圏・関手・自然変換：Grothendieck 宇宙の上で「構造と写像」を一つの言葉にする

0. この記事の要点

群、位相空間、ベクトル空間など、数学には「対象」と、それらの間の「構造を保つ写像」の組があちこちに出てきます。この記事は、そうした組を一つの共通の言葉（圏）で扱い、さらに「圏から圏への対応」（関手）と「対応どうしの比較」（自然変換）を定義します。読み終えると、二つの圏が「本質的に同じ」とはどういうことかを、同型より柔軟な形で言えるようになります。第 2 節は「小さい集合」という言葉の約束を決める集合論の節なので、圏そのものから読みたいときは第 3 節から読み始め、「小さい」が出てきたところで戻っても構いません。

• 圏は「対象」と「射」と「射の合成」の組で、合成が結合的で恒等射をもつものです。群と準同型、位相空間と連続写像、ベクトル空間と線形写像は、どれも圏の例になります。関手は圏から圏への構造を保つ対応、自然変換は関手から関手への「どの対象でも同じ規則で作られる」射の族です。
• 「すべての集合の圏」を集合として扱うために、Grothendieck 宇宙の公理（任意の集合はある宇宙に属する）を ZFC に足します。以後「小さい」とは固定した宇宙の元であることです。この公理は到達不能基数（集合論に出てくる特別に大きい無限基数）が上に有界でないことと同値で、ZFC だけからは証明できません。このテーマの命題をさかのぼると、ZFC とこの公理に着きます。
• 始対象・終対象は一意な同型を除いて一意です。自然変換が自然同型であることは、各成分が同型であることと同値です。自然変換の垂直合成と水平合成は交換法則を満たします。
• 関手 $F$ が圏同値であることは、$F$ が充満忠実かつ本質的全射であることと同値です（証明に選択公理を使います）。圏同値は mono・epi・始対象・終対象を保ち、反映します。どの圏も、同型類ごとに一つずつ対象を選んだ骨格と圏同値です。
• 有限次元ベクトル空間の二重双対への同型は自然ですが、双対空間への同型はどう選んでも自然になりません。「自然」という言葉の数学的な意味はこの違いを区別するためにあります。

この記事で使う事前知識

• 群と準同型: 演算が結合的で単位元と逆元をもつ集合と、演算を保つ写像。→ 群
• 双対空間: ベクトル空間から体への線形写像全体のなすベクトル空間。→ 双対空間
• 選択公理: 空でない集合の族から、各集合の元を一つずつ同時に選べるという公理。→ 選択公理
• 基数と共終数: 集合の大きさを測る順序数と、その大きさに「下から届く」ための最小の長さ。第 2 節で使います。→ 基数・共終数
• 順序数: 整列された順序の「長さ」を表す数で、超限再帰の添字になります。第 2 節で使います。→ 順序数

1. 動機

代数学では、群の準同型定理・環の準同型定理・加群の準同型定理を別々に証明します。位相空間論では積位相の普遍性を、線形代数ではテンソル積の普遍性を証明します。これらは対象の種類が違うだけで、主張の形はよく似ています。「似ている」を正確に言い、一度の証明で済ませるための言葉が圏論です。

圏論は 1945 年に Eilenberg と Mac Lane が、代数的位相幾何学の「自然な同型」を定式化するために導入しました。ホモロジー群 $H_n(X)$ は空間 $X$ だけでなく連続写像 $f$ にも準同型 $f_*$ を対応させ、合成を合成に写します。この「対象と写像をまとめて移す対応」が関手であり、二つの関手の間の「どの $X$ でも同じ式で書ける」写像の族が自然変換です。彼らは「圏は関手を定義するために、関手は自然変換を定義するために導入した」と述べています。

この記事では、まず集合論の約束を決めます。「すべての集合の圏」「すべての群の圏」の対象全体は、ZFC の集合になりません（公理的集合論 ZFC の 命題 2.2［公理的集合論 ZFC］）。ふだんの数学ではこれを気にせずに済みますが、圏論では「圏の圏」「関手の圏」を作り、その上で選択公理を使います。そのたびにクラスと集合の区別を気にしなくてよいように、Grothendieck 宇宙を一つ固定し、その元を「小さい集合」と呼ぶことにします。

ノート

このテーマの閉包の根. Rikai の数学の命題は、証明の参照をさかのぼると 公理的集合論 ZFC の公理 公理 2.1［公理的集合論 ZFC］ に着きます。圏論・ホモロジー代数のテーマでは、それに次の節の宇宙の公理 公理 2.2 が 1 本加わり、閉包の根は ZFC ＋宇宙の公理 になります。宇宙の公理は ZFC より真に強い仮定です（注意 2.7）。これを使うのは「小さい」「局所的に小さい」という大きさの約束を通してだけで、群や加群についての個々の計算は ZFC の中で行われます。

2. 集合論の約束：Grothendieck 宇宙

2.1. 宇宙と宇宙の公理

ここでの困りごとは、「すべての群の集まり」のような対象全体が集合にならないことです。そのままでは「圏の圏」や「関手の圏」を作る議論で、どこまでが集合かを毎回気にする必要があります。そこで、集合の操作で閉じた十分に大きな集合（宇宙）を一つ固定し、その元だけを「小さい」と呼んで、大きさの問題をまとめて片づけます。

定義 2.1（Grothendieck 宇宙）↗

集合 $\mathbb{U}$ が次の 5 条件を満たすとき、Grothendieck 宇宙（以下、単に宇宙）という。

1. $x \in \mathbb{U}$ かつ $y \in x$ ならば $y \in \mathbb{U}$（推移的）。
2. $x, y \in \mathbb{U}$ ならば $\{x, y\} \in \mathbb{U}$。
3. $x \in \mathbb{U}$ ならば $\mathcal{P}(x) \in \mathbb{U}$。
4. $I \in \mathbb{U}$ で、$f$ が $I$ から $\mathbb{U}$ への写像ならば、$\bigcup_{i \in I} f(i) \in \mathbb{U}$。
5. $\omega \in \mathbb{U}$（$\omega$ は 公理的集合論 ZFC の 定義 3.1［公理的集合論 ZFC］ の自然数全体）。

条件 1〜4 は「宇宙の中で集合の操作をしても宇宙から出ない」ことを言っています。条件 5 は、宇宙が無限集合を含むことを要求します（これを除くと $\varnothing$ も宇宙になってしまいます）。

公理 2.2（宇宙の公理）↗

任意の集合 $x$ に対し、$x \in \mathbb{U}$ となる宇宙 $\mathbb{U}$ が存在する。

この公理のもとで宇宙 $\mathbb{U}$ を一つ固定し、以後このテーマ全体で次の言葉を使います。

• $\mathbb{U}$ の元を小さい集合という。
• 宇宙の公理により、$\mathbb{U} \in \mathbb{U}'$ となる宇宙 $\mathbb{U}'$ がある。$\mathbb{U}$ 自身や $\mathbb{U}$ 上の構造の集まりは小さくはありませんが、$\mathbb{U}'$ の中では小さい集合として扱えます。

命題 2.3（宇宙の閉性）✓

$\mathbb{U}$ を宇宙とし、$x, y, I \in \mathbb{U}$、$(x_i)_{i \in I}$ を $\mathbb{U}$ の元の族とする。

1. $x$ の部分集合は $\mathbb{U}$ の元である。とくに $\varnothing \in \mathbb{U}$ で、$\omega \subseteq \mathbb{U}$。
2. $\{x\}$、順序対 $(x, y)$、$x \cup y$、$x \times y$、$x$ から $y$ への写像全体 $y^{x}$ は $\mathbb{U}$ の元である。
3. $\bigcup_i x_i$、$\prod_i x_i$、$\bigsqcup_i x_i = \bigcup_i \{i\} \times x_i$ は $\mathbb{U}$ の元である。写像 $f : I \to \mathbb{U}$ の像 $f[I]$ も $\mathbb{U}$ の元である。

証明（命題 2.3）

定義 2.1 の条件を 1〜5 と呼ぶ。

1: $z \subseteq x$ なら $z \in \mathcal{P}(x)$ で、条件 3 より $\mathcal{P}(x) \in \mathbb{U}$、条件 1 より $z \in \mathbb{U}$。$\varnothing \subseteq \omega$ で $\omega \in \mathbb{U}$（条件 5）。$\omega \subseteq \mathbb{U}$ は条件 1 と 5 から。

2: $\{x\} = \{x, x\}$ と、順序対 $(x, y) = \{\{x\}, \{x, y\}\}$（定義 2.3［公理的集合論 ZFC］）には条件 2 を繰り返し使う。$x \cup y = \bigcup_{i \in \{x, y\}} i$ は条件 4（$I = \{x, y\}$、$f$ は恒等写像）による。定義 2.3［公理的集合論 ZFC］ により $x \times y \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(x \cup y))$ で、右辺は条件 3 で $\mathbb{U}$ の元だから、1 より $x \times y \in \mathbb{U}$。写像 $x \to y$ は $x \times y$ の部分集合なので $y^{x} \subseteq \mathcal{P}(x \times y) \in \mathbb{U}$。

3: $\bigcup_i x_i$ は条件 4 そのもの。像は $f[I] = \bigcup_{i \in I} \{f(i)\}$ で、$\{f(i)\} \in \mathbb{U}$（2）なので条件 4 から従う。$\{i\} \times x_i \in \mathbb{U}$（2。$i \in \mathbb{U}$ は条件 1）なので $\bigsqcup_i x_i \in \mathbb{U}$。$\prod_i x_i$ は $I \times \bigcup_i x_i$ の部分集合からなるので、$\mathcal{P}(I \times \bigcup_i x_i)$ の部分集合で、1・2 から $\mathbb{U}$ の元である。

