アフィンスキームとスキーム：構造層・貼り合わせ・Proj

0. この記事の要点

整数や実数係数の方程式を、「方程式の解の集まり」ではなく「方程式を定める環そのもの」から幾何学として扱えないか、という素朴な疑問がこの記事の出発点です。どんな可換環にも、点とその上の関数をもつ空間を一つ対応させる方法があり、その空間を貼り合わせると射影空間のような広い空間も作れます。読み終えると、整数の環 $\mathbb{Z}$ や実数係数の方程式を「空間」として見る見方と、点が体や環に値をもつとはどういうことかが分かります。

• 環 $A$ の素スペクトル $X = \operatorname{Spec} A$ には、主開集合で $\mathcal{O}_X(D(f)) = A_f$ となる環の層 $\mathcal{O}_X$ がただ一つ入ります。茎は $A_{\mathfrak{p}}$ で、大域切断は $A$ です。これがアフィンスキームです。
• スキームは、茎が局所環である環付き空間（局所環付き空間）で、アフィンスキームで覆えるものです。射は、茎の上で局所準同型（始域の極大イデアルを終域の極大イデアルの中へ写す環準同型）を与える環付き空間の射です。
• 局所環付き空間 $X$ から $\operatorname{Spec} A$ への射は、環準同型 $A \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ と 1 対 1 に対応します。とくにアフィンスキームの圏は可換環の圏の反対（矢印の向きをすべて逆にした圏）と同値です。
• スキームのアフィン開集合は開基をなし、アフィン開集合についての性質は、局所化と有限被覆で保たれるなら一つのアフィン開被覆で確かめれば足ります（アフィン交流補題）。既約な閉集合はただ一つの生成点（その閉集合全体を閉包にもつ点）をもちます。
• スキームもその射も、開被覆の上のデータから貼り合わせられます。次数環 $S$ の $\operatorname{Proj} S$ は $D_+(f) \cong \operatorname{Spec} S_{(f)}$ を貼り合わせたスキームで、$\mathbb{P}^n_A$ は $n + 1$ 個のアフィン空間 $\mathbb{A}^n_A$ の貼り合わせです。
• 代数閉体上のアフィン多様体 $X$ は $\operatorname{Spec} k[X]$ の閉点の全体として復元でき、$X \mapsto \operatorname{Spec} k[X]$ は充満忠実です。体 $K$ に値をもつ点は、点 $x$ と体の埋め込み $\kappa(x) \to K$ の組です。

この記事で使う事前知識

• 局所環: 単元でない元の全体がイデアルをなす環。茎はこの形になります。→ 局所環
• 局所化: 環に分母を加えて、指定した元を単元にした環 $A_f$、$A_{\mathfrak{p}}$。→ 局所化
• 環付き空間: 位相空間と、その上の環の層の組。→ 環付き空間
• 随伴: 2 つの関手の間の、射の集合の自然な対応。→ 随伴
• 充満忠実な関手: 射の集合の間の写像がすべて全単射になる関手。→ 充満・忠実
• 次数環: 斉次元の次数ごとの直和に分かれる環。→ 次数環

1. 動機

記事 アフィン代数多様体と座標環 の辞書は、代数閉体 $k$ 上の有限生成な整域と、アフィン多様体を対応させるものでした。この辞書には 3 つの制限があります。

1. 係数体が代数閉でなければならない。 $\mathbb{R}$ 上で $x^2 + y^2 = -1$ は点をもちませんが、座標環 $\mathbb{R}[x, y]/(x^2 + y^2 + 1)$ は $0$ ではなく、情報をもっています。数論では $\mathbb{Q}$ や $\mathbb{Z}$、有限体の上の方程式を扱います。
2. 冪零元を扱えない。 直線 $y = 0$ と放物線 $y = x^2$ の交わりは方程式 $x^2 = 0$ で与えられ、「原点で 2 重に交わる」ことはイデアル $(x^2)$ に記録されていますが、点集合 $\mathbf{V}(x^2) = \{0\}$ には残りません。
3. アフィン空間への埋め込みが前提になっている。 射影空間のように、アフィン多様体を貼り合わせて作る空間を扱うには、埋め込みによらない定義が必要です。

Grothendieck の答えは、任意の可換環 $A$ を「空間 $\operatorname{Spec} A$ の上の関数の環」と見ることです。点は素イデアルで、極大イデアルだけでなく、既約な閉集合に対応する「生成点」も点に数えます。素イデアルを点にすると、環準同型 $A \to B$ がつねに写像 $\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ を誘導します（極大イデアルの逆像は極大とは限りませんが、素イデアルの逆像は素イデアルです）。関数の環は、記事 層：茎・層化・順像と逆像 の層として $\operatorname{Spec} A$ に載せます。冪零元は「どの点でも値が $0$ だが $0$ でない関数」として層に残ります。

位相空間 $\operatorname{Spec} A$ の性質（Zariski 位相、主開集合 $D(f)$、既約閉集合と素イデアルの対応）は、記事 局所化と素イデアルのスペクトル で証明済みです。この記事では、その上に構造層を載せ、貼り合わせて一般のスキームを作ります。環はすべて単位元をもつ可換環で、環準同型は $1$ を $1$ に写します。

2. Spec の構造層

$X = \operatorname{Spec} A$ の主開集合 $D(f)$ の全体 $\mathcal{B}$ は開基で、$D(f) \cap D(g) = D(fg)$ です（定理 4.4［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (1)）。$D(f)$ の上の関数の環は $A_f$ にしたいのですが、$D(f) = D(g)$ でも $f \ne g$ でありうるので、まず $A_f$ が開集合 $D(f)$ だけで決まることを確かめます。次の補題の (1)〜(3) がその確認で、(4) は、点の近くの $A_f$ を集めていくと局所化 $A_{\mathfrak{p}}$ になる（順極限は「点の近くの情報を集めていく操作」）ことを述べています。後で茎を求めるのに使います。

補題 2.1（主開集合の包含と局所化）✓

$A$ を環、$f, g \in A$ とする。

1. $D(f) \subseteq D(g)$、$f \in \sqrt{(g)}$、「$g/1$ は $A_f$ の単元」の 3 条件は同値である。より一般に、$D(f) \subseteq \bigcup_i D(g_i)$ と $f \in \sqrt{(g_i)_i}$ は同値である。
2. $D(f) \subseteq D(g)$ のとき、$A$ 代数の準同型 $\rho^g_f\colon A_g \to A_f$ がただ一つ存在する。$D(f) \subseteq D(g) \subseteq D(h)$ なら $\rho^g_f \circ \rho^h_g = \rho^h_f$、$\rho^f_f = \mathrm{id}$ であり、$D(f) = D(g)$ なら $\rho^g_f$ は同型である。
3. $D(g) \subseteq D(f)$ のとき、$A_g$ は $(A_f)_{g/1}$ と $A$ 代数として同型である。
4. 素イデアル $\mathfrak{p}$ について、$f \notin \mathfrak{p}$ となる $f$ の全体は積 $ff'$ を上界として有向で、自然な写像 $A_f \to A_{\mathfrak{p}}$ は同型 $\varinjlim_{f \notin \mathfrak{p}} A_f \cong A_{\mathfrak{p}}$ を与える。

証明（補題 2.1）

(1) $D(f) \subseteq \bigcup_i D(g_i)$ は $V((g_i)_i) \subseteq V(f)$ と同じで、これは $\sqrt{(f)} \subseteq \sqrt{(g_i)_i}$、すなわち $f \in \sqrt{(g_i)_i}$ と同値です（補題 4.2［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (5)）。$f^n = ag$ なら $A_f$ で $(g/1)(a/f^n) = 1$ です。逆に $(g/1)(b/f^m) = 1$ なら、ある $k$ で $f^k(gb - f^m) = 0$、すなわち $f^{k+m} = f^kbg \in (g)$ です。

(2) (1) により $g$ の像は $A_f$ の単元なので、局所化の普遍性（定理 3.4［局所化と素イデアルのスペクトル］）から $A \to A_f$ は $A_g$ をただ一通りに経由します。関手性は一意性から従います。$D(f) = D(g)$ なら $\rho^f_g$ もあり、$\rho^g_f\rho^f_g$ と $\rho^f_g\rho^g_f$ は一意性により恒等写像です。

(3) $(A_f)_{g/1}$ で $g$ は単元なので $A_g \to (A_f)_{g/1}$ があります。逆に、(1) により $f$ は $A_g$ の単元なので $A_f \to A_g$ があり、$g/1$ の像は単元だから $(A_f)_{g/1} \to A_g$ に延びます。どちらも $A$ 代数の準同型で、合成は普遍性の一意性により恒等写像です。

(4) $f, f' \notin \mathfrak{p}$ なら $ff' \notin \mathfrak{p}$ で、$D(ff') \subseteq D(f)$ です。$f \notin \mathfrak{p}$ は $A_{\mathfrak{p}}$ の単元なので $A_f \to A_{\mathfrak{p}}$ があり、(2) の $\rho$ と両立するので、余極限からの写像 $\lambda$ が定まります。$a/s \in A_{\mathfrak{p}}$（$s \notin \mathfrak{p}$）は $a/s \in A_s$ の像なので $\lambda$ は全射です。$a/f^n \in A_f$ が $A_{\mathfrak{p}}$ で $0$ なら、$sa = 0$ となる $s \notin \mathfrak{p}$ があり、$a/f^n$ の $A_{fs}$ での像は $0$ です。よって $\lambda$ は単射です。

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定義 2.2（Spec の構造層）↗

$A$ を環、$X = \operatorname{Spec} A$、$\mathcal{B}$ を主開集合の全体とする。$U \in \mathcal{B}$ に対し $S_U = \{ g \in A : U \subseteq D(g) \}$ は積閉集合で、$\mathcal{O}(U) = S_U^{-1}A$ とおく。$U' \subseteq U$ なら $S_U \subseteq S_{U'}$ なので、$A$ 代数の準同型 $\mathcal{O}(U) \to \mathcal{O}(U')$ がただ一つあり、これを制限写像とする。これは $\mathcal{B}$ の上の環の前層（定義 4.1［層］）である。

$U = D(f)$ のとき、補題 2.1 の (1) により $S_U$ の元は $A_f$ の単元なので、$A$ 代数の準同型 $A_f \to S_U^{-1}A$ とその逆がただ一つずつあり、$\mathcal{O}(D(f)) = A_f$ とみなせる。この同一視のもとで制限写像は同じ補題の $\rho^f_{f'}$ である。

定理 2.3（構造層の存在）✓

$A$ を環、$X = \operatorname{Spec} A$ とする。

1. 定義 2.2 の $\mathcal{O}$ は、主開集合の全体 $\mathcal{B}$ の上の層である。
2. $X$ 上の環の層 $\mathcal{O}_X$ で、$\mathcal{O}_X(D(f)) = A_f$（制限写像は $\rho$）となるものが、同型を除いてただ一つ存在する。これを $\operatorname{Spec} A$ の構造層という。とくに $\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = A$ である。
3. 点 $\mathfrak{p} \in X$ での茎は $\mathcal{O}_{X, \mathfrak{p}} \cong A_{\mathfrak{p}}$ で、局所環である。
4. 開集合 $U \subseteq X$ の上の切断は、族 $(s_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{p} \in U} \in \prod_{\mathfrak{p} \in U} A_{\mathfrak{p}}$ で、各点 $\mathfrak{p} \in U$ に $\mathfrak{p} \in D(g) \subseteq U$ となる $g$ と $a \in A$、$n \ge 0$ があって、$D(g)$ の各点 $\mathfrak{q}$ で $s_{\mathfrak{q}} = a/g^n$ となるもの、と同一視できる。

証明（定理 2.3）

(1) $D(f) = \bigcup_{i \in I} D(f_i)$ とし、$s_i \in A_{f_i}$ の族が、$D(h) \subseteq D(f_i) \cap D(f_j)$ となるすべての $h$ について $A_h$ で一致するとします。とくに $h = f_if_j$ として、$s_i$ と $s_j$ は $A_{f_if_j}$ で一致します。$s \in A_f$ で、すべての $i$ で $A_{f_i}$ での像が $s_i$ になるものがただ一つあることを示します。$D(f)$ はコンパクト（定理 4.4［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (2)）なので、有限部分集合 $J \subseteq I$ で $D(f) = \bigcup_{j \in J} D(f_j)$ となるものがあります。

