数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › アフィンスキームとスキーム

値が 0 でない点の集合

補題 3.2（「アフィンスキームとスキーム」§3）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を局所環付き空間、 $s \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ とし、 $X_s = \{ x \in X : s(x) \ne 0 \}$ とおく。

$x \in X_s$ は、 $s_x$ が $\mathcal{O}_{X,x}$ の単元であることと同値である。
$X_s$ は開集合で、 $s|_{X_s}$ は環 $\mathcal{O}_X(X_s)$ の単元である。
局所環付き空間の射 $(f, f^\#)\colon X \to Y$ と $t \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)$ について、 $f^{-1}(Y_t) = X_{f^\#(t)}$ である。
$X = \operatorname{Spec} A$ 、 $s = a \in A$ のとき $X_s = D(a)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環

これを使っている定理証明で参照している 7 件

Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキーム
アフィン開集合は開基をなす✓命題 4.1・アフィンスキームとスキーム
整 ⇔ 被約かつ既約✓命題 2.2・スキームの性質と射
大域切断の局所化とアフィン性の判定✓補題 3.2・スキームの性質と射
射の有限性はアフィン開被覆の取り方によらない✓命題 3.3・スキームの性質と射
アフィンスキームへの閉はめ込み✓補題 4.2・スキームの性質と射
大域切断の局所化✓補題 2.1・分離射・固有射と付値判定法