∎

$\omega \in \mathbb{U}$ から、$\mathbb{Z}$・$\mathbb{Q}$（$\omega \times \omega$ などの同値類の集合で、$\mathcal{P}(\omega \times \omega)$ などの部分集合）、$\mathbb{R}$（$\mathcal{P}(\mathbb{Q})$ の部分集合）、$\mathbb{R}^n$、$\mathbb{R}$ 上の関数の集合なども、命題 2.3 を有限回使って小さい集合だと分かります。ふだん扱う具体的な集合はすべて小さいと思ってかまいません。

2.2. 宇宙と到達不能基数

宇宙の公理の強さを、基数の言葉で測ります。基数・共終数・正則基数は 公理的集合論 ZFC の 定義 6.1［公理的集合論 ZFC］・定義 6.5［公理的集合論 ZFC］ のとおりです。

定義 2.4（到達不能基数）↗

基数 $\kappa$ が次の 3 条件を満たすとき、（強）到達不能基数という。(i) $\kappa > \omega$、(ii) $\kappa$ は正則（$\mathrm{cf}(\kappa) = \kappa$）、(iii) 任意の基数 $\lambda < \kappa$ について $2^{\lambda} < \kappa$。

順序数 $\alpha$ に対し、集合 $V_\alpha$ を超限再帰（定理 5.5［公理的集合論 ZFC］）で

$$V_0 = \varnothing, \qquad V_{\alpha + 1} = \mathcal{P}(V_\alpha), \qquad V_\lambda = \bigcup_{\alpha < \lambda} V_\alpha \ (\lambda \text{ は極限順序数})$$

と定めます（累積階層）。

定理 2.5（宇宙と到達不能基数）✓

ZFC において次が成り立つ。

1. $\mathbb{U}$ が宇宙なら、$\kappa_{\mathbb{U}} = \{\alpha \in \mathbb{U} \mid \alpha \text{ は順序数}\}$ は到達不能基数で、すべての $x \in \mathbb{U}$ について $|x| < \kappa_{\mathbb{U}}$ である。
2. $\kappa$ が到達不能基数なら、$V_\kappa$ は宇宙で、$V_\kappa$ に属する順序数全体は $\kappa$ である。

証明は長いので Appendix に回します（定理 2.5 の証明は記事末尾）。

系 2.6（宇宙の公理の言い換え）✓

ZFC において、宇宙の公理 公理 2.2 は「任意の基数 $\lambda$ に対し、$\lambda < \kappa$ となる到達不能基数 $\kappa$ が存在する」と同値である。

証明は Appendix で、定理 2.5 と「すべての集合はある $V_\alpha$ に属する」（補題 8.7。正則性公理を使う）から導きます。

注意 2.7（宇宙の公理は ZFC から証明できない）

ZFC が無矛盾ならば、ZFC から「到達不能基数が存在する」は証明できず、したがって宇宙の公理も証明できません。理由の概略はこうです。$\kappa$ が到達不能基数なら $V_\kappa$ は ZFC のモデルになるので、ZFC ＋「到達不能基数が存在する」からは ZFC の無矛盾性が証明できます。もし ZFC 自身が到達不能基数の存在を証明できたなら、ZFC が自分の無矛盾性を証明することになり、第二不完全性定理（定理 6.1［ゲーデルの不完全性定理］）に反します。「$V_\kappa$ が ZFC のモデルである」ことの厳密な証明には充足関係を ZFC の中で形式化する準備が要るので、ここでは主張と文献（Kunen『Set Theory』第 IV 章）にとどめます。この注意の内容は、このテーマのどの証明でも使いません。

また、定理 2.5 の 1 はさらに強く $\mathbb{U} = V_{\kappa_{\mathbb{U}}}$ まで言えます（Appendix の 補題 8.7 と同じ議論を使います）。宇宙は到達不能基数と 1 対 1 に対応しているわけです。

宇宙の公理は数学の実践では弱い仮定です。代数幾何学の基礎（SGA 4）はこの公理の上に書かれており、Lean の数学ライブラリも型の宇宙の階層を同じ目的で使っています。他方、宇宙を使わずに「クラス」を論理式の略記として扱う流儀もあります（公理的集合論 ZFC で 命題 2.2［公理的集合論 ZFC］ のあとに説明した流儀）。その場合は、大きな圏について選択公理を使う場面ごとに、選択関数が論理式で与えられることを仮定に加える必要があります。

3. 圏

3.1. 定義と例

定義 3.1（圏）↗

圏 $\mathcal{C}$ とは次のデータの組である。

• 集合 $\operatorname{Ob}(\mathcal{C})$。その元を対象という。$X \in \operatorname{Ob}(\mathcal{C})$ を $X \in \mathcal{C}$ とも書く。
• 対象 $X, Y$ ごとの集合 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$。その元を $X$ から $Y$ への射といい、$f : X \to Y$ と書く。$(X, Y) \ne (X', Y')$ なら $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ と $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X', Y')$ は交わらないとする。
• 対象 $X, Y, Z$ ごとの写像（合成）$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, Z) \times \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Z)$、$(g, f) \mapsto g \circ f$。
• 対象 $X$ ごとの射 $\mathrm{id}_X : X \to X$（恒等射）。

これらが、$f : X \to Y$、$g : Y \to Z$、$h : Z \to W$ について結合法則 $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$ と単位法則 $f \circ \mathrm{id}_X = f = \mathrm{id}_Y \circ f$ を満たすことを要求する。

結合法則の図。$X\to Y\to Z\to W$ の 3 本の射について、$g\circ f$ を先に作って $h$ と合成しても、$h\circ g$ を先に作って $f$ と合成しても、$X$ から $W$ への同じ射 $h\circ g\circ f$ になる。

Hom を交わらない集合にそろえておくのは、射 $f$ を見れば始域 $X$ と終域 $Y$ が一つに決まるようにするためです。

$\mathcal{C}$ の射全体 $\operatorname{Mor}(\mathcal{C}) = \bigcup_{X, Y} \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ も集合です。$g \circ f$ を $gf$ と略すこともあります。以下の例で Hom を「写像の集合」などとして与えるとき、異なる組 $(X, Y)$ の Hom が交わることがあります（空写像はどの $\operatorname{Hom}(\varnothing, Y)$ にも入ります）。そのときは射 $f$ を三つ組 $(X, Y, f)$ と同一視して交わらないようにしているものと約束します。この取り替えで Hom の大きさは変わりません（命題 2.3 の 2）。

定義 3.2（小さい圏・局所的に小さい圏）↗

固定した宇宙 $\mathbb{U}$ について、圏 $\mathcal{C}$ が

• 小さいとは、$\operatorname{Ob}(\mathcal{C}) \in \mathbb{U}$ かつ $\operatorname{Mor}(\mathcal{C}) \in \mathbb{U}$ であることをいう。
• 局所的に小さいとは、すべての対象 $X, Y$ について $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \in \mathbb{U}$ であることをいう。

例 3.3（構造と準同型の圏）

次はいずれも局所的に小さい圏です。合成は写像の合成、恒等射は恒等写像で、結合法則と単位法則は写像の合成の性質（命題 2.2［群論入門］）から従います。

• $\mathsf{Set}$：対象は小さい集合（$\operatorname{Ob} = \mathbb{U}$）、射は写像。$\operatorname{Hom}(X, Y) = Y^{X} \in \mathbb{U}$（命題 2.3）。
• $\mathsf{Grp}$：対象は台集合が小さい群（定義 3.1［群論入門］）、射は群準同型。準同型の合成は準同型です。$\mathsf{Ab}$ はその充満部分圏（定義 4.5）でアーベル群からなるもの。
• $\mathsf{Ring}$：単位元をもつ環と単位元を保つ環準同型（定義 7.1［環と体の基礎］）。$\mathsf{CRing}$ は可換環の充満部分圏。
• $\mathsf{Mod}_A$：可換環 $A$ 上の加群と $A$ 線形写像。$\mathsf{Vect}_k$ は体 $k$ 上のベクトル空間の圏 $\mathsf{Mod}_k$ で、$\mathsf{fdVect}_k$ は有限次元のものからなる充満部分圏。
• $\mathsf{Top}$：位相空間と連続写像。連続写像の合成は連続です（命題 3.5［連続写像と同相写像］）。

群 $(G, m)$ は演算 $m \subseteq G \times G \times G$ との組なので、$G \in \mathbb{U}$ なら $(G, m) \in \mathbb{U}$ です（命題 2.3）。したがって $\operatorname{Ob}(\mathsf{Grp}) \subseteq \mathbb{U}$ は集合ですが、$\mathbb{U}$ の元ではありません。この意味で $\mathsf{Set}$ や $\mathsf{Grp}$ は「大きい」圏です。

例 3.4（順序集合・モノイド・群を圏と見る）

(a) 半順序集合 $(P, \le)$（定義 2.1［選択公理と Zorn の補題］）は、対象を $P$ の元、$x \le y$ のときだけ $\operatorname{Hom}(x, y)$ を 1 元集合 $\{(x, y)\}$、それ以外は空とする圏です。合成は推移律、恒等射は反射律から定まり、結合法則・単位法則は Hom が高々 1 元なので自動的に成り立ちます。

(b) モノイド $M$ は、対象がただ一つ $\ast$ で $\operatorname{Hom}(\ast, \ast) = M$、合成を $M$ の積とする圏です。逆に対象が一つの圏はモノイドを定めます。群は、すべての射が同型（下の 定義 3.6）であるような対象一つの圏です。

(c) 有限集合 $\{0, 1, \ldots, n\}$ を通常の順序で圏と見たものを $[n]$ と書きます。$[1]$ は「射が一本だけの圏」$0 \to 1$ です。

