前層の圏はトポス

定理 6.4（「Kan 拡張と前層の圏」§6）・ ✓公理まで証明済み

$\mathcal{C}$ を小さい圏とする。

$\mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ は完備かつ余完備で、極限・余極限は各点で計算できる。
$\mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ はデカルト閉である。前層 $F, G$ について、指数対象は

G^{F}(X) = \operatorname{Nat}(h_X \times F, G), \qquad G^{F}(f)(\alpha) = \alpha \circ (h_f \times \mathrm{id}_F)

で与えられる。 3. $X$ 上の篩（定義 2.4［米田の補題と表現可能関手］）全体を $\Omega(X)$ とし、 $f : Y \to X$ に $f^{*}S = \{v \mid f \circ v \in S\}$ を対応させると、 $\Omega$ は前層である。 $\mathrm{true}_X$ を最大の篩 $h_X$ とすると、 $(\Omega, \mathrm{true})$ は部分対象分類子で、mono $m : A \Rightarrow F$ の特性射は

\chi_m(a) = \{\, u : W \to X \mid F(u)(a) \in m_W(A(W)) \,\} \qquad (a \in F(X))

である。

とくに $\mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ はトポスである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 24 件、定義なども含めて 38 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

具体的な圏の完備性と余完備性✓定理 4.1・極限と余極限
- 積と等化子から極限✓定理 3.1・極限と余極限
- 宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換（上で展開済み）
- 商集合の普遍性✓定理 5.1・関係と同値関係
  - 同値類の基本性質✓補題 4.2・関係と同値関係
    同値類・商集合・自然な射影定義 4.1・関係と同値関係
- 直和・直積・自由加群・有限生成・有限表示定義 2.2・加群・完全列・中山の補題
- 部分加群・剰余加群・準同型定義 2.1・加群・完全列・中山の補題
- 積位相の普遍性✓定理 3.4・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 始位相・終位相の普遍性✓定理 2.4・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 生成される位相の性質✓補題 2.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 積空間と積位相定義 3.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 商位相・商写像定義 4.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - 直和位相定義 4.6・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 直和位相の普遍性✓命題 4.7・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 商位相の普遍性✓定理 4.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
関手圏の極限は各点で計算できる✓命題 5.1・極限と余極限
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
関手圏は圏であり、大きさが保たれる✓命題 5.4・圏・関手・自然変換
- 宇宙の公理公理 2.2・圏・関手・自然変換
- 小さい圏・局所的に小さい圏定義 3.2・圏・関手・自然変換
- 宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換（上で展開済み）
随伴定義 2.1・随伴関手と随伴関手定理
宇宙の閉性✓命題 2.3・圏・関手・自然変換
- Grothendieck 宇宙定義 2.1・圏・関手・自然変換
- 順序対（クラトフスキー）定義 2.3・公理的集合論 ZFC
前層の mono は各点で単射✓補題 6.3・Kan 拡張と前層の圏
- 米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
Hom は極限を保つ✓命題 5.2・極限と余極限
- 積と等化子から極限✓定理 3.1・極限と余極限
- 具体的な圏の完備性と余完備性✓定理 4.1・極限と余極限（上で展開済み）
- 極限の一意性と関手性✓命題 2.3・極限と余極限（上で展開済み）
- 極限・余極限・完備定義 2.2・極限と余極限
極限の一意性と関手性✓命題 2.3・極限と余極限
- 表現対象の一意性✓系 4.3・米田の補題と表現可能関手
- パラメータ付きの表現可能性✓命題 5.1・米田の補題と表現可能関手
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 双関手の判定✓補題 4.3・圏・関手・自然変換
  - 表現と普遍元✓命題 4.2・米田の補題と表現可能関手
    自然同型は成分ごとの同型✓命題 5.2・圏・関手・自然変換
    米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
  - 米田の補題✓定理 3.1・米田の補題と表現可能関手
  - 米田の原理✓系 3.4・米田の補題と表現可能関手
    米田埋め込み✓系 3.3・米田の補題と表現可能関手この先をたどる →
    充満忠実な関手は同型を反映する✓補題 4.6・圏・関手・自然変換

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デカルト閉圏の例✓命題 4.4・モナドとモノイダル圏

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