座標環 で見たように、位相も直積位相ではありません）。それでも、普遍性で定義した積 $X \times_S Y$ はつねに存在し、次のものを一度に与えます。

• 積。 $\mathbb{A}^m_k \times_k \mathbb{A}^n_k = \mathbb{A}^{m+n}_k$。
• ファイバー。 射 $f\colon X \to Y$ と点 $y$ に対し、$f^{-1}(y)$ にスキームの構造（重複度を込めたもの）を入れる。
• 係数の拡大。 $\mathbb{R}$ 上のスキーム $X$ から $\mathbb{C}$ 上のスキーム $X \times_{\mathbb{R}} \operatorname{Spec}\mathbb{C}$ を作る。
• 逆像と交わり。 部分スキームの逆像 $f^{-1}(Z) = X \times_Y Z$、交わり $Z_1 \cap Z_2 = Z_1 \times_X Z_2$。

Grothendieck の方針では、性質は対象ではなく射に対して定義し、「合成で保たれるか」「底変換で保たれるか」を調べます。底変換で保たれる性質は、族の各ファイバーにも、係数体を拡大したものにも遺伝するので扱いやすいのです。次の記事 分離射・固有射と付値判定法 の分離性と固有性は、この記事のファイバー積（対角射と底変換）を使って定義します。

環の側の道具は、テンソル積（記事 テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群）と整拡大（記事 整拡大）です。局所的な性質の命題は、前の記事のアフィン交流補題でまとめて示します。

2. スキームの性質：被約・既約・整・Noether

定義 2.1（被約・既約・整・連結・準コンパクト・Noether）↗

$X$ をスキームとする。

1. すべての開集合 $U$ で環 $\mathcal{O}_X(U)$ が被約（$0$ 以外の冪零元をもたない）であるとき、$X$ は被約であるという。
2. 底空間が既約（連結、コンパクト）であるとき、$X$ は既約（連結、準コンパクト）であるという。
3. $X \ne \varnothing$ で、すべての空でない開集合 $U$ で $\mathcal{O}_X(U)$ が整域であるとき、$X$ は整であるという。
4. Noether 環の Spec であるアフィン開集合で覆えるとき、$X$ は局所 Noether であるという。局所 Noether かつ準コンパクトのとき Noether であるという。

命題 2.2（整 ⇔ 被約かつ既約）✓

$X$ をスキームとする。

1. 次は同値である: (a) $X$ は被約、(b) すべての茎 $\mathcal{O}_{X,x}$ は被約、(c) $X$ はアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A_i$ で、各 $A_i$ が被約であるもので覆える、(d) 任意の開集合 $U$ と $s \in \mathcal{O}_X(U)$ について、すべての $x \in U$ で $s(x) = 0$ ならば $s = 0$。
2. $X$ が整であることと、被約かつ既約であることは同値である。
3. $X$ を整スキームとし、$\eta$ をその生成点とする。$K(X) = \mathcal{O}_{X,\eta}$ は体である（関数体という）。空でないアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ について、$A$ は整域、$\eta \in U$ は $A$ の零イデアルに対応し、$K(X) = \operatorname{Frac} A$ である。任意の空でない開集合 $U$ について $\mathcal{O}_X(U) \to K(X)$、$s \mapsto s_\eta$ は単射で、各点 $x$ について $\mathcal{O}_{X,x} \to K(X)$ は単射である。

証明（命題 2.2）

(1) (a) ならば (b): 芽 $s_x$ が $s_x^n = 0$ を満たせば、$x$ の近傍 $W$ で $(s|_W)^n = 0$、(a) により $s|_W = 0$、よって $s_x = 0$ です。(b) ならば (a): $s^n = 0$ なら各点で $s_x^n = 0$、$s_x = 0$ で、切断は芽で決まるので $s = 0$ です。

(b) と (c) の同値: アフィン開集合 $\operatorname{Spec} A$ の点 $\mathfrak{p}$ での茎は $A_{\mathfrak{p}}$ です。$A$ が被約なら、$(a/s)^n = 0$ のとき $ta^n = 0$ となる $t \notin \mathfrak{p}$ があり、$(ta)^n = 0$ から $ta = 0$、$a/s = 0$ なので $A_{\mathfrak{p}}$ は被約です。逆にすべての $A_{\mathfrak{p}}$ が被約で $a^n = 0$ なら、すべての $\mathfrak{p}$ で $a/1 = 0$ で、加群 $Aa$ のすべての局所化が $0$ だから $a = 0$ です（定理 5.3［加群・完全列・中山の補題］ の (1)）。よって、(b) が成り立てばすべてのアフィン開集合の環は被約で、(c) が成り立てばすべての茎は被約です。

(a) ならば (d): アフィン開集合 $\operatorname{Spec} A \subseteq U$ の上で、$s|_{\operatorname{Spec} A} \in A$ はすべての素イデアルに属するので冪零（定理 2.6［局所化と素イデアルのスペクトル］）、(a) により $0$ です。$U$ はアフィン開集合で覆える（命題 4.1［アフィンスキームとスキーム］）ので $s = 0$ です。(d) ならば (a): $s^n = 0$ なら各点で $s(x)^n = 0$ が体 $\kappa(x)$ で成り立ち、$s(x) = 0$ なので $s = 0$ です。

(2) 既約性の一般的な事実は 補題 3.2［アフィン代数多様体と座標環］ を使います。

$X$ が整とします。整域は被約なので $X$ は被約です。$X$ が既約でなければ、交わらない空でない開集合 $U_1, U_2$ があり、層の条件から $\mathcal{O}_X(U_1 \cup U_2) = \mathcal{O}_X(U_1) \times \mathcal{O}_X(U_2)$ です。$U_i \ne \varnothing$ なので $\mathcal{O}_X(U_i) \ne 0$（茎が局所環で $0$ でない）で、$(1, 0) \cdot (0, 1) = 0$ となり整域になりません。

逆に $X$ が被約かつ既約とし、$U \ne \varnothing$ を開集合、$f, g \in \mathcal{O}_X(U)$、$fg = 0$ とします。$Y_f = \{ x \in U : f(x) = 0 \}$ と $Y_g$ は $U$ の閉集合（補題 3.2［アフィンスキームとスキーム］ の (2)）で、各点で $f(x)g(x) = 0$ が体の中で成り立つので $U = Y_f \cup Y_g$ です。$U$ は既約なので、たとえば $Y_f = U$ で、(1) の (d) により $f = 0$ です。$\mathcal{O}_X(U) \ne 0$ なので整域です。

(3) $X$ は既約なので生成点 $\eta$ をただ一つもちます（命題 4.3［アフィンスキームとスキーム］ の (1)）。空でない開集合 $U$ は $\overline{\{\eta\}} = X$ と交わるので、$\eta \in U$ です（$\eta \notin U$ なら $\overline{\{\eta\}} \subseteq X \setminus U$）。$U = \operatorname{Spec} A$ がアフィン開集合なら、$A$ は整域で、$\eta$ は $U$ の生成点、すなわち $V(\mathfrak{p}) = \operatorname{Spec} A$ となる素イデアル $\mathfrak{p} = \operatorname{nil}(A) = (0)$ に対応します。よって $\mathcal{O}_{X,\eta} = A_{(0)} = \operatorname{Frac} A$ は体です。$x \in U$ が $\mathfrak{q}$ に対応するとき、$\mathcal{O}_{X,x} = A_{\mathfrak{q}} \to \operatorname{Frac} A$ は単射です。

$U$ を空でない開集合、$s \in \mathcal{O}_X(U)$、$s_\eta = 0$ とします。$\eta$ の開近傍 $W \subseteq U$ で $s|_W = 0$ となるものがあります。$U$ に含まれる空でないアフィン開集合 $V = \operatorname{Spec} B$ について、$V \cap W \ne \varnothing$ で、$\varnothing \ne D(b) \subseteq V \cap W$ となる $b \in B$ があり、$s|_V$ の $B_b$ での像は $0$ です。$B$ は整域なので $B \to B_b$ は単射で、$s|_V = 0$ です。$U$ はこのような $V$ で覆えるので $s = 0$ です。

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(3) により、整スキームの上の関数はすべて一つの体 $K(X)$ の元とみなせます。アフィン多様体 $X$ について、$\operatorname{Spec} k[X]$ の関数体は $k(X) = \operatorname{Frac} k[X]$ で、記事 アフィン代数多様体と座標環 の関数体と一致します。

命題 2.3（Noether スキーム）✓

$X$ をスキームとする。

1. $X$ が局所 Noether であることと、$X$ のすべてのアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A$ について $A$ が Noether 環であることは同値である。とくに $\operatorname{Spec} A$ が Noether スキームであることと $A$ が Noether 環であることは同値である。
2. $X$ が Noether スキームなら、底空間は Noether 位相空間で、すべての開集合は準コンパクト、すべての開部分スキームは Noether スキームである。また既約成分は有限個である。
3. $X$ が局所 Noether なら、すべての茎 $\mathcal{O}_{X,x}$ は Noether 局所環である。

証明（命題 2.3）

(1) アフィン開集合 $U$ についての性質「$\mathcal{O}_X(U)$ は Noether 環」が、アフィン交流補題（補題 4.2［アフィンスキームとスキーム］）の 2 条件を満たすことを示します。

局所化。 $A$ が Noether 環なら $A_f$ も Noether 環です（系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (2)）。

有限被覆。 $f_1, \ldots, f_n$ が $A$ の単位イデアルを生成し、各 $A_{f_i}$ が Noether 環とします。まず、イデアル $I \subseteq J$ がすべての $i$ で $IA_{f_i} = JA_{f_i}$ を満たせば $I = J$ であることを示します。$x \in J$ とすると、各 $i$ で $f_i^mx \in I$ となる $m$ があり（$x/1 \in IA_{f_i}$ を書き下す）、$m$ は共通に取れます。$f_i^m$ も単位イデアルを生成する（$V(f_1^m, \ldots, f_n^m) = V(f_1, \ldots, f_n) = \varnothing$）ので $1 = \sum_i c_if_i^m$ と書け、$x = \sum_i c_if_i^mx \in I$ です。イデアルの昇鎖 $I_1 \subseteq I_2 \subseteq \cdots$ に対し、各 $A_{f_i}$ で鎖 $I_lA_{f_i}$ は停留するので、共通の $N$ があって $l \ge N$ ならすべての $i$ で $I_lA_{f_i} = I_NA_{f_i}$ で、いま示したことから $I_l = I_N$ です。