定義 3.5（双対圏）↗

圏 $\mathcal{C}$ の双対圏 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ とは、$\operatorname{Ob}(\mathcal{C}^{\mathrm{op}}) = \operatorname{Ob}(\mathcal{C})$、$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}(X, Y) = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, X)$ とし、合成を $g \circ_{\mathrm{op}} f = f \circ g$ と定めた圏である。

$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ の結合法則・単位法則は $\mathcal{C}$ のそれを逆から読んだものです。$(\mathcal{C}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}} = \mathcal{C}$ なので、圏についての主張を $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ に適用すると、矢印をすべて逆にした双対な主張が自動的に得られます。この記事でも以後、双対な主張は元の主張を双対圏に適用して導き、そのことを証明の中に明記します。

3.2. 特別な射と特別な対象

定義 3.6（mono・epi・同型・切断・レトラクション）↗

圏 $\mathcal{C}$ の射 $f : X \to Y$ について次のように定める。

1. 任意の対象 $W$ と射 $g, h : W \to X$ について $f \circ g = f \circ h \Rightarrow g = h$ が成り立つとき、$f$ を単射的射（mono）という。
2. 任意の対象 $Z$ と射 $g, h : Y \to Z$ について $g \circ f = h \circ f \Rightarrow g = h$ が成り立つとき、$f$ を全射的射（epi）という。
3. $g \circ f = \mathrm{id}_X$、$f \circ g = \mathrm{id}_Y$ となる $g : Y \to X$ があるとき、$f$ を同型という。このとき $X \cong Y$ と書く。
4. $r \circ f = \mathrm{id}_X$ となる $r : Y \to X$ があるとき、$f$ を切断、$r$ をレトラクションという。

mono は $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ の epi のことで、切断は $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ のレトラクションのことです。同型 $f$ の逆射 $g$ はただ一つです（$g' = g' f g = g$）。これを $f^{-1}$ と書きます。

命題 3.7（mono・epi の合成と打ち消し）✓

$f : X \to Y$、$g : Y \to Z$ を射とする。

1. $f, g$ が mono なら $g \circ f$ も mono。$f, g$ が epi なら $g \circ f$ も epi。
2. $g \circ f$ が mono なら $f$ は mono。$g \circ f$ が epi なら $g$ は epi。
3. 切断は mono、レトラクションは epi、同型は mono かつ epi である。
4. $f$ が mono かつレトラクションなら同型である。$f$ が epi かつ切断なら同型である。

証明（命題 3.7）

1: $(gf)u = (gf)v$ なら結合法則から $g(fu) = g(fv)$、$g$ が mono なので $fu = fv$、$f$ が mono なので $u = v$。

2: $fu = fv$ なら $(gf)u = g(fu) = g(fv) = (gf)v$ なので $u = v$。

3: $rf = \mathrm{id}_X$ なら、$\mathrm{id}_X$ は明らかに mono（$\mathrm{id}\,u = u$）なので、2 より $f$ は mono で、双対圏に適用して $r$ は epi。同型は切断かつレトラクションである。

4: $f \circ s = \mathrm{id}_Y$ とする。$f(sf) = (fs)f = f = f\,\mathrm{id}_X$ で $f$ は mono だから $sf = \mathrm{id}_X$。よって $s$ は $f$ の逆射。後半は双対圏に適用する。

∎

具体的な圏で mono・epi が何になるかを見ます。

命題 3.8（具体的な圏の mono と epi）✓

1. $\mathsf{Set}$・$\mathsf{Grp}$・$\mathsf{Mod}_A$（とくに $\mathsf{Ab} = \mathsf{Mod}_{\mathbb{Z}}$）で、射が mono であることと単射であることは同値である。
2. $\mathsf{Set}$・$\mathsf{Mod}_A$ で、射が epi であることと全射であることは同値である。
3. $\mathsf{Ring}$ で、包含 $\iota : \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ は mono かつ epi だが同型ではない。

証明（命題 3.8）

単射なら mono、全射なら epi. $f$ が単射で $fg = fh$ なら、各 $w$ で $f(g(w)) = f(h(w))$ から $g(w) = h(w)$。$f$ が全射で $gf = hf$ なら、各 $y = f(x)$ で $g(y) = g(f(x)) = h(f(x)) = h(y)$。どの圏でも射は写像で合成は写像の合成なので、これで十分である。

mono なら単射. $f : X \to Y$ を mono、$f(x) = f(x')$ とする。$\mathsf{Set}$ では 1 点集合 $\{\ast\}$ から $x, x'$ を指す写像 $g, h$ をとれば $fg = fh$ なので $g = h$、$x = x'$。$\mathsf{Grp}$ では $g(n) = x^{n}$、$h(n) = x'^{n}$ が準同型 $\mathbb{Z} \to X$ で、$f(x^{n}) = f(x)^{n} = f(x')^{n} = f(x'^{n})$ より $fg = fh$、よって $x = g(1) = h(1) = x'$。$\mathsf{Mod}_A$ では $g(a) = ax$、$h(a) = ax'$ を $A \to X$ の準同型として同じ議論をする。

epi なら全射. $\mathsf{Set}$ では、$g : Y \to \{0, 1\}$ を $f(X)$ の上で $1$、その外で $0$ とし、$h$ を定数 $1$ とする。$gf = hf$ なので $g = h$、すなわち $f(X) = Y$。$\mathsf{Mod}_A$ では、剰余加群への射影 $q : Y \to Y / f(X)$（定義 2.1［加群・完全列・中山の補題］）と零写像 $0$ について $qf = 0 = 0f$ なので $q = 0$、すなわち $Y = f(X)$。

3. $\iota$ は単射なので mono。$g, h : \mathbb{Q} \to R$ を環準同型で $g\iota = h\iota$ とする。整数 $n \ne 0$ について $g(n)g(1/n) = g(1) = 1$ なので $g(n)$ は $R$ の単元で $g(1/n) = g(n)^{-1}$。$h$ も同様で、$g(n) = h(n)$ だから $g(m/n) = g(m)g(n)^{-1} = h(m)h(n)^{-1} = h(m/n)$。よって $g = h$ で $\iota$ は epi。同型なら逆射は環準同型で、とくに $\iota$ は全単射になるはずだが、$\iota$ は全射でない。

∎

3 は「mono かつ epi でも同型とは限らない」ことを示しています。$\mathsf{Set}$ では mono かつ epi は全単射、すなわち同型ですが、これは圏の一般的な性質ではありません。この区別は、アーベル圏（「mono かつ epi なら同型」を満たす）を定義するときに効いてきます。

定義 3.9（始対象・終対象・零対象・零射）↗

圏 $\mathcal{C}$ の対象 $I$ が始対象であるとは、任意の対象 $Y$ について $\operatorname{Hom}(I, Y)$ がちょうど 1 元であることをいう。$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ の始対象を $\mathcal{C}$ の終対象という。始対象かつ終対象である対象を零対象といい $0$ と書く。零対象があるとき、$X \to 0 \to Y$ の合成を零射 $0_{X, Y}$ という。

$\mathsf{Set}$ の始対象は $\varnothing$、終対象は 1 点集合で、零対象はありません。$\mathsf{Grp}$・$\mathsf{Ab}$・$\mathsf{Mod}_A$ では自明な群（加群）が零対象です。$\mathsf{Ring}$ では $\mathbb{Z}$ が始対象（$n \mapsto n \cdot 1$ だけが環準同型）、零環が終対象です。

命題 3.10（始対象・終対象の一意性）✓

$I, I'$ が始対象なら、$I \to I'$ の射はただ一つで、それは同型である。終対象についても同様である。零射 $0_{X, Y}$ は零対象の選び方によらない。

証明（命題 3.10）

$I$ が始対象なので射 $u : I \to I'$ はただ一つ、同様に $v : I' \to I$ もただ一つある。$vu : I \to I$ と $\mathrm{id}_I$ はともに $\operatorname{Hom}(I, I)$ の元で、これは 1 元集合だから $vu = \mathrm{id}_I$。同様に $uv = \mathrm{id}_{I'}$。終対象は双対圏に適用する。零対象 $0, 0'$ があれば同型 $u : 0 \to 0'$ がある。$X \to 0' \to Y$ は、$0'$ が終対象であることから $X \to 0 \xrightarrow{u} 0'$ に等しく、$0'$ が始対象であることから $0' \to Y$ は $0 \to Y$ を $u^{-1}$ と合成したものに等しいので、合成は $X \to 0 \to Y$ に一致する。

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定義 3.11（亜群）↗

すべての射が同型である圏を亜群という。

命題 3.12（基本亜群）✓

位相空間 $X$ について、対象を $X$ の点、$\operatorname{Hom}(x, y)$ を $x$ から $y$ への道の道ホモトピー類全体とし、$[\gamma] : x \to y$ と $[\delta] : y \to z$ の合成を $[\delta] \circ [\gamma] = [\gamma \cdot \delta]$（先に $\gamma$、次に $\delta$ をたどる道の類）と定めると、圏 $\Pi_1(X)$ が得られ、これは亜群である。$\operatorname{Hom}(x, x)$ はこの合成で群になり、$[\gamma] \mapsto [\gamma]^{-1}$ によって基本群 $\pi_1(X, x)$ と同型である。

証明（命題 3.12）

合成が well-defined であることは 命題 2.2［基本群と被覆空間］ の 1、結合法則は 2、恒等射が定値道の類 $[c_x]$ であることは 3、$[\gamma]$ の逆射が逆向きの道の類 $[\bar\gamma]$ であることは 4 による。$\operatorname{Hom}(x, x)$ の合成 $[\delta] \circ [\gamma] = [\gamma][\delta]$ は $\pi_1(X, x)$（定義 2.3［基本群と被覆空間］）の積の順序を逆にしたものである。群 $G$ とその積を逆にした群は $g \mapsto g^{-1}$ で同型（$(gh)^{-1} = h^{-1}g^{-1}$）なので、最後の主張が従う。