一意性。 $s = a/f^n \in A_f$ のすべての $A_{f_j}$（$j \in J$）での像が $0$ とします。$A_{f_j}$ で $a/1 = 0$ なので $f_j^m a = 0$ となる $m$ があり、$J$ は有限なので $m$ を共通に取れます。$D(f) \subseteq \bigcup_{j \in J} D(f_j^m)$ なので、補題 2.1 の (1) により $f^N = \sum_{j \in J} c_jf_j^m$ と書け、$f^Na = \sum_j c_jf_j^ma = 0$、したがって $A_f$ で $s = 0$ です。

存在（有限被覆 $J$ について）。 $J$ は有限なので、共通の $m$ で $s_j = a_j/f_j^m$ と書けます。$A_{f_if_j}$ での一致は、ある $k$（$J$ が有限なので共通に取れる）について

$$(f_if_j)^k\bigl(a_if_j^m - a_jf_i^m\bigr) = 0 \qquad (i, j \in J)$$

ということです。$b_j = a_jf_j^k$、$g_j = f_j^{m+k}$ とおくと、$s_j = b_j/g_j$ で、上の式は $b_ig_j = b_jg_i$ になります。$D(f) \subseteq \bigcup_{j \in J} D(g_j)$ なので $f^N = \sum_{j \in J} c_jg_j$ と書けます。$b = \sum_{j \in J} c_jb_j$、$s = b/f^N \in A_f$ とおくと、各 $i \in J$ について

$$g_ib = \sum_{j \in J} c_jb_jg_i = \sum_{j \in J} c_jg_jb_i = f^Nb_i$$

なので、$A_{f_i}$ で $b/f^N = b_i/g_i = s_i$ です。

存在（一般の被覆）。 いま得た $s$ について、任意の $i \in I$ で $s$ の $A_{f_i}$ での像 $s'_i$ が $s_i$ に等しいことを示します。$D(f_i) = \bigcup_{j \in J} D(f_if_j)$ で、$s'_i$ と $s_i$ の $A_{f_if_j}$ での像はどちらも $s_j$ の像に等しくなります（前者は $s$ の像だから、後者は仮定から）。一意性を $D(f_i)$ とこの被覆に使うと $s'_i = s_i$ です。$s$ の一意性は、すでに示した一意性から従います。

(2) 定理 4.4［層］ の (1)、(3) によります。$X = D(1)$ で $A_1 = A$ です。

(3) 同じ定理の (1) により、茎は $\varinjlim_{\mathfrak{p} \in D(f)} A_f$ で、補題 2.1 の (4) により $A_{\mathfrak{p}}$ です。これは局所環です（命題 3.10［局所化と素イデアルのスペクトル］）。

(4) 定理 4.4［層］ の証明のとおり、$\mathcal{O}_X$ は芽の族の層（補題 4.2［層］）として構成され、その定義が主張の記述です。$D(g)$ 上の切断は $A_g$ の元 $a/g^n$ で、その芽が $A_{\mathfrak{q}}$ の元 $a/g^n$ です。

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定理の証明の流れは次のとおりです。層の条件は「一意性」と「存在」に分けて確かめます。$D(f)$ はコンパクトなので、まず有限個の $D(f_j)$ で覆われる場合に絞り、有限個なので指数 $m$、$k$ を全員で共通に取れる、という点で添字を整理します。そのあと一般の被覆に戻します。

証明の中心は、$f^N = \sum c_jg_j$ という「$1$ の分割」です。位相空間の連続関数を $1$ の分割で貼り合わせるのと同じ形の議論が、環の中の等式として実行されています。

3. 局所環付き空間とスキーム

定義 3.1（局所環付き空間とその射）↗

1. 環付き空間 $(X, \mathcal{O}_X)$（定義 2.3［層］）のすべての茎 $\mathcal{O}_{X,x}$ が局所環（定義 3.8［局所化と素イデアルのスペクトル］）であるとき、局所環付き空間という。$\mathcal{O}_{X,x}$ の極大イデアルを $\mathfrak{m}_x$、剰余体を $\kappa(x) = \mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_x$ と書く。開集合 $U \ni x$ 上の切断 $s$ の芽 $s_x$ の $\kappa(x)$ での像を $s(x)$ と書き、$s$ の $x$ での値という。
2. 環付き空間の射 $(f, f^\#)\colon (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)$ とは、連続写像 $f\colon X \to Y$ と環の層の射 $f^\#\colon \mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X$ の組をいう。$x \in X$ に対し、$f^\#$ は茎の準同型

$$f^\#_x\colon \mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}, \qquad t_{f(x)} \mapsto \bigl(f^\#_V(t)\bigr)_x \quad (t \in \mathcal{O}_Y(V),\ f(x) \in V)$$

を定める。合成は $(g, g^\#) \circ (f, f^\#) = (g \circ f,\ g_*(f^\#) \circ g^\#)$ とする。 3. 局所環付き空間の間の環付き空間の射 $(f, f^\#)$ が、すべての $x$ で $f^\#_x$ が局所準同型（$f^\#_x(\mathfrak{m}_{f(x)}) \subseteq \mathfrak{m}_x$）であるとき、局所環付き空間の射という。このとき $f^\#_x$ は体の準同型 $\kappa(f(x)) \to \kappa(x)$ を誘導する。 4. 局所環付き空間 $X$ の開集合 $U$ に対し、$(U, \mathcal{O}_X|_U)$ は局所環付き空間で、包含は局所環付き空間の射である。これを開部分空間という。

局所準同型という条件は、「関数 $t$ が点 $f(x)$ で値 $0$ を取るなら、引き戻した関数 $f^\#(t)$ は点 $x$ で値 $0$ を取る」ことを意味します。関数が本当に値をもつ空間（多様体と連続関数など）では自動的に成り立ちますが、スキームでは切断と値が別物なので、条件として課します。

補題 3.2（値が 0 でない点の集合）✓

$X$ を局所環付き空間、$s \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ とし、$X_s = \{ x \in X : s(x) \ne 0 \}$ とおく。

1. $x \in X_s$ は、$s_x$ が $\mathcal{O}_{X,x}$ の単元であることと同値である。
2. $X_s$ は開集合で、$s|_{X_s}$ は環 $\mathcal{O}_X(X_s)$ の単元である。
3. 局所環付き空間の射 $(f, f^\#)\colon X \to Y$ と $t \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)$ について、$f^{-1}(Y_t) = X_{f^\#(t)}$ である。
4. $X = \operatorname{Spec} A$、$s = a \in A$ のとき $X_s = D(a)$ である。

証明（補題 3.2）

(1) 局所環の単元でない元の全体は極大イデアルです（補題 3.9［局所化と素イデアルのスペクトル］）。$s(x) \ne 0$ は $s_x \notin \mathfrak{m}_x$ ということなので、$s_x$ が単元であることと同値です。

(2) $x \in X_s$ とし、$s_xt_x = 1$ となる芽 $t_x$ を、$x$ の開近傍 $V$ 上の切断 $t$ で代表します。$V$ を小さくして $s|_Vt = 1$ とできるので、$V$ のすべての点で $s$ の芽は単元で、$V \subseteq X_s$ です。よって $X_s$ は開集合です。各点の近傍で $s$ の逆元があり、逆元は一意なので重なりで一致し、貼り合わせて $\mathcal{O}_X(X_s)$ での逆元を得ます。

(3) $x \in X$ について $(f^\#(t))_x = f^\#_x(t_{f(x)})$ です。環準同型は単元を単元に写し、$f^\#_x$ は局所準同型なので $\mathfrak{m}_{f(x)}$ の元（単元でない元）を $\mathfrak{m}_x$ の元（単元でない元）に写します。よって $t_{f(x)}$ が単元であることと $(f^\#(t))_x$ が単元であることは同値です。

(4) $\mathfrak{p} \in X$ での茎は $A_{\mathfrak{p}}$ で、$a/1$ が単元であることは $a \notin \mathfrak{p}$ と同値です。

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定義 3.3（アフィンスキーム・スキーム）↗

1. 環 $A$ に対し、局所環付き空間 $(\operatorname{Spec} A, \mathcal{O}_{\operatorname{Spec} A})$ を単に $\operatorname{Spec} A$ と書く。ある環 $A$ について $\operatorname{Spec} A$ と同型な局所環付き空間をアフィンスキームという。
2. 局所環付き空間 $X$ がスキームであるとは、開被覆 $X = \bigcup_i U_i$ で、各開部分空間 $(U_i, \mathcal{O}_X|_{U_i})$ がアフィンスキームであるものが存在することをいう。アフィンスキームである開部分空間を $X$ のアフィン開集合という。スキームの射は局所環付き空間の射とし、スキームの圏を $\mathsf{Sch}$ と書く。
3. スキーム $S$ を固定する。スキーム $X$ と射 $X \to S$（構造射）の組を $S$ 上のスキーム（$S$ スキーム）といい、構造射と両立する射を $S$ 上の射という。$S = \operatorname{Spec} R$ のとき $R$ 上のスキームともいう。
4. スキーム $X$、$T$ に対し、射 $T \to X$ の全体を $X(T)$ と書き、その元を $X$ の $T$ 値点という。$T = \operatorname{Spec} A$ のとき $X(A)$ とも書く。
5. スキーム $X$ の点 $x, y$ について、$y \in \overline{\{x\}}$ のとき $y$ は $x$ の特殊化である（$x$ は $y$ の一般化である）といい、$x \rightsquigarrow y$ と書く。閉集合 $Z$ の点 $\eta$ で $\overline{\{\eta\}} = Z$ となるものを $Z$ の生成点という。$\{x\}$ が閉集合である点 $x$ を閉点という。

$\operatorname{Spec} A$ では、$\overline{\{\mathfrak{p}\}} = V(\mathfrak{p})$ なので、$\mathfrak{p} \rightsquigarrow \mathfrak{q}$ は $\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{q}$ と同じで、閉点は極大イデアルです（定理 4.4［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (3)）。点 $\mathfrak{p}$ での剰余体は $\kappa(\mathfrak{p}) = A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}} = \operatorname{Frac}(A/\mathfrak{p})$ で、$a \in A$ の値 $a(\mathfrak{p})$ は $a$ の $\operatorname{Frac}(A/\mathfrak{p})$ での像です。値を取る体が点ごとに違うことに注意してください。

次の定理は、「スキームへの射を作ることは、環の準同型を一つ与えることと同じ」という主張です。Spec に行き先がある射を、環の側の準同型に置き換えて調べられるようになります。圏の言葉では、これは Spec が大域切断をとる操作の右随伴であるという主張で、環の圏の反対がアフィンスキームの圏と同じものだ、という結論も出てきます。

定理 3.4（Spec への射と環準同型）✓

$X$ を局所環付き空間、$A$ を環とする。

1. 写像

$$\operatorname{Hom}(X, \operatorname{Spec} A) \longrightarrow \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ring}}(A, \Gamma(X, \mathcal{O}_X)), \qquad (f, f^\#) \mapsto f^\#_{\operatorname{Spec} A}$$

（左辺は局所環付き空間の射）は全単射である。環準同型 $\varphi$ に対応する射 $(f, f^\#)$ は、$f(x) = \{ a \in A : \varphi(a)(x) = 0 \}$ で与えられ、$f^{-1}(D(a)) = X_{\varphi(a)}$ である。 2. 環準同型 $\varphi\colon A \to B$ に対応する射を $\operatorname{Spec}\varphi\colon \operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ と書く。その底空間の写像は $\mathfrak{q} \mapsto \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$、茎の写像は $\varphi$ の誘導する $A_{\varphi^{-1}(\mathfrak{q})} \to B_{\mathfrak{q}}$ である。$\operatorname{Spec}$ は環の圏からスキームの圏への反変関手で、(1) の全単射は $X$ と $A$ について自然である。すなわち $\operatorname{Spec}\colon \mathsf{Ring}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Sch}$ は $\Gamma\colon \mathsf{Sch} \to \mathsf{Ring}^{\mathrm{op}}$、$X \mapsto \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ の右随伴である。 3. $\operatorname{Spec}$ は、環の圏の反対圏からアフィンスキームの圏（$\mathsf{Sch}$ の充満部分圏）への圏同値である。局所環付き空間 $X$ がアフィンスキームであることと、$\mathrm{id}_{\Gamma(X, \mathcal{O}_X)}$ に対応する標準射 $X \to \operatorname{Spec}\Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ が同型であることは同値である。