(2) $X$ は有限個の $\operatorname{Spec} A_i$（$A_i$ は Noether 環）で覆えます。$\operatorname{Spec} A_i$ の閉集合の降鎖は、根基イデアルの昇鎖に対応する（補題 4.2［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (5)）ので停留し、$\operatorname{Spec} A_i$ は Noether 位相空間です。$X$ の閉集合の降鎖は、有限個の $\operatorname{Spec} A_i$ のそれぞれとの交わりが停留するので停留します。Noether 位相空間の部分空間は Noether でコンパクト（補題 3.3［アフィン代数多様体と座標環］ の (2)、(3)）なので、開集合は準コンパクトです。開部分スキーム $U$ のアフィン開集合は $X$ のアフィン開集合なので、(1) により $U$ は局所 Noether で、準コンパクトだから Noether です。既約成分の有限性は 命題 3.4［アフィン代数多様体と座標環］ です。

(3) $x$ を含むアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A$ で、$\mathcal{O}_{X,x} = A_{\mathfrak{p}}$ は Noether 環 $A$ の局所化です。

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3. 射の有限性：局所有限型・アフィン・有限

この節の定義は「$Y$ のあるアフィン開被覆について条件が成り立つ」という形です。被覆を別のものに取り替えても同じ性質が言えるかどうかが、そのままでは分からないので、定義のあとに「どの被覆でもよい」ことを命題として示します。

定義 3.1（準コンパクト・アフィン・局所有限型・有限型・有限な射）↗

$f\colon X \to Y$ をスキームの射とする。次の各性質を、「$Y$ のアフィン開集合 $V_i = \operatorname{Spec} B_i$ による被覆で、すべての $i$ について条件が成り立つものが存在する」ことで定める。

1. 準コンパクト: $f^{-1}(V_i)$ は準コンパクト。
2. アフィン: $f^{-1}(V_i)$ はアフィンスキーム。
3. 局所有限型: $f^{-1}(V_i)$ はアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A_{ij}$ で、各 $A_{ij}$ が有限生成 $B_i$ 代数（定義 2.2［整拡大］）であるもので覆える。
4. 有限型: 局所有限型かつ準コンパクト。
5. 有限: $f^{-1}(V_i) = \operatorname{Spec} A_i$ はアフィンスキームで、$A_i$ は $B_i$ 加群として有限生成。

環 $R$（体 $k$）について、$\operatorname{Spec} R$ への構造射が有限型のとき、$X$ を $R$ 上（$k$ 上）有限型のスキームという。

これらが被覆の取り方によらないことを示すために、大域切断と局所化の関係を先に調べます。

次の補題は、後の命題の証明で「環の性質を、単位イデアルを生成する元 $g_i$ による局所化ごとに確かめれば足りる」ことを使うための部品です。(1) は大域切断を $g$ で局所化したものが $X_g$ 上の切断になること、(2) はアフィン性を $X_{g_i}$ ごとに判定できること、(3) は有限生成性（有限生成代数・有限生成加群）を局所化ごとに判定できることを述べます。どの証明でも、有限個の元について指数 $m$ を共通に取り直す、という操作が繰り返し現れます。

補題 3.2（大域切断の局所化とアフィン性の判定）✓

$X$ をスキーム、$A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$、$g \in A$ とする。

1. $X$ が有限個のアフィン開集合 $U_1, \ldots, U_n$ で覆え、各 $U_i \cap U_j$ が準コンパクトであるとする。このとき制限の誘導する準同型 $A_g \to \Gamma(X_g, \mathcal{O}_X)$ は同型である（$X_g$ は 補題 3.2［アフィンスキームとスキーム］ の開集合）。
2. $g_1, \ldots, g_n \in A$ が単位イデアルを生成し、各 $X_{g_i}$ がアフィンスキームなら、$X$ はアフィンスキームである。
3. $R$ を環、$C$ を $R$ 代数とし、$g_1, \ldots, g_n \in C$ が $C$ の単位イデアルを生成するとする。(a) すべての $C_{g_i}$ が有限生成 $R$ 代数なら、$C$ は有限生成 $R$ 代数である。(b) $g_i$ が $R$ の単位イデアルを生成する元 $r_i$ の像で、すべての $C_{g_i}$ が有限生成 $R_{r_i}$ 加群なら、$C$ は有限生成 $R$ 加群である。

証明（補題 3.2）

(1) $g|_{X_g}$ は単元（補題 3.2［アフィンスキームとスキーム］ の (2)）なので準同型 $A_g \to \Gamma(X_g, \mathcal{O}_X)$ があります。$U_i = \operatorname{Spec} A_i$、$g_i = g|_{U_i}$ とすると $X_g \cap U_i = D(g_i)$、$\mathcal{O}_X(X_g \cap U_i) = (A_i)_{g_i}$ です。

単射性（有限個のアフィン開集合で覆えることだけを使う）。 $s \in A$ が $s|_{X_g} = 0$ を満たすとします。各 $i$ で $s|_{U_i}$ の $(A_i)_{g_i}$ での像が $0$ なので、共通の $m$ で $g_i^ms|_{U_i} = 0$、層の局所性から $g^ms = 0$、すなわち $A_g$ で $s/1 = 0$ です。

全射性。 $t \in \Gamma(X_g, \mathcal{O}_X)$ とします。$t|_{X_g \cap U_i} \in (A_i)_{g_i}$ なので、共通の $m$ と $a_i \in A_i$ で $g^mt|_{X_g \cap U_i} = a_i|_{X_g \cap U_i}$ と書けます。$a_i - a_j \in \mathcal{O}_X(U_i \cap U_j)$ は $X_g \cap U_i \cap U_j$ の上で $0$ です。$U_i \cap U_j$ は準コンパクトなので有限個のアフィン開集合で覆え、単射性の議論をスキーム $U_i \cap U_j$ に使うと、共通の $l$ で $g^l(a_i - a_j) = 0$ が $U_i \cap U_j$ の上で成り立ちます。よって $g^la_i$ は $a \in A$ に貼り合わさり、$a|_{X_g} = g^{l+m}t$ です。$t$ は $a/g^{l+m}$ の像です。

(2) $\sum_i c_ig_i = 1$ なので、各点で少なくとも一つの $g_i$ の値は $0$ でなく、$X = \bigcup_i X_{g_i}$ です。$X_{g_i} \cap X_{g_j}$ はアフィンスキーム $X_{g_i}$ の主開集合なのでアフィン、とくに準コンパクトです。(1) により $\Gamma(X_{g_i}, \mathcal{O}_X) = A_{g_i}$ です。標準射 $c\colon X \to \operatorname{Spec} A$（定理 3.4［アフィンスキームとスキーム］）は $c^{-1}(D(g_i)) = X_{g_i}$ を満たし、その制限 $X_{g_i} \to D(g_i) = \operatorname{Spec} A_{g_i}$ はアフィンスキームの射で、大域切断での写像は (1) の同型です。同じ定理の (3) によりこの制限は同型です。$D(g_i)$ は $\operatorname{Spec} A$ を覆うので、$c$ は同型です。

(3) (a) $C_{g_i}$ の $R$ 代数としての生成元を、共通の $m$ で $x_{ij}/g_i^m$（$x_{ij} \in C$、$j$ は有限個）と書き、$\sum_i c_ig_i = 1$（$c_i \in C$）とします。$C'$ を、有限個の元 $x_{ij}$、$g_i$、$c_i$ が $R$ 上生成する $C$ の部分代数とします。$y \in C$ とすると、$y/1 \in C_{g_i}$ は $x_{ij}/g_i^m$ の $R$ 係数多項式なので、ある $y' \in C'$ と $L_0$ で $g_i^{L_0}y/1 = y'/1$ が $C_{g_i}$ で成り立ち、$g_i$ の冪をさらに掛けて、十分大きい $L$（すべての $i$ に共通）で $g_i^Ly \in C'$ となります。$1 = (\sum_i c_ig_i)^{nL}$ を展開した各項は、ある $g_i^L$ を因子にもつので、$1 = \sum_i e_ig_i^L$（$e_i \in C'$）と書け、$y = \sum_i e_ig_i^Ly \in C'$ です。よって $C = C'$ は有限生成 $R$ 代数です。

(b) $C_{g_i}$ の $R_{r_i}$ 加群としての生成元を $x_{ij}/g_i^m$ と書き、$C'$ を $x_{ij}$ の全体が生成する $C$ の $R$ 部分加群とします。$y \in C$ について、$y/1$ は $x_{ij}/g_i^m$ の $R_{r_i}$ 係数の線形結合なので、(a) と同様に共通の $L$ で $g_i^Ly \in C'$ です。$r_i$ は $R$ の単位イデアルを生成するので、$1 = \sum_i e_ir_i^L$ となる $e_i \in R$ があり、$y = \sum_i e_ig_i^Ly \in C'$ です。

∎

命題 3.3（射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない）✓

$f\colon X \to Y$ をスキームの射とする。

1. $f$ が準コンパクトであることと、$Y$ のすべてのアフィン開集合 $V$ について $f^{-1}(V)$ が準コンパクトであることは同値である。
2. $f$ がアフィンであることと、$Y$ のすべてのアフィン開集合 $V$ について $f^{-1}(V)$ がアフィンスキームであることは同値である。
3. $f$ が局所有限型であることと、$Y$ のすべてのアフィン開集合 $V = \operatorname{Spec} B$ と、$f^{-1}(V)$ に含まれる $X$ のすべてのアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ について、$A$ が有限生成 $B$ 代数であることは同値である。
4. $f$ が有限であることと、$Y$ のすべてのアフィン開集合 $V = \operatorname{Spec} B$ について、$f^{-1}(V) = \operatorname{Spec} A$ がアフィンスキームで $A$ が有限生成 $B$ 加群であることは同値である。

証明（命題 3.3）

どれも一方向は定義から従うので、定義の被覆 $(V_i)$ があるとして、$Y$ のアフィン開集合 $V$ についての性質 $P$ がアフィン交流補題（補題 4.2［アフィンスキームとスキーム］）の 2 条件を満たすことを示します。$V = \operatorname{Spec} B$、$b \in B$ とし、$f^{-1}(V)$ に含まれるアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ について、$f|_U\colon U \to V$ に対応する環準同型を $\varphi_U\colon B \to A$ と書きます。補題 3.2［アフィンスキームとスキーム］ の (3) により

$$f^{-1}(D(b)) \cap U = D(\varphi_U(b)) = \operatorname{Spec} A_{\varphi_U(b)}$$

です。以下、$b_1, \ldots, b_n$ は $B$ の単位イデアルを生成する元とします。

(1) $P(V)$:「$f^{-1}(V)$ は準コンパクト」。局所化: $f^{-1}(V)$ が有限個のアフィン開集合 $U_j$ で覆えれば、$f^{-1}(D(b))$ は有限個のアフィン開集合 $D(\varphi_{U_j}(b))$ で覆えます。有限被覆: $f^{-1}(V) = \bigcup_i f^{-1}(D(b_i))$ は準コンパクトな集合の有限和です。