∎

4. 関手

定義 4.1（関手）↗

圏 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ について、関手 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ とは、対象の写像 $X \mapsto F(X)$ と、射の写像 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(FX, FY)$、$f \mapsto F(f)$ の組で、$F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$ と $F(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{FX}$ を満たすものをいう。関手 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{D}$ を $\mathcal{C}$ から $\mathcal{D}$ への反変関手という（これに対し関手を共変関手ともいう）。

• 関手 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$、$G : \mathcal{D} \to \mathcal{E}$ の合成 $G F$ を $(GF)(X) = G(F(X))$、$(GF)(f) = G(F(f))$ で定める。恒等関手を $\mathrm{Id}_{\mathcal{C}}$ と書く。
• 圏 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ の積圏 $\mathcal{C} \times \mathcal{D}$ は、対象を組 $(X, Y)$、射を組 $(f, g) : (X, Y) \to (X', Y')$ とし、合成を成分ごとに定めた圏である。積圏からの関手を双関手という。

関手の合成は結合的で、$\mathrm{Id}$ を単位とします。小さい圏を対象、関手を射とする圏を $\mathsf{Cat}$ と書きます。$\operatorname{Ob}(\mathsf{Cat}) \subseteq \mathbb{U}$ で、$\operatorname{Hom}_{\mathsf{Cat}}(\mathcal{C}, \mathcal{D})$ は $\operatorname{Mor}(\mathcal{D})^{\operatorname{Mor}(\mathcal{C})}$ の部分集合なので、$\mathsf{Cat}$ は局所的に小さい圏です（命題 2.3）。

例 4.2（関手の例）

(a) 忘却関手 $\mathsf{Grp} \to \mathsf{Set}$、$\mathsf{Top} \to \mathsf{Set}$、$\mathsf{Mod}_A \to \mathsf{Ab}$ は、構造を忘れて台集合（台となる群）を返す関手です。

(b) 基本群 $\pi_1 : \mathsf{Top}_\ast \to \mathsf{Grp}$。$\mathsf{Top}_\ast$ は基点付き空間と基点を保つ連続写像の圏で、$f$ に $f_*[\gamma] = [f \circ \gamma]$ を対応させます。$(g \circ f) \circ \gamma = g \circ (f \circ \gamma)$ から $(gf)_* = g_* f_*$ です。同様に連続写像 $f : X \to Y$ は、点を $f(x)$ に、$[\gamma]$ を $[f \circ \gamma]$ に送る関手 $\Pi_1(X) \to \Pi_1(Y)$ を与えます（命題 3.12）。

(c) ホモロジー $H_n : \mathsf{Top} \to \mathsf{Ab}$ は、特異ホモロジー の 定義 2.3［特異ホモロジー］ の $f_*$ により関手です。ホモトピー不変性（定理 4.1［特異ホモロジー］）は、$H_n$ がホモトピックな写像を同じ射に送ることを言っています。

(d) 素スペクトル $\operatorname{Spec} : \mathsf{CRing}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Top}$。環準同型 $\varphi : A \to B$ に連続写像 $\varphi^{*} : \operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ を対応させます。$(\psi\varphi)^{*} = \varphi^{*}\psi^{*}$（命題 4.5［局所化と素イデアルのスペクトル］）が反変関手であることの内容です。

(e) 双対空間 $(-)^{*} : \mathsf{Vect}_k^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Vect}_k$。線形写像 $T$ に転置 $T^{t}$（定義 3.1［双対空間と商空間］）を対応させます。$(ST)^{t}(f) = f S T = T^{t}(S^{t}(f))$ なので $(ST)^{t} = T^{t} S^{t}$ です。

(f) 冪集合には二つの関手があります。共変な $\mathcal{P}_* : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$ は $f$ に像 $A \mapsto f(A)$ を、反変な $\mathcal{P}^{*} : \mathsf{Set}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$ は $f$ に逆像 $B \mapsto f^{-1}(B)$ を対応させます。

補題 4.3（双関手の判定）✓

各 $X \in \mathcal{C}$ に関手 $F(X, -) : \mathcal{D} \to \mathcal{E}$、各 $Y \in \mathcal{D}$ に関手 $F(-, Y) : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ が与えられ、対象では $F(X, -)(Y) = F(-, Y)(X)$ が一致し、任意の $f : X \to X'$、$g : Y \to Y'$ について

$$F(f, Y') \circ F(X, g) = F(X', g) \circ F(f, Y)$$

が成り立つとする。このとき $F(f, g)$ をこの共通の値と定めると、$F$ は双関手 $\mathcal{C} \times \mathcal{D} \to \mathcal{E}$ であり、そのような双関手はこれ一つである。

証明（補題 4.3）

$(f, g) = (f, \mathrm{id}_{Y'}) \circ (\mathrm{id}_X, g)$ なので、双関手は $F(f, g) = F(f, Y')F(X, g)$ を満たすしかなく、一意性が分かる。存在について、恒等射は $F(\mathrm{id}_X, \mathrm{id}_Y) = \mathrm{id}$。$f' : X' \to X''$、$g' : Y' \to Y''$ について

$$F(f', g')F(f, g) = F(f', Y'')F(X', g')F(f, Y')F(X, g) = F(f', Y'')F(f, Y'')F(X, g')F(X, g)$$

（中央の 2 項に仮定の等式を $f, g'$ について使った）$= F(f'f, Y'')F(X, g'g) = F(f'f, g'g)$。

∎

命題 4.4（Hom 関手と Hom 双関手）✓

$\mathcal{C}$ を局所的に小さい圏とする。$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, -)(g) = g \circ (-)$ と $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, Y)(f) = (-) \circ f$ により、関手 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, -) : \mathcal{C} \to \mathsf{Set}$ と反変関手 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, Y) : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$ が得られ、これらは双関手

$$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(-, -) : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \times \mathcal{C} \to \mathsf{Set}, \qquad \operatorname{Hom}(f, g)(u) = g \circ u \circ f$$

に一意に延びる。

証明（命題 4.4）

値は小さい集合である（局所的に小さいので）。$\operatorname{Hom}(X, -)$ が関手であること：$\operatorname{Hom}(X, g'g)(u) = (g'g)u = g'(gu)$ は結合法則、$\operatorname{Hom}(X, \mathrm{id})(u) = u$ は単位法則による。$\operatorname{Hom}(-, Y)$ も同様で、$(-) \circ (ff') = ((-) \circ f) \circ f'$ が反変性を与える。補題 4.3 の条件は $(g u) f = g (u f)$、すなわち結合法則である。

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定義 4.5（忠実・充満・本質的全射）↗

関手 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ について、各 $X, Y$ で写像 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(FX, FY)$ が単射のとき忠実、全射のとき充満、全単射のとき充満忠実という。任意の $Y \in \mathcal{D}$ に $FX \cong Y$ となる $X$ があるとき本質的全射という。$\mathcal{C}$ の対象の部分集合 $S$ について、対象を $S$、Hom を $\mathcal{C}$ と同じにした圏を $S$ が定める充満部分圏という（包含関手は充満忠実）。

忘却関手 $\mathsf{Grp} \to \mathsf{Set}$ は忠実ですが充満ではありません（集合の写像が準同型とは限らない）。$\mathsf{Ab} \to \mathsf{Grp}$ は充満忠実です。

補題 4.6（充満忠実な関手は同型を反映する）✓

$F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ が充満忠実なら、$F(f)$ が同型である射 $f$ は同型であり、$FX \cong FX'$ なら $X \cong X'$ である。

証明（補題 4.6）

$f : X \to X'$ について $F(f)$ の逆射を $v$ とする。充満性から $v = F(g)$ となる $g : X' \to X$ があり、$F(gf) = vF(f) = \mathrm{id}_{FX} = F(\mathrm{id}_X)$、忠実性から $gf = \mathrm{id}_X$。同様に $fg = \mathrm{id}_{X'}$。後半は、同型 $w : FX \to FX'$ を充満性で $w = F(f)$ と書けば前半から従う。

∎

5. 自然変換と関手圏

5.1. 自然変換

定義 5.1（自然変換・自然同型）↗

関手 $F, G : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ について、自然変換 $\alpha : F \Rightarrow G$ とは、各対象 $X \in \mathcal{C}$ に射 $\alpha_X : FX \to GX$（$X$ 成分）を対応させる族で、任意の $f : X \to Y$ について

$$\alpha_Y \circ F(f) = G(f) \circ \alpha_X$$

（自然性）を満たすものをいう。$F$ から $G$ への自然変換全体を $\operatorname{Nat}(F, G)$ と書く。$\beta \circ \alpha = \mathrm{id}_F$、$\alpha \circ \beta = \mathrm{id}_G$ となる自然変換 $\beta : G \Rightarrow F$ があるとき（合成は下の 定義 5.3）、$\alpha$ を自然同型といい、$F \cong G$ と書く。

自然性の四角形（左）と水平合成（右）。左の四角形が可換であることが自然性で、右では二通りの道 $HFX\to KGX$ が一致する。

命題 5.2（自然同型は成分ごとの同型）✓

自然変換 $\alpha : F \Rightarrow G$ が自然同型であることと、すべての成分 $\alpha_X$ が同型であることは同値である。このとき逆の自然変換は $(\alpha^{-1})_X = (\alpha_X)^{-1}$ で与えられる。

証明（命題 5.2）

自然同型なら、逆 $\beta$ について $\beta_X\alpha_X = \mathrm{id}_{FX}$、$\alpha_X\beta_X = \mathrm{id}_{GX}$ なので各成分は同型。逆に各 $\alpha_X$ が同型なら、$\beta_X = \alpha_X^{-1}$ が自然であることを示せばよい。$f : X \to Y$ について、自然性 $\alpha_Y F(f) = G(f)\alpha_X$ の両辺に左から $\alpha_Y^{-1}$、右から $\alpha_X^{-1}$ を合成すると $F(f)\alpha_X^{-1} = \alpha_Y^{-1}G(f)$ となり、これが $\beta$ の自然性である。

