数学 › 圏論・ホモロジー代数 › モナドとモノイダル圏
デカルト閉圏の例
次の圏はデカルト閉である。
- 。指数対象は写像全体 で、評価射は 。
- 小さい圏と関手の圏 。積は積圏、指数対象は関手圏 。
- 小さい圏 上の前層の圏 。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 25 件、定義なども含めて 40 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
具体的な圏の完備性と余完備性✓定理 4.1・極限と余極限
- 積と等化子から極限✓定理 3.1・極限と余極限
- 宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換（上で展開済み）
商集合の普遍性✓定理 5.1・関係と同値関係
同値類の基本性質✓補題 4.2・関係と同値関係
- 同値類・商集合・自然な射影定義 4.1・関係と同値関係
- 直和・直積・自由加群・有限生成・有限表示定義 2.2・加群・完全列・中山の補題
- 部分加群・剰余加群・準同型定義 2.1・加群・完全列・中山の補題
積位相の普遍性✓定理 3.4・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
始位相・終位相の普遍性✓定理 2.4・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 積空間と積位相定義 3.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 商位相・商写像定義 4.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 直和位相定義 4.6・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 直和位相の普遍性✓命題 4.7・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 商位相の普遍性✓定理 4.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換
- Grothendieck 宇宙定義 2.1・圏・関手・自然変換
- 順序対（クラトフスキー）定義 2.3・公理的集合論 ZFC
- 関手定義 4.1・圏・関手・自然変換
関手圏は圏であり、大きさが保たれる✓命題 5.4・圏・関手・自然変換
- 宇宙の公理公理 2.2・圏・関手・自然変換
- 小さい圏・局所的に小さい圏定義 3.2・圏・関手・自然変換
- 宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換（上で展開済み）
- 双関手の判定✓補題 4.3・圏・関手・自然変換
前層の圏はトポス✓定理 6.4・Kan 拡張と前層の圏
- 具体的な圏の完備性と余完備性✓定理 4.1・極限と余極限（上で展開済み）
関手圏の極限は各点で計算できる✓命題 5.1・極限と余極限
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
- 関手圏は圏であり、大きさが保たれる✓命題 5.4・圏・関手・自然変換（上で展開済み）
- 随伴定義 2.1・随伴関手と随伴関手定理
- 宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換（上で展開済み）
前層の mono は各点で単射✓補題 6.3・Kan 拡張と前層の圏
- 米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
Hom は極限を保つ✓命題 5.2・極限と余極限
- 積と等化子から極限✓定理 3.1・極限と余極限
- 具体的な圏の完備性と余完備性✓定理 4.1・極限と余極限（上で展開済み）
- 極限の一意性と関手性✓命題 2.3・極限と余極限（上で展開済み）
- 極限・余極限・完備定義 2.2・極限と余極限
極限の一意性と関手性✓命題 2.3・極限と余極限
- 表現対象の一意性✓系 4.3・米田の補題と表現可能関手
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。