離散付値環と Dedekind 環：付値・可逆イデアル・Krull–秋月の定理

0. この記事の要点

整数が素数 $p$ で何回割り切れるかを数えると、整数を「$p$ のまわりだけで」見ることができます。多項式が点 $x = c$ で何回ゼロになるかを数えるのも同じ発想です。この記事は、そうした「ある一点のまわりで、元がどれだけ消えているかを整数で測る」仕組みを一般の環で取り出し、数の環（整数環など）や曲線の座標環が、各点のまわりでは一番単純な形をしていることを示します。読み終えると、イデアルが素イデアルの積に分解する環の正体を、局所的な言葉で説明できるようになります。

• 体 $K$ の部分環 $A$ が付値環であるとは、$K$ の $0$ でない元 $x$ について $x$ か $x^{-1}$ が $A$ に入ることです。付値環は局所環で、イデアルが包含で全順序をなし、整閉（体の中で、自分の上で整な元はすでに自分に入っていること）です。任意の部分環と素イデアルの組は、それを「支配」する付値環を Zorn の補題で持ち、整閉包は付値環の共通部分として書けます。
• 値が $\mathbb{Z}$ の付値の付値環が離散付値環（DVR）です。1 次元 Noether 局所整域では、DVR であること、整閉であること、極大イデアルが単項であること、$\dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = 1$、$0$ でないイデアルが $\mathfrak{m}^n$ に限ることがすべて同値です。
• 数論の章で定義した **Dedekind 整域**は、「すべての極大イデアルでの局所化が DVR である Noether 整域」とも、「$0$ でないイデアルがすべて可逆な Noether 整域」とも言い換えられます。可逆イデアルは階数 $1$ の射影加群と同じもので、Dedekind 環ではイデアル類群が Picard 群に一致します。
• Noether 整閉整域は、高さ $1$ の素イデアルでの局所化（DVR）の共通部分です（Krull 整域）。$1$ 次元 Noether 整域の有限次拡大体の中の中間環は Noether で次元 $1$ 以下です（Krull–秋月の定理）。とくに Dedekind 環の有限次拡大での整閉包は、有限生成加群でなくても Dedekind 環です。
• 一般の Dedekind 環 $A$ と次数 $n$ の拡大 $L/K$ で、素イデアル $\mathfrak{p}$ の分解について $\sum e_i f_i \le n$、整閉包が有限生成（分離拡大なら成り立つ）なら等号です。導手は整閉でない場所を切り出し、Dedekind 環上の捩れのない有限生成加群は $A^{n-1} \oplus I$ の形です。

この記事で使う事前知識

• 整閉整域: 商体の元で自分の上で整なものが、すでに自分に入っている整域。→ 整閉整域
• 局所化: 分母に使ってよい元（積閉集合）を決めて、その元を可逆にした環。→ 局所化
• 高さ: 素イデアルの下にのびる素イデアルの鎖の最大の長さ。→ 高さ
• 射影加群: 自由加群の直和因子として実現できる加群。→ 射影加群
• 分数イデアル: 商体の部分加群で、ある 0 でない元を掛けると環に収まるもの。→ 分数イデアル
• Dedekind 整域: Noether、整閉で、0 でない素イデアルがすべて極大である整域。→ Dedekind 整域

1. 動機

整数 $n$ が素数 $p$ で何回割れるかを数える関数 $v_p$ は、積を和に変え、和については $v_p(a + b) \ge \min(v_p(a), v_p(b))$ を満たします。$\mathbb{Q}$ の元で $v_p \ge 0$ となるものの全体は局所環 $\mathbb{Z}_{(p)}$ で、$\mathbb{Z}$ の「$p$ のまわりだけを見た」環です。多項式環 $k[x]$ で点 $x = c$ での零点の位数を数える関数も同じ性質をもちます。このように「$1$ つの点のまわりで、元がどれだけ消えているかを整数で測る」構造を抽象したものが離散付値と離散付値環（DVR）です。

代数体の整数環と Dedekind 整域 では、Noether・整閉・$0$ でない素イデアルは極大、という 3 条件を満たす整域（Dedekind 整域）で、イデアルが素イデアルの積に一意に分解することを証明しました。この記事ではその結果を土台に、次のことを考えます。

1. Dedekind 整域の 3 条件は何を意味しているのか。答えは「各点のまわりで DVR になっている」ことです。整閉という大域的な条件は、局所的には「極大イデアルが単項」という具体的な条件になります。
2. 整数環の性質のうち、$\mathbb{Z}$ 上の有限性（整基底）に頼っていたものはどこまで一般化できるか。数論の章では $\mathcal{O}_K$ が階数 $n$ の自由 $\mathbb{Z}$ 加群であることを繰り返し使いました。一般の Dedekind 環上ではこれが崩れるので、局所化して DVR の上で議論します。
3. 次元が $2$ 以上の整閉整域では、Dedekind 環のイデアル分解の代わりに何が残るか。答えは「高さ $1$ の素イデアルでの局所化がすべて DVR で、環はそれらの共通部分である」という性質（Krull 整域）で、代数幾何の Weil 因子の出発点になります。

この記事の結果は次のように使われます。

• 代数的整数論: 相対拡大 $L/K$ での素イデアルの分解、局所化から完備化を経て局所体へ進む道筋。
• 代数幾何: 非特異な曲線の局所環は DVR で、曲線上の点での関数の零点・極の位数はその付値です。Weil 因子（高さ $1$ の素イデアル）と Cartier 因子（可逆イデアル）の比較は、この記事の Krull 整域と可逆イデアルの話の幾何版です。
• Cohen–Macaulay 環と正則局所環 の記事: Serre の正規性判定法（定理 9.4［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）は、この記事の 定理 6.2 の二つの条件を言い換えたものです。