∎

5.2. 関手圏と二つの合成

定義 5.3（関手圏・垂直合成・水平合成）↗

関手 $F, G, H : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ と自然変換 $\alpha : F \Rightarrow G$、$\beta : G \Rightarrow H$ の垂直合成 $\beta \circ \alpha : F \Rightarrow H$ を $(\beta \circ \alpha)_X = \beta_X \circ \alpha_X$ で定める。関手 $\mathcal{C} \to \mathcal{D}$ を対象、自然変換を射、垂直合成を合成とする圏を関手圏といい $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ と書く。

関手 $F, G : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$、$H, K : \mathcal{D} \to \mathcal{E}$ と自然変換 $\alpha : F \Rightarrow G$、$\beta : H \Rightarrow K$ の水平合成 $\beta * \alpha : HF \Rightarrow KG$ を

$$(\beta * \alpha)_X = \beta_{GX} \circ H(\alpha_X) \;=\; K(\alpha_X) \circ \beta_{FX}$$

で定める（二つの式が等しいことは下の命題で示す）。$\beta * \mathrm{id}_F$ を $\beta F$、$\mathrm{id}_H * \alpha$ を $H\alpha$ と書く（成分は $\beta_{FX}$、$H(\alpha_X)$）。

命題 5.4（関手圏は圏であり、大きさが保たれる）✓

1. $\beta \circ \alpha$ は自然変換で、$[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ は恒等射を $(\mathrm{id}_F)_X = \mathrm{id}_{FX}$ とする圏である。
2. $\mathcal{C}$ が小さく $\mathcal{D}$ が局所的に小さいなら、$[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ は局所的に小さい。$\mathcal{C}, \mathcal{D}$ がともに小さいなら $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ は小さい。

証明（命題 5.4）

1: $f : X \to Y$ について $(\beta_Y\alpha_Y)F(f) = \beta_Y G(f)\alpha_X = H(f)(\beta_X\alpha_X)$。結合法則・単位法則は成分ごとに $\mathcal{D}$ のものから従う。

2: 「小さい」は宇宙の公理 公理 2.2 で存在を保証した宇宙 $\mathbb{U}$ についての言葉である（定義 3.2）。自然変換 $F \Rightarrow G$ は族 $(\alpha_X)_X$ なので、$\operatorname{Nat}(F, G) \subseteq \prod_{X \in \operatorname{Ob}\mathcal{C}} \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(FX, GX)$。添字集合 $\operatorname{Ob}\mathcal{C}$ と各因子は小さいので、命題 2.3 の 3 と 1 により $\operatorname{Nat}(F, G) \in \mathbb{U}$。両方が小さいとき、関手は $\operatorname{Ob}\mathcal{D}^{\operatorname{Ob}\mathcal{C}} \times \operatorname{Mor}\mathcal{D}^{\operatorname{Mor}\mathcal{C}}$ の元と見なせ、同じ命題の 2 から関手全体が小さい集合になる。射全体は小さい添字集合（関手の組全体）上の小さい集合 $\operatorname{Nat}(F, G)$ の和なので小さい。

∎

とくに $\mathcal{C}$ が小さいとき、$\mathcal{C}$ 上の前層の圏 $[\mathcal{C}^{\mathrm{op}}, \mathsf{Set}]$ は局所的に小さい圏です。これが次の章 米田の補題と表現可能関手 の舞台になります。

命題 5.5（水平合成と交換法則）✓

定義 5.3 の記号で次が成り立つ。

1. $\beta_{GX} \circ H(\alpha_X) = K(\alpha_X) \circ \beta_{FX}$ であり、$\beta * \alpha$ は自然変換 $HF \Rightarrow KG$ である。
2. （交換法則）$\alpha' : G \Rightarrow G'$、$\beta' : K \Rightarrow K'$ についても

$$(\beta' \circ \beta) * (\alpha' \circ \alpha) = (\beta' * \alpha') \circ (\beta * \alpha).$$

証明（命題 5.5）

1: 前半は $\beta$ の自然性を射 $\alpha_X : FX \to GX$ に適用したもの。自然性：$f : X \to Y$ について

$$(\beta * \alpha)_Y \circ HF(f) = \beta_{GY} H(\alpha_Y) H(F f) = \beta_{GY} H(G f) H(\alpha_X) = KG(f)\, \beta_{GX} H(\alpha_X) = KG(f) \circ (\beta * \alpha)_X .$$

2 つ目の等号は $\alpha$ の自然性を $H$ で移したもの、3 つ目は $\beta$ の自然性を射 $G f$ に適用したもの。

2: $X$ 成分を比べる。左辺は $\beta'_{G'X}\beta_{G'X} H(\alpha'_X\alpha_X) = \beta'_{G'X}\beta_{G'X}H(\alpha'_X)H(\alpha_X)$。右辺は $\beta'_{G'X}K(\alpha'_X)\beta_{GX}H(\alpha_X)$。$\beta$ の自然性を射 $\alpha'_X : GX \to G'X$ に適用すると $\beta_{G'X}H(\alpha'_X) = K(\alpha'_X)\beta_{GX}$ なので、両者は等しい。

∎

交換法則は「自然変換を縦に並べてから横に並べても、横に並べてから縦に並べても同じ」と読めます。モナドを自己関手の「モノイド」と見るとき、この法則が結合法則の役をします。

例 5.6（行列式は自然変換）

体と体準同型の圏 $\mathsf{Field}$ から $\mathsf{Grp}$ への二つの関手 $\mathrm{GL}_n$（可逆な $n$ 次行列の群）と $(-)^{\times}$（乗法群）を考えます。体準同型 $\varphi : K \to L$ は成分ごとに $\mathrm{GL}_n(K) \to \mathrm{GL}_n(L)$ と $K^{\times} \to L^{\times}$ を与えます。行列式 $\det_K : \mathrm{GL}_n(K) \to K^{\times}$ は積の定理（定理 6.1［行列式とその性質］。証明は一般の体でそのまま通る）により準同型で、行列式は成分の整数係数多項式なので $\varphi(\det_K A) = \det_L(\varphi(A))$ が成り立ちます。これが自然変換 $\det : \mathrm{GL}_n \Rightarrow (-)^{\times}$ の自然性です。

5.3. 二重双対は自然、双対は自然でない

次の命題の 2 の証明の方針は、背理法です。もし $V$ から $V^{*}$ への自然な同型があれば、そこから双線形な式 $B(x, y)$ が決まり、自然性は「$B$ が空間の自己同型（基底の取り替え）で変わらない」という条件になります。具体的な $T$ を何本か選んで $B$ が 0 にならざるをえないことを示し、同型であることとの矛盾を導きます。

命題 5.7（二重双対の自然性）✓

$k$ を体とする。

1. 有限次元ベクトル空間 $V$ について $\iota_V : V \to V^{**}$、$\iota_V(v)(f) = f(v)$ は自然同型 $\iota : \mathrm{Id} \Rightarrow (-)^{**}$（$\mathsf{fdVect}_k$ 上の関手の間）を与える。
2. 有限次元ベクトル空間と線形同型からなる亜群を $\mathcal{G}$ とし、関手 $D : \mathcal{G} \to \mathcal{G}$ を $D(V) = V^{*}$、$D(T) = (T^{t})^{-1}$ で定める。このとき自然同型 $\mathrm{Id}_{\mathcal{G}} \Rightarrow D$ は存在しない。

証明（命題 5.7）

1: 各 $\iota_V$ が同型であることは 定理 2.5［双対空間と商空間］。$(-)^{**}$ は関手 $(-)^{*}$ を 2 回合成した共変関手で、$T : V \to W$ に $T^{tt}$ を対応させる（定義 3.1［双対空間と商空間］）。$v \in V$、$g \in W^{*}$ について

$$T^{tt}(\iota_V v)(g) = \iota_V(v)(T^{t} g) = (g \circ T)(v) = \iota_W(Tv)(g)$$

なので $T^{tt}\iota_V = \iota_W T$。命題 5.2 より自然同型である。

2: $D$ が関手であることは $((ST)^{t})^{-1} = (T^{t}S^{t})^{-1} = (S^{t})^{-1}(T^{t})^{-1}$ による。自然同型 $\varphi : \mathrm{Id} \Rightarrow D$ があったとし、$V = k^{3}$、$B(x, y) = \varphi_V(x)(y)$ とおく。$B$ は双線形で、$\varphi_V$ が同型なので、$x \ne 0$ なら $B(x, -) \ne 0$。自然性は、任意の同型 $T : V \to V$ について $(T^{t})^{-1}\varphi_V = \varphi_V T$、すなわち $\varphi_V(x) = T^{t}(\varphi_V(Tx))$、つまり

$$B(x, y) = B(Tx, Ty) \qquad (x, y \in V)$$

である。$u, v$ を一次独立なベクトルとし、$w$ を加えて基底 $(u, v, w)$ にする。$T$ を $u \mapsto u$、$v \mapsto v$、$w \mapsto w + v$ で定まる同型とすると、$B(u, w) = B(u, w + v) = B(u, w) + B(u, v)$ より $B(u, v) = 0$。$u \ne 0$ に対し $v$ を $u$ と一次独立にとると、$v$ と $u + v$ はどちらも $u$ と一次独立なので $B(u, v) = B(u, u + v) = 0$、よって $B(u, u) = 0$。以上で $B(u, -)$ は基底 $u, v, w$ 上で $0$、すなわち $B(u, -) = 0$ となり矛盾する。