証明（定理 3.4）

$Y = \operatorname{Spec} A$ と書きます。

(1) 逆写像の構成。 環準同型 $\varphi\colon A \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ が与えられたとします。$x \in X$ に対し、$f(x)$ を合成 $A \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \mathcal{O}_{X,x}$ による $\mathfrak{m}_x$ の逆像とすると、素イデアルです（補題 2.4［局所化と素イデアルのスペクトル］）。$f(x) \in D(a)$ は $\varphi(a)_x \notin \mathfrak{m}_x$、すなわち $x \in X_{\varphi(a)}$ と同値なので、$f^{-1}(D(a)) = X_{\varphi(a)}$ は開集合（補題 3.2 の (2)）で、$f$ は連続です。

$f^\#$ を主開集合の上で定めます。$\varphi(a)|_{X_{\varphi(a)}}$ は単元（補題 3.2 の (2)）なので、局所化の普遍性（定理 3.4［局所化と素イデアルのスペクトル］）により、合成 $A \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \mathcal{O}_X(X_{\varphi(a)})$ は

$$f^\#_{D(a)}\colon \mathcal{O}_Y(D(a)) = A_a \longrightarrow \mathcal{O}_X(X_{\varphi(a)}) = (f_*\mathcal{O}_X)(D(a))$$

にただ一通りに延びます。一意性から、これは制限写像と両立し、開基の上の前層の射になります。定理 4.4［層］ の (2) により、層の射 $f^\#\colon \mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X$ にただ一通りに延びます。茎の写像 $f^\#_x\colon A_{f(x)} \to \mathcal{O}_{X,x}$ は $a/s \mapsto \varphi(a)_x\varphi(s)_x^{-1}$ で、$a/s$ の像が $\mathfrak{m}_x$ に属することは $\varphi(a)_x \in \mathfrak{m}_x$、すなわち $a \in f(x)$ と同値です。よって $f^\#_x$ は局所準同型で、$(f, f^\#)$ は局所環付き空間の射です。$a = 1$ のときの定義から $f^\#_Y = \varphi$ です。

単射性。 $(g, g^\#)\colon X \to Y$ が $g^\#_Y = \varphi$ を満たすとし、上の $(f, f^\#)$ に等しいことを示します。$x \in X$、$a \in A$ について $g^\#_x(a/1) = (g^\#_Y(a))_x = \varphi(a)_x$ です。$g^\#_x\colon A_{g(x)} \to \mathcal{O}_{X,x}$ は局所準同型なので、$\mathfrak{m}_x$ の逆像は極大イデアル $g(x)A_{g(x)}$ で、その $A$ への逆像は $g(x)$ です（定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (3)）。よって $g(x) = \{ a : \varphi(a)_x \in \mathfrak{m}_x \} = f(x)$ です。次に $g^\#_{D(a)}\colon A_a \to \mathcal{O}_X(X_{\varphi(a)})$ は、$g^\#$ が制限と両立するので、$A \to A_a$ との合成が $\varphi$ と制限の合成に等しい環準同型です。局所化の普遍性の一意性により $g^\#_{D(a)} = f^\#_{D(a)}$ で、開基の上で一致する層の射は等しい（定理 4.4［層］ の (2)）ので $g^\# = f^\#$ です。

(2) $X = \operatorname{Spec} B$ のとき、点 $\mathfrak{q}$ での茎は $B_{\mathfrak{q}}$ で、(1) の $f(\mathfrak{q})$ は $A \to B \to B_{\mathfrak{q}}$ による $\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}$ の逆像 $\varphi^{-1}(\mathfrak{q})$ です。茎の写像は (1) の式 $a/s \mapsto \varphi(a)/\varphi(s)$ です。$\operatorname{Spec}(\psi\varphi)$ と $\operatorname{Spec}\varphi \circ \operatorname{Spec}\psi$ は、大域切断の上でどちらも $\psi\varphi$ を与えるので、(1) の単射性により等しく、$\operatorname{Spec}$ は関手です。

自然性を確かめます。局所環付き空間の射 $h\colon X' \to X$ について、$(f \circ h)^\#_Y = h^\#_X \circ f^\#_Y$ です（合成の定義）。環準同型 $\psi\colon A' \to A$ について、$\operatorname{Spec}\psi \circ f$ の大域切断での写像は $f^\#_Y \circ \psi$ です。よって (1) の全単射は $X$ と $A$ について自然で、$\operatorname{Hom}_{\mathsf{Sch}}(X, \operatorname{Spec} A) \cong \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ring}^{\mathrm{op}}}(\Gamma(X, \mathcal{O}_X), A)$ は随伴 $\Gamma \dashv \operatorname{Spec}$ を与えます（定義 2.1［随伴関手と随伴関手定理］）。

(3) $\Gamma(\operatorname{Spec} B, \mathcal{O}) = B$（定理 2.3 の (2)）なので、(1) により $\operatorname{Hom}(\operatorname{Spec} B, \operatorname{Spec} A) \cong \operatorname{Hom}(A, B)$ で、$\operatorname{Spec}$ は充満忠実です（定義 4.5［圏・関手・自然変換］）。アフィンスキームの定義から本質的全射なので、圏同値です（定理 6.2［圏・関手・自然変換］）。

$X = \operatorname{Spec} A$ のとき、$\mathrm{id}_A$ に対応する射は、(1) の単射性により恒等射で、同型です。$X$ が $\operatorname{Spec} A$ と同型 $u\colon X \to \operatorname{Spec} A$ をもつときは、自然性により、標準射 $c_X\colon X \to \operatorname{Spec}\Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ は $\operatorname{Spec}(u^\#_{\operatorname{Spec} A}) \circ c_X = u$ を満たします（どちらも大域切断で $u^\#_{\operatorname{Spec} A}$ を与える）。$u^\#_{\operatorname{Spec} A}\colon A \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ は同型なので、$c_X$ は同型です。逆は定義から明らかです。

∎

(1) の具体的な意味を一つ挙げます。$A = \mathbb{Z}[x_1, \ldots, x_n]/(F_1, \ldots, F_m)$ のとき、環準同型 $A \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ は $F_j(s_1, \ldots, s_n) = 0$ を満たす大域切断の組 $(s_1, \ldots, s_n)$ と同じものです。つまり $\operatorname{Spec} A$ への射は「$X$ 上の関数で方程式を満たすものの組」です。とくに $A = \mathbb{Z}$ とすると、環準同型 $\mathbb{Z} \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ はただ一つなので、どのスキームも $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ への射をただ一つもちます。$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ はスキームの圏の終対象（どの対象からも射がちょうど一つ出ている対象）です。

4. アフィン開集合・生成点

命題 4.1（アフィン開集合は開基をなす）✓

1. 環 $A$ と $f \in A$ について、$\operatorname{Spec} A$ の開部分空間 $(D(f), \mathcal{O}|_{D(f)})$ は、$A \to A_f$ の誘導する射により $\operatorname{Spec} A_f$ と同型である。
2. スキーム $X$ のアフィン開集合の全体は $X$ の開基である。したがって $X$ の任意の開部分空間はスキームである（開部分スキーム）。
3. $X$ をスキーム、$U = \operatorname{Spec} A$、$V = \operatorname{Spec} B$ をそのアフィン開集合、$x \in U \cap V$ とする。$x$ の開近傍 $W \subseteq U \cap V$ で、$U$ の主開集合であり同時に $V$ の主開集合でもあるものが存在する。

証明（命題 4.1）

(1) $\iota\colon A \to A_f$ とし、$j = \operatorname{Spec}\iota\colon \operatorname{Spec} A_f \to \operatorname{Spec} A$ とします。底空間の写像は $D(f)$ への同相写像です（命題 4.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (2)）。$D(g) \subseteq D(f)$ となる主開集合について、$j^{-1}(D(g)) = D(g/1)$ で、$j^\#_{D(g)}\colon A_g \to (A_f)_{g/1}$ は $A$ 代数の準同型なので、補題 2.1 の (3) の同型です。このような $D(g)$ は $D(f)$ の開基なので、$j^\#$ は $\mathcal{O}|_{D(f)}$ から $j_*\mathcal{O}_{\operatorname{Spec} A_f}$ への同型です（定理 4.4［層］ の (2) により、開基の上の逆写像が層の射に延びる）。よって $j$ は開部分空間 $D(f)$ への同型です。

(2) $x \in W$（$W$ は $X$ の開集合）とします。$x$ を含むアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ を取ると、$W \cap U$ は $\operatorname{Spec} A$ の開集合なので、$x \in D(f) \subseteq W \cap U$ となる $f \in A$ があり、(1) により $D(f)$ はアフィン開集合です。

(3) まず $x \in D_U(a) \subseteq U \cap V$ となる $a \in A$ を取り、次に $x \in D_V(b) \subseteq D_U(a)$ となる $b \in B$ を取ります（主開集合は開基）。$b$ の $\mathcal{O}_X(D_U(a)) = A_a$ への制限を $b' = a'/a^n$ と書きます。補題 3.2 の (4) により、$D_V(b)$ は「$b$ の値が $0$ でない $V$ の点の全体」で、これは $D_U(a)$ に含まれるので、「$b'$ の値が $0$ でない $D_U(a) \cong \operatorname{Spec} A_a$ の点の全体」、すなわち $D_U(a)$ の中の $D(a'/a^n) = D_U(aa')$ に等しくなります。$W = D_V(b) = D_U(aa')$ が求める開集合です。

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補題 4.2（アフィン交流補題）✓

$X$ をスキームとし、$X$ のアフィン開集合についての性質 $P$ が次の 2 条件を満たすとする。

• （局所化）アフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ が $P$ を満たせば、すべての $f \in A$ について $D(f)$ も $P$ を満たす。
• （有限被覆）アフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ と、単位イデアルを生成する $f_1, \ldots, f_n \in A$ について、すべての $D(f_i)$ が $P$ を満たせば、$U$ も $P$ を満たす。

このとき、$P$ を満たすアフィン開集合による被覆 $X = \bigcup_i U_i$ があれば、$X$ のすべてのアフィン開集合が $P$ を満たす。

証明（補題 4.2）

$V = \operatorname{Spec} B$ を任意のアフィン開集合とします。各 $x \in V$ に対し、$x \in U_i$ となる $i$ を選び、命題 4.1 の (3) により、$U_i$ の主開集合であり $V$ の主開集合 $D_V(b_x)$ でもある $x$ の開近傍 $W_x$ を取ります。局所化の条件から $W_x$ は $P$ を満たします。$V$ はコンパクトなので有限個の $x_1, \ldots, x_n$ で $V = \bigcup_k D_V(b_{x_k})$ となり、これは $V(b_{x_1}, \ldots, b_{x_n}) = \varnothing$、すなわち $b_{x_1}, \ldots, b_{x_n}$ が単位イデアルを生成することを意味します（補題 4.2［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (5)）。有限被覆の条件から $V$ は $P$ を満たします。

∎

「Noether 環の Spec である」「被約である」「射が有限型である」といった性質は、すべてこの補題の形で扱えます。記事 スキームの性質と射 で繰り返し使います。

命題 4.3（既約閉集合の生成点）✓

$X$ をスキームとする。

1. $X$ の既約な閉集合 $Z$ は、生成点をただ一つもつ。
2. $X$ の底空間は T0 空間である。すなわち $\overline{\{x\}} = \overline{\{y\}}$ なら $x = y$。
3. $U$ を $X$ の開集合、$x \in U$ とする。$x$ の一般化はすべて $U$ に属する。

証明（命題 4.3）

既約性についての一般的な事実は 補題 3.2［アフィン代数多様体と座標環］ を使います。

(3) $y \rightsquigarrow x$、すなわち $x \in \overline{\{y\}}$ とします。$y \notin U$ なら、閉集合 $X \setminus U$ が $y$ を含むので $\overline{\{y\}} \subseteq X \setminus U$ となり、$x \in U$ に反します。