環はすべて単位元をもつ可換環です。整域 $A$ の商体を $\operatorname{Frac} A$ と書き（命題 3.5［局所化と素イデアルのスペクトル］）、$A$ の局所化 $S^{-1}A$（$0 \notin S$）は商体の部分環 $\{a/s\}$ と見なします（同じ命題の後半）。同様に、商体 $K$ の $A$ 部分加群 $M$ の局所化 $S^{-1}M$ は、定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］ により $S^{-1}K = K$ の部分加群 $\{m/s : m \in M,\ s \in S\}$ と見なします。整拡大・整閉は 整拡大、次元と単項イデアル定理は Krull 次元と単項イデアル定理 の記事のものを使います。

2. 付値環

定義 2.1（付値環・値群・付値）↗

1. $K$ を体とする。$K$ の部分環 $A$ が $K$ の付値環であるとは、$0$ でない任意の $x \in K$ について $x \in A$ または $x^{-1} \in A$ が成り立つことをいう。このとき $\operatorname{Frac} A = K$ である。整域 $A$ が $\operatorname{Frac} A$ の付値環であるとき、単に付値環という。
2. $\Gamma$ を全順序アーベル群（加法的に書き、$\alpha \le \beta$ なら $\alpha + \gamma \le \beta + \gamma$ を満たすもの）とする。全射な群準同型 $v \colon K^{\times} \to \Gamma$ で、$x, y, x + y \in K^{\times}$ について $$v(x + y) \ge \min\bigl(v(x), v(y)\bigr)$$ を満たすものを、$K$ の付値、$\Gamma$ をその値群という。$v(0) = \infty$（どの元よりも大きい記号）と約束し、$A_v = \{ x \in K : v(x) \ge 0 \}$ を $v$ の付値環と呼ぶ。

$\operatorname{Frac} A = K$ は、$x \in K^{\times}$ について $x \in A$ か $x = (x^{-1})^{-1}$（$x^{-1} \in A$）のどちらかであることから従います。

命題 2.2（付値環の基本性質）✓

$A$ を体 $K$ の付値環とする。

1. $A$ のイデアルの全体は包含関係について全順序である。
2. $A$ は局所環であり、その極大イデアルは $\mathfrak{m}_A = \{ x \in A : x = 0 \text{ または } x^{-1} \notin A \}$（非単元の全体）である。
3. $A$ の有限生成イデアルは単項イデアルである。
4. $A$ は $K$ の中で整閉である。

証明（命題 2.2）

(1) イデアル $I, J$ で $I \not\subseteq J$ かつ $J \not\subseteq I$ となるものがあるとして、$a \in I \setminus J$、$b \in J \setminus I$ を取ります。$a, b \ne 0$ なので、$a/b \in A$ か $b/a \in A$ です。$a/b \in A$ なら $a = (a/b)b \in J$、$b/a \in A$ なら $b = (b/a)a \in I$ となり、どちらも矛盾です。

(2) 補題 3.9［局所化と素イデアルのスペクトル］ により、非単元の全体がイデアルであることを示せば十分です（$A \subseteq K$ なので $1 \ne 0$）。非単元 $x$ と $a \in A$ について $ax$ は非単元です（$ax$ が単元なら $x \cdot a(ax)^{-1} = 1$）。非単元 $x, y \ne 0$ について、$x/y \in A$ としてよく（そうでなければ $y/x \in A$ で役割を入れ替える）、$x + y = y(1 + x/y)$ です。$x + y$ が単元なら $y \cdot (1 + x/y)(x + y)^{-1} = 1$ で $y$ が単元になり矛盾です。$x = 0$ や $y = 0$ の場合は明らかです。$x \in A$ が非単元であることは、$x = 0$ か $x^{-1} \notin A$ であることと同じです。

(3) $I = (a_1, \ldots, a_n)$ とすると、(1) により単項イデアル $(a_1), \ldots, (a_n)$ は全順序なので、最大のもの $(a_j)$ がすべてを含み、$I = (a_j)$ です。

(4) $x \in K$ が $A$ 上整で $x \notin A$ と仮定します。$x \ne 0$ で、$x^{-1} \in A$ です。整従属の式 $x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n = 0$（$a_i \in A$）に $x^{-(n-1)}$ を掛けると

$$x = -\bigl(a_1 + a_2x^{-1} + \cdots + a_nx^{-(n-1)}\bigr) \in A$$

となり矛盾です。

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付値と付値環は同じものを二通りに見たものです。

命題 2.3（付値と付値環の対応）✓

$K$ を体とする。

1. $v$ を $K$ の付値とすると、$A_v$ は $K$ の付値環で、単元群は $\{ x : v(x) = 0 \}$、極大イデアルは $\{ x : v(x) > 0 \}$ である。
2. $A$ を $K$ の付値環とし、$\Gamma_A = K^{\times}/A^{\times}$ に $xA^{\times} \le yA^{\times} \iff y/x \in A$ で順序を入れる。$\Gamma_A$ は全順序アーベル群で、自然な射影 $v_A \colon K^{\times} \to \Gamma_A$ は付値であり、$A_{v_A} = A$ である。