∎

$V \cong V^{*}$ という同型は基底を選べば作れますが、その作り方は基底に依存し、どの同型 $T$ とも両立する選び方はできない、というのが 2 の意味です。これに対し $V \cong V^{**}$ は基底を使わずに書け、すべての線形写像と両立します。

6. 圏同値

定義 6.1（圏同値・骨格）↗

関手 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ について、関手 $G : \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ と自然同型 $\eta : \mathrm{Id}_{\mathcal{C}} \Rightarrow GF$、$\varepsilon : FG \Rightarrow \mathrm{Id}_{\mathcal{D}}$ があるとき、$F$ を圏同値、$G$ を $F$ の擬逆といい、$\mathcal{C} \simeq \mathcal{D}$ と書く。$GF = \mathrm{Id}$、$FG = \mathrm{Id}$ とできるとき圏同型という。同型な対象が等しい圏を骨格的といい、$\mathcal{C}$ の充満部分圏 $\mathcal{S}$ で、骨格的であり、$\mathcal{C}$ のどの対象も $\mathcal{S}$ のある対象と同型であるものを $\mathcal{C}$ の骨格という。

定理 6.2（圏同値の判定）✓

関手 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ が圏同値であるための必要十分条件は、$F$ が充満忠実かつ本質的全射であることである。

この定理の意味は、二つの圏が「同型を除いて同じ」であることを、擬逆を探さずに $F$ の性質だけで確かめられる、ということです。証明は二段で、必要性は擬逆から性質を取り出し、十分性は各対象に同型の相手を一つずつ選んで擬逆を組み立てます。

証明（定理 6.2）

必要性. $G, \eta, \varepsilon$ を 定義 6.1 のとおりとする。$Y \in \mathcal{D}$ について $\varepsilon_Y : F(GY) \to Y$ は同型なので、$F$ は本質的全射。$f : X \to X'$ について自然性から $GF(f)\eta_X = \eta_{X'}f$、すなわち $f = \eta_{X'}^{-1}GF(f)\eta_X$ なので、$F(f)$ が $f$ を決め、$F$ は忠実である。$F$ と $G$ の役割を入れ替えた議論（$\varepsilon^{-1} : \mathrm{Id} \Rightarrow FG$ を使う）で $G$ も忠実である。充満性：$g : FX \to FX'$ に対し $f = \eta_{X'}^{-1}G(g)\eta_X$ とおくと、自然性から $GF(f) = \eta_{X'} f \eta_X^{-1} = G(g)$。$G$ が忠実なので $F(f) = g$。

十分性. $F$ を充満忠実かつ本質的全射とする。$\operatorname{Ob}\mathcal{D}$ は集合で、各 $Y$ について「$X \in \mathcal{C}$ と同型 $FX \to Y$ の組」全体は空でない集合である。選択公理（公理 3.1［選択公理と Zorn の補題］）により、各 $Y$ に組 $(GY, \varepsilon_Y : F(GY) \to Y)$ を一つずつ選ぶ。

射 $g : Y \to Y'$ について、$\varepsilon_{Y'}^{-1} g \varepsilon_Y : FGY \to FGY'$ は充満忠実性からただ一つの射 $G(g) : GY \to GY'$ によって $F(G(g))$ と書ける。$G(g'g)$ と $G(g')G(g)$ はどちらも $F$ で $\varepsilon_{Y''}^{-1}g'g\varepsilon_Y$ に写るので、忠実性から等しい。恒等射も同様で、$G$ は関手。作り方から $\varepsilon_{Y'} \circ FG(g) = g \circ \varepsilon_Y$ なので $\varepsilon : FG \Rightarrow \mathrm{Id}$ は自然変換で、各成分が同型である。

$X \in \mathcal{C}$ について、$\varepsilon_{FX}^{-1} : FX \to FGFX$ は充満性からある $\eta_X : X \to GFX$ によって $F(\eta_X)$ と書け、補題 4.6 から $\eta_X$ は同型。$f : X \to X'$ について

$$F(GF(f)\eta_X) = FGF(f)\,\varepsilon_{FX}^{-1} = \varepsilon_{FX'}^{-1}F(f) = F(\eta_{X'}f)$$

（2 つ目の等号は $\varepsilon$ の自然性を射 $F(f)$ に適用したもの）なので、忠実性から $GF(f)\eta_X = \eta_{X'}f$。命題 5.2 から $\eta$、$\varepsilon$ は自然同型である。

∎

十分性の証明で、対象ごとに「同型の相手」を選ぶ必要がありました。$\operatorname{Ob}\mathcal{D}$ が集合であることが、ここで選択公理を適用するための前提です。宇宙の公理 公理 2.2 を置いたのはこのためで、$\mathcal{D} = \mathsf{Set}$ のような大きい圏でもこの証明はそのまま通ります。

命題 6.3（圏同値は性質を保ち反映する）✓

$F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ を圏同値とする。射 $f$ について、$f$ が mono（epi、同型）であることと $F(f)$ が mono（epi、同型）であることは同値である。対象 $X$ について、$X$ が始対象（終対象）であることと $FX$ が始対象（終対象）であることは同値である。

証明（命題 6.3）

定理 6.2 により $F$ は充満忠実かつ本質的全射である。

mono. $F(f)$ が mono で $fu = fv$ なら $F(f)F(u) = F(f)F(v)$、$F(u) = F(v)$、忠実性から $u = v$。逆に $f : X \to X'$ が mono とし、$u, v : Z \to FX$ が $F(f)u = F(f)v$ を満たすとする。本質的全射性から同型 $\varphi : FW \to Z$ があり、充満性から $u\varphi = F(u')$、$v\varphi = F(v')$ と書ける。$F(fu') = F(fv')$ から $fu' = fv'$、$u' = v'$、よって $u\varphi = v\varphi$、$u = v$。

epi. $F^{\mathrm{op}} : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{D}^{\mathrm{op}}$ も充満忠実かつ本質的全射なので、mono の場合を適用する。同型については、関手は同型を同型に写し、逆は 補題 4.6 による。

始対象. $X$ を始対象、$Z \in \mathcal{D}$ とし、同型 $\varphi : FW \to Z$ をとる。$\operatorname{Hom}(FX, Z) \to \operatorname{Hom}(FX, FW)$、$u \mapsto \varphi^{-1}u$ は全単射で、$\operatorname{Hom}(FX, FW) \cong \operatorname{Hom}(X, W)$ は 1 元集合なので、$FX$ は始対象。逆に $FX$ が始対象なら $\operatorname{Hom}(X, W) \cong \operatorname{Hom}(FX, FW)$ は 1 元集合。終対象は双対圏に適用する。

∎

系 6.4（骨格の存在）✓

任意の圏 $\mathcal{C}$ は骨格 $\mathcal{S}$ をもち、包含関手 $\mathcal{S} \to \mathcal{C}$ は圏同値である。$\mathcal{C}$ の二つの骨格は圏同型である。

証明（系 6.4）

同型であるという関係は $\operatorname{Ob}\mathcal{C}$ 上の同値関係である（同型の合成・逆は同型）。選択公理（公理 3.1［選択公理と Zorn の補題］）により各同値類から代表を一つずつ選び、その集合が定める充満部分圏を $\mathcal{S}$ とする。$\mathcal{S}$ は骨格的で、包含関手は充満忠実かつ本質的全射なので 定理 6.2 から圏同値である。

$\mathcal{S}, \mathcal{S}'$ を二つの骨格とする。$\mathcal{S}' \to \mathcal{C}$ の擬逆 $G$ をとり、$\Phi : \mathcal{S} \to \mathcal{C} \to \mathcal{S}'$ を包含と $G$ の合成とする。充満忠実な関手の合成は充満忠実なので、$\Phi$ は充満忠実（$G$ は 定理 6.2 の必要性から充満忠実）。$X \in \mathcal{S}$ に対し $\Phi(X) \cong X$ である。$\Phi(X) = \Phi(X_1)$ なら $X \cong X_1$ で、$\mathcal{S}$ は骨格的だから $X = X_1$。$X' \in \mathcal{S}'$ に対しては $X' \cong X$ となる $X \in \mathcal{S}$ があり、$\Phi(X) \cong X'$ と $\mathcal{S}'$ が骨格的であることから $\Phi(X) = X'$。よって $\Phi$ は対象の上で全単射である。対象の上で全単射かつ充満忠実な関手は、逆写像たちが関手をなすので圏同型である。

∎

例 6.5（行列の圏）

体 $k$ について、対象を $n \in \omega$、$\operatorname{Hom}(m, n)$ を $n \times m$ 行列全体、合成を行列の積とする圏を $\mathsf{Mat}_k$ とします。関手 $\mathsf{Mat}_k \to \mathsf{fdVect}_k$ を $n \mapsto k^{n}$、$A \mapsto (x \mapsto Ax)$ で定めると、線形写像 $k^{m} \to k^{n}$ は行列とちょうど 1 対 1 に対応するので充満忠実で、$n$ 次元空間は基底を選べば $k^{n}$ と同型なので本質的全射です。定理 6.2 から圏同値で、$\mathsf{Mat}_k$ は $\mathsf{fdVect}_k$ の骨格と圏同型です。「線形代数は行列の計算に帰着する」ことの正確な言い方がこれで、擬逆を作るには各空間に基底を選ぶ必要があります。

注意 6.6（既存の定理を圏同値として読む）

次の二つは、既存の定理を圏同値の言葉で言い直したものです（ここでは言い換えにとどめ、証明には使いません）。

• 被覆空間の Galois 対応（定理 7.4［基本群と被覆空間］）は、良い空間 $X$ について「$X$ 上の被覆空間の圏」と「$\pi_1(X, x_0)$ が作用する集合の圏」の圏同値として述べ直せます。連結被覆が推移的な作用（部分群の剰余類）に対応します。
• Gelfand–Naimark の定理（定理 5.6［C*-代数の基礎］）は、コンパクト Hausdorff 空間の圏と、単位的可換 $C^*$-代数の圏の双対圏との圏同値 $X \mapsto C(X)$ を与えます。