(1) $Z \ne \varnothing$ なので、$Z$ と交わるアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} A$ があります。$Z \cap U$ は既約な $Z$ の空でない開集合なので既約で、$Z$ で稠密です。$Z \cap U$ は $\operatorname{Spec} A$ の既約な閉集合なので、ただ一つの素イデアル $\mathfrak{p}$ により $Z \cap U = V(\mathfrak{p})$ と書け、これは $U$ の中での $\mathfrak{p}$ の閉包です（定理 4.4［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (3)、(5)）。$\mathfrak{p}$ に対応する点を $\eta$ とします。$X$ での閉包 $\overline{\{\eta\}}$ は $Z$ に含まれる閉集合で、$Z \cap U$ を含むので、その閉包 $Z$ を含みます。よって $\overline{\{\eta\}} = Z$ です。

$\eta'$ も $Z$ の生成点とします。$\eta' \notin U$ なら $\eta'$ は閉集合 $Z \setminus U$ に属し、$Z = \overline{\{\eta'\}} \subseteq Z \setminus U$ となって $Z \cap U \ne \varnothing$ に反します。よって $\eta' \in U$ で、$U$ の中での $\eta'$ の閉包は $Z \cap U = V(\mathfrak{p})$ です。$\eta'$ に対応する素イデアル $\mathfrak{p}'$ の閉包は $V(\mathfrak{p}')$ なので $V(\mathfrak{p}') = V(\mathfrak{p})$ で、定理 4.4［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (5) の一意性から $\mathfrak{p}' = \mathfrak{p}$、$\eta' = \eta$ です。

(2) $\overline{\{x\}}$ は既約な $\{x\}$ の閉包なので既約な閉集合で、$x$ と $y$ はどちらもその生成点です。(1) により $x = y$ です。

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5. 貼り合わせ

定理 5.1（射とスキームの貼り合わせ）✓

1. （射の貼り合わせ）$X, Y$ を局所環付き空間、$X = \bigcup_i U_i$ を開被覆とし、射 $f_i\colon U_i \to Y$ の族が $f_i|_{U_i \cap U_j} = f_j|_{U_i \cap U_j}$ を満たすとする。このとき $f|_{U_i} = f_i$ となる射 $f\colon X \to Y$ がただ一つ存在する。
2. （スキームの貼り合わせ）スキームの族 $(X_i)_{i \in I}$、開部分スキーム $U_{ij} \subseteq X_i$（$U_{ii} = X_i$）、スキームの同型 $\varphi_{ij}\colon U_{ij} \to U_{ji}$ が与えられ、すべての $i, j, k$ で

$$\varphi_{ii} = \mathrm{id}, \qquad \varphi_{ij}(U_{ij} \cap U_{ik}) = U_{ji} \cap U_{jk}, \qquad \varphi_{jk} \circ \varphi_{ij} = \varphi_{ik} \quad (U_{ij} \cap U_{ik} \text{ の上で})$$

を満たすとする。このときスキーム $X$ と射 $\psi_i\colon X_i \to X$ で、各 $\psi_i$ は $X$ の開部分スキーム $X'_i$ への同型、$X = \bigcup_i X'_i$、$\psi_i(U_{ij}) = X'_i \cap X'_j$、$U_{ij}$ の上で $\psi_j \circ \varphi_{ij} = \psi_i$ となるものが存在する。 3. （普遍性）(2) の $(X, (\psi_i))$ について、任意の局所環付き空間 $Y$ に対し、$g \mapsto (g \circ \psi_i)_i$ は、射 $X \to Y$ の全体から、$g_j \circ \varphi_{ij} = g_i|_{U_{ij}}$ を満たす射の族 $(g_i\colon X_i \to Y)_i$ の全体への全単射である。したがって $(X, (\psi_i))$ は $\psi_i$ と両立する同型を除いて一意である。

証明（定理 5.1）

(1) 連続写像 $f_i$ は重なりで一致するので、連続写像 $f\colon X \to Y$ に貼り合わさります。$Y$ の開集合 $V$ と $t \in \mathcal{O}_Y(V)$ に対し、切断 $(f_i)^\#_V(t) \in \mathcal{O}_X(f^{-1}(V) \cap U_i)$ は仮定から重なりで一致するので、$\mathcal{O}_X$ の貼り合わせにより $f^\#_V(t) \in \mathcal{O}_X(f^{-1}(V))$ がただ一つ定まります。一意性から $f^\#_V$ は環準同型で制限と両立し、$x \in U_i$ での茎の写像は $(f_i)^\#_x$ なので局所準同型です。条件を満たす射は、底空間でも層でもこの構成で決まるので一意です。

(2) 底空間。 直和 $\bigsqcup_i X_i$ の上で、$x \in U_{ij}$ と $\varphi_{ij}(x) \in U_{ji}$ を同値とする関係を考えます。$\varphi_{ii} = \mathrm{id}$ から反射的、コサイクル条件で $k = i$ とした $\varphi_{ji} \circ \varphi_{ij} = \mathrm{id}_{U_{ij}}$ から対称的、コサイクル条件から推移的です。商集合 $X$ に商位相を入れ、$\psi_i\colon X_i \to X$ を自然な写像とします。$\psi_i$ は単射（$X_i$ の 2 点が同値なら $\varphi_{ii} = \mathrm{id}$ で写り合うので等しい）で連続です。$W \subseteq X_i$ が開集合なら、$\psi_i(W)$ の $X_j$ への逆像は $\varphi_{ij}(W \cap U_{ij})$ で開集合なので、$\psi_i(W)$ は $X$ の開集合です。よって $\psi_i$ は開集合 $X'_i = \psi_i(X_i)$ への同相写像で、$X = \bigcup_i X'_i$、$X'_i \cap X'_j = \psi_i(U_{ij})$、$U_{ij}$ の上で $\psi_j \circ \varphi_{ij} = \psi_i$ です。

構造層。 $X'_i$ 上の環の層 $\mathcal{O}_i = (\psi_i)_*\mathcal{O}_{X_i}$ を考えます。同型 $\varphi_{ij}$ の層の部分 $\varphi_{ij}^\#\colon \mathcal{O}_{X_j}|_{U_{ji}} \to (\varphi_{ij})_*(\mathcal{O}_{X_i}|_{U_{ij}})$ は同型で、$\psi_j$ による順像を取ると、$\psi_j \circ \varphi_{ij} = \psi_i$ により、$X'_i \cap X'_j$ 上の同型 $\mathcal{O}_j|_{X'_i \cap X'_j} \to \mathcal{O}_i|_{X'_i \cap X'_j}$ になります。その逆を $\Phi_{ij}\colon \mathcal{O}_i|_{X'_i \cap X'_j} \to \mathcal{O}_j|_{X'_i \cap X'_j}$ とします。$\varphi_{ii} = \mathrm{id}$ から $\Phi_{ii} = \mathrm{id}$ で、射の合成の定義 $(\varphi_{jk} \circ \varphi_{ij})^\# = (\varphi_{jk})_*(\varphi_{ij}^\#) \circ \varphi_{jk}^\#$ と $\varphi_{jk} \circ \varphi_{ij} = \varphi_{ik}$ から、$X'_i \cap X'_j \cap X'_k$ の上で $\Phi_{jk} \circ \Phi_{ij} = \Phi_{ik}$ です。層の貼り合わせ（定理 8.1［層］）により、$X$ 上の環の層 $\mathcal{O}_X$ と同型 $\Psi_i\colon \mathcal{O}_X|_{X'_i} \to \mathcal{O}_i$ で $\Psi_j = \Phi_{ij} \circ \Psi_i$ となるものがあります。

スキームであること。 $(\psi_i, \Psi_i)$ は環付き空間の同型 $X_i \to (X'_i, \mathcal{O}_X|_{X'_i})$ を与えます。$X_i$ がスキームなので、$X'_i$ はアフィンスキームである開部分空間で覆われ、茎は局所環です。よって $X$ はスキームで、$\psi_i$ は開部分スキーム $X'_i$ への同型です。$\Psi_j = \Phi_{ij}\Psi_i$ は、射として $\psi_j \circ \varphi_{ij} = \psi_i$ であることを意味します。

(3) $g\colon X \to Y$ に対し $g_i = g \circ \psi_i$ とおくと、$g_j \circ \varphi_{ij} = g \circ \psi_j \circ \varphi_{ij} = g \circ \psi_i|_{U_{ij}} = g_i|_{U_{ij}}$ です。逆に条件を満たす族 $(g_i)$ に対し、$h_i = g_i \circ \psi_i^{-1}\colon X'_i \to Y$ とおくと、$X'_i \cap X'_j$ の上で $h_j = g_j \circ \psi_j^{-1} = g_j \circ \varphi_{ij} \circ \psi_i^{-1} = g_i \circ \psi_i^{-1} = h_i$ なので、(1) により $g|_{X'_i} = h_i$ となる $g$ がただ一つあります。$(X^\dagger, (\psi^\dagger_i))$ も (2) の条件を満たせば、この全単射を $Y = X^\dagger$ と $Y = X$ に使って、$\psi_i$、$\psi^\dagger_i$ と両立する互いに逆な射 $X \to X^\dagger$、$X^\dagger \to X$ を得ます。

∎

6. 次数環の Proj と射影空間

射影空間は、アフィン空間のように一つの環の Spec にはなりませんが、次数環から直接作れます。$S = \bigoplus_{d \ge 0} S_d$ を次数環（定義 2.1［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］）とし、$S_+ = \bigoplus_{d > 0} S_d$ とします。

なお、次の定義で $S_{(f)}$（局所化してから $0$ 次の部分だけを取る）を使う理由は、射影空間では $x_1$ や $x_0$ のような座標そのものが関数ではなく、$x_1/x_0$ のように同じ次数の比にして初めて関数になるからです。比を取って $0$ 次にそろえた環の Spec が、射影空間の一枚の座標近傍になります。

定義 6.1（Proj）↗

次数環 $S$ の斉次素イデアル $\mathfrak{p}$ で $S_+ \not\subseteq \mathfrak{p}$ となるものの全体を $\operatorname{Proj} S$ と書き、$\operatorname{Spec} S$ の部分空間としての位相を入れる。斉次元 $f$ に対し $D_+(f) = \{ \mathfrak{p} \in \operatorname{Proj} S : f \notin \mathfrak{p} \}$ とおく。

• 斉次元 $f$ について、$S_f$ は $\deg(x/f^n) = \deg x - n\deg f$ により $\mathbb{Z}$ で次数づけられる。その $0$ 次の元のなす部分環を $S_{(f)}$ と書く。
• $\mathfrak{p} \in \operatorname{Proj} S$ について、$S_{\mathfrak{p}}$ の部分環 $S_{(\mathfrak{p})} = \{ a/b : a, b \text{ は同じ次数の斉次元},\ b \notin \mathfrak{p} \}$ を考える。
• 開集合 $U \subseteq \operatorname{Proj} S$ に対し、族 $(s_{\mathfrak{p}})_{\mathfrak{p} \in U} \in \prod_{\mathfrak{p} \in U} S_{(\mathfrak{p})}$ で、各点 $\mathfrak{p} \in U$ に開近傍 $W \subseteq U$ と同じ次数の斉次元 $a, b$ があって、すべての $\mathfrak{q} \in W$ で $b \notin \mathfrak{q}$ かつ $s_{\mathfrak{q}} = a/b$ となるものの全体を $\mathcal{O}(U)$ とする。成分ごとの演算と族の制限により、$\mathcal{O}$ は $\operatorname{Proj} S$ 上の環の層である（条件が各点の近傍についてのものなので、局所性と貼り合わせが成り立つ）。

$A$ を環とする。$S = A[x_0, \ldots, x_n]$（各 $x_i$ は $1$ 次）のとき $\mathbb{P}^n_A = \operatorname{Proj} S$ と書き、$A$ 上の $n$ 次元射影空間という。$\mathbb{A}^n_A = \operatorname{Spec} A[x_1, \ldots, x_n]$ を $A$ 上の $n$ 次元アフィン空間という。