証明（命題 2.3）

(1) $v(1) = v(1 \cdot 1) = 2v(1)$ から $v(1) = 0$ です。$\gamma > 0$ なら $2\gamma > \gamma > 0$ なので、全順序アーベル群に位数 $2$ の元はなく、$2v(-1) = v(1) = 0$ から $v(-1) = 0$、したがって $v(-x) = v(x)$ です。よって $A_v$ は和・差・積で閉じ $1$ を含む部分環です。$x \ne 0$ について $v(x^{-1}) = -v(x)$ なので、$v(x) \ge 0$ か $v(x^{-1}) \ge 0$ が成り立ち、$A_v$ は付値環です。$x \in A_v$ が単元であることは $v(x) \ge 0$ かつ $-v(x) \ge 0$、すなわち $v(x) = 0$ と同値で、命題 2.2 の (2) により極大イデアルは非単元の全体 $\{ v > 0 \} \cup \{ 0 \}$ です。

(2) 順序が代表元によらないこと：$x' = xu$、$y' = yw$（$u, w \in A^{\times}$）なら $y'/x' = (y/x)(w/u)$ で、$A$ に入るかどうかは変わりません。反射律と推移律（$y/x, z/y \in A$ なら $z/x \in A$）は明らかです。反対称律：$y/x$ と $x/y$ がともに $A$ に入れば $y/x \in A^{\times}$ で $xA^{\times} = yA^{\times}$ です。全順序であることは付値環の定義そのものです。$xA^{\times} \le yA^{\times}$ なら $(yz)/(xz) = y/x \in A$ なので積と両立します。$v_A$ は全射準同型です。不等式：$v_A(x) \le v_A(y)$、すなわち $y/x \in A$ としてよく、$(x + y)/x = 1 + y/x \in A$ なので $v_A(x) \le v_A(x + y)$ です。最後に $v_A(x) \ge v_A(1)$ は $x/1 \in A$ と同値なので $A_{v_A} = A$ です。

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次の定理は付値環が豊富にあることを保証します。局所環 $(B, \mathfrak{m}_B)$ が部分環 $A$ と素イデアル $\mathfrak{p}$ について $A \subseteq B$、$\mathfrak{m}_B \cap A = \mathfrak{p}$ を満たすとき、$B$ は $(A, \mathfrak{p})$ を支配するといいます。言い換えると、$B$ は $A$ を含み、$B$ の極大イデアルを $A$ に引き戻す（$A$ との共通部分を取る）とちょうど $\mathfrak{p}$ になる、ということです。

次の定理のねらいは、どんな部分環と素イデアルの組にも、付値環が必ず見つかることです。証明は Zorn の補題で「$\mathfrak{p}$ を単位イデアルにしない部分環」のうち極大なものを取り、その極大元が (i) 局所環であること、(ii) 付値環であること、を順に確かめる流れです。最後の (ii) は、$x$ と $x^{-1}$ がどちらも入らないと仮定して、そこから得られる 2 つの関係式の次数を比べて矛盾を導きます。

定理 2.4（付値環の存在）✓

$K$ を体、$A$ を $K$ の部分環、$\mathfrak{p}$ を $A$ の素イデアルとする。このとき $K$ の付値環 $V$ で、$A \subseteq V$ かつ $\mathfrak{m}_V \cap A = \mathfrak{p}$ となるものが存在する。

証明（定理 2.4）

$A$ は体の部分環なので整域で、$A \to K$ は $0$ でない元を単元に写すので、定理 3.4［局所化と素イデアルのスペクトル］ と 命題 3.5［局所化と素イデアルのスペクトル］ により $A_{\mathfrak{p}}$ を $K$ の部分環 $\{ a/s : a \in A,\ s \in A \setminus \mathfrak{p} \}$ と見なせます。$A_{\mathfrak{p}}$ の極大イデアルは $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ です（命題 3.10［局所化と素イデアルのスペクトル］）。部分環 $B \subseteq K$ について、$\mathfrak{p}$ で生成される $B$ のイデアルを $\mathfrak{p}B$ と書きます。

$\Sigma = \{ B : B \text{ は } K \text{ の部分環},\ A_{\mathfrak{p}} \subseteq B,\ \mathfrak{p}B \ne B \}$ を包含で順序づけます。$A_{\mathfrak{p}} \in \Sigma$ なので空ではありません。鎖 $(B_i)$ の和集合 $B$ は部分環で、$1 \in \mathfrak{p}B$ なら $1 = \sum_{j} p_jb_j$（有限和）の $b_j$ がすべてある $B_i$ に入り $1 \in \mathfrak{p}B_i$ となるので、$B \in \Sigma$ です。Zorn の補題（定理 5.1［選択公理と Zorn の補題］）により極大元 $V$ があります。

$V$ は局所環で、$\mathfrak{p}V$ はその極大イデアル $\mathfrak{m}$ に含まれる。 $\mathfrak{p}V \ne V$ なので、$\mathfrak{p}V$ を含む極大イデアル $\mathfrak{m}$ があります（定理 6.5［選択公理と Zorn の補題］）。$V_{\mathfrak{m}} \subseteq K$ は $V$ を含み、$\mathfrak{p}V_{\mathfrak{m}} \subseteq \mathfrak{m}V_{\mathfrak{m}} \ne V_{\mathfrak{m}}$（定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (1)）なので $V_{\mathfrak{m}} \in \Sigma$、極大性から $V = V_{\mathfrak{m}}$ です。よって $\mathfrak{m}$ に入らない $V$ の元はすべて単元で、補題 3.9［局所化と素イデアルのスペクトル］ により $(V, \mathfrak{m})$ は局所環です。

$\mathfrak{m} \cap A = \mathfrak{p}$。 $\mathfrak{m} \cap A_{\mathfrak{p}}$ は $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ を含み $1$ を含まないイデアルなので、$\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ の極大性から $\mathfrak{m} \cap A_{\mathfrak{p}} = \mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ です。定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (3) により $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}} \cap A = \mathfrak{p}$ なので、$\mathfrak{m} \cap A = \mathfrak{p}$ です。