7. コンマ圏と具体圏

定義 7.1（コンマ圏・スライス圏・具体圏）↗

関手 $S : \mathcal{A} \to \mathcal{C}$、$T : \mathcal{B} \to \mathcal{C}$ に対し、コンマ圏 $(S \downarrow T)$ を次で定める。対象は組 $(A, B, \varphi)$（$A \in \mathcal{A}$、$B \in \mathcal{B}$、$\varphi : SA \to TB$）、$(A, B, \varphi)$ から $(A', B', \varphi')$ への射は組 $(a, b)$（$a : A \to A'$、$b : B \to B'$）で $\varphi' \circ S(a) = T(b) \circ \varphi$ を満たすもの、合成は成分ごとに行う。

• 対象 $X \in \mathcal{C}$ を 1 対象の圏からの関手と見て、$(\mathrm{Id}_{\mathcal{C}} \downarrow X)$ を $X$ 上のスライス圏 $\mathcal{C}/X$、$(X \downarrow \mathrm{Id}_{\mathcal{C}})$ を $X$ の下の圏 $X/\mathcal{C}$ という。$\mathcal{C}/X$ の対象は射 $A \to X$ と同一視できる。
• 圏 $\mathcal{C}$ と忠実な関手 $U : \mathcal{C} \to \mathsf{Set}$ の組を具体圏という。

$\mathsf{Top}/B$ は「$B$ 上の空間」の圏で、被覆空間はその対象です。$\mathsf{Grp}$・$\mathsf{Top}$・$\mathsf{Mod}_A$ は忘却関手によって具体圏です。次の章 米田の補題と表現可能関手 では、「普遍性」をコンマ圏の始対象として言い直します。

8. 演習

演習 8.1易

$\mathsf{Top}$ で、全単射な連続写像は mono かつ epi であることを示せ。また、$\mathbb{R}$ に離散位相を入れた空間から通常の位相の $\mathbb{R}$ への恒等写像は、mono かつ epi だが同型でないことを示せ。

解答

射は写像で合成は写像の合成なので、命題 3.8 の証明の前半（単射なら mono、全射なら epi）がそのまま使えます。恒等写像 $\mathrm{id} : \mathbb{R}_{\mathrm{disc}} \to \mathbb{R}$ は離散位相からの写像なので連続で、全単射です。同型なら逆射は逆写像 $\mathrm{id} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\mathrm{disc}}$ しかありえませんが、$\{0\}$ は離散位相で開集合なのに通常の位相では開集合でないので、これは連続ではありません。

演習 8.2標準

群 $G$ を対象一つの圏 $\mathbf{B}G$ と見る（例 3.4 の (b)）。関手 $\mathbf{B}G \to \mathbf{B}H$ が群準同型 $G \to H$ と同じものであること、関手 $F, F'$ の間の自然変換が $F'(g) = hF(g)h^{-1}$（すべての $g$）を満たす $h \in H$ と同じものであること、そしてそれらはすべて自然同型であることを示せ。

解答

関手は唯一の対象を唯一の対象へ送り、射の写像 $G \to H$ が合成（群の積）と恒等射（単位元）を保つので、群準同型と同じです。自然変換 $\alpha$ の成分は一つだけで、$h = \alpha_\ast \in \operatorname{Hom}(\ast, \ast) = H$ です。自然性は $h F(g) = F'(g) h$、すなわち $F'(g) = hF(g)h^{-1}$ です。$h$ は群の元なので同型で、命題 5.2 から $\alpha$ は自然同型です。とくに $F \cong F'$ は「$F$ と $F'$ が $H$ の共役で移り合う」ことと同値です。

演習 8.3標準

小さい集合 $I$ を、射が恒等射だけの圏（離散圏）と見る。スライス圏 $\mathsf{Set}/I$ と関手圏 $[I, \mathsf{Set}]$ が圏同値であることを示せ。

解答

$\Phi : \mathsf{Set}/I \to [I, \mathsf{Set}]$ を、$p : A \to I$ に族 $(p^{-1}(i))_{i \in I}$ を、$I$ 上の写像 $u : A \to A'$（$p'u = p$）に制限の族 $(u|_{p^{-1}(i)})_i$ を対応させて定めます。離散圏上の関手は小さい集合の族、自然変換は写像の族です。$u$ は制限の族から一意に復元でき、写像の族 $(u_i : p^{-1}(i) \to p'^{-1}(i))$ を貼り合わせると $I$ 上の写像になるので、$\Phi$ は充満忠実です。族 $(X_i)$ に対し、直和 $\bigsqcup_i X_i = \bigcup_i \{i\} \times X_i$（命題 2.3 により小さい）と第 1 成分への射影 $p$ をとれば $p^{-1}(i) = \{i\} \times X_i \cong X_i$ なので、$\Phi$ は本質的全射です。定理 6.2 から圏同値です。

演習 8.4難

$A$ を可換環、$S \subseteq A$ を積閉集合とする。局所化の標準写像 $\lambda : A \to S^{-1}A$、$a \mapsto a/1$ が $\mathsf{Ring}$ の epi であることを示せ。$\lambda$ が全射でない例を一つ挙げよ。

解答

$g, h : S^{-1}A \to R$ を環準同型で $g\lambda = h\lambda$ とします。$s \in S$ について $(s/1)(1/s) = 1$ なので $g(1/s) = g(s/1)^{-1} = h(s/1)^{-1} = h(1/s)$ です（$g(s/1) = h(s/1)$ は $R$ の単元）。したがって $g(a/s) = g(a/1)g(1/s) = h(a/1)h(1/s) = h(a/s)$ となり、$g = h$ です。$A = \mathbb{Z}$、$S = \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ とすると $\lambda$ は 命題 3.8 の 3 の包含 $\mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ で、全射ではありません。

参考文献

• S. Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 5, Springer, 1998 — 第 I 章（圏・関手・自然変換）、第 IV 章 §4（圏同値）。
• E. Riehl, Category Theory in Context, Dover, 2016 — 第 1 章。
• M. Kashiwara, P. Schapira, Categories and Sheaves, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 332, Springer, 2006 — 第 1 章（宇宙と圏の基礎）。
• M. Artin, A. Grothendieck, J.-L. Verdier, Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4), Tome 1, Lecture Notes in Mathematics 269, Springer, 1972 — Exposé I の付録（宇宙）。
• K. Kunen, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland, 1980 — 第 IV 章（到達不能基数と $V_\kappa$）。
• S. Eilenberg, S. Mac Lane, “General theory of natural equivalences”, Transactions of the American Mathematical Society 58 (1945), 231–294.

Appendix: 宇宙と到達不能基数の証明

この付録では 定理 2.5 と 系 2.6 を証明します。選択公理を仮定し、集合 $X$ の基数 $|X|$（命題 7.1［公理的集合論 ZFC］）を自由に使います。順序数についての事実は 公理的集合論 ZFC で証明したものを使います。

補題 8.5（累積階層の性質）✓

順序数 $\alpha, \beta, \gamma$ について次が成り立つ。

1. $x \in V_\alpha$ ならば、ある $\beta < \alpha$ について $x \subseteq V_\beta$。
2. $\beta \le \alpha$ ならば $V_\beta \subseteq V_\alpha$。
3. $V_\alpha$ は推移的である。
4. 順序数 $\gamma$ について、$\gamma \in V_\alpha$ と $\gamma < \alpha$ は同値である。

証明（補題 8.5）

1 と 2 を合わせて $\alpha$ についての超限帰納法（定理 5.5［公理的集合論 ZFC］）で示す。

1: $\alpha = 0$ なら $V_0 = \varnothing$ で主張は空。$\alpha = \delta + 1$ なら $x \in \mathcal{P}(V_\delta)$、すなわち $x \subseteq V_\delta$ で $\delta < \alpha$。$\alpha$ が極限順序数なら、$x \in V_\gamma$（$\gamma < \alpha$）で、帰納法の仮定から $x \subseteq V_\beta$（$\beta < \gamma$）。

2: $\beta < \alpha$ で $V_\beta \subseteq V_\alpha$ を示せばよい。$\alpha$ が極限順序数なら定義から。$\alpha = \delta + 1$ なら、帰納法の仮定から $V_\beta \subseteq V_\delta$ なので $V_\delta \subseteq V_{\delta + 1}$ を示せばよい。$x \in V_\delta$ なら、帰納法の仮定（$\delta$ についての 1 と 2）から $x \subseteq V_\varepsilon \subseteq V_\delta$（$\varepsilon < \delta$）、よって $x \in \mathcal{P}(V_\delta) = V_{\delta + 1}$。

3: $y \in x \in V_\alpha$ なら、1・2 から $x \subseteq V_\beta \subseteq V_\alpha$ なので $y \in V_\alpha$。

4: まず $\gamma \subseteq V_\gamma$ を $\gamma$ についての帰納法で示す。$\delta < \gamma$ なら仮定から $\delta \subseteq V_\delta$、すなわち $\delta \in V_{\delta + 1} \subseteq V_\gamma$（2）。よって $\gamma \in V_{\gamma + 1}$ で、$\gamma < \alpha$ なら $\gamma + 1 \le \alpha$ だから $\gamma \in V_\alpha$（2）。逆を $\alpha$ についての帰納法で示す。$\gamma \in V_\alpha$ なら 1 から $\gamma \subseteq V_\beta$（$\beta < \alpha$）で、$\gamma$ の各元 $\delta$ は $\delta \in V_\beta$ を満たすので仮定から $\delta < \beta$。よって $\gamma \subseteq \beta$ で、補題 5.2［公理的集合論 ZFC］ の 4 から $\gamma \le \beta < \alpha$。