補題 6.2（斉次イデアルの素性の判定）✓

$S$ を次数環、$\mathfrak{p} \ne S$ を斉次イデアルとする。

1. 斉次元 $x, y$ について「$xy \in \mathfrak{p}$ ならば $x \in \mathfrak{p}$ または $y \in \mathfrak{p}$」が成り立てば、$\mathfrak{p}$ は素イデアルである。
2. $\mathfrak{p} \in \operatorname{Proj} S$ について、$S_{(\mathfrak{p})}$ は $\{ a/b : a \in \mathfrak{p} \}$ を極大イデアルとする局所環である。
3. 斉次元 $f$（次数 $d > 0$）、斉次元 $g$（次数 $e \ge 0$）について、$u = g^d/f^e \in S_{(f)}$ とおくと、$S_f \to S_{fg}$ の誘導する準同型 $(S_{(f)})_u \to S_{(fg)}$ は同型である。

証明（補題 6.2）

(1) $x, y \notin \mathfrak{p}$ とし、$xy \notin \mathfrak{p}$ を示します。$\mathfrak{p}$ は斉次なので、$x$ の斉次成分のうち $\mathfrak{p}$ に属さないものがあり、その最小の次数を $m$、$y$ について同様に $l$ とします。$xy$ の $m + l$ 次の成分は $\sum_{i + j = m + l} x_iy_j$ で、$i < m$ なら $x_i \in \mathfrak{p}$、$i > m$ なら $j < l$ で $y_j \in \mathfrak{p}$ です。$x_my_l \notin \mathfrak{p}$（仮定）なので、この成分は $\mathfrak{p}$ に属しません。$\mathfrak{p}$ は斉次なので $xy \notin \mathfrak{p}$ です。

(2) $a \notin \mathfrak{p}$ なら $a/b$ は逆元 $b/a$ をもちます。$a \in \mathfrak{p}$ のとき、$(a/b)(c/c') = 1$ とすると、斉次元 $h \notin \mathfrak{p}$ で $h(ac - bc') = 0$ となるものがあり（$S_{\mathfrak{p}}$ での等式で、両辺の斉次成分を比べて $h$ を斉次に取れる）、$hbc' = hac \in \mathfrak{p}$ ですが $h, b, c' \notin \mathfrak{p}$ なので矛盾です。よって単元でない元の全体は $\{ a/b : a \in \mathfrak{p} \}$ で、これはイデアルなので、$S_{(\mathfrak{p})}$ は局所環です（補題 3.9［局所化と素イデアルのスペクトル］）。

(3) $u$ の $S_{(fg)}$ での像は逆元 $f^{d+e}/(fg)^d$ をもつ（次数は $d(d+e) - d(d+e) = 0$）ので、局所化の普遍性により準同型 $\lambda\colon (S_{(f)})_u \to S_{(fg)}$ があります。単射性。 $x/f^n \in S_{(f)}$ の $S_{fg}$ での像が $0$ なら、$(fg)^kx = 0$ となる $k$ があり、$u^k \cdot (x/f^n) = g^{dk}x/f^{n + ek}$ は、分子に $f^{dk}$ を掛けると $f^{dk}g^{dk}x = (fg)^{dk}x = 0$ なので $S_f$ で $0$ です。よって $x/f^n$ は $(S_{(f)})_u$ で $0$ です。全射性。 $S_{(fg)}$ の元を $y/(fg)^n$（$\deg y = n(d + e)$）と書くと

$$\frac{y}{(fg)^n} = \frac{yg^{(d-1)n}}{f^{n(e+1)}} \cdot \Bigl(\frac{g^d}{f^e}\Bigr)^{-n}$$

で、$\deg(yg^{(d-1)n}) = n(d + e) + e(d - 1)n = dn(e + 1)$ なので $yg^{(d-1)n}/f^{n(e+1)} \in S_{(f)}$ です。

∎

定理 6.3（Proj はスキーム）✓

$S$ を次数環、$X = \operatorname{Proj} S$ とする。

1. 正の次数の斉次元 $f$ についての $D_+(f)$ の全体は $X$ の開基で、$D_+(f) \cap D_+(g) = D_+(fg)$ である。正の次数の斉次元の族 $(f_i)$ がイデアル $S_+$ を生成すれば $X = \bigcup_i D_+(f_i)$ である。
2. $f$ を次数 $d > 0$ の斉次元とする。$\phi_f(\mathfrak{p}) = \mathfrak{p}S_f \cap S_{(f)}$ は同相写像 $\phi_f\colon D_+(f) \to \operatorname{Spec} S_{(f)}$ を定め、次数 $e$ の斉次元 $g$ について $\phi_f(D_+(fg)) = D(g^d/f^e)$ である。
3. 点 $\mathfrak{p} \in X$ での茎は $\mathcal{O}_{X, \mathfrak{p}} \cong S_{(\mathfrak{p})}$ である。$f$ を正の次数の斉次元とすると、$(D_+(f), \mathcal{O}_X|_{D_+(f)})$ は局所環付き空間として $\operatorname{Spec} S_{(f)}$ と同型である。したがって $\operatorname{Proj} S$ はスキームである。
4. $\mathbb{P}^n_A = \bigcup_{i=0}^n D_+(x_i)$ で、$D_+(x_i) \cong \operatorname{Spec} A[x_0/x_i, \ldots, x_n/x_i] \cong \mathbb{A}^n_A$ である。ここで $A[x_0/x_i, \ldots, x_n/x_i] = S_{(x_i)}$ は、$n$ 個の元 $x_j/x_i$（$j \ne i$）を変数とする $A$ 上の多項式環である。$D_+(x_i) \cap D_+(x_j)$ は、$D_+(x_i)$ の中では主開集合 $D(x_j/x_i)$ に対応する。

証明（定理 6.3）

(1) $\mathfrak{p} \in X$ と、$\mathfrak{p}$ を含む $\operatorname{Spec} S$ の主開集合 $D(g)$ を取ります。$\mathfrak{p}$ は斉次で $g \notin \mathfrak{p}$ なので、$g$ のある斉次成分 $g_i$ は $\mathfrak{p}$ に属しません。$S_+ \not\subseteq \mathfrak{p}$ で $S_+$ は正の次数の斉次元で生成されるので、正の次数の斉次元 $h \notin \mathfrak{p}$ があります。$\mathfrak{p} \in D_+(g_ih)$ で、$\mathfrak{q} \in D_+(g_ih)$ なら、$\mathfrak{q}$ は斉次で $g_i \notin \mathfrak{q}$ なので $g \notin \mathfrak{q}$、すなわち $D_+(g_ih) \subseteq D(g) \cap X$ です。よって開基です。$\mathfrak{p}$ が素イデアルなので $D_+(f) \cap D_+(g) = D_+(fg)$ です。$(f_i)$ が $S_+$ を生成するとき、$\mathfrak{p} \in X$ がすべての $f_i$ を含めば $S_+ \subseteq \mathfrak{p}$ となるので、ある $f_i$ は $\mathfrak{p}$ に属さず、$\mathfrak{p} \in D_+(f_i)$ です。

(2) $\mathfrak{p} \in D_+(f)$ について、$\mathfrak{p}S_f$ は $S_f$ の素イデアルで、$x/f^n \in \mathfrak{p}S_f$ は $x \in \mathfrak{p}$ と同値です（定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (3)）。その $S_{(f)}$ への逆像 $\phi_f(\mathfrak{p})$ は素イデアルです。

開集合の対応。 $g$ を次数 $e$ の斉次元、$\mathfrak{p} \in D_+(f)$ とすると、$g \notin \mathfrak{p} \iff g^d \notin \mathfrak{p} \iff g^d/f^e \notin \phi_f(\mathfrak{p})$ です。よって $\phi_f^{-1}(D(g^d/f^e)) = D_+(fg)$ です。$S_{(f)}$ の元は $x/f^n$（$\deg x = nd$）の形で、$D(x/f^n) = D((x/f^n)^d) = D(x^d/f^{nd})$ なので、$\operatorname{Spec} S_{(f)}$ の主開集合の逆像はすべて $D_+(fx)$ の形の開集合で、$\phi_f$ は連続です。$\phi_f$ が全単射であることを示せば、$D_+(f)$ の開基 $D_+(fg)$ の像 $D(g^d/f^e)$ が開集合なので、$\phi_f$ は同相写像です。

単射性。 $\phi_f(\mathfrak{p}) = \phi_f(\mathfrak{p}')$ とします。次数 $m$ の斉次元 $x \in \mathfrak{p}$ について $x^d/f^m \in \phi_f(\mathfrak{p}) = \phi_f(\mathfrak{p}')$ なので $x^d \in \mathfrak{p}'$、$x \in \mathfrak{p}'$ です。$\mathfrak{p}$ は斉次元で生成される（補題 2.2［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］ の (1)）ので $\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{p}'$ で、対称性から等しくなります。

全射性。 $\mathfrak{q} \in \operatorname{Spec} S_{(f)}$ とし、$m \ge 0$ に対し $\mathfrak{p}_m = \{ x \in S_m : x^d/f^m \in \mathfrak{q} \}$、$\mathfrak{p} = \bigoplus_m \mathfrak{p}_m$ とおきます。$x, y \in \mathfrak{p}_m$ なら、$(x + y)^{2d}/f^{2m}$ を二項展開した各項 $x^iy^{2d - i}/f^{2m}$ は、$i \ge d$ なら $x^d/f^m$ の、$i < d$ なら $y^d/f^m$ の $S_{(f)}$ での倍元なので $\mathfrak{q}$ に属し、$\bigl((x + y)^d/f^m\bigr)^2 \in \mathfrak{q}$、したがって $x + y \in \mathfrak{p}_m$ です。$s \in S_l$、$x \in \mathfrak{p}_m$ なら $(sx)^d/f^{l + m} = (s^d/f^l)(x^d/f^m) \in \mathfrak{q}$ なので $sx \in \mathfrak{p}_{l+m}$ です。よって $\mathfrak{p}$ は斉次イデアルです。$1 \notin \mathfrak{p}_0$（$1 \notin \mathfrak{q}$）なので $\mathfrak{p} \ne S$ で、$f^d/f^d = 1 \notin \mathfrak{q}$ なので $f \notin \mathfrak{p}$、とくに $S_+ \not\subseteq \mathfrak{p}$ です。斉次元 $x \in S_m$、$y \in S_l$ が $xy \in \mathfrak{p}$ を満たせば $(x^d/f^m)(y^d/f^l) \in \mathfrak{q}$ で、一方が $\mathfrak{q}$ に属するので $x \in \mathfrak{p}$ または $y \in \mathfrak{p}$ です。補題 6.2 の (1) により $\mathfrak{p}$ は素イデアルで、$\mathfrak{p} \in D_+(f)$ です。$z = x/f^n \in S_{(f)}$（$\deg x = nd$）について、$z \in \mathfrak{p}S_f \iff x \in \mathfrak{p}_{nd} \iff x^d/f^{nd} = z^d \in \mathfrak{q} \iff z \in \mathfrak{q}$ なので $\phi_f(\mathfrak{p}) = \mathfrak{q}$ です。

(3) 茎。 組 $(U, (s_{\mathfrak{q}})_{\mathfrak{q}})$ の類に $s_{\mathfrak{p}}$ を対応させる環準同型 $\mathcal{O}_{X, \mathfrak{p}} \to S_{(\mathfrak{p})}$ を考えます。$a/b \in S_{(\mathfrak{p})}$ は、開集合 $D(b) \cap X$ の上の切断 $(a/b)_{\mathfrak{q}}$ の像なので全射です。$s_{\mathfrak{p}} = 0$ とし、$\mathfrak{p}$ の近傍 $W$ で $s_{\mathfrak{q}} = a/b$ と書くと、$a/b = 0$ が $S_{(\mathfrak{p})}$ で成り立つので、斉次元 $h \notin \mathfrak{p}$ で $ha = 0$ となるものがあり、$W \cap D(h)$ の上で $s = 0$ です。よって単射です。