$V$ は付値環である。 $x \in K^{\times}$ で $x \notin V$ かつ $x^{-1} \notin V$ となるものがあると仮定します。$V[x] \supsetneq V$ は $A_{\mathfrak{p}}$ を含む部分環なので、極大性から $\mathfrak{p}V[x] = V[x]$、とくに $\mathfrak{m}V[x] = V[x]$ です。よって

$$1 = u_0 + u_1x + \cdots + u_nx^n \quad (u_i \in \mathfrak{m})$$

と書けます。同様に $1 = w_0 + w_1x^{-1} + \cdots + w_kx^{-k}$（$w_j \in \mathfrak{m}$）とも書けます。$n$ と $k$ をそれぞれ最小に取ります。$1 \notin \mathfrak{m}$ なので $n, k \ge 1$ で、$x$ と $x^{-1}$ を入れ替えれば $n \ge k$ としてかまいません。$1 - w_0$ は $\mathfrak{m}$ に入らないので単元で、$w_j' = w_j(1 - w_0)^{-1} \in \mathfrak{m}$ とおくと $1 = \sum_{j=1}^{k} w_j'x^{-j}$、両辺に $x^n$ を掛けて

$$x^n = \sum_{j=1}^{k} w_j' x^{n-j}$$

です（$n - j \ge 0$）。これを最初の式の $u_nx^n$ に代入すると、$1$ が $x$ の $n - 1$ 次以下の式で係数が $\mathfrak{m}$ に入るもの（$x^{n-j}$ の係数は $u_{n-j} + u_nw_j'$）として書け、$n$ の最小性に反します。

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系 2.5（整閉包は付値環の共通部分）✓

$A$ を体 $K$ の部分環とする。$K$ における $A$ の整閉包は、$A$ を含む $K$ の付値環すべての共通部分に等しい。とくに整閉整域は、その商体の付値環で自身を含むものすべての共通部分である。

証明（系 2.5）

$x \in K$ が $A$ 上整なら、$A \subseteq V$ となる付値環 $V$ 上でも同じ式で整なので、命題 2.2 の (4) により $x \in V$ です。逆に $x \in K$ が $A$ 上整でないとします。$0$ は整なので $x \ne 0$ で、$y = x^{-1}$ とおきます。$y$ が $A[y]$ の単元なら $x = a_0 + a_1y + \cdots + a_my^m$（$a_i \in A$）と書け、$x^m$ を掛けると $x^{m+1} = a_0x^m + a_1x^{m-1} + \cdots + a_m$ となって $x$ が整になるので、$y$ は $A[y]$ の非単元です。$y$ を含む $A[y]$ の極大イデアル $\mathfrak{n}$ を取り（定理 6.5［選択公理と Zorn の補題］）、定理 2.4 を $(A[y], \mathfrak{n})$ に適用して、$A[y] \subseteq V$、$\mathfrak{m}_V \cap A[y] = \mathfrak{n}$ となる付値環 $V$ を取ります。$y \in \mathfrak{m}_V$ なので $y$ は $V$ の単元でなく、$x = y^{-1} \notin V$ です。後半は $A$ の整閉包が $A$ 自身であることの言い換えです。

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付値環の具体例は次節の DVR ですが、Noether でない付値環の典型例をここで見ておきます。これは単項イデアル定理が Noether 性なしでは成り立たないこと（注意 4.6［Krull 次元と単項イデアル定理］）の裏付けでもあります。

例 2.6（値群が ℤ×ℤ の付値環）

$k$ を体、$K = k(x, y)$ とし、$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ に辞書式順序（第 1 成分で比べ、等しければ第 2 成分で比べる）を入れます。これは加法と両立する全順序です。$0$ でない多項式 $f = \sum c_{ij}x^iy^j$ について、$c_{ij} \ne 0$ となる $(j, i)$ の最小値を $v(f)$ とします（$y$ の指数を先に比べることに注意）。$f, g$ の最小の項どうしの積は $fg$ の中で他の項の積と打ち消し合いません（指数の和が $v(f) + v(g)$ になる組は最小の項どうしだけ）。よって $v(fg) = v(f) + v(g)$ で、$v(f + g) \ge \min(v(f), v(g))$ は定義から明らかです。$v(f/g) = v(f) - v(g)$ と定めると表し方によらず、$v$ は $K$ の付値で $v(x) = (0, 1)$、$v(y) = (1, 0)$ です。$V = A_v$ とします。

• $\mathfrak{m}_V = xV$。実際 $z \in \mathfrak{m}_V$ なら $v(z) \ge (0, 1) = v(x)$ なので $z/x \in V$ です。
• $\mathfrak{p}_1 = \{ z : v(z) \text{ の第 1 成分が } 1 \text{ 以上} \}$ は素イデアルで、$y \in \mathfrak{p}_1$、$x \notin \mathfrak{p}_1$ です。$V$ の元の値は $(0, 0)$ 以上なので、$v(zw) = v(z) + v(w)$ の第 1 成分が正なら $z, w$ のどちらかの第 1 成分が正です。
• $V$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{q}$ は $\mathfrak{p}_1$ か $\mathfrak{m}_V$ です。$\mathfrak{q}$ が値 $(0, n)$（$n \ge 1$）の元 $z$ を含めば $x^n/z$ は単元で $x^n \in \mathfrak{q}$、$x \in \mathfrak{q}$ となり $\mathfrak{q} \supseteq xV = \mathfrak{m}_V$ です。そうでなければ $\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{p}_1$ で、値 $(j, i)$（$j \ge 1$）の元 $z \in \mathfrak{q}$ と $w \in \mathfrak{p}_1$ について、$N$ を大きく取れば $v(w^N) \ge v(z)$ なので $w^N \in zV \subseteq \mathfrak{q}$、$w \in \mathfrak{q}$ です。

