関手

圏 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ について、関手 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ とは、対象の写像 $X \mapsto F(X)$ と、射の写像 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(FX, FY)$、$f \mapsto F(f)$ の組で、$F(g \circ f) = F(g) \circ F(f)$ と $F(\mathrm{id}_X) = \mathrm{id}_{FX}$ を満たすものをいう。関手 $\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathcal{D}$ を $\mathcal{C}$ から $\mathcal{D}$ への反変関手という（これに対し関手を共変関手ともいう）。

• 関手 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{D}$、$G : \mathcal{D} \to \mathcal{E}$ の合成 $G F$ を $(GF)(X) = G(F(X))$、$(GF)(f) = G(F(f))$ で定める。恒等関手を $\mathrm{Id}_{\mathcal{C}}$ と書く。
• 圏 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ の積圏 $\mathcal{C} \times \mathcal{D}$ は、対象を組 $(X, Y)$、射を組 $(f, g) : (X, Y) \to (X', Y')$ とし、合成を成分ごとに定めた圏である。積圏からの関手を双関手という。