茎の比較。 $\mathfrak{p} \in D_+(f)$、$\mathfrak{q} = \phi_f(\mathfrak{p})$ とします。$y/f^m \notin \mathfrak{q}$ は $y \notin \mathfrak{p}$ と同値なので、$S_{(f)} \to S_{(\mathfrak{p})}$、$x/f^n \mapsto x/f^n$ は $\mathfrak{q}$ の外の元を単元に写し、$\iota_{\mathfrak{p}}\colon (S_{(f)})_{\mathfrak{q}} \to S_{(\mathfrak{p})}$ を誘導します。$a/b \in S_{(\mathfrak{p})}$（次数 $m$）は $(ab^{d-1}/f^m) \cdot (b^d/f^m)^{-1}$ の像なので全射です。$x/f^n$ の像が $0$ なら、次数 $l$ の斉次元 $h \notin \mathfrak{p}$ で $hx = 0$ となるものがあり、$(h^d/f^l)(x/f^n) = 0$ かつ $h^d/f^l \notin \mathfrak{q}$ なので、$x/f^n$ は $(S_{(f)})_{\mathfrak{q}}$ で $0$ です。よって $\iota_{\mathfrak{p}}$ は同型です。

層の同型。 $Y = \operatorname{Spec} S_{(f)}$ とします。定理 2.3 の (4) により、$\mathcal{O}_Y(V)$ の元は族 $(t_{\mathfrak{q}})_{\mathfrak{q} \in V}$ で局所的に $S_{(f)}$ の元の商で書けるものです。

$$\Theta_V\colon \mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(\phi_f^{-1}(V)), \qquad (t_{\mathfrak{q}})_{\mathfrak{q}} \mapsto \bigl(\iota_{\mathfrak{p}}(t_{\phi_f(\mathfrak{p})})\bigr)_{\mathfrak{p}}$$

とおきます。$t$ が点の近傍で $(x/f^n)/(y/f^m)^k$ なら、像はその近傍で斉次元の商 $xf^{mk}/(y^kf^n)$ なので、右辺は $\mathcal{O}_X$ の切断です。$\Theta_V$ は制限と両立する環準同型で、$\iota_{\mathfrak{p}}$ が単射なので単射です。全射であること: $s \in \mathcal{O}_X(\phi_f^{-1}(V))$ に対し $t_{\phi_f(\mathfrak{p})} = \iota_{\mathfrak{p}}^{-1}(s_{\mathfrak{p}})$ とおきます。$s$ が $\mathfrak{p}$ の近傍で $a/b$（次数 $m$）なら、$t$ は対応する点の近傍で $(ab^{d-1}/f^m)/(b^d/f^m)$ で、$\mathcal{O}_Y$ の切断の条件を満たします。よって $\Theta\colon \mathcal{O}_Y \to (\phi_f)_*(\mathcal{O}_X|_{D_+(f)})$ は層の同型で、(2) とあわせて $(\phi_f, \Theta)$ は環付き空間の同型 $(D_+(f), \mathcal{O}_X|_{D_+(f)}) \to \operatorname{Spec} S_{(f)}$ です。茎は局所環（補題 6.2 の (2)）で、茎の写像は環の同型だから局所準同型です。(1) により $X$ は $D_+(f)$ で覆われるので、スキームです。

(4) $x_0, \ldots, x_n$ は $S_+$ を生成するので、(1) により $\mathbb{P}^n_A = \bigcup_i D_+(x_i)$ で、(3) により $D_+(x_i) \cong \operatorname{Spec} S_{(x_i)}$ です。$A$ 代数の準同型 $\beta\colon A[y_j : j \ne i] \to S_{(x_i)}$、$y_j \mapsto x_j/x_i$ を考えます。$S_{(x_i)}$ の元 $F/x_i^m$（$F$ は $m$ 次斉次）は $F(x_0/x_i, \ldots, x_n/x_i)$（$x_i/x_i = 1$）に等しいので $\beta$ は全射です。$A$ 代数の準同型 $S \to A[y_j : j \ne i]$、$x_i \mapsto 1$、$x_j \mapsto y_j$ は $x_i$ を単元に写すので $S_{x_i}$ に延び、$x_j/x_i$ を $y_j$ に写します。これと $\beta$ の合成は恒等写像なので $\beta$ は単射です。最後の主張は (2) で $f = x_i$、$g = x_j$ としたものです。

∎

$S_0 \to S_{(f)}$ により各 $D_+(f)$ は $\operatorname{Spec} S_0$ 上のスキームで、これらは貼り合わさって $\operatorname{Proj} S \to \operatorname{Spec} S_0$ を与えます（定理 5.1 の (1)）。$\mathbb{P}^n_A$ は $A$ 上のスキームです。補題 6.2 の (3) は、$D_+(f) \cap D_+(g) = D_+(fg)$ の上で、$\operatorname{Spec} S_{(f)}$ の主開集合と $\operatorname{Spec} S_{(g)}$ の主開集合がどちらも $\operatorname{Spec} S_{(fg)}$ と同型であること、つまり貼り合わせの関数を具体的に与えます。

例 6.4（射影直線の貼り合わせ）

$\mathbb{P}^1_A = \operatorname{Proj} A[x_0, x_1]$ は $U_0 = D_+(x_0) = \operatorname{Spec} A[t]$（$t = x_1/x_0$）と $U_1 = D_+(x_1) = \operatorname{Spec} A[t']$（$t' = x_0/x_1$）で覆われます。$U_0 \cap U_1 = D_+(x_0x_1)$ は $U_0$ の中では $D(t) = \operatorname{Spec} A[t, t^{-1}]$、$U_1$ の中では $D(t') = \operatorname{Spec} A[t', t'^{-1}]$ で、貼り合わせは $t' = t^{-1}$ です。定理 5.1 の言葉では、2 本のアフィン直線を、原点を除いた部分で $t \mapsto t^{-1}$ により貼り合わせたものです。

大域切断を求めます。$\Gamma(\mathbb{P}^1_A, \mathcal{O})$ の元は、$p(t) \in A[t]$ と $q(t') \in A[t']$ の組で、$A[t, t^{-1}]$ の中で $p(t) = q(t^{-1})$ となるものです。左辺は $t$ の $0$ 以上の冪だけ、右辺は $0$ 以下の冪だけを含むので、両方とも定数です。よって $\Gamma(\mathbb{P}^1_A, \mathcal{O}) = A$ で、$A \ne 0$ のとき標準射 $\mathbb{P}^1_A \to \operatorname{Spec} A$ は同型ではなく（$U_0$ への制限は包含 $A \to A[t]$ の定める射で、$A$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ に対し $A[t]$ の相異なる素イデアル $\mathfrak{m}A[t]$ と $\mathfrak{m}A[t] + (t)$ がどちらも $\mathfrak{m}$ に写るので単射でない。$A$ が体 $k$ なら右辺は $1$ 点、左辺は無限個の点をもつ）、$\mathbb{P}^1_A$ はアフィンスキームではありません（定理 3.4 の (3)）。

7. 多様体からスキームへ・点の記述

次の定理は、記事「アフィン代数多様体と座標環」の古典的なアフィン多様体が、新しい枠組みの中で失われずに入っていることを述べます。多様体の点は閉点としてスキームの中に残り、多様体のあいだの射は、スキームのあいだの射と過不足なく対応します（これが充満忠実の意味です）。

定理 7.1（アフィン多様体はスキームに埋め込まれる）✓

$k$ を代数閉体とし、$X$ を記事 アフィン代数多様体と座標環 の意味のアフィン多様体、$k[X]$ をその座標環とする。

1. $X$ に $k$ 上のスキーム $\operatorname{Spec} k[X]$ を、射 $\phi\colon X \to Y$ に $\operatorname{Spec}(\phi^*)$ を対応させる関手は、アフィン多様体の圏から $k$ 上のスキームの圏への充満忠実な関手である。
2. $\alpha\colon X \to \operatorname{Spec} k[X]$、$p \mapsto \mathfrak{m}_p$ は、$X$ から $\operatorname{Spec} k[X]$ の閉点の全体（相対位相）への同相写像である。
3. $U \mapsto \alpha^{-1}(U)$ は、$\operatorname{Spec} k[X]$ の開集合の全体から $X$ の開集合の全体への全単射である。環の層の同型 $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec} k[X]} \cong \alpha_*\mathcal{O}_X$（$\mathcal{O}_X$ は正則関数の層）があり、切断 $s \in \mathcal{O}_{\operatorname{Spec} k[X]}(U)$ に対応する正則関数は $p \mapsto s(\mathfrak{m}_p) \in \kappa(\mathfrak{m}_p) = k$ である。

証明（定理 7.1）

(1) $k$ 上のスキームの射 $\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ は、定理 3.4 により環準同型 $A \to B$ で $k$ からの構造準同型と両立するもの、すなわち $k$ 代数の準同型と 1 対 1 に対応します（自然性により、$\operatorname{Spec} k$ への構造射との両立は $k \to A \to B$ が $k \to B$ に等しいことと同値）。一方、射 $X \to Y$ は $k$ 代数の準同型 $k[Y] \to k[X]$ と 1 対 1 に対応します（定理 5.1［アフィン代数多様体と座標環］ の (1) と 定理 4.6［アフィン代数多様体と座標環］ の (2)）。2 つの全単射の合成が $\phi \mapsto \operatorname{Spec}(\phi^*)$ です。

(2) $k[X]$ の極大イデアルは $\mathfrak{m}_p$（$p \in X$）の形に限り、$p$ は $\mathfrak{m}_p$ で決まります（命題 4.2［アフィン代数多様体と座標環］ の (2)）。$\operatorname{Spec} k[X]$ の閉点は極大イデアルなので、$\alpha$ は閉点の全体への全単射です。イデアル $\mathfrak{a}$ について $\alpha^{-1}(V(\mathfrak{a})) = \{ p : \mathfrak{a} \subseteq \mathfrak{m}_p \} = \mathbf{V}_X(\mathfrak{a})$ で、$X$ の閉集合はすべてこの形なので、$\alpha$ は像の上への同相写像です。

(3) $\operatorname{Spec} k[X]$ の閉集合 $V(\mathfrak{a})$ は根基イデアルと 1 対 1 に対応し（補題 4.2［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (5)）、$X$ の閉集合 $\mathbf{V}_X(\mathfrak{a})$ も根基イデアルと 1 対 1 に対応します（命題 4.2［アフィン代数多様体と座標環］ の (1)）。$\alpha^{-1}(V(\mathfrak{a})) = \mathbf{V}_X(\mathfrak{a})$ なので、$U \mapsto \alpha^{-1}(U)$ は全単射です。

$f \in k[X]$ について $\alpha^{-1}(D(f)) = D_X(f)$ で、$f \ne 0$ なら $\mathcal{O}_X(D_X(f)) = k[X]_f = \mathcal{O}_{\operatorname{Spec} k[X]}(D(f))$ です（定理 4.6［アフィン代数多様体と座標環］ の (2)）。$f = 0$ なら両辺は $0$ です。どちらの制限写像も $k[X]$ 代数の準同型で、補題 2.1 の (2) の一意性により一致します。よって主開集合の上で $\mathcal{O}_{\operatorname{Spec} k[X]}$ と $\alpha_*\mathcal{O}_X$ は同型で、定理 4.4［層］ の (2) により層として同型です。$a/f^n \in k[X]_f$ の点 $\mathfrak{m}_p$ での値は、$k[X]_{\mathfrak{m}_p} \to k[X]_{\mathfrak{m}_p}/\mathfrak{m}_pk[X]_{\mathfrak{m}_p} = k$ による像 $a(p)/f(p)^n$ で、これは正則関数 $a/f^n$ の $p$ での値です。一般の切断については、局所的にこの形なので同じです。

∎

この定理により、古典的な多様体は「閉点だけを見たスキーム」です。スキーム $\operatorname{Spec} k[X]$ には、閉点のほかに、$X$ の既約な閉集合 $Z$（部分多様体）ごとの生成点 $\mathbf{I}_X(Z)$ があります。多様体を一般に「代数閉体 $k$ 上の整・分離・有限型のスキーム」と定義するのは、記事 分離射・固有射と付値判定法 です。

命題 7.2（体と局所環に値をもつ点）✓

$X$ をスキームとする。

1. $(A, \mathfrak{m})$ を局所環とする。射 $g\colon \operatorname{Spec} A \to X$ に、点 $x = g(\mathfrak{m})$ と茎の写像 $g^\#_{\mathfrak{m}}\colon \mathcal{O}_{X,x} \to A$ の組を対応させる写像は、$X(A)$ から、点 $x \in X$ と局所準同型 $\mathcal{O}_{X,x} \to A$ の組の全体への全単射である。
2. $K$ を体とする。$X(K)$ は、点 $x \in X$ と体の準同型 $\kappa(x) \to K$ の組の全体と 1 対 1 に対応する。
3. 各点 $x \in X$ に対し、(1) で恒等写像に対応する標準射 $\operatorname{Spec}\mathcal{O}_{X,x} \to X$ があり、その像は $x$ の一般化の全体である。