したがって $V$ の素イデアルは $(0) \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \mathfrak{m}_V$ の 3 つで、$\dim V = 2$ です。$\mathfrak{m}_V$ は単項イデアル $xV$ を含む唯一の素イデアルなので $xV$ の極小素イデアルですが、高さは $2$ です。$V$ は Noether ではなく、実際 $yV \subsetneq (y/x)V \subsetneq (y/x^2)V \subsetneq \cdots$ は止まらない昇鎖です（$v(y/x^n) = (1, -n)$）。

値群 ℤ×ℤ の付値環。横軸は x の指数、縦軸は y の指数で、点 (i, j) は値 v(xⁱyʲ) = (j, i) を表す。色の付いた領域が付値環 V の 0 でない元の値で、上の帯（j ≥ 1）が素イデアル 𝔭₁、それに右の半直線を足したものが極大イデアル、白丸は単元の値

付値環を局所的なモデルとする整域のクラスに名前を付けておきます。

定義 2.7（Bezout 整域・Prüfer 整域）↗

整域 $A$ の有限生成イデアルがすべて単項イデアルであるとき、$A$ を Bezout 整域という。整域 $A$ のすべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について $A_{\mathfrak{p}}$ が付値環であるとき、$A$ を Prüfer 整域という。

付値環は Bezout 整域です（命題 2.2 の (3)）。Bezout 整域は Prüfer 整域です（演習 11.1）。Noether 性を課すと、Prüfer 整域は体か Dedekind 環になります（系 5.2）。

3. 離散付値環

定義 3.1（離散付値・離散付値環）↗

値群が $\mathbb{Z}$（通常の順序）である付値 $v \colon K^{\times} \to \mathbb{Z}$ を離散付値といい、その付値環 $A_v$ を離散付値環（discrete valuation ring, DVR）という。$v(t) = 1$ となる $t$ を素元（uniformizer）という。

命題 3.2（DVR の基本性質）✓

$v$ を体 $K$ の離散付値、$A = A_v$、$t$ を素元とする。

1. $A$ は局所環で、$\mathfrak{m} = tA$ である。$K^{\times}$ の任意の元は、単元 $u \in A^{\times}$ によりただ一通りに $x = ut^{v(x)}$ と書ける。
2. $A$ の $0$ でないイデアルは $t^nA = \mathfrak{m}^n$（$n \ge 0$）に限る。とくに $A$ は単項イデアル整域で、Noether 環である。
3. $A$ の素イデアルは $(0)$ と $\mathfrak{m}$ だけで、$A$ は体でなく、$\dim A = 1$ である。

証明（命題 3.2）

(1) $A$ は付値環なので局所環です（命題 2.2 の (2)）。$v(xt^{-v(x)}) = 0$ なので 命題 2.3 の (1) により $u = xt^{-v(x)}$ は単元です。$ut^n = u't^{n'}$ なら両辺の $v$ を取って $n = n'$、したがって $u = u'$ です。$\mathfrak{m} = \{ v > 0 \} \cup \{0\}$ の元 $z \ne 0$ は $z = (zt^{-1})t$、$v(zt^{-1}) \ge 0$ なので $\mathfrak{m} = tA$ です。

(2) $I \ne 0$ をイデアルとし、$n = \min\{ v(z) : 0 \ne z \in I \}$ とします（値は $0$ 以上の整数）。$v(z) = n$ となる $z \in I$ は $z = ut^n$ と書けるので $t^n = u^{-1}z \in I$ です。逆に $y \in I$ は $v(y) \ge n$ なので $y = (yt^{-n})t^n \in t^nA$ です。よって $I = t^nA = (tA)^n = \mathfrak{m}^n$ です。イデアルがすべて単項なので Noether 環です。

(3) $n \ge 2$ なら $t \cdot t^{n-1} \in t^nA$ ですが $t, t^{n-1} \notin t^nA$（値が $n$ 未満）なので $t^nA$ は素イデアルでなく、$t^0A = A$ も素イデアルではありません。よって素イデアルは $(0)$ と $tA$ で、$t \ne 0$ が非単元なので $A$ は体でなく、最長の鎖は $(0) \subsetneq \mathfrak{m}$ です。

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次の補題は、整閉性から「極大イデアルが単項」を引き出す議論の核です。この記事で 2 回使います。補題の内容は、$A$ に入らない分数 $y$ で $y\mathfrak{m} \subseteq A$ となるものがあれば、$y\mathfrak{m}$ はちょうど $A$ 全体になり、したがって $\mathfrak{m}$ は $y^{-1}$ の倍数全体 $y^{-1}A$ に等しい、というものです。

補題 3.3（整閉局所環の極大イデアルの逆）✓

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所整域で整閉なもの、$K = \operatorname{Frac} A$ とし、$\mathfrak{m} \ne 0$ とする。$y \in K$ が $y \notin A$ かつ $y\mathfrak{m} \subseteq A$ を満たせば、$y\mathfrak{m} = A$ であり、$y^{-1} \in \mathfrak{m}$、$\mathfrak{m} = y^{-1}A$ である。

