可換環論

数学修士無料 14 章有料 0 章

可換環とその上の加群を、局所化・テンソル積・完備化という三つの操作と、Noether 性・整性・次元という三つの有限性で組み立てる。

想定読者: 大学院生（修士課程）、代数幾何・代数的整数論に進む人

前提テーマ:代数学（群・環・体）、線形代数学、位相空間論

このテーマの 100 本ノック（100 問）

目次

1. 第 1 章局所化と素イデアルのスペクトル無料可換環の根基と Jacobson 根基を素イデアルで特徴づけ、積閉集合による局所化を普遍性で構成して素イデアルの対応を示し、Spec A の Zariski 位相の基本性質と冪等元による連結性の判定を証明する。
2. 第 2 章加群・完全列・中山の補題無料可換環上の加群と完全列を整え、余因子行列の恒等式を可換環上で示して行列式のトリックと中山の補題を証明する。蛇の補題、局所化の完全性、局所的性質、台と零化イデアル、有限表示加群の Hom の局所化と Schanuel の補題まで扱う。
3. 第 3 章テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群無料可換環上の加群のテンソル積を普遍性で構成し、Hom との随伴と右完全性を示す。射影加群・入射加群（Baer の判定法）を整え、指標加群を使って平坦性のイデアル判定を Tor なしで証明し、有限表示加群の局所自由性・忠実平坦性・絶対平坦環を扱う。
4. 第 4 章Noether 環と Artin 環無料加群の昇鎖条件と降鎖条件を短完全列で扱い、Jordan–Hölder の定理で長さを定める。Artin 環が 0 次元の Noether 環と一致すること、局所環の直積に分かれること、冪級数環と Eakin–永田の定理を証明する。
5. 第 5 章整拡大：整閉包・横たわり・上昇定理と下降定理無料整元を有限生成加群で判定し、整閉包が環をなすこと、局所化と可換なこと、UFD が整閉であることを示す。整拡大の素イデアルについて横たわり・比較不能性・上昇定理・下降定理と、平坦拡大での下降定理を証明する。
6. 第 6 章Noether の正規化と Hilbert の零点定理無料超越基底の存在と超越次数の一意性を示し、有限体でも使える Noether の正規化定理から Zariski の補題と Hilbert の零点定理を導く。Jacobson 環への一般化と、体上有限生成整域の正規化が有限であることを証明する。
7. 第 7 章準素分解と随伴素イデアル無料Noether 環上の有限生成加群の随伴素イデアルを素フィルトレーションで調べ、零因子・台・局所化との関係を示す。Lasker–Noether の準素分解の存在と二つの一意性、記号的冪の性質を証明する。
8. 第 8 章Krull 次元と単項イデアル定理無料素イデアルの鎖で環の次元と高さを定め、整拡大で次元が変わらないこと、Krull の単項イデアル定理と一般高さ定理、Noether 局所環の次元とパラメータ系、dim A[x] = dim A + 1、体上有限生成整域の次元が超越次数に等しく鎖状であることを証明する。
9. 第 9 章離散付値環と Dedekind 環無料付値環の存在と整閉包の表示、1 次元 Noether 局所整域が DVR になる条件、Dedekind 環の局所化と可逆イデアルによる特徴づけ、Pic = Cl、Krull 整域、Krull–秋月の定理、相対拡大での Σe_if_i = n、導手、Dedekind 環上の加群を証明する。
10. 第 10 章完備化と Artin–Rees の補題無料Mittag-Leffler 条件で逆極限の完全性を示し、Artin–Rees の補題から Krull の交叉定理と完備化の完全性・平坦性・Noether 性を導く。Hensel の補題と、標数 0 の完備局所環の係数体の存在まで証明する。
11. 第 11 章次数環と Hilbert–Samuel 多項式無料次数環と次数加群の Noether 性と斉次性を整え、Hilbert–Serre の定理で Hilbert 関数が最終的に多項式になることを示す。Artin–Rees の補題から Hilbert–Samuel 多項式と重複度を定め、次元定理 dim A = d(A) = δ(A) と dim  = dim A を証明する。
12. 第 12 章Tor・Ext と深さ無料射影分解の比較定理から Tor と Ext を定義し、長完全列・Tor の平衡性・平坦性の Tor 判定を示す。正則列と深さを Ext で特徴づけ、Koszul 複体と極小自由分解を使って Auslander–Buchsbaum の公式 pd M + depth M = depth A を証明する。
13. 第 13 章Cohen–Macaulay 環と正則局所環無料深さと次元が一致する Cohen–Macaulay 環をパラメータ系・非混合性・重複度で特徴づけ、普遍鎖状性を示す。正則局所環が整域で UFD であること、大域次元による Serre の正則性定理、正規性の判定法 R1+S2 を証明する。
14. 第 14 章Kähler 微分と滑らかさの入口無料導分を表現する加群 Ω_{B/A} を対角の核から構成し、局所化・基底変換・二つの基本完全列で計算する。分離拡大と Ω = 0、体上のエタール代数、余接空間と Jacobi 判定法、形式的な滑らかさを証明し、Kunz の定理と優秀環の定義を述べる。