証明（命題 7.2）

(1) $\operatorname{Spec} A$ の閉点は $\mathfrak{m}$ だけで、茎は $A_{\mathfrak{m}} = A$ です。$\mathfrak{m}$ を含む開集合は全体だけです。実際、補集合 $V(\mathfrak{a})$ が $\mathfrak{m}$ を含まなければ $\mathfrak{a} \not\subseteq \mathfrak{m}$ で、$\mathfrak{a} = A$、$V(\mathfrak{a}) = \varnothing$ です。

$g\colon \operatorname{Spec} A \to X$ を射、$x = g(\mathfrak{m})$ とし、$x$ を含むアフィン開集合 $U = \operatorname{Spec} B$ を取ります。$g^{-1}(U)$ は $\mathfrak{m}$ を含む開集合なので全体で、$g$ は $U$ を経由します。定理 3.4 により $g = \operatorname{Spec}\psi$ となる環準同型 $\psi\colon B \to A$ がただ一つあり、$x$ に対応する素イデアルは $\mathfrak{p} = \psi^{-1}(\mathfrak{m})$、茎の写像 $g^\#_{\mathfrak{m}}\colon B_{\mathfrak{p}} \to A$ は $\psi$ の誘導する局所準同型です。$\psi$ は合成 $B \to B_{\mathfrak{p}} \xrightarrow{g^\#_{\mathfrak{m}}} A$ に等しいので、$g$ は組 $(x, g^\#_{\mathfrak{m}})$ で決まります。よって対応は単射です。

逆に点 $x$ と局所準同型 $\varphi\colon \mathcal{O}_{X,x} \to A$ が与えられたとします。$x \in U = \operatorname{Spec} B$、$x = \mathfrak{p}$ とし、$\psi\colon B \to B_{\mathfrak{p}} = \mathcal{O}_{X,x} \xrightarrow{\varphi} A$ とおきます。$\varphi$ が局所準同型なので $\varphi^{-1}(\mathfrak{m}) = \mathfrak{p}B_{\mathfrak{p}}$、したがって $\psi^{-1}(\mathfrak{m}) = \mathfrak{p}$ です。$g\colon \operatorname{Spec} A \xrightarrow{\operatorname{Spec}\psi} U \subseteq X$ は $g(\mathfrak{m}) = x$ を満たし、茎の写像は $\psi$ の誘導する $B_{\mathfrak{p}} \to A$、すなわち $\varphi$ です。よって全射です。

(2) 体 $K$ は極大イデアル $(0)$ をもつ局所環です。局所準同型 $\mathcal{O}_{X,x} \to K$ は $\mathfrak{m}_x$ を $0$ に写す環準同型で、体の準同型 $\kappa(x) \to K$ と 1 対 1 に対応します。

(3) $x \in U = \operatorname{Spec} B$、$x = \mathfrak{p}$ とすると、標準射は $\operatorname{Spec} B_{\mathfrak{p}} \to \operatorname{Spec} B \subseteq X$ で、像は $\mathfrak{p}$ に含まれる素イデアルの全体（命題 4.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (2)）、すなわち $U$ の中の $x$ の一般化の全体です。$x$ の一般化はすべて $U$ に属します（命題 4.3 の (3)）。

∎

(2) は「点」という言葉の 2 つの意味を結びます。底空間の点 $x$ は、体に値をもつ点 $\operatorname{Spec} K \to X$ の同値類のようなもので、$\operatorname{Spec}\kappa(x) \to X$ がその代表です。$X$ が $k$ 上のスキームのとき、$k$ 上の射 $\operatorname{Spec} k \to X$（$k$ 有理点）は、$k \to \kappa(x)$ が同型になる点 $x$ と 1 対 1 に対応します。

8. 例

例 8.1（Spec Z と離散付値環の Spec）

(1) $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の点は、閉点 $(p)$（$p$ は素数。剰余体は $\mathbb{F}_p$）と生成点 $(0)$（剰余体は $\mathbb{Q}$）です。整数 $n$ は「関数」で、点 $(p)$ での値は $n \bmod p \in \mathbb{F}_p$、生成点での値は $n \in \mathbb{Q}$ です。$D(n)$ は $n$ を割らない素数と $(0)$ からなり、$\mathcal{O}(D(n)) = \mathbb{Z}[1/n]$ です。位相は $1$ 次元の曲線に似ていて、$\mathbb{Z}$ は「曲線 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の座標環」と考えられます。

(2) $R$ を離散付値環（定義 3.1［離散付値環と Dedekind 環］）、$t$ を素元、$K$ を商体とします。$\operatorname{Spec} R$ は閉点 $(t)$ と生成点 $(0)$ の $2$ 点からなり、開集合は $\varnothing$、$\{(0)\} = D(t)$、全体の 3 つです。$\mathcal{O}(D(t)) = R_t = K$ で、生成点は開いた点です。命題 7.2 により、射 $\operatorname{Spec} R \to X$ は、点 $x_0$（閉点の像）と局所準同型 $\mathcal{O}_{X, x_0} \to R$ の組で、生成点の像 $x_1$ は $x_0$ の一般化です。離散付値環の Spec は「点 $x_1$ が点 $x_0$ に特殊化していく $1$ 径数の族」を表す最小のスキームで、分離性・固有性の付値判定法で試験に使われます。

例 8.2（代数閉でない体上のアフィン直線）

$\mathbb{A}^1_{\mathbb{R}} = \operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]$ の閉点は、モニックな既約多項式に対応します。$x - a$（$a \in \mathbb{R}$）は剰余体が $\mathbb{R}$ の点、$x^2 + bx + c$（$b^2 - 4c < 0$）は剰余体が $\mathbb{R}[x]/(x^2 + bx + c) \cong \mathbb{C}$ の点で、後者は共役な複素数の組 $\{z, \bar{z}\}$ と 1 対 1 に対応します。ほかに生成点 $(0)$（剰余体 $\mathbb{R}(x)$）があります。

命題 7.2 の (2) で数えると、$\mathbb{R}$ 値点は剰余体が $\mathbb{R}$ の点で、全体は $\mathbb{R}$ です。$\mathbb{C}$ 値点は、点と埋め込み $\kappa(x) \to \mathbb{C}$ の組です。剰余体が $\mathbb{C}$ の点には埋め込みが 2 つ（恒等写像と複素共役）あるので、$\{z, \bar{z}\}$ から $z$ と $\bar{z}$ が別々の $\mathbb{C}$ 値点として現れ、全体は $\mathbb{C}$ です。これは 定理 3.4 による $\operatorname{Hom}(\mathbb{R}[x], \mathbb{C}) = \mathbb{C}$ とも合います。$x^2 + 1 = 0$ は $\mathbb{R}$ に解をもちませんが、スキーム $\operatorname{Spec}\mathbb{R}[x]/(x^2 + 1) = \operatorname{Spec}\mathbb{C}$ は $1$ 点からなる空でない空間です。

例 8.3（二重点 Spec k[ε]/(ε²) と接ベクトル）

$k$ を体、$D = k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ とします。$\operatorname{Spec} D$ は $1$ 点 $(\varepsilon)$ からなり、底空間は $\operatorname{Spec} k$ と同じですが、$\varepsilon$ は「値が $0$ だが $0$ でない関数」です。$D$ は極大イデアル $(\varepsilon)$ の局所環なので、命題 7.2 の (1) により、射 $\operatorname{Spec} D \to X$ は点 $x$ と局所準同型 $\varphi\colon \mathcal{O}_{X,x} \to D$ の組です。

$X$ が $k$ 上のスキームで $\kappa(x) = k$、$\varphi$ が $k$ 代数の準同型とします。$\mathcal{O}_{X,x} = k \oplus \mathfrak{m}_x$ で、$\varphi(\mathfrak{m}_x) \subseteq (\varepsilon)$、$\varphi(\mathfrak{m}_x^2) \subseteq (\varepsilon^2) = 0$ なので、$\varphi(c + m) = c + \lambda(\bar{m})\varepsilon$ となる $k$ 線形写像 $\lambda\colon \mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2 \to k$ が定まります。逆にどの $\lambda$ もこの式で $k$ 代数の局所準同型を与えます（積を保つことは $\varepsilon^2 = 0$ と $\lambda(\overline{mm'}) = 0$ から分かる）。つまり、$k$ 上の射 $\operatorname{Spec} D \to X$ で像が $x$ のものは、$\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2$ の双対空間の元、すなわち $x$ での接ベクトルです。冪零元をもつスキームは、微分の情報を点として運びます。

例 8.4（Spec Z[x] の図）

$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x] = \mathbb{A}^1_{\mathbb{Z}}$ の点は次の 4 種類です（分類の証明は記事 局所化と素イデアルのスペクトル の例にあります）。

• 生成点 $(0)$。
• $(p)$（$p$ は素数）。閉包 $V(p)$ は $\operatorname{Spec}\mathbb{F}_p[x] = \mathbb{A}^1_{\mathbb{F}_p}$ で、射 $\mathbb{A}^1_{\mathbb{Z}} \to \operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の $(p)$ の上のファイバーです。
• $(F)$（$F$ は $\mathbb{Q}[x]$ で既約な原始多項式）。閉包 $V(F)$ は「$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ の上に横たわる曲線」です。
• 閉点 $(p, F)$（$F$ は $\bmod p$ で既約なモニック多項式）。剰余体は $\mathbb{F}_p[x]/(\bar{F})$ です。

下の図では、$V(x^2 + 1)$ が各ファイバーとどう交わるかを描いています。$x^2 + 1$ は $\bmod 2$ で $(x + 1)^2$、$\bmod 5$ で $(x + 2)(x - 2)$ と分解し、$\bmod 3$ と $\bmod 7$ では既約です。したがって $V(x^2 + 1)$ は、$(2)$ の上では $1$ 点 $(2, x + 1)$ で接するように交わり、$(5)$ の上では $2$ 点、$(3)$ と $(7)$ の上では剰余体が $\mathbb{F}_9$、$\mathbb{F}_{49}$ の点 $1$ つずつで交わります。これは Gauss 整数環 $\mathbb{Z}[i] = \mathbb{Z}[x]/(x^2 + 1)$ での素数の分解（分岐・分解・惰性）を図にしたものです。

Spec Z[x] の模式図。縦線はファイバー V(p)、下の横線は V(x)、上の曲線は V(x² + 1)。黒丸は剰余体が F_p の閉点、白丸は剰余体が F_p の 2 次拡大の閉点。右端の破線は生成点 (0) の上のファイバー Spec Q[x]。

例 8.5（原点を二重にした直線）

$k$ を体とし、$X_1 = X_2 = \mathbb{A}^1_k = \operatorname{Spec} k[t]$、$U_{12} = U_{21} = D(t)$、$\varphi_{12} = \mathrm{id}$ として 定理 5.1 で貼り合わせたスキームを $X$ とします。$X$ は、原点以外では $2$ 本の直線が重なり、原点だけが $2$ つ（$o_1 \in X_1$ と $o_2 \in X_2$）残った空間です。

大域切断は、$p \in k[t]$ と $q \in k[t]$ の組で $k[t, t^{-1}]$ の中で等しいもの、すなわち $\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = k[t]$ です。標準射 $X \to \operatorname{Spec} k[t]$ は、$X_1$ と $X_2$ のそれぞれの上で恒等射（大域切断での写像が恒等写像だから）で、$o_1$ と $o_2$ をどちらも原点に写します。単射でないので同型ではなく、定理 3.4 の (3) により $X$ はアフィンスキームではありません。位相空間の「Hausdorff でない」に当たる現象で、スキームでは分離的でないといいます。

