整 ⇔ 被約かつ既約

命題 2.2（「スキームの性質と射」§2）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をスキームとする。

次は同値である: (a) $X$ は被約、(b) すべての茎 $\mathcal{O}_{X,x}$ は被約、(c) $X$ はアフィン開集合 $\operatorname{Spec} A_i$ で、各 $A_i$ が被約であるもので覆える、(d) 任意の開集合 $U$ と $s \in \mathcal{O}_X(U)$ について、すべての $x \in U$ で $s(x) = 0$ ならば $s = 0$ 。
$X$ が整であることと、被約かつ既約であることは同値である。
$X$ を整スキームとし、 $\eta$ をその生成点とする。 $K(X) = \mathcal{O}_{X,\eta}$ は体である（関数体という）。空でないアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ について、 $A$ は整域、 $\eta \in U$ は $A$ の零イデアルに対応し、 $K(X) = \operatorname{Frac} A$ である。任意の空でない開集合 $U$ について $\mathcal{O}_X(U) \to K(X)$ 、 $s \mapsto s_\eta$ は単射で、各点 $x$ について $\mathcal{O}_{X,x} \to K(X)$ は単射である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 44 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
  - 始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題
アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキーム
- 剰余環と局所化のスペクトル✓命題 4.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型が誘導する連続写像✓命題 4.5・局所化と素イデアルのスペクトル
    素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 主開集合の包含と局所化✓補題 2.1・アフィンスキームとスキーム
  - V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル
    根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
    環準同型定義 7.1・環と体の基礎
- 開基の上の層の延長✓定理 4.4・層
  - 芽の族の層✓補題 4.2・層
    茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
  - 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
- 値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム（上で展開済み）
既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
値が 0 でない点の集合✓補題 3.2・アフィンスキームとスキーム
- 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題（上で展開済み）
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
既約閉集合の生成点✓命題 4.3・アフィンスキームとスキーム
- 既約な集合の基本性質✓補題 3.2・アフィン代数多様体と座標環
- Spec の位相の基本性質✓定理 4.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 位相の基底定義 5.1・位相空間の定義と基本概念
  - 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  - コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題（上で展開済み）
  - 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - T0・T1・T2定義 3.1・分離公理と距離づけ可能性
  - 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 根基はイデアル✓補題 2.3・局所化と素イデアルのスペクトル

これを使っている定理証明で参照している 6 件

正規スキームの余次元 1 の点と関数の延長✓定理 4.4・次元・正規性・非特異性と微分の層
被約誘導構造✓定理 4.3・スキームの性質と射
有理写像と関数体✓定理 8.2・スキームの性質と射
稠密な開集合で一致する射は等しい✓命題 8.2・分離射・固有射と付値判定法
切断は局所環の共通部分✓補題 2.2・曲線と Riemann–Roch の定理
曲線と 1 変数関数体の圏同値✓定理 4.2・曲線と Riemann–Roch の定理

整 ⇔ 被約かつ既約

閉包の状態

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