(2) $P(V)$:「$f^{-1}(V)$ はアフィンスキーム」。局所化: $f^{-1}(V) = \operatorname{Spec} A$ なら $f^{-1}(D(b)) = \operatorname{Spec} A_{\varphi(b)}$ です。有限被覆: $X' = f^{-1}(V)$ とし、$g_i \in \Gamma(X', \mathcal{O}_X)$ を $b_i$ の像とすると、$g_1, \ldots, g_n$ は単位イデアルを生成し、$X'_{g_i} = f^{-1}(D(b_i))$ はアフィンです。補題 3.2 の (2) により $X'$ はアフィンです。

(4) $P(V)$:「$f^{-1}(V) = \operatorname{Spec} A$ で $A$ は有限生成 $B$ 加群」。局所化: $A_{\varphi(b)} = A \otimes_B B_b$ は $B_b$ 加群として $A$ の生成元の像で生成されます。有限被覆: (2) により $f^{-1}(V) = \operatorname{Spec} A$ はアフィンで、$A_{\varphi(b_i)}$ が有限生成 $B_{b_i}$ 加群なので、補題 3.2 の (3) の (b) により $A$ は有限生成 $B$ 加群です。

(3) $P(V)$:「$f^{-1}(V)$ は、環が有限生成 $B$ 代数であるアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A_j$ で覆える」。局所化: $f^{-1}(D(b))$ は $\operatorname{Spec}(A_j)_{\varphi_j(b)}$ で覆え、$(A_j)_{\varphi_j(b)}$ は $B_b$ 上有限生成です。有限被覆: $f^{-1}(D(b_i))$ を覆う $\operatorname{Spec} A_{ij}$ で $A_{ij}$ が $B_{b_i}$ 上有限生成なら、$B_{b_i} = B[1/b_i]$ は $B$ 上有限生成なので $A_{ij}$ は $B$ 上有限生成で、これらは $f^{-1}(V)$ を覆います。

よってすべてのアフィン開集合 $V = \operatorname{Spec} B$ が $P$ を満たします。次に、スキーム $f^{-1}(V)$ のアフィン開集合 $U$ についての性質 $Q(U)$:「$\mathcal{O}_X(U)$ は有限生成 $B$ 代数」を考えます。局所化: $A$ が有限生成なら $A_a = A[1/a]$ も有限生成です。有限被覆: $a_1, \ldots, a_n$ が $A$ の単位イデアルを生成し、各 $A_{a_i}$ が有限生成 $B$ 代数なら、補題 3.2 の (3) の (a) により $A$ は有限生成 $B$ 代数です。$P(V)$ により $f^{-1}(V)$ は $Q$ を満たすアフィン開集合で覆えるので、アフィン交流補題によりすべてのアフィン開集合 $U \subseteq f^{-1}(V)$ が $Q$ を満たします。

∎

閉じた形で言い直すと、$\operatorname{Spec} A \to \operatorname{Spec} B$ が有限型（有限）であることは、$A$ が有限生成 $B$ 代数（有限生成 $B$ 加群）であることと同値です。有限な射は、定義からアフィンで有限型です。逆は成り立ちません（例 6.3）。

4. はめ込みと閉部分スキーム

この節では、スキームの「部分」を定義します。開部分スキームは開集合を選ぶだけで決まります。閉部分スキームは、閉集合に加えてその上の関数環の構造も指定する必要があります。たとえば閉はめ込みの定義にある「茎で全射」は、$Y$ 上の関数を $X$ に制限したものが $X$ の局所的な関数をすべて与える、という条件で、環でいえば商環 $A \to A/I$ が全射であることに当たります。

定義 4.1（開はめ込み・閉はめ込み・はめ込み・閉部分スキーム）↗

$f\colon X \to Y$ をスキームの射とする。

1. $f$ が $X$ から $Y$ のある開部分スキームへの同型を与えるとき、開はめ込みという。
2. $f$ の底空間の写像が $X$ から $Y$ の閉集合への同相写像で、$f^\#\colon \mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X$ がすべての茎で全射（層の epi）であるとき、閉はめ込みという。
3. $f$ が閉はめ込み $X \to U$ と開はめ込み $U \to Y$ の合成であるとき、はめ込みという。
4. 閉はめ込み $i\colon Z \to Y$、$i'\colon Z' \to Y$ は、$i' \circ u = i$ となる同型 $u\colon Z \to Z'$ があるとき同値であるという。閉はめ込みの同値類を $Y$ の閉部分スキームという。
5. $f$ が経由する $Y$ の閉部分スキームのうち最小のもの（$f$ が経由する任意の閉部分スキームを経由するもの）が存在するとき、それを $f$ のスキーム論的な像という。

開部分スキームは開集合で決まりますが、閉部分スキームは閉集合だけでは決まりません。$\operatorname{Spec} k[x]/(x^n)$（$n = 1, 2, \ldots$）は、どれも $\mathbb{A}^1_k$ の原点だけを底空間とする、互いに異なる閉部分スキームです。

補題 4.2（アフィンスキームへの閉はめ込み）✓

$A$ を環とする。

1. イデアル $I$ について、$\operatorname{Spec} A/I \to \operatorname{Spec} A$ は閉はめ込みで、像は $V(I)$ である。
2. $i\colon Z \to \operatorname{Spec} A$ を閉はめ込みとする。$Z$ はアフィンスキームで、$\varphi = i^\#_{\operatorname{Spec} A}\colon A \to \Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)$ は全射である。したがって $I = \operatorname{Ker}\varphi$ とおくと、$i$ は (1) の閉はめ込みと同値である。
3. 射 $f\colon X \to Y$ と $Y$ の開被覆 $(V_j)$ について、すべての $f^{-1}(V_j) \to V_j$ が閉はめ込み（開はめ込み）なら、$f$ は閉はめ込み（開はめ込み）である。逆に閉はめ込み（開はめ込み）の、$Y$ の開集合 $V$ の上への制限 $f^{-1}(V) \to V$ は閉はめ込み（開はめ込み）である。

証明（補題 4.2）

(1) 底空間の写像は $V(I)$ への同相写像です（命題 4.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (1)）。閉集合からの包含による順像の茎は、像の点では元の茎、それ以外では $0$ です（命題 7.2［層］ の (3)）。$\mathfrak{p} \supseteq I$ での茎の写像は $A_{\mathfrak{p}} \to (A/I)_{\mathfrak{p}/I} \cong A_{\mathfrak{p}}/IA_{\mathfrak{p}}$（命題 3.7［局所化と素イデアルのスペクトル］）で全射です。

(3) 開はめ込みについて: 各 $f^{-1}(V_j) \to V_j$ が開部分スキームへの同型なら、$f$ は単射で開写像、像は開集合 $W$ で、$f\colon X \to W$ は各 $V_j \cap W$ の上で同型だから同型です。閉はめ込みについて: $f$ は単射で、像 $f(X)$ は各 $V_j$ との交わりが閉なので閉集合、$f$ は各 $V_j$ の上で像への同相写像だから像への同相写像です。茎の全射性は各点の条件です。逆は定義から従います。

(2) $Z$ はアフィン。 $Z$ は $\operatorname{Spec} A$ の閉集合と同相なので準コンパクトです。$z \in Z$ とし、$z$ を含む $Z$ のアフィン開集合 $W$ を取ります。$i$ は像への同相写像なので $W = i^{-1}(U)$ となる $\operatorname{Spec} A$ の開集合 $U$ があり、$i(z) \in D(b) \subseteq U$ となる $b \in A$ があります。$i^{-1}(D(b)) = Z_{\varphi(b)}$ は $W$ の主開集合 $W_{\varphi(b)|_W}$ に等しい（補題 3.2［アフィンスキームとスキーム］ の (3)、(4)）ので、アフィンです。また補集合 $\operatorname{Spec} A \setminus i(Z)$ は開集合なので、$i^{-1}(D(b')) = \varnothing$ となる主開集合 $D(b')$ で覆えます。$\operatorname{Spec} A$ はコンパクトなので、有限個の $b_1, \ldots, b_n \in A$ で、$\operatorname{Spec} A = \bigcup_l D(b_l)$ かつ各 $Z_{\varphi(b_l)}$ がアフィン（空集合 $\operatorname{Spec} 0$ を含む）となるものが取れます。$b_l$ は $A$ の単位イデアルを生成し、$\varphi(b_l)$ は $\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)$ の単位イデアルを生成するので、補題 3.2 の (2) により $Z$ はアフィンです。

$\varphi$ は全射。 $Z = \operatorname{Spec} C$ とし、$i = \operatorname{Spec}\varphi$、$\varphi\colon A \to C$ とします。$\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A$ での $i_*\mathcal{O}_Z$ の茎は

$$\varinjlim_{b \notin \mathfrak{p}} \mathcal{O}_Z(i^{-1}(D(b))) = \varinjlim_{b \notin \mathfrak{p}} C_{\varphi(b)} \cong T^{-1}C, \qquad T = \varphi(A \setminus \mathfrak{p})$$

です（最後の同型は 補題 2.1［アフィンスキームとスキーム］ の (4) と同じ証明: $c/\varphi(s)$ は $C_{\varphi(s)}$ から来るので全射、$C_{\varphi(b)}$ の元が $T^{-1}C$ で $0$ なら、ある $s \notin \mathfrak{p}$ について $C_{\varphi(bs)}$ で $0$ になるので単射）。$T^{-1}C$ は $A$ 加群 $C$ の $\mathfrak{p}$ での局所化 $C_{\mathfrak{p}}$ で、茎の写像 $A_{\mathfrak{p}} \to C_{\mathfrak{p}}$ は $\varphi$ の局所化です。閉はめ込みの定義からこれはすべての $\mathfrak{p}$ で全射なので、$\varphi$ は全射です（定理 5.3［加群・完全列・中山の補題］ の (2)）。よって $C \cong A/I$ で、$i$ は $\operatorname{Spec} A/I \to \operatorname{Spec} A$ と同値です。

∎

(2) により、アフィンスキーム $\operatorname{Spec} A$ の閉部分スキームは $A$ のイデアルと 1 対 1 に対応します。一般のスキームの閉部分スキームがイデアルの層（準連接イデアル層）と対応することは、記事 準連接層・連接層と直線束 で示します。