例 8.6（原点を除いた平面はアフィンスキームでない）

$k$ を体、$A = k[x, y]$ とし、$U = \mathbb{A}^2_k \setminus \{(x, y)\} = D(x) \cup D(y)$ を開部分スキームとします。層の条件から

$$\mathcal{O}(U) = \{ (s, t) \in A_x \times A_y : A_{xy} \text{ で } s = t \} = A_x \cap A_y \quad (k(x, y) \text{ の中で})$$

です。$a/x^m = b/y^l$（$m$ は最小）とすると、$m \ge 1$ なら $ay^l = bx^m$ から、$A$ が一意分解整域で $x$ が $y$ を割らない素元であることにより $x \mid a$ となり、最小性に反します。よって $\mathcal{O}(U) = A$ で、制限 $\Gamma(\mathbb{A}^2_k, \mathcal{O}) \to \Gamma(U, \mathcal{O})$ は同型です。

包含 $j\colon U \to \mathbb{A}^2_k = \operatorname{Spec} A$ は、大域切断での写像が同型 $A \to \mathcal{O}(U)$ なので、この同型で $\mathcal{O}(U)$ を $A$ と同一視すれば標準射 $U \to \operatorname{Spec}\Gamma(U, \mathcal{O})$ です（定理 3.4 の (1) の単射性）。$j$ は全射でないので同型ではなく、$U$ はアフィンスキームではありません（同じ定理の (3)）。アフィンスキームの開部分スキームがアフィンとは限らない、という例です。

9. 演習

演習 9.1標準

$k$ を体、$A = k[x, y]/(xy)$、$X = \operatorname{Spec} A$ とし、$\mathfrak{m} = (x, y)$、$U = X \setminus \{\mathfrak{m}\}$ とする。

1. $U = D(x) \cup D(y)$、$D(x) \cap D(y) = \varnothing$ を示し、$A_x$ と $A_y$ を求めよ。
2. $\mathcal{O}_X(U)$ を求め、制限写像 $A \to \mathcal{O}_X(U)$ が単射だが全射でないことを示せ。
3. $U = D(x + y)$ であることを示せ。

解答

(1) $X \setminus (D(x) \cup D(y)) = V(x, y)$ で、$A/(x, y) = k$ なので $V(x, y) = \{\mathfrak{m}\}$ です。$D(x) \cap D(y) = D(xy) = D(0) = \varnothing$ です。$A_x$ では $x$ が単元で $xy = 0$ なので $y = 0$ となり、$A_x = (A/(y))_x = k[x]_x = k[x, x^{-1}]$ です（命題 3.7［局所化と素イデアルのスペクトル］）。同様に $A_y = k[y, y^{-1}]$ です。

(2) 層の条件を被覆 $U = D(x) \cup D(y)$ に使うと、重なりが空で $\mathcal{O}_X(\varnothing) = 0$ なので $\mathcal{O}_X(U) = A_x \times A_y = k[x, x^{-1}] \times k[y, y^{-1}]$ です。$A$ の元は $c + p(x) + q(y)$（$c \in k$、$p \in xk[x]$、$q \in yk[y]$）とただ一通りに書け、制限は $(c + p(x),\ c + q(y))$ です。これが $0$ なら $c = 0$、$p = q = 0$ なので単射です。$(1, 0)$ は像に入らない（定数項が一致しない）ので全射ではありません。

(3) $A$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ は $xy = 0$ を含むので、$x \in \mathfrak{p}$ または $y \in \mathfrak{p}$ です。$x \in \mathfrak{p}$ のとき、$x + y \in \mathfrak{p}$ は $y \in \mathfrak{p}$ と同値で、$y \in \mathfrak{p}$ のときも同様です。よって $x + y \in \mathfrak{p}$ は $x, y \in \mathfrak{p}$、すなわち $\mathfrak{p} = \mathfrak{m}$ と同値で、$D(x + y) = U$ です。したがって $U$ はアフィン開集合で、(2) とあわせて $A_{x+y} \cong k[x, x^{-1}] \times k[y, y^{-1}]$ です。$X$ は原点で交わる $2$ 直線で、原点を除くと $2$ つの連結成分に分かれます。

演習 9.2標準

$X$ を局所環付き空間（$X \ne \varnothing$）とする。$X$ が連結でないことと、環 $\Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ が $0, 1$ 以外の冪等元をもつことは同値であることを示せ。

解答

$X = U \sqcup V$（$U, V$ は空でない開集合）とします。$1 \in \mathcal{O}_X(U)$ と $0 \in \mathcal{O}_X(V)$ は重なりが空なので貼り合わさり、$e \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ を与えます。$e^2 - e$ は $U$ でも $V$ でも $0$ なので $e^2 = e$ です。$U \ne \varnothing$ で、$U$ の点での茎は局所環だから $0$ でなく、$e|_U = 1 \ne 0$、同様に $(1 - e)|_V = 1 \ne 0$ なので $e \ne 0, 1$ です。

逆に $e$ を $0, 1$ 以外の冪等元とします。補題 3.2 により $X_e$ と $X_{1-e}$ は開集合です。各点 $x$ で $e(x)(1 - e(x)) = 0$ が体 $\kappa(x)$ で成り立ち、$e(x) + (1 - e(x)) = 1$ なので、$e(x)$ と $1 - e(x)$ のちょうど一方が $0$ です。よって $X = X_e \sqcup X_{1-e}$ です。$X_e = \varnothing$ とすると、すべての $x$ で $e_x \in \mathfrak{m}_x$ で、$1 - e_x$ は単元、$e_x(1 - e_x) = 0$ から $e_x = 0$ となり、切断は芽で決まるので $e = 0$ で矛盾です。同様に $X_{1-e} \ne \varnothing$ です。アフィンスキームの場合が 命題 4.8［局所化と素イデアルのスペクトル］ です。

演習 9.3標準

$k$ を体とし、$S = k[x, y]$ に $\deg x = 1$、$\deg y = 2$ で次数を入れる。$\operatorname{Proj} S$ は $\mathbb{P}^1_k$ と同型であることを示せ。

解答

$x, y$ は $S_+$ を生成するので、$\operatorname{Proj} S = D_+(x) \cup D_+(y)$ です（定理 6.3 の (1)）。

$S_{(x)}$ の元は $F/x^n$（$F$ は次数 $n$ の斉次元）で、$F$ は $a + 2b = n$ となる単項式 $x^ay^b$ の $k$ 線形結合です。$x^ay^b/x^n = (y/x^2)^b$ なので、$u = y/x^2$ とおくと $S_{(x)} = k[u]$ です。$S_{(y)}$ の元は $F/y^n$（$\deg F = 2n$）で、$a + 2b = 2n$ なら $a = 2c$ は偶数、$x^ay^b/y^n = (x^2/y)^c$ なので $S_{(y)} = k[u^{-1}]$ です。$x, y$ は $k$ 上代数的に独立なので $u$ は $k$ 上超越的で、どちらも $1$ 変数多項式環です。

同じ定理の (2) により、$D_+(x) \cap D_+(y) = D_+(xy)$ は、$\operatorname{Spec} S_{(x)}$ の中では $f = x$、$g = y$ として $D(y/x^2) = D(u)$、$\operatorname{Spec} S_{(y)}$ の中では $f = y$、$g = x$ として $D(x^2/y) = D(u^{-1})$ です。どちらも $\operatorname{Spec} S_{(xy)} = \operatorname{Spec} k[u, u^{-1}]$ と同型です（補題 6.2 の (3)）。

したがって $\operatorname{Proj} S$ は、$\operatorname{Spec} k[u]$ と $\operatorname{Spec} k[v]$ を $D(u) \cong D(v)$、$v = u^{-1}$ で貼り合わせたスキームです。これは 例 6.4 の $\mathbb{P}^1_k$ と同じ貼り合わせのデータなので、定理 5.1 の (3) の一意性により $\operatorname{Proj} S \cong \mathbb{P}^1_k$ です。次数の付け方を変えても Proj が変わらない例ですが、$\deg x = 1$、$\deg y = 1$、$\deg z = 2$ の $k[x, y, z]$ では $\mathbb{P}^2_k$ と同型でないスキーム（$2$ 次錐）が現れます。

演習 9.4標準

1. $\mathbb{G}_m = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x, y]/(xy - 1)$ とする。任意のスキーム $T$ について $\mathbb{G}_m(T) \cong \Gamma(T, \mathcal{O}_T)^\times$（単元群）であることを示せ。
2. $X = \operatorname{Spec}\mathbb{Z}[x]/(x^2 + 1)$ について、$X(\mathbb{R})$、$X(\mathbb{C})$、$X(\mathbb{F}_2)$、$X(\mathbb{F}_3)$、$X(\mathbb{F}_5)$ の元の個数を求めよ。
3. $k$ を体、$X = \operatorname{Spec} k[x_1, \ldots, x_n]/(F_1, \ldots, F_m)$、$D = k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ とする。$k$ 上の射 $\operatorname{Spec} D \to X$ の全体は、$F_j(a) = 0$ と $\sum_{i} \frac{\partial F_j}{\partial x_i}(a)b_i = 0$（すべての $j$）を満たす組 $(a, b) \in k^n \times k^n$ の全体と 1 対 1 に対応することを示せ。

解答

(1) 定理 3.4 の (1) により、$\mathbb{G}_m(T)$ は環準同型 $\mathbb{Z}[x, y]/(xy - 1) \to \Gamma(T, \mathcal{O}_T)$ の全体で、これは $uv = 1$ を満たす組 $(u, v) \in \Gamma(T, \mathcal{O}_T)^2$ と同じです。逆元は一意なので、$u \mapsto (u, u^{-1})$ により単元 $u$ と 1 対 1 に対応します。

(2) 同じ定理により、$X(A)$ は $a^2 + 1 = 0$ を満たす $a \in A$ の全体です。$\mathbb{R}$ では解なしで $0$ 個、$\mathbb{C}$ では $\pm i$ の $2$ 個です。$\mathbb{F}_2$ では $a = 1$ の $1$ 個（$1 + 1 = 0$）、$\mathbb{F}_3$ では $0^2 + 1 = 1$、$1^2 + 1 = 2$、$2^2 + 1 = 5 = 2$ で $0$ 個、$\mathbb{F}_5$ では $2^2 + 1 = 5 = 0$、$3^2 + 1 = 10 = 0$ で $2$ 個です。例 8.4 の図の交点の数え方と一致します。

(3) $k$ 上の射は $k$ 代数の準同型 $k[x]/(F_1, \ldots, F_m) \to D$ と対応し（定理 3.4 と $k$ 構造の両立）、これは $F_j(c_1, \ldots, c_n) = 0$ を満たす $c_i = a_i + b_i\varepsilon \in D$ の組です。多項式 $F$ について、$\varepsilon^2 = 0$ から

$$F(a + b\varepsilon) = F(a) + \Bigl(\sum_i \frac{\partial F}{\partial x_i}(a)b_i\Bigr)\varepsilon$$

です（単項式について積の微分の規則と同じ計算で確かめ、線形性で一般の $F$ に延ばす）。$1, \varepsilon$ は $D$ の $k$ 上の基底なので、$F_j(a + b\varepsilon) = 0$ は $F_j(a) = 0$ かつ $\sum_i \frac{\partial F_j}{\partial x_i}(a)b_i = 0$ と同値です。$a$ は $X$ の $k$ 有理点で、$b$ は Jacobi 行列の核のベクトル、すなわち $a$ での接ベクトルです（例 8.3）。

参考文献

• R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer, 1977 — Chapter II §2（スキーム）。
• A. Grothendieck, J. Dieudonné, “Éléments de géométrie algébrique I: Le langage des schémas”, Publications Mathématiques de l’IHÉS 4 (1960) — Chapitre I（アフィンスキーム、スキームの貼り合わせ）。
• D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes, 2nd ed., Lecture Notes in Mathematics 1358, Springer, 1999 — Chapter II（前スキーム）。
• D. Eisenbud, J. Harris, The Geometry of Schemes, Graduate Texts in Mathematics 197, Springer, 2000 — Chapter I〜II（Spec Z[x] などの例、点の関手）。
• U. Görtz, T. Wedhorn, Algebraic Geometry I: Schemes, Vieweg+Teubner, 2010 — Chapter 2〜3（スペクトル、スキーム、貼り合わせ）。
• Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford Graduate Texts in Mathematics 6, Oxford University Press, 2002 — Chapter 2（スキームの一般的性質）。