部分加群・剰余加群・準同型

$M, N$ を $A$ 加群とする。

1. 加法部分群 $N \subseteq M$ が $AN \subseteq N$ を満たすとき部分加群といい、剰余群 $M/N$ に $a(m + N) = am + N$ で $A$ の作用を入れたものを剰余加群という。
2. 写像 $f\colon M \to N$ が $f(m + m') = f(m) + f(m')$、$f(am) = af(m)$ を満たすとき（$A$ 加群の）準同型という。$\ker f$、$\operatorname{Im} f$ は部分加群で、$\operatorname{Coker} f = N/\operatorname{Im} f$ を余核という。
3. 準同型 $M \to N$ の全体 $\operatorname{Hom}_A(M, N)$ は、$(f + g)(m) = f(m) + g(m)$、$(af)(m) = af(m)$ で $A$ 加群になる（$A$ の可換性により $af$ も準同型）。