次の定理は、閉集合 $Z$ にただ一つの「余分な冪零元を含まない」構造を入れられることを示します。証明の方針は、アフィンの場合に根基イデアルで割った環を取り、それらを貼り合わせることです。長く見えますが、前半がアフィンの場合の普遍性、後半が貼り合わせの確認、という 2 部構成です。

定理 4.3（被約誘導構造）✓

$X$ をスキーム、$Z \subseteq X$ を閉集合とする。

1. 被約なスキーム $Z_{\mathrm{red}}$ と閉はめ込み $i\colon Z_{\mathrm{red}} \to X$ で、像が $Z$ であるものが存在する。$X$ のアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ の上では、$Z \cap U = V(I)$ となる根基イデアル $I$ について $i^{-1}(U) \cong \operatorname{Spec} A/I$ である。
2. $T$ を被約なスキーム、$g\colon T \to X$ を $g(T) \subseteq Z$ となる射とする。$i \circ \bar{g} = g$ となる射 $\bar{g}\colon T \to Z_{\mathrm{red}}$ がただ一つ存在する。
3. (1) の $(Z_{\mathrm{red}}, i)$ は同型を除いて一意である。これを $Z$ の被約誘導構造という。$Z = X$ のとき $X_{\mathrm{red}}$ と書き、$X$ の被約化という。

証明（定理 4.3）

アフィンの場合の普遍性。 $A$ を環、$I$ を根基イデアルとします。$A/I$ は被約なので $\operatorname{Spec} A/I$ は被約です（命題 2.2 の (1)）。$T$ を被約なスキーム、$g\colon T \to \operatorname{Spec} A$ を $g(T) \subseteq V(I)$ となる射、$\varphi\colon A \to \Gamma(T, \mathcal{O}_T)$ を対応する環準同型とします。$a \in I$、$t \in T$ とすると、$g(t) = \{ a : \varphi(a)(t) = 0 \}$（定理 3.4［アフィンスキームとスキーム］ の (1)）が $I$ を含むので $\varphi(a)(t) = 0$ です。$T$ は被約なので $\varphi(a) = 0$ です（命題 2.2 の (1) の (d)）。よって $\varphi$ は $A/I$ をただ一通りに経由し、$g$ は $\operatorname{Spec} A/I \to \operatorname{Spec} A$ をただ一通りに経由します。

貼り合わせ。 $X$ のアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A_U$ ごとに、$Z \cap U = V(I_U)$ となる根基イデアル $I_U$（補題 4.2［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (5) により一意）を取り、$Z_U = \operatorname{Spec} A_U/I_U$、$i_U\colon Z_U \to U \subseteq X$ とします。$i_U$ は $U$ への閉はめ込みで像は $Z \cap U$ です（補題 4.2 の (1)）。$g(T) \subseteq Z \cap U$ となる被約スキームからの射 $g\colon T \to X$ は、開部分スキーム $U$ を経由するので、上の普遍性により $i_U$ をただ一通りに経由します。

アフィン開集合 $U, U'$ に対し、$Z_{UU'} = i_U^{-1}(U')$ は $Z_U$ の開部分スキームで被約、$i_U|_{Z_{UU'}}$ の像は $Z \cap U \cap U'$ です。普遍性により $i_{U'} \circ \varphi_{UU'} = i_U|_{Z_{UU'}}$ となる射 $\varphi_{UU'}\colon Z_{UU'} \to Z_{U'}$ がただ一つあり、像は $Z_{U'U}$ に入ります。$\varphi_{U'U} \circ \varphi_{UU'}$ と恒等射はどちらも $i_U|_{Z_{UU'}}$ の $i_U$ を通る分解なので、一意性から等しく、$\varphi_{UU'}\colon Z_{UU'} \to Z_{U'U}$ は同型です。同じく一意性から、$\varphi_{UU} = \mathrm{id}$、$\varphi_{UU'}(Z_{UU'} \cap Z_{UU''}) = Z_{U'U} \cap Z_{U'U''}$（どちらも $U \cap U' \cap U''$ の逆像）、$\varphi_{U'U''} \circ \varphi_{UU'} = \varphi_{UU''}$ です。スキームの貼り合わせ（定理 5.1［アフィンスキームとスキーム］ の (2)、(3)）により、スキーム $Z_{\mathrm{red}}$、開部分スキームへの同型 $\psi_U\colon Z_U \to Z_{\mathrm{red}}$、$i \circ \psi_U = i_U$ となる射 $i\colon Z_{\mathrm{red}} \to X$ が得られます。

(1) $\psi_{U'}(Z_{U'})$ の点で $i$ による像が $U$ に入るものは $\psi_{U'}(Z_{U'U}) = \psi_U(Z_{UU'})$ に属するので、$i^{-1}(U) = \psi_U(Z_U)$ です。よって各アフィン開集合 $U$ の上で $i$ は閉はめ込み $i_U$ と同一視でき、補題 4.2 の (3) により $i$ は閉はめ込みで、像は $\bigcup_U (Z \cap U) = Z$ です。$Z_{\mathrm{red}}$ は被約な $Z_U$ で覆われるので被約です。

(2) $T$ は開集合 $g^{-1}(U)$（$U$ はアフィン開集合を動く）で覆われ、$g|_{g^{-1}(U)}$ は $i_U$ をただ一通りに経由します。得られる射 $g^{-1}(U) \to Z_U \to Z_{\mathrm{red}}$ は、$g^{-1}(U) \cap g^{-1}(U')$ の上では一意性により一致するので、射 $\bar{g}\colon T \to Z_{\mathrm{red}}$ に貼り合わさり（定理 5.1［アフィンスキームとスキーム］ の (1)）、$i \circ \bar{g} = g$ です。$i \circ h = g$ となる射 $h$ は $g^{-1}(U)$ を $i^{-1}(U) = \psi_U(Z_U)$ に写し、その上で一意性により $\bar{g}$ と一致するので、$h = \bar{g}$ です。

(3) $(Z', i')$ も (1) の条件を満たすとします。$Z'$ は被約で $i'(Z') = Z$ なので、(2) により $i \circ u = i'$ となる $u\colon Z' \to Z_{\mathrm{red}}$ がただ一つあります。各アフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ の上で、$i'^{-1}(U) \to U$ は閉はめ込みなので $\operatorname{Spec} A/I'$ の形（補題 4.2 の (2)）で、被約だから $I'$ は根基イデアル、像が $Z \cap U$ だから $I' = I_U$ です。よって $u$ は各 $U$ の上で同型で、同型です。

∎

5. ファイバー積

定義 5.1（ファイバー積・底変換・ファイバー）↗

スキームの射 $f\colon X \to S$、$g\colon Y \to S$ に対し、スキームの圏での引き戻し（定義 2.4［極限と余極限］）をファイバー積といい $X \times_S Y$ と書く。すなわち、射 $p_1\colon X \times_S Y \to X$、$p_2\colon X \times_S Y \to Y$ で $f p_1 = g p_2$ を満たし、$f a = g b$ となる任意の射 $a\colon T \to X$、$b\colon T \to Y$ に対して $p_1\theta = a$、$p_2\theta = b$ となる射 $\theta\colon T \to X \times_S Y$ がただ一つ存在するものである。$S = \operatorname{Spec} R$ のとき $X \times_R Y$ とも書く。

1. $p_2\colon X \times_S Y \to Y$ を、$f$ の $g$ による底変換という。射の性質 $P$ について、$f$ が $P$ をもてば任意の底変換も $P$ をもつとき、$P$ は底変換で保たれるという。
2. $f\colon X \to Y$ と点 $y \in Y$ に対し、標準射 $\operatorname{Spec}\kappa(y) \to Y$（命題 7.2［アフィンスキームとスキーム］）によるファイバー積 $X_y = X \times_Y \operatorname{Spec}\kappa(y)$ を $y$ の上のファイバーという。代数閉体 $K$ と射 $\operatorname{Spec} K \to Y$ によるファイバー積 $X \times_Y \operatorname{Spec} K$ を幾何的ファイバーという。

定理 5.2（ファイバー積の存在）✓

1. 任意のスキームの射 $f\colon X \to S$、$g\colon Y \to S$ に対し、ファイバー積 $X \times_S Y$ が存在し、射影と両立する同型を除いて一意である。
2. $X = \operatorname{Spec} A$、$Y = \operatorname{Spec} B$、$S = \operatorname{Spec} R$ のとき、$X \times_S Y = \operatorname{Spec}(A \otimes_R B)$ で、射影は $a \mapsto a \otimes 1$、$b \mapsto 1 \otimes b$ に対応する。
3. $U \subseteq X$、$V \subseteq Y$、$W \subseteq S$ を開部分スキームで $f(U) \subseteq W$、$g(V) \subseteq W$ となるものとする。$X \times_S Y$ の開部分スキーム $p_1^{-1}(U) \cap p_2^{-1}(V)$ は、射影の制限によりファイバー積 $U \times_W V$ である。

次の証明は 5 段階です。全体の方針は、まずアフィンの場合に環のテンソル積で作り（段階 1）、開集合への制限が両立することを確かめ（段階 2）、あとは $X$、$Y$、$S$ の順にアフィン開集合で覆って貼り合わせる（段階 3〜5）、というものです。段階 3 以降は、局所的に作ったものが貼り合わさることの確認の繰り返しです。

証明（定理 5.2）

一意性は普遍性から従います（2 つのファイバー積の間に、射影と両立する射が互いに逆向きにただ一つずつあり、合成は一意性により恒等射）。存在を段階に分けて示します。

段階 1（アフィンの場合、(2)）。 $R$ 代数 $C$ について、$R$ 代数の準同型の組 $\alpha\colon A \to C$、$\beta\colon B \to C$ は、$R$ 代数の準同型 $A \otimes_R B \to C$ と 1 対 1 に対応します。実際、$(a, b) \mapsto \alpha(a)\beta(b)$ は $R$ 双線形なので $a \otimes b \mapsto \alpha(a)\beta(b)$ が定まり（定義 2.1［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）、積（定義 2.4［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）を保ちます。逆に $\gamma\colon A \otimes_R B \to C$ から $\alpha(a) = \gamma(a \otimes 1)$、$\beta(b) = \gamma(1 \otimes b)$ が得られ、$A \otimes_R B$ は $a \otimes 1$ と $1 \otimes b$ で生成されるので対応は互いに逆です。スキーム $T$ に対し $C = \Gamma(T, \mathcal{O}_T)$ とおき、定理 3.4［アフィンスキームとスキーム］ の自然な全単射を使うと、射 $T \to \operatorname{Spec}(A \otimes_R B)$ は、$S$ への合成が一致する射の組 $T \to X$、$T \to Y$ と 1 対 1 に対応します。