証明（補題 3.3）

$y\mathfrak{m}$ は $A$ の部分加群、すなわちイデアルです。$y\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{m}$ と仮定すると、$\mathfrak{m}$ は $A[y]$ 加群で、$A$ が Noether なので $A$ 加群として有限生成です。$z \in A[y] \subseteq K$ について $z\mathfrak{m} = 0$ なら、$\mathfrak{m} \ne 0$ と $K$ が体であることから $z = 0$ なので、$\mathfrak{m}$ は忠実な $A[y]$ 加群です。定理 2.3［整拡大］ の (4) ⇒ (1) により $y$ は $A$ 上整で、$A$ は整閉なので $y \in A$ となり矛盾です。よって $y\mathfrak{m} \not\subseteq \mathfrak{m}$ で、$\mathfrak{m}$ に含まれないイデアルは単元を含むので $y\mathfrak{m} = A$ です。$1 = ym_0$（$m_0 \in \mathfrak{m}$）から $y^{-1} = m_0 \in \mathfrak{m}$、$\mathfrak{m} = y^{-1}(y\mathfrak{m}) = y^{-1}A$ です。

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定理 3.4（DVR の特徴づけ）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を次元 $1$ の Noether 局所整域とする。次は同値である。

1. $A$ は DVR である（$\operatorname{Frac} A$ のある離散付値 $v$ について $A = A_v$）。
2. $A$ は整閉である。
3. $\mathfrak{m}$ は単項イデアルである。
4. $\dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = 1$ である。
5. $A$ の $0$ でないイデアルはすべて $\mathfrak{m}^n$（$n \ge 0$）の形である。

証明（定理 3.4）

$\dim A = 1$ なので $\mathfrak{m} \ne 0$ で、$A$ の素イデアルは $(0)$ と $\mathfrak{m}$ だけです（$0 \ne \mathfrak{p} \subsetneq \mathfrak{m}$ なら長さ $2$ の鎖ができる）。また $\mathfrak{m} \ne \mathfrak{m}^2$ です。実際 $\mathfrak{m} = \mathfrak{m} \cdot \mathfrak{m}$ なら、中山の補題（定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の (1)。$\mathfrak{m}$ は Jacobson 根基で、Noether 性から有限生成）により $\mathfrak{m} = 0$ となります。

(1) ⇒ (2)：DVR は付値環なので 命題 2.2 の (4) です。

(2) ⇒ (3)：$0 \ne a \in \mathfrak{m}$ を取ります。$a$ を含む素イデアルは $\mathfrak{m}$ だけなので、補題 4.1［Krull 次元と単項イデアル定理］ の (1) ⇒ (3) により $\mathfrak{m}^n \subseteq aA$ となる $n \ge 1$ があり、そのうち最小のものを取ります（$aA \ne A$ なので $\mathfrak{m}^0 = A \not\subseteq aA$）。$b \in \mathfrak{m}^{n-1} \setminus aA$ を取り、$y = b/a \in K$ とおくと、$b \notin aA$ から $y \notin A$、$b\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{m}^n \subseteq aA$ から $y\mathfrak{m} \subseteq A$ です。補題 3.3 により $\mathfrak{m} = y^{-1}A$ は単項です。

(3) ⇔ (4)：$\mathfrak{m} = tA$ なら $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ は $t$ の像で張られ、$\mathfrak{m} \ne \mathfrak{m}^2$ なので次元は $1$ です。逆に次元が $1$ なら、系 3.6［加群・完全列・中山の補題］ により $\mathfrak{m}$ は $1$ 元で生成されます。

(3) ⇒ (1)：$\mathfrak{m} = tA$ とします。まず $\bigcap_n \mathfrak{m}^n = 0$ を示します。 $x \in \bigcap_n t^nA$ とし、$x = t^nx_n$（$x_n \in A$）と書くと、$t^nx_n = t^{n+1}x_{n+1}$ から（整域なので）$x_n = tx_{n+1}$、よって $x_1A \subseteq x_2A \subseteq \cdots$ は昇鎖で、Noether 性からある $N$ で $x_{N+1} = cx_N = ctx_{N+1}$ となります。$1 - ct$ は単元なので $x_{N+1} = 0$、$x = 0$ です。

したがって $0 \ne x \in A$ について $x \in \mathfrak{m}^n$ となる最大の $n$ があり、$x = t^nu$ と書くと $u \notin \mathfrak{m}$（さもなくば $x \in \mathfrak{m}^{n+1}$）なので $u$ は単元です。$t^nu = t^{n'}u'$（$u, u'$ 単元、$n < n'$）なら $u = t^{n'-n}u' \in \mathfrak{m}$ となり矛盾なので、$n$ は $x$ で決まります。これを $v(x)$ とおくと $v(xy) = v(x) + v(y)$ で、$v(a/b) = v(a) - v(b)$ により $K^{\times}$ 上の準同型に延びます。$x = t^nu$、$y = t^{n'}u'$（$n \le n'$）なら $x + y = t^n(u + t^{n'-n}u') \in \mathfrak{m}^n$ なので $A$ の元について $v(x + y) \ge \min(v(x), v(y))$ が成り立ち、共通の分母を取れば $K$ の元についても成り立ちます。$v(t) = 1$ なので $v$ は全射で、離散付値です。$x = a/b$ で $v(x) \ge 0$ なら、$a = t^{\alpha}u$、$b = t^{\beta}w$（$\alpha \ge \beta$）として $x = t^{\alpha - \beta}uw^{-1} \in A$ なので、$A_v = A$ です。

(1) ⇒ (5)：命題 3.2 の (2) です。

(5) ⇒ (3)：$t \in \mathfrak{m} \setminus \mathfrak{m}^2$ を取ると $tA = \mathfrak{m}^r$ と書けます。$t$ は非単元なので $r \ge 1$、$t \notin \mathfrak{m}^2$ なので $r \le 1$ で、$\mathfrak{m} = tA$ です。

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「次元 $1$」の仮定は単項イデアル定理で外せます。

系 3.5（極大イデアルが単項な Noether 局所整域）✓

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所整域とし、$\mathfrak{m} = tA \ne 0$ とする。このとき $\dim A = 1$ で、$A$ は DVR である。