∎

補題 8.6（正則基数より小さい和）✓

$\kappa$ を非可算な正則基数とする。

1. $S \subseteq \kappa$ が $|S| < \kappa$ を満たすなら、$\sup S = \bigcup S < \kappa$。
2. $|I| < \kappa$ で、各 $i \in I$ について $|X_i| < \kappa$ なら、$\left|\bigcup_{i \in I} X_i\right| < \kappa$。

証明（補題 8.6）

1: $\sigma = \bigcup S$ は $S$ の上限である順序数で（系 5.4［公理的集合論 ZFC］ の 1）、$\sigma \le \kappa$。$\sigma = \kappa$ と仮定する。全単射 $e : \mu \to S$（$\mu = |S| < \kappa$）をとると、$\gamma < \kappa = \sup S$ に対し $\gamma < e(\xi)$ となる $\xi$ があるので、$e$ は $\kappa$ で非有界（定義 6.5［公理的集合論 ZFC］）。よって $\mathrm{cf}(\kappa) \le \mu < \kappa$ となり、正則性に反する。

2: $\mu = |I|$ とし、全単射 $e : \mu \to I$ をとる。1 を $S = \{|X_i| : i \in I\}$ に使うと $\nu = \sup S < \kappa$。選択公理により各 $i$ に単射 $g_i : X_i \to \nu$ を選ぶ。$x \in \bigcup X_i$ に、$x \in X_{e(\xi)}$ となる最小の $\xi = \xi(x)$ と $g_{e(\xi)}(x)$ の組を対応させる写像 $\bigcup X_i \to \mu \times \nu$ は単射である。$\lambda = \max(|\mu|, |\nu|, \omega)$ は $\kappa$ より小さい無限基数（$\kappa > \omega$）で、定理 6.3［公理的集合論 ZFC］ から $|\mu \times \nu| \le \lambda \cdot \lambda = \lambda < \kappa$。

∎

証明（定理 2.5）

1. $\kappa = \kappa_{\mathbb{U}}$ とおき、定義 2.1 の条件を 1〜5 と呼ぶ。

(a) $\kappa$ は順序数で、$\kappa \notin \mathbb{U}$、$\omega < \kappa$。$\alpha \in \mathbb{U}$ が順序数で $\beta \in \alpha$ なら、条件 1 から $\beta \in \mathbb{U}$、補題 5.2［公理的集合論 ZFC］ の 2 から $\beta$ は順序数。よって $\kappa$ は順序数からなる推移的集合で、順序数である（系 5.4［公理的集合論 ZFC］ の 1）。$\kappa \in \mathbb{U}$ なら $\kappa \in \kappa$ となり 補題 5.2［公理的集合論 ZFC］ の 1 に反する。$\omega \in \mathbb{U}$（条件 5）なので $\omega \in \kappa$。

(b) $x \in \mathbb{U}$ なら $|x| < \kappa$。$|x| \ge \kappa$ とすると、$\kappa \subseteq |x|$ と全単射 $|x| \to x$ から、$\kappa$ と対等な部分集合 $y \subseteq x$ がある。$y \in \mathbb{U}$（命題 2.3 の 1）で、全単射 $g : y \to \kappa$ は $\kappa \subseteq \mathbb{U}$ への写像なので、その像 $\kappa$ は $\mathbb{U}$ の元になる（命題 2.3 の 3）。これは (a) に反する。

(c) $\kappa$ は極限順序数。$\kappa = \delta + 1$ なら $\delta \in \mathbb{U}$ で、$\delta + 1 = \delta \cup \{\delta\} \in \mathbb{U}$（命題 2.3 の 2）となり (a) に反する。

(d) $\kappa$ は正則基数。命題 6.6［公理的集合論 ZFC］ の 2 より $\mathrm{cf}(\kappa) \le \kappa$。非有界な $f : \beta \to \kappa$ で $\beta < \kappa$ のものがあるとする。$\kappa$ は極限順序数なので各 $f(\xi) + 1 < \kappa$、すなわち $f(\xi) + 1 \in \mathbb{U}$。非有界性から $\kappa = \bigcup_{\xi < \beta}(f(\xi) + 1)$ で、$\beta \in \mathbb{U}$ だから条件 4 より $\kappa \in \mathbb{U}$ となり (a) に反する。よって $\mathrm{cf}(\kappa) = \kappa$ で、定理 6.7［公理的集合論 ZFC］ から $\kappa = \mathrm{cf}(\kappa)$ は正則基数である。

(e) 基数 $\lambda < \kappa$ について $\lambda \in \mathbb{U}$、条件 3 から $\mathcal{P}(\lambda) \in \mathbb{U}$ で、(b) から $2^{\lambda} = |\mathcal{P}(\lambda)| < \kappa$。

(a)〜(e) から $\kappa$ は到達不能基数である（定義 2.4）。

2. $\kappa$ を到達不能基数とする。$\kappa$ は無限基数なので極限順序数である（補題 6.2［公理的集合論 ZFC］）。

(f) $\alpha < \kappa$ なら $|V_\alpha| < \kappa$。$\alpha$ についての帰納法による。$V_0 = \varnothing$。$\alpha = \delta + 1$ なら $|V_{\delta+1}| = 2^{|V_\delta|}$ で、$|V_\delta|$ が有限ならこれは有限、無限なら 定義 2.4 の (iii) より $\kappa$ 未満。$\alpha$ が極限順序数なら $V_\alpha = \bigcup_{\delta < \alpha} V_\delta$ に 補題 8.6 の 2 を使う（$|\alpha| \le \alpha < \kappa$）。

(g) $x \in V_\kappa$ と「ある $\beta < \kappa$ について $x \subseteq V_\beta$」は同値。$\Rightarrow$ は 補題 8.5 の 1。$\Leftarrow$ は $x \in V_{\beta + 1}$ と $\beta + 1 < \kappa$（$\kappa$ は極限順序数）から、補題 8.5 の 2 により $x \in V_\kappa$。

条件 1 は 補題 8.5 の 3。条件 2：$x \subseteq V_\beta$、$y \subseteq V_\gamma$ とし $\delta = \max(\beta, \gamma)$ とすると、$x, y \in V_{\delta + 1}$（補題 8.5 の 2）なので $\{x, y\} \subseteq V_{\delta + 1}$、(g) から $\{x, y\} \in V_\kappa$。条件 3：$x \subseteq V_\beta$ なら $\mathcal{P}(x) \subseteq \mathcal{P}(V_\beta) = V_{\beta + 1}$ で、$\beta + 1 < \kappa$ だから (g) より $\mathcal{P}(x) \in V_\kappa$。条件 4：$I \in V_\kappa$、$f : I \to V_\kappa$ とする。$I \subseteq V_\beta$（$\beta < \kappa$）なので (f) から $|I| < \kappa$。$\rho(i)$ を $f(i) \subseteq V_{\rho}$ となる最小の $\rho < \kappa$ とすると（(g)）、補題 8.6 の 1 から $\sigma = \sup_i \rho(i) < \kappa$ で、$\bigcup_i f(i) \subseteq V_\sigma$（補題 8.5 の 2）。(g) から $\bigcup_i f(i) \in V_\kappa$。条件 5：補題 8.5 の 4 より $\omega \subseteq V_\omega$ で、$\omega < \kappa$ だから (g) より $\omega \in V_\kappa$。最後に、$V_\kappa$ に属する順序数がちょうど $\kappa$ の元であることは 補題 8.5 の 4 である。

∎

補題 8.7（すべての集合はある $V_α$ に属する）✓

任意の集合 $x$ について、$x \in V_\alpha$ となる順序数 $\alpha$ が存在する。

証明（補題 8.7）

超限再帰（定理 5.5［公理的集合論 ZFC］ の 2）で $T_0 = \{x\}$、$T_{n+1} = \bigcup T_n$（$n \in \omega$）を定め、置換公理で集合 $T = \bigcup_{n \in \omega} T_n$ を作る。$y \in T_n$、$z \in y$ なら $z \in T_{n+1}$ なので $T$ は推移的で、$x \in T$。

結論が成り立たない $x$ があるとし、$S = \{y \in T \mid \text{どの } V_\alpha \text{ にも属さない}\}$ とおく。$x \in S$ なので $S \ne \varnothing$。正則性公理（公理 2.1［公理的集合論 ZFC］ の 9）から $y \cap S = \varnothing$ となる $y \in S$ がある。$z \in y$ は $T$ の推移性から $T$ の元で、$S$ の元ではないので、$z \in V_\alpha$ となる最小の順序数 $\alpha_z$ がある。置換公理で集合 $\{\alpha_z \mid z \in y\}$ を作り、その上限を $\beta$ とすると、補題 8.5 の 2 から $y \subseteq V_\beta$、すなわち $y \in V_{\beta + 1}$。これは $y \in S$ に反する。

∎

証明（系 2.6）

宇宙の公理を仮定し、基数 $\lambda$ をとる。$\lambda \in \mathbb{U}$ となる宇宙があり、定理 2.5 の 1 から $\kappa_{\mathbb{U}}$ は到達不能基数で、$\lambda \in \kappa_{\mathbb{U}}$、すなわち $\lambda < \kappa_{\mathbb{U}}$。

逆に、到達不能基数が上に有界でないとし、集合 $x$ をとる。補題 8.7 により $x \in V_\alpha$ となる $\alpha$ がある。$|\alpha| < \kappa$ となる到達不能基数 $\kappa$ をとると $\alpha < \kappa$（$\kappa \le \alpha$ なら $\kappa \subseteq \alpha$ から $\kappa \le |\alpha|$ となる）なので、補題 8.5 の 2 から $x \in V_\kappa$。定理 2.5 の 2 より $V_\kappa$ は宇宙である。

∎