段階 2（開集合への制限、(3)）。 $P = X \times_S Y$ が存在するとします。$a\colon T \to U$、$b\colon T \to V$ が $W$ への合成で一致すれば、$S$ への合成でも一致するので $\theta\colon T \to P$ がただ一つ定まり、$p_1\theta = a$、$p_2\theta = b$ から $\theta$ の像は $p_1^{-1}(U) \cap p_2^{-1}(V)$ に入ります。逆にこの開部分スキームへの射は、射影との合成により条件を満たす組を与えます。

段階 3（$X$ の開被覆からの貼り合わせ）。 $X = \bigcup_i X_i$ を開被覆とし、各 $P_i = X_i \times_S Y$ が存在するとします。$X_{ij} = X_i \cap X_j$ とおくと、段階 2 により $P_i$ の開部分スキーム $P_{ij} = p_1^{-1}(X_{ij})$ と $P_j$ の開部分スキーム $P_{ji}$ は、どちらもファイバー積 $X_{ij} \times_S Y$ です。一意性により、射影と両立する同型 $\varphi_{ij}\colon P_{ij} \to P_{ji}$ がただ一つあり、$P_{ij} \cap P_{ik}$ と $P_{ji} \cap P_{jk}$ はどちらも $(X_i \cap X_j \cap X_k) \times_S Y$ なので対応し、その上で $\varphi_{jk}\varphi_{ij} = \varphi_{ik}$ です（どちらも射影と両立する同型）。定理 5.1［アフィンスキームとスキーム］ の (2)、(3) により、$P_i$ を貼り合わせたスキーム $P$ と、射影を貼り合わせた $p_1\colon P \to X$、$p_2\colon P \to Y$ が得られ、$p_1^{-1}(X_i) = P_i$ です。

$P$ がファイバー積であることを確かめます。$a\colon T \to X$、$b\colon T \to Y$ が $fa = gb$ を満たすとし、$T_i = a^{-1}(X_i)$ とおきます。$P_i$ の普遍性から $\theta_i\colon T_i \to P_i \subseteq P$ が定まり、$T_i \cap T_j$ の上では $\theta_i$ と $\theta_j$ はどちらも $X_{ij} \times_S Y$ への同じ射を与えるので一致し、$\theta\colon T \to P$ に貼り合わさります。$p_1\theta' = a$、$p_2\theta' = b$ となる射 $\theta'$ は $T_i$ を $p_1^{-1}(X_i) = P_i$ に写し、$P_i$ の普遍性により $\theta_i$ に一致するので、$\theta' = \theta$ です。

段階 4（$S$ がアフィンの場合）。 $S$ と $Y$ がアフィンなら、$X$ をアフィン開集合で覆い、段階 1 と段階 3 から $X \times_S Y$ が存在します。$X$ と $Y$ の役割を入れ替えて段階 3 を使えば、$S$ がアフィンで $X, Y$ が任意のときも存在します。

段階 5（一般の場合）。 $S$ をアフィン開集合 $S_i$ で覆い、$X_i = f^{-1}(S_i)$、$Y_i = g^{-1}(S_i)$ とします。段階 4 により $X_i \times_{S_i} Y_i$ が存在します。これは $X_i \times_S Y$ でもあります。実際、$a\colon T \to X_i$、$b\colon T \to Y$ が $S$ への合成で一致すれば、$gb = fa$ の像は $S_i$ に入るので $b$ は $Y_i$ を経由し、$S_i$ への合成が一致することと $S$ への合成が一致することは同じです。$X = \bigcup_i X_i$ に段階 3 を使って、$X \times_S Y$ が存在します。

∎

ファイバー積は圏論的な極限なので、結合律 $(X \times_S Y) \times_Y Z \cong X \times_S Z$ や対称性 $X \times_S Y \cong Y \times_S X$ が普遍性から従います。

命題 5.3（ファイバーの底空間）✓

$f\colon X \to Y$ をスキームの射、$y \in Y$ とする。射影 $p_1\colon X_y \to X$ は、$X_y$ の底空間から $f^{-1}(y)$（$X$ の部分空間）への同相写像である。$X = \operatorname{Spec} A$、$Y = \operatorname{Spec} B$、$y = \mathfrak{q}$ のとき $X_y = \operatorname{Spec}(A \otimes_B \kappa(\mathfrak{q}))$ で、$A \otimes_B \kappa(\mathfrak{q}) \cong A_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}A_{\mathfrak{q}}$（$A_{\mathfrak{q}}$ は $A$ の $B \setminus \mathfrak{q}$ の像による局所化）である。

証明（命題 5.3）

アフィンの場合。 $\varphi\colon B \to A$ を対応する環準同型、$T = \varphi(B \setminus \mathfrak{q})$ とします。命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (5)、(6) と 命題 2.5［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (2) により

$$A \otimes_B \kappa(\mathfrak{q}) = A \otimes_B (B_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}) \cong (A \otimes_B B_{\mathfrak{q}})/\mathfrak{q}(A \otimes_B B_{\mathfrak{q}}) \cong T^{-1}A/\mathfrak{q}T^{-1}A$$

です。命題 4.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ により、$\operatorname{Spec}(T^{-1}A/\mathfrak{q}T^{-1}A) \to \operatorname{Spec} A$ は、$T$ と交わらず $\varphi(\mathfrak{q})$ を含む素イデアル $\mathfrak{p}$ の全体（相対位相）への同相写像です。$\mathfrak{p} \cap T = \varnothing$ は $\varphi^{-1}(\mathfrak{p}) \subseteq \mathfrak{q}$、$\mathfrak{p} \supseteq \varphi(\mathfrak{q})$ は $\varphi^{-1}(\mathfrak{p}) \supseteq \mathfrak{q}$ と同値なので、この集合は $\{ \mathfrak{p} : \varphi^{-1}(\mathfrak{p}) = \mathfrak{q} \} = f^{-1}(y)$ です。

一般の場合。 $y$ を含むアフィン開集合 $V \subseteq Y$ を取ると、$\operatorname{Spec}\kappa(y) \to Y$ は $V$ を経由するので、定理 5.2 の (3) により $X_y = f^{-1}(V) \times_V \operatorname{Spec}\kappa(y)$ です。$f^{-1}(V)$ をアフィン開集合 $U_j$ で覆うと、$p_1^{-1}(U_j) = U_j \times_V \operatorname{Spec}\kappa(y)$ で、アフィンの場合により $p_1^{-1}(U_j) \to U_j \cap f^{-1}(y)$ は同相写像です。$p_1^{-1}(U_j)$ は $X_y$ の開被覆、$U_j \cap f^{-1}(y)$ は $f^{-1}(y)$ の開被覆なので、$p_1\colon X_y \to f^{-1}(y)$ は全単射で、連続な開写像、すなわち同相写像です。

∎

ファイバーは集合 $f^{-1}(y)$ より多くの情報をもちます。次の例のように、冪零元が「重複度」を記録します。

例 5.4（y² = x の射影：分岐と被約でないファイバー）

$k$ を標数が $2$ でない代数閉体とし、$f\colon X = \operatorname{Spec} k[y] \to Y = \operatorname{Spec} k[x]$ を $x \mapsto y^2$ で定めます。放物線 $x = y^2$ を $x$ 軸に射影する射です。$k[y]$ は $k[x]$ 加群として $1, y$ で生成されるので、$f$ は有限射です。

閉点 $x = a$（素イデアル $(x - a)$、剰余体 $k$）の上のファイバーは、命題 5.3 により $\operatorname{Spec} k[y]/(y^2 - a)$ です。

• $a \ne 0$ のとき、$y^2 - a = (y - b)(y + b)$（$b^2 = a$、$b \ne -b$）で、中国剰余定理により $k[y]/(y^2 - a) \cong k \times k$ です。ファイバーは被約な $2$ 点です。
• $a = 0$ のとき、$k[y]/(y^2)$ で、ファイバーは $1$ 点ですが被約ではありません。$2$ 点が $1$ 点に重なったことを冪零元 $y$ が記録しています（分岐）。

どちらの場合もファイバーの環は $k$ 上 $2$ 次元で、「次数 $2$ の被覆」であることが保たれています。生成点 $(0)$ の上のファイバーは $\operatorname{Spec} k(x)[y]/(y^2 - x) = \operatorname{Spec} k(y)$ で、$k(x)$ の $2$ 次拡大体の Spec です。

例 5.5（体の拡大とファイバー積・2 次曲線の族）

(1) $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C} \cong \mathbb{C}[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{C}[x]/(x - i) \times \mathbb{C}[x]/(x + i) \cong \mathbb{C} \times \mathbb{C}$ なので、$\operatorname{Spec}\mathbb{C} \times_{\mathbb{R}} \operatorname{Spec}\mathbb{C}$ は $2$ 点からなります。$1$ 点のスキームどうしのファイバー積が $2$ 点になるので、ファイバー積の底空間は底空間の集合論的なファイバー積ではありません。

(2) $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x] \to \operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の $(p)$ の上のファイバーは $\operatorname{Spec}\mathbb{F}_p[x] = \mathbb{A}^1_{\mathbb{F}_p}$、生成点の上のファイバーは $\mathbb{A}^1_{\mathbb{Q}}$ です。$\mathbb{A}^1_{\mathbb{Z}}$ は「各素数と $0$ の上のアフィン直線の族」です。

(3) $k$ を代数閉体とし、$X = \operatorname{Spec} k[x, y, t]/(xy - t) \to \operatorname{Spec} k[t]$ を考えます。$t = a$ の上のファイバーは $\operatorname{Spec} k[x, y]/(xy - a)$ で、$a \ne 0$ なら双曲線（整スキーム。環は $k[x, x^{-1}]$ と同型）、$a = 0$ なら $2$ 直線 $xy = 0$（被約だが既約でない）です。全空間 $X \cong \operatorname{Spec} k[x, y]$ は整ですが、ファイバーの既約性は族の中で保たれません。