証明（系 3.5）

$tA = \mathfrak{m}$ を含む素イデアルは $\mathfrak{m}$ だけなので、$\mathfrak{m}$ は $tA$ の極小素イデアルで、単項イデアル定理（定理 4.2［Krull 次元と単項イデアル定理］）により $\operatorname{ht}\mathfrak{m} \le 1$ です。$A$ は整域で $\mathfrak{m} \ne 0$ なので $(0) \subsetneq \mathfrak{m}$ は長さ $1$ の鎖で、$\operatorname{ht}\mathfrak{m} = 1$ です。命題 2.3［Krull 次元と単項イデアル定理］ の (4) により $\dim A = \operatorname{ht}\mathfrak{m} = 1$ で、定理 3.4 の (3) ⇒ (1) により $A$ は DVR です。

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例 3.6（DVR の例）

1. $p$ を素数とします。$\mathbb{Z}_{(p)}$ は Noether 局所整域で（系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (2)、例 5.4［局所化と素イデアルのスペクトル］）、極大イデアル $p\mathbb{Z}_{(p)}$ は単項なので、系 3.5 により DVR です。付値は $v_p(p^na/b) = n$（$p \nmid a, b$）、すなわち $p$ で割れる回数です。
2. 体 $k$ について、$k[x]_{(x)} = \{ f/g : g(0) \ne 0 \}$ も同じ理由で DVR で、付値は $x = 0$ での零点の位数です。$x - c$ で局所化すれば点 $c$ での位数になります。
3. 冪級数環 $k[[x]]$ では、定数項 $c_0 \ne 0$ の元 $u = c_0(1 - g)$（$g$ は定数項 $0$）は逆元 $c_0^{-1}\sum_{n \ge 0} g^n$ をもちます（$g^n$ は $x^n$ 以上の項しかもたないので、各係数は有限和）。よって $0$ でない $f$ は $f = x^nu$（$n$ は $f$ の最低次数、$u$ は単元）と書け、$v(f) = n$ は $\operatorname{Frac} k[[x]]$ の離散付値で、$k[[x]]$ はその付値環です。
4. 離散でない付値環もあります。$k[[x^{1/n}]]$（$n \ge 1$）の和集合 $\bigcup_n k[[x^{1/n}]]$ は、最低次数を値とする値群 $\mathbb{Q}$ の付値の付値環で、極大イデアル $\mathfrak{m}$ は $\mathfrak{m} = \mathfrak{m}^2$ を満たします（$x^{a} = (x^{a/2})^2$）。定理 3.4 の証明の冒頭で見たとおり、Noether 局所整域ではこうはなりません。

例 3.7（尖点の局所環は DVR でない）

$A = k[x, y]/(y^2 - x^3)$、$\mathfrak{m} = (x, y)$ とします。例 3.4［整拡大］ により $A \cong k[t^2, t^3]$（$x = t^2$、$y = t^3$）で、$\mathfrak{m}$ は定数項 $0$ の元の全体に対応します。$A_{\mathfrak{m}}$ は Noether 局所整域で、$k[t]$ が $A$ 上整なので次元は $\dim k[t] = 1$ に等しく（命題 3.1［Krull 次元と単項イデアル定理］）、$\operatorname{ht}\mathfrak{m} = 1$ から $\dim A_{\mathfrak{m}} = 1$ です。しかし $t = y/x \in \operatorname{Frac} A$ は $T^2 - x = 0$ を満たして整なのに、$A_{\mathfrak{m}}$ に入りません。実際 $t = a/s$（$a \in A$、$s \notin \mathfrak{m}$）なら $ts = a$ で、$s$ の定数項 $c \ne 0$ により左辺の $t^1$ の係数は $c$、右辺の $t^1$ の係数は $0$ です。よって $A_{\mathfrak{m}}$ は整閉でなく、定理 3.4 により DVR ではありません。$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ が $x, y$ の像を基底とする $2$ 次元であることからも分かります。

4. 分数イデアルと可逆イデアル

数論の章では Dedekind 整域の上で分数イデアルを定義しました（定義 4.6［代数体の整数環と Dedekind 整域］）。同じ定義を一般の整域で使います。

定義 4.1（可逆イデアル・イデアル類群・Picard 群）↗

$A$ を整域、$K = \operatorname{Frac} A$ とする。

1. $K$ の $0$ でない $A$ 部分加群 $I$ で、$0$ でないある $d \in A$ について $dI \subseteq A$ となるものを分数イデアルという。分数イデアル $I, J$ の積 $IJ$ は $xy$（$x \in I$、$y \in J$）の有限和の全体、$(A : I) = \{ x \in K : xI \subseteq A \}$ とする。
2. 分数イデアル $I$ が可逆であるとは、分数イデアル $J$ で $IJ = A$ となるものがあることをいう。可逆な分数イデアルの全体を $\operatorname{Inv}(A)$、単項分数イデアル $xA$（$x \in K^{\times}$）の全体を $\operatorname{Prin}(A)$ と書き、$\operatorname{Cl}(A) = \operatorname{Inv}(A)/\operatorname{Prin}(A)$ を $A$ のイデアル類群という。
3. 有限生成射影 $A$ 加群 $P$ で、すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ で階数（定義 5.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）が $1$ のものの同型類の全体を $\operatorname{Pic}(A)$ と書き、テンソル積 $[P][Q] = [P \otimes_A Q]$ を演算として Picard 群という（群になることは 系 4.4 で示す）。

補題 4.2（可逆イデアルの群）✓

$A$ を整域とする。

1. 分数イデアル $I$ について $(A : I)$ は分数イデアルであり、分数イデアルの積は分数イデアルである。
2. $IJ = A$ なら $J = (A : I)$ である。したがって $I$ が可逆であることと $I(A : I) = A$ は同値で、このとき $I^{-1} = (A : I)$ と書く。
3. $\operatorname{Inv}(A)$ は積について $A$ を単位元とするアーベル群で、$\operatorname{Prin}(A)$ はその部分群である。

証明（補題 4.2）

(1) $dI \subseteq A$（$d \ne 0$）なら $d \in (A : I)$ なので $(A : I) \ne 0$ です。$0 \ne z \in I$ に $d$ を掛けた $a = dz$ は $I \cap A$ の $0$ でない元で、$a(A : I) \subseteq A$ です。積については、$dI \subseteq A$、$d'J \subseteq A$ なら $dd'IJ \subseteq A$ で、$IJ \ne 0$ です。

(2) $IJ = A$ なら $J \subseteq (A : I)$ で、$(A : I) = (A : I)IJ \subseteq AJ = J$ です。

(3) 積は結合的・可換で $A$ が単位元、(2) により可逆元の逆元は $(A : I)$ で、可逆元の積は可逆です。$xA \cdot x^{-1}A = A$ なので $\operatorname{Prin}(A)$ は部分群です。

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定理 4.3（可逆イデアルの特徴づけ）✓

$A$ を整域、$I$ を分数イデアルとする。次は同値である。

1. $I$ は可逆である。
2. $I$ は有限生成射影 $A$ 加群である。
3. $I$ は有限生成で、すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について $I_{\mathfrak{p}}$ は $0$ でない単項分数イデアル $xA_{\mathfrak{p}}$ である。
4. $I$ は有限生成で、すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $I_{\mathfrak{m}}$ は単項である。

とくに可逆イデアルは、すべての素イデアルで階数が $1$ の有限生成射影加群である。$A$ が Noether なら、分数イデアルは自動的に有限生成である。

証明（定理 4.3）

(1) ⇒ (2)：$I(A : I) = A$ から $1 = \sum_{i=1}^{n} a_ib_i$（$a_i \in I$、$b_i \in (A : I)$）と書けます。$x \in I$ について $xb_i \in A$ で $x = \sum_i (xb_i)a_i$ なので、$a_1, \ldots, a_n$ は $I$ を生成します。$\varphi \colon I \to A^n$、$x \mapsto (xb_i)_i$ と $\psi \colon A^n \to I$、$e_i \mapsto a_i$ について $\psi \circ \varphi = \mathrm{id}_I$ なので、$I$ は $A^n$ の直和因子（命題 4.4［加群・完全列・中山の補題］）で、定理 3.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (4) ⇒ (1) により射影的です。

(2) ⇒ (3)：$I$ は有限生成射影加群なので $A^n$ の直和因子で（定理 3.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の最後の主張）、$I_{\mathfrak{p}}$ は $A_{\mathfrak{p}}^n$ の直和因子（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］）で、有限生成射影 $A_{\mathfrak{p}}$ 加群です。定理 5.1［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ により $I_{\mathfrak{p}}$ は自由で、$0 \ne I_{\mathfrak{p}} \subseteq K$ です。$K$ の $0$ でない 2 元 $a = a'/d$、$b = b'/d$（$a', b', d \in A$）は $b'a - a'b = 0$ という自明でない関係を満たすので、自由加群 $I_{\mathfrak{p}}$ の基底は $1$ 元で、$I_{\mathfrak{p}} = xA_{\mathfrak{p}}$（$x \ne 0$）です。

(3) ⇒ (4) は明らかです。

(4) ⇒ (1)：$J = I(A : I)$ は $A$ のイデアルです。まず $(A : I)_{\mathfrak{m}} \supseteq (A_{\mathfrak{m}} : I_{\mathfrak{m}})$ を示します。 $I = (a_1, \ldots, a_n)$ とし、$x \in K$ が $xI_{\mathfrak{m}} \subseteq A_{\mathfrak{m}}$ を満たすとします。$xa_i = c_i/s_i$（$c_i \in A$、$s_i \notin \mathfrak{m}$）と書き $s = s_1\cdots s_n$ とおくと、$sxa_i \in A$ なので $sx \in (A : I)$、$x = (sx)/s \in (A : I)_{\mathfrak{m}}$ です。$I_{\mathfrak{m}} = yA_{\mathfrak{m}}$ とすると $y^{-1} \in (A_{\mathfrak{m}} : I_{\mathfrak{m}}) \subseteq (A : I)_{\mathfrak{m}}$ なので、$1 = y \cdot y^{-1} \in I_{\mathfrak{m}}(A : I)_{\mathfrak{m}} = J_{\mathfrak{m}}$ です。よってすべての極大イデアルで $(A/J)_{\mathfrak{m}} = A_{\mathfrak{m}}/J_{\mathfrak{m}} = 0$ で、定理 5.3［加群・完全列・中山の補題］ の (1) から $A/J = 0$、$J = A$ です。

最後の主張：(3) から $I_{\mathfrak{p}} \cong A_{\mathfrak{p}}$ なので階数は $1$ です。$A$ が Noether なら $dI$ は $A$ のイデアルで有限生成なので、$I = d^{-1}(dI)$ も有限生成です。

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系 4.4（Pic = Cl）✓

$A$ を整域、$K = \operatorname{Frac} A$ とする。

1. すべての素イデアルで階数 $1$ の有限生成射影 $A$ 加群は、可逆イデアルと同型である。
2. 分数イデアル $I, J$ が $A$ 加群として同型であることと、ある $x \in