6. 合成と底変換での保存

命題 6.1（射の性質の保存）✓

開はめ込み、閉はめ込み、準コンパクト、局所有限型、有限型、アフィン、有限という射の性質は、どれも (a) 合成で保たれ、(b) 底変換で保たれる。

証明（命題 6.1）

$f\colon X \to Y$、$g\colon Y \to Z$ を射とします。

(a) 合成。 開はめ込み: 開部分スキームの開部分スキームは開部分スキームです。閉はめ込み: $f, g$ が閉はめ込みなら、$gf$ は閉集合の閉集合への同相写像で、$\mathcal{O}_Z \to g_*\mathcal{O}_Y \to g_*f_*\mathcal{O}_X$ の後半は、閉集合の包含による順像が完全（命題 7.2［層］ の (3)）なので epi、合成も epi です。準コンパクト・アフィン: $Z$ のアフィン開集合 $W$ について、$g^{-1}(W)$ は準コンパクト（アフィン）で、有限個のアフィン開集合で覆え、命題 3.3 の (1)（(2)）によりその逆像は準コンパクト（アフィン）です。有限: さらに $g^{-1}(W) = \operatorname{Spec} B$、$f^{-1}(g^{-1}(W)) = \operatorname{Spec} A$ で、$A$ が $B$ 上、$B$ が $C = \Gamma(W, \mathcal{O}_Z)$ 上有限生成加群なら、生成元の積により $A$ は $C$ 上有限生成加群です。局所有限型: $W = \operatorname{Spec} C$ に対し、$g^{-1}(W)$ を $C$ 上有限生成な $\operatorname{Spec} B_j$ で、$f^{-1}(\operatorname{Spec} B_j)$ を $B_j$ 上有限生成な $\operatorname{Spec} A_{jl}$ で覆えば、$A_{jl}$ は $C$ 上有限生成です。有限型は局所有限型と準コンパクトの組です。

(b) 底変換。 $h\colon Y' \to Y$ を射、$f'\colon X' = X \times_Y Y' \to Y'$ を底変換とします。

開はめ込み: $X$ が $Y$ の開部分スキーム $U$ なら、$U \times_Y Y' = h^{-1}(U)$ です（定理 5.2 の (3) を $Y \times_Y Y' = Y'$ に使う）。

その他の性質: $Y$ をアフィン開集合 $V_i = \operatorname{Spec} B_i$ で、$h^{-1}(V_i)$ をアフィン開集合 $V'_{ij} = \operatorname{Spec} B'_{ij}$ で覆います。定理 5.2 の (3) により

$$f'^{-1}(V'_{ij}) = f^{-1}(V_i) \times_{V_i} V'_{ij}$$

です。$f^{-1}(V_i)$ がアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A_{il}$ で覆われるとき、右辺は $\operatorname{Spec}(A_{il} \otimes_{B_i} B'_{ij})$ で覆われます（同じ定理の (2)、(3)）。したがって、

• $f$ が準コンパクトなら、$l$ を有限個に取れるので $f'^{-1}(V'_{ij})$ は準コンパクト。
• $f$ がアフィンなら、$f^{-1}(V_i) = \operatorname{Spec} A_i$ で $f'^{-1}(V'_{ij}) = \operatorname{Spec}(A_i \otimes_{B_i} B'_{ij})$ はアフィン。
• $f$ が有限なら、さらに $A_i \otimes_{B_i} B'_{ij}$ は $B'_{ij}$ 加群として $A_i$ の生成元 $x$ についての $x \otimes 1$ で生成される。
• $f$ が局所有限型なら、$A_{il} \otimes_{B_i} B'_{ij}$ は $B'_{ij}$ 代数として $A_{il}$ の生成元 $x$ についての $x \otimes 1$ で生成される。
• $f$ が閉はめ込みなら、補題 4.2 の (2)、(3) により $f^{-1}(V_i) = \operatorname{Spec} B_i/I_i$ で、$f'^{-1}(V'_{ij}) = \operatorname{Spec}(B_i/I_i \otimes_{B_i} B'_{ij}) = \operatorname{Spec} B'_{ij}/I_iB'_{ij}$（命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (5)）。これは $V'_{ij}$ への閉はめ込みで、同じ補題の (3) により $f'$ は閉はめ込み。

$V'_{ij}$ は $Y'$ のアフィン開被覆なので、それぞれ $f'$ が同じ性質をもちます。

∎

(b) の計算から、底変換は環の言葉では係数の拡大 $A \mapsto A \otimes_B B'$ です。閉部分スキーム $Z = \operatorname{Spec} B/I$ の射 $h$ による逆像 $Z \times_Y Y'$ は、イデアル $IB'$ の定める閉部分スキームになります。

命題 6.2（有限射は閉写像でファイバーは有限）✓

$f\colon X \to Y$ を有限射とする。

1. $f$ は閉写像である（閉集合の像は閉集合）。
2. 各点 $y \in Y$ について、$f^{-1}(y)$ は有限集合である。
3. $f$ の任意の底変換も閉写像である。

証明（命題 6.2）

(1) $Y$ をアフィン開集合 $V$ で覆うと、$X$ の閉集合 $F$ について $f(F) \cap V = f(F \cap f^{-1}(V))$ なので、$Y = \operatorname{Spec} B$、$X = \operatorname{Spec} A$（$A$ は有限生成 $B$ 加群、$\varphi\colon B \to A$）の場合に示せば十分です。$F = V(\mathfrak{a})$ とします。$A/\mathfrak{a}$ も有限生成 $B$ 加群で、$F$ は $\operatorname{Spec} A/\mathfrak{a} \to \operatorname{Spec} A$ の像なので、$A$ を $A/\mathfrak{a}$ に取り替えて、$f$ の像が閉であることを示せば足ります。$B' = B/\operatorname{Ker}\varphi$ とおくと $B' \subseteq A$ で、$A$ の各元 $b$ は有限生成 $B'$ 加群である部分環 $A$ に含まれるので $B'$ 上整です（定理 2.3［整拡大］）。整拡大のスペクトルの写像は全射（系 4.5［整拡大］）なので、$f$ の像は $\operatorname{Spec} B' \to \operatorname{Spec} B$ の像 $V(\operatorname{Ker}\varphi)$ に等しく（命題 4.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (1)）、閉集合です。

(2) $y$ を含むアフィン開集合に制限して、$Y = \operatorname{Spec} B$、$X = \operatorname{Spec} A$、$y = \mathfrak{q}$ とします。命題 5.3 により $f^{-1}(y)$ は $\operatorname{Spec}(A \otimes_B \kappa(\mathfrak{q}))$ と同相です。$A \otimes_B \kappa(\mathfrak{q})$ は体 $\kappa(\mathfrak{q})$ 上有限次元の代数なので、イデアル（部分ベクトル空間）の降鎖は停留し、Artin 環です。Artin 環の素イデアルは有限個です（命題 6.1［Noether 環と Artin 環］ の (1)、(2)）。

(3) 有限射の底変換は有限射（命題 6.1）なので、(1) によります。

∎

(3) の性質を普遍閉といい、次の記事の固有射の定義に使います。開はめ込み $D(x) \to \mathbb{A}^1_k$ は像が閉でないので、(1) により有限ではありません。

例 6.3（有限型だが有限でない射・二重点の閉はめ込み）

(1) $k$ を体とします。開はめ込み $j\colon D(x) = \operatorname{Spec} k[x, x^{-1}] \to \mathbb{A}^1_k = \operatorname{Spec} k[x]$ は、$k[x, x^{-1}] = k[x][1/x]$ が有限生成 $k[x]$ 代数なので、アフィンで有限型です。しかし有限ではありません。$k[x, x^{-1}]$ の有限個の元は、ある $N$ について $x^{-N}k[x]$ に含まれ、それらの生成する $k[x]$ 部分加群も $x^{-N}k[x]$ に含まれるので、$x^{-N-1}$ を含みません。

(2) $\operatorname{Spec} k[x]/(x^2) \to \mathbb{A}^1_k$ は閉はめ込みです（補題 4.2）。底空間は原点 $1$ 点で、被約誘導構造 $\operatorname{Spec} k[x]/(x) = \operatorname{Spec} k$ とは異なる閉部分スキームです。例 5.4 の $a = 0$ のファイバーとして現れたものです。$\operatorname{Spec} k[x]/(x^2)$ の被約化は $\operatorname{Spec} k$ です（定理 4.3）。

7. 点の関手

スキーム $X$ に対し、$h_X(T) = X(T) = \operatorname{Hom}(T, X)$ はスキームの圏の上の前層（定義 2.1［米田の補題と表現可能関手］）で、$X$ の点の関手といいます。米田の補題により $X$ は $h_X$ で決まりますが、実はアフィンスキーム $T$ の上の値、すなわち環 $A$ に集合 $X(A)$ を対応させる関手だけで決まります。

定理 7.1（スキームは点の関手で決まる）✓

アフィンスキームの圏を $\mathsf{Aff}$ と書く。

1. スキーム $X$ に、前層 $h_X|_{\mathsf{Aff}}\colon \mathsf{Aff}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$、$T \mapsto X(T)$ を対応させる関手 $\mathsf{Sch} \to [\mathsf{Aff}^{\mathrm{op}}, \mathsf{Set}]$ は充満忠実である。すなわち、スキーム $X, Y$ について、射 $X \to Y$ は、アフィンスキーム $T$ について自然な写像の族 $X(T) \to Y(T)$ と 1 対 1 に対応する。とくに $h_X|_{\mathsf{Aff}} \cong h_Y|_{\mathsf{Aff}}$ なら $X \cong Y$ である。
2. $X \to S$、$Y \to S$ と任意のスキーム $T$ について、$(X \times_S Y)(T) = X(T) \times_{S(T)} Y(T)$（集合のファイバー積）である。逆に、スキーム $P$ と射 $P \to X$、$P \to Y$ が、すべてのアフィンスキーム $T$ について全単射 $P(T) \to X(T) \times_{S(T)} Y(T)$ を与えれば、$P$ はファイバー積 $X \times_S Y$ である。

証明（定理 7.1）

(1) 射 $g\colon X \to Y$ は自然変換 $h_g\colon a \mapsto g \circ a$ を与えます。

充満性。 $\tau\colon h_X|_{\mathsf{Aff}} \to h_Y|_{\mathsf{Aff}}$ を自然変換とします。$X$ のアフィン開集合 $U$ の包含を $u_U \in X(U)$ とし、$g_U = \tau_U(u_U)\colon U \to Y$ とおきます。アフィン開集合 $W \subseteq U$ の包含 $w\colon W \to U$ について、自然性から

$$g_U|_W = \tau_U(u_U) \circ w = \tau_W(u_U \circ w) = \tau_W(u_W) = g_W$$

です。アフィン開集合 $U, U'$ について、$U \cap U'$ はアフィン開集合 $W$ で覆え、その上で $g_U|_W = g_W = g_{U'}|_W$ なので、$g_U$ と $g_{U'}$ は $U \cap U'$ の上で一致します（定理 5.1［アフィンスキームとスキーム］ の (1) の一意性）。同じ定理により、$g|_U = g_U$ となる射 $g\colon X \to Y$ がただ一つあります。

$h_g = \tau$ を確かめます。$T$ をアフィンスキーム、$a \in X(T)$ とします。$T$ を、$a$ による像が $X$ のあるアフィン開集合 $U_l$ に入るようなアフィン開集合 $T_l$ で覆い、$a|_{T_l} = u_{U_l} \circ a_l$（$a_l\colon T_l \to U_l$）と書きます。自然性から

$$\tau_T(a)|_{T_l} = \tau_{T_l}(u_{U_l} \circ a_l) = \tau_{U_l}(u_{U_l}) \circ a_l = g_{U_l} \circ a_l = (g \circ a)|_{T_l}$$

で、貼り合わせの一意性から $\tau_T(a) = g \circ a$ です。

忠実性。 $h_g = h_{g'}$ なら、各アフィン開集合 $U$ で $g|_U = g \circ u_U = g' \circ u_U = g'|_U$ なので $g = g'$ です。

同型についての主張は、充満忠実な関手が同型を反映することから従います。自然同型 $\tau$ とその逆 $\tau^{-1}$ に対応する射 $g$、$g'$ は、$h_{g'g} = \tau^{-1}\tau = h_{\mathrm{id}}$ と忠実性から $g'g = \mathrm{id}$、同様に $gg' = \mathrm{id}$ を満たします。

(2) 前半はファイバー積の普遍性の言い換えです（命題 5.2［極限と余極限］ の (2)）。後半: $Q = X \times_S Y$ とし、$P \to X$、$P \to Y$ の定める射を $c\colon P \to Q$ とします。仮定と前半から、すべてのアフィンスキーム $T$ で $h_c\colon P(T) \to Q(T)$ は全単射で、$h_c$ は自然同型です。(1) により $c$ は同型です。

∎

この定理は「スキームとは、方程式系の解の集合を、すべての環について一斉に与えるものである」という見方を正当化します。$X = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x_1, \ldots, x_n]/(F_1, \ldots, F_m)$ なら、$X(A)$ は $A$ の中での解の集合 $\{ a \in A^n : F_j(a) = 0 \}$ です。群スキームなどの構造は、点の関手の上の構造として定義するのが簡明です（演習 9.4）。

8. 支配的な射・有理写像・関数体

定義 8.1（支配的な射・有理写像・双有理写像）↗

$X, Y$ を整スキームとする。

1. 射 $f\colon X \to Y$ の像が $Y$ で稠密であるとき、$f$ は支配的であるという。
2. 空でない開集合 $U \subseteq X$ と射 $f\colon U \to Y$ の組 $(U, f)$ の全体に、「空でない開集合 $W \subseteq U \cap U'$ の上で $f|_W = f'|_W$」という関係を入れる。$X$ は既約なので空でない開集合は交わり、これは同値関係である。同値類を $X$ から $Y$ への有理写像といい、$X \dashrightarrow Y$ と書く。代表元の一つ（したがってすべて）が支配的なとき、有理写像は支配的であるという。
3. 支配的な有理写像 $\phi = (U, f)\colon X \dashrightarrow Y$、$\psi = (V, g)\colon Y \dashrightarrow Z$ の合成を $(f^{-1}(V), g \circ f)$ の類と定める（$f^{-1}(V)$ は $X$ の生成点を含むので空でない）。支配的な有理写像 $\phi$ に、$\psi \circ \phi = \mathrm{id}_X$、$\phi \circ \psi = \mathrm{id}_Y$（有理写像として）となる支配的な有理写像 $\psi$ があるとき、$\phi$ を双有理写像といい、$X$ と $Y$ は双有理同値であるという。

$X, Y$ が体 $k$ 上のスキームのときは、射をすべて $k$ 上の射に限って同じ定義をする。

支配的な射 $f\colon U \to Y$ は、$X$ の生成点 $\eta_X$ を $Y$ の生成点 $\eta_Y$ に写します。実際、連続性から $f(U) = f(\overline{\{\eta_X\}} \cap U) \subseteq \overline{\{f(\eta_X)\}}$ で、$f(U)$ は稠密なので $\overline{\{f(\eta_X)\}} = Y$、生成点の一意性から $f(\eta_X) = \eta_Y$ です。逆に $f(\eta_X) = \eta_Y$ なら像は稠密です。支配的かどうかが代表元によらないことも、これから分かります。このとき茎の写像 $f^\#_{\eta_X}\colon K(Y) = \mathcal{O}_{Y, \eta_Y} \to \mathcal{O}_{X, \eta_X} = K(X)$ が定まります。

定理 8.2（有理写像と関数体）✓

$k$ を体、$X, Y$ を $k$ 上の整な有限型スキームとする。

1. 支配的な有理写像 $\phi = (U, f)\colon X \dashrightarrow Y$ に $k$ 代数の準同型 $\phi^* = f^\#_{\eta_X}\colon K(Y) \to K(X)$ を対応させる写像は、$k$ 上の支配的な有理写像 $X \dashrightarrow Y$ の全体から、$k$ 代数の準同型 $K(Y) \to K(X)$ の全体への全単射である。合成について $(\psi \circ \phi)^* = \phi^* \circ \psi^*$ が成り立つ。
2. 次の 3 条件は同値である: (a) $X$ と $Y$ は $k$ 上双有理同値、(b) $K(X)$ と $K(Y)$ は $k$ 代数として同型、(c) 空でない開部分スキーム $U \subseteq X$、$V \subseteq Y$ と $k$ 上の同型 $U \cong V$ が存在する。

証明（定理 8.2）

整スキームの空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A$ について、$A$ は整域で $A \subseteq K(X) = \operatorname{Frac} A$ です（命題 2.2 の (3)）。

(1) $\phi^*$ は代表元によりません（同値な代表元は $\eta_X$ の近傍で一致する）。茎の写像は合成と両立するので $(\psi \circ \phi)^* = \phi^* \circ \psi^*$ です。

単射性。 $(U, f)$ と $(U', f')$ が同じ $\theta\colon K(Y) \to K(X)$ を与えるとします。$Y$ の空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec} B$ を取ると、$f^{-1}(\operatorname{Spec} B) \cap f'^{-1}(\operatorname{Spec} B)$ は $\eta_X$ を含む開集合で、その中に空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A$ が取れます。$f|_{\operatorname{Spec} A}$、$f'|_{\operatorname{Spec} A}$ に対応する環準同型 $\varphi, \varphi'\colon B \to A$ は、$b \in B$ について $\varphi(b)$ の $\eta_X$ での芽が $f^\#_{\eta_X}(b) = \theta(b)$ なので、$K(X)$ の中で $\varphi(b) = \theta(b) = \varphi'(b)$ を満たします。よって $\varphi = \varphi'$ で、$f$ と $f'$ は $\operatorname{Spec} A$ の上で一致します（定理 3.4［アフィンスキームとスキーム］）。

全射性。 $\theta\colon K(Y) \to K(X)$ を $k$ 代数の準同型とします。$Y$ の空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec} B$ と $X$ の空でないアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A$ を取ります。$Y$ は $k$ 上有限型なので $B = k[b_1, \ldots, b_n]$ と書けます（命題 3.3 の (3)）。$\theta(b_j) \in \operatorname{Frac} A$ を共通の分母 $a \in A$、$a \ne 0$ で $\theta(b_j) = a_j/a$ と書くと、$\theta(B) \subseteq A_a$ です。$\varphi = \theta|_B\colon B \to A_a$ は $k$ 代数の準同型で、体の準同型の制限だから単射です。$f = \operatorname{Spec}\varphi\colon D(a) = \operatorname{Spec} A_a \to \operatorname{Spec} B \subseteq Y$ は $k$ 上の射で、$f(\eta_X) = \varphi^{-1}((0)) = (0) = \eta_Y$ なので支配的です。$f^\#_{\eta_X}\colon \operatorname{Frac} B \to \operatorname{Frac} A_a$ は $\varphi$ の商体への延長で、$\theta$ に等しくなります。

(2) (a) ならば (b): $\psi \circ \phi = \mathrm{id}$、$\phi \circ \psi = \mathrm{id}$ から、(1) により $\phi^*\psi^* = \mathrm{id}$、$\psi^*\phi^* = \mathrm{id}$ で、$\phi^*$ は同型です。

(b) ならば (c): $\theta\colon K(Y) \to K(X)$ を $k$ 代数の同型とします。(1) により、$\phi^* = \theta$ となる $(U, f)$ と $\psi^* = \theta^{-1}$ となる $(V, g)$ があります。$(g \circ f)^* = \theta\theta^{-1} = \mathrm{id}$ なので、(1) の単射性により $g \circ f$ は空でない開集合 $U_1 \subseteq f^{-1}(V)$ の上で包含写像に一致します。同様に $f \circ g$ は空でない開集合 $V_1 \subseteq g^{-1}(U)$ の上で包含写像に一致します。

$$U' = U_1 \cap f^{-1}(V_1), \qquad V' = V_1 \cap g^{-1}(U_1)$$

とおきます。どちらも生成点を含むので空ではありません。$x \in U'$ なら $f(x) \in V_1$、$g(f(x)) = x \in U_1$ なので $f(x) \in V'$ です。$y \in V'$ なら $g(y) \in U_1$、$f(g(y)) = y \in V_1$ なので $g(y) \in U'$ です。よって $f\colon U' \to V'$、$g\colon V' \to U'$ は互いに逆な $k$ 上の射で、$U' \cong V'$ です。

(c) ならば (a): 同型 $f\colon U \to V$ とその逆 $g\colon V \to U$ は、支配的な有理写像 $(U, f)\colon X \dashrightarrow Y$、$(V, g)\colon Y \dashrightarrow X$ を定め（像は稠密な開集合）、合成は $U$、$V$ の上で恒等写像です。

∎

(1) は、記事 アフィン代数多様体と座標環 の「支配的な射と関数体の埋め込み」をスキームの言葉で述べ直し、有理写像にまで広げたものです。双有理同値類は関数体だけで決まるので、多様体の分類は「関数体の分類（双有理幾何）」と「同じ関数体をもつ多様体の中でのよいモデル探し」の 2 段階に分かれます。有限型という仮定は全射性の証明で使いました。$\operatorname{Spec} k(t)$ と $\mathbb{A}^1_k$ は関数体がどちらも $k(t)$ ですが、前者は $k$ 上有限型ではなく、空でない開部分スキームどうしが同型になることもありません（$\mathbb{A}^1_k$ の空でない開集合は無限個の点をもつ）。

9. 演習

演習 9.1標準

$f\colon \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[i] \to \operatorname{Spec}\mathbb{Z}$（$\mathbb{Z}[i] = \mathbb{Z}[x]/(x^2 + 1)$）について、$(2)$、$(3)$、$(5)$ と生成点 $(0)$ の上のファイバーをそれぞれ求め、被約か、何点からなるかを述べよ。

解答

命題 5.3 により、$(p)$ の上のファイバーは $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[x]/(x^2 + 1) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p) = \operatorname{Spec}\mathbb{F}_p[x]/(x^2 + 1)$ です（命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (5)）。

• $p = 2$: $x^2 + 1 = (x + 1)^2$ なので $\mathbb{F}_2[x]/((x + 1)^2)$。$1$ 点で、$x + 1$ が冪零だから被約でない（分岐）。
• $p = 3$: $x^2 + 1$ は $\mathbb{F}_3$ に根をもたない（$0, 1, 2$ を代入して $1, 2, 2$）ので既約で、$\mathbb{F}_3[x]/(x^2 + 1) = \mathbb{F}_9$。$1$ 点で被約、剰余体が $2$ 次拡大（惰性）。
• $p = 5$: $x^2 + 1 = (x - 2)(x + 2)$ で、$\mathbb{F}_5[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb{F}_5 \times \mathbb{F}_5$。被約な $2$ 点（分解）。
• 生成点: $\mathbb{Z}[i] \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} = \mathbb{Q}[x]/(x^2 + 1) = \mathbb{Q}(i)$。$1$ 点で被約。

どのファイバーの環も剰余体上 $2$ 次元で、$f$ は次数 $2$ の有限射です。例 5.4 の $y^2 = x$ と同じ現象が、数論的な状況で起きています。

演習 9.2易

$k$ を体、$X = \operatorname{Spec} k[x, y]/(x^2y)$ とする。$X_{\mathrm{red}}$ を求め、その既約成分を述べよ。また $X$ の閉集合 $Z = V(x)$ の被約誘導構造と、閉部分スキーム $\operatorname{Spec} k[x, y]/(x^2)$ を比べよ。

解答

定理 4.3 により $X_{\mathrm{red}} = \operatorname{Spec} A/\operatorname{nil}(A)$（$A = k[x, y]/(x^2y)$）です。$k[x, y]$ のイデアルとして $\sqrt{(x^2y)} = (xy)$ です（$(xy)^2 \in (x^2y)$ で、$k[x, y]/(xy)$ は、$f^n \in (xy)$ なら $x \mid f$ かつ $y \mid f$ となるので被約）。よって $X_{\mathrm{red}} = \operatorname{Spec} k[x, y]/(xy)$ で、既約成分は $V(x)$ と $V(y)$ の $2$ 直線です。

$Z = V(x)$ の被約誘導構造は、$Z = V(I)$ となる根基イデアル $I = (x)$ による $\operatorname{Spec} k[x, y]/(x) = \operatorname{Spec} k[y]$ です。$\operatorname{Spec} k[x, y]/(x^2)$ は $(x^2) \supseteq (x^2y)$ なので $X$ の閉部分スキームで、底空間は同じ $Z$ ですが、$x$ が $0$ でない冪零元なので被約ではありません。「$2$ 重の直線」です。$X$ は、この $2$ 重の直線 $x^2 = 0$ と直線 $y = 0$ の和になっています。

演習 9.3標準

1. $X = \operatorname{Spec}\mathbb{Q}(i)$ は $\mathbb{Q}$ 上の整スキームだが、$X \times_{\mathbb{Q}} \operatorname{Spec}\mathbb{Q}(i)$ は既約でないことを示せ。
2. $p$ を素数、$K = \mathbb{F}_p(t)$、$L = K[x]/(x^p - t)$ とする。$\operatorname{Spec} L$ は $K$ 上の整スキームだが、$\operatorname{Spec} L \times_K \operatorname{Spec} L$ は被約でないことを示せ。

解答

(1) $\mathbb{Q}(i) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}(i) = \mathbb{Q}(i)[x]/(x^2 + 1) = \mathbb{Q}(i)[x]/((x - i)(x + i)) \cong \mathbb{Q}(i) \times \mathbb{Q}(i)$ なので、ファイバー積は $2$ 点からなる離散空間で、既約ではありません。体の Spec は整ですが、「幾何的に既約」ではありません。

(2) まず $x^p - t$ が $K[x]$ で既約であることを示します。$K$ の拡大体 $\Omega$ で $x^p - t$ の根 $s$ を含むものを取ると、標数 $p$ なので $\Omega[x]$ で $x^p - t = x^p - s^p = (x - s)^p$ です。$K[x]$ でのモニックな因子は $(x - s)^m$（$0 \le m \le p$）の形で、$0 < m < p$ とすると定数項から $s^m \in K$ です。$m$ と $p$ は互いに素なので $um + vp = 1$ となる整数 $u, v$ があり、$s = (s^m)^u(s^p)^v \in K$、したがって $t = s^p$ は $K$ の元の $p$ 乗です。$s = a/b$（$a, b \in \mathbb{F}_p[t]$）と書くと $tb^p = a^p$ で、$t$ についての次数を比べると $1 + p\deg b = p\deg a$ となり矛盾です。よって $x^p - t$ は既約で、$L$ は体、$\operatorname{Spec} L$ は整です。$L$ での $x$ の類をあらためて $s$ と書くと $s^p = t$ で、標数 $p$ なので

$$L \otimes_K L = L[x]/(x^p - t) = L[x]/(x^p - s^p) = L[x]/((x - s)^p)$$

で、$x - s$ は $0$ でない冪零元です。したがって被約ではありません。$L/K$ は分離的でない拡大（定義 6.10［多項式環と体の拡大］）で、被約性が底変換で保たれない原因は非分離性です。

演習 9.4標準

$\mathbb{G}_a = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]$、$\mathbb{G}_m = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x, x^{-1}]$ とする。

1. 環 $A$ について $\mathbb{G}_a(A) = A$、$\mathbb{G}_m(A) = A^\times$ を示せ。
2. 加法 $A \times A \to A$ と乗法 $A^\times \times A^\times \to A^\times$ が、スキームの射 $\mathbb{G}_a \times_{\mathbb{Z}} \mathbb{G}_a \to \mathbb{G}_a$、$\mathbb{G}_m \times_{\mathbb{Z}} \mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m$ から来ることを示し、対応する環準同型を求めよ。
3. $n \ge 1$ について、$n$ 乗写像 $\mathbb{G}_m \to \mathbb{G}_m$ の、単位元 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z} \to \mathbb{G}_m$ によるファイバー積 $\mu_n$ を求め、$\mu_n(A)$ を述べよ。$\mu_p \times_{\mathbb{Z}} \operatorname{Spec}\mathbb{F}_p$ は被約か。

解答

(1) 定理 3.4［アフィンスキームとスキーム］ により $\mathbb{G}_a(A) = \operatorname{Hom}(\mathbb{Z}[x], A) = A$（$x$ の像）、$\mathbb{G}_m(A) = \operatorname{Hom}(\mathbb{Z}[x, x^{-1}], A) = A^\times$（$x$ の像は単元で、単元ならどれでもよい）です。

(2) 定理 7.1 の (2) と 定理 5.2 の (2) により $(\mathbb{G}_a \times_{\mathbb{Z}} \mathbb{G}_a)(A) = A \times A$ で、$\mathbb{G}_a \times_{\mathbb{Z}} \mathbb{G}_a = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x] \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}[x] = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x_1, x_2]$ です。加法 $(a_1, a_2) \mapsto a_1 + a_2$ は $A$ について自然な写像なので、定理 7.1 の (1) によりただ一つの射から来ます。対応する環準同型は $\mathbb{Z}[x] \to \mathbb{Z}[x_1, x_2]$、$x \mapsto x_1 + x_2$ です（この準同型の誘導する写像が $(a_1, a_2) \mapsto a_1 + a_2$ であることから分かる）。同様に乗法は $\mathbb{Z}[x, x^{-1}] \to \mathbb{Z}[x_1, x_1^{-1}, x_2, x_2^{-1}]$、$x \mapsto x_1x_2$ に対応します。

(3) $n$ 乗写像は $x \mapsto x^n$、単位元は $x \mapsto 1$ に対応するので、定理 5.2 の (2) により

$$\mu_n = \operatorname{Spec}\bigl(\mathbb{Z}[x, x^{-1}] \otimes_{\mathbb{Z}[x, x^{-1}]} \mathbb{Z}\bigr) = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x, x^{-1}]/(x^n - 1) = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]/(x^n - 1)$$

です（左のテンソル積の $\mathbb{Z}[x, x^{-1}]$ 加群の構造は $x \mapsto x^n$ と $x \mapsto 1$ によるもの。$x^n = 1$ なら $x$ は単元なので最後の等号が成り立つ）。$\mu_n(A) = \{ a \in A : a^n = 1 \}$ は $1$ の $n$ 乗根の群です。$\mu_p \times_{\mathbb{Z}} \operatorname{Spec}\mathbb{F}_p = \operatorname{Spec}\mathbb{F}_p[x]/(x^p - 1) = \operatorname{Spec}\mathbb{F}_p[x]/((x - 1)^p)$ は、$x - 1$ が $0$ でない冪零元なので被約ではありません。$\mathbb{F}_p$ 値点は $1$ だけですが、スキームとしては「$p$ 重の点」で、点の集合を見るだけでは区別できない構造をもちます。

参考文献

• R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer, 1977 — Chapter II §3（スキームの基本的性質、ファイバー積）、Chapter I §4（有理写像）。
• A. Grothendieck, J. Dieudonné, “Éléments de géométrie algébrique I: Le langage des schémas”, Publications Mathématiques de l’IHÉS 4 (1960) — Chapitre I（ファイバー積、部分スキーム、有限性条件）。
• U. Görtz, T. Wedhorn, Algebraic Geometry I: Schemes, Vieweg+Teubner, 2010 — Chapter 3〜4（スキームの性質、ファイバー積）、Chapter 10（有限性条件）。
• Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford Graduate Texts in Mathematics 6, Oxford University Press, 2002 — Chapter 2〜3（被約・整なスキーム、ファイバー積と底変換）。
• D. Eisenbud, J. Harris, The Geometry of Schemes, Graduate Texts in Mathematics 197, Springer, 2000 — Chapter II（ファイバーと族の例）、Chapter VI（点の関手）。
• D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes, 2nd ed., Lecture Notes in Mathematics 1358, Springer, 1999 — Chapter II（ファイバー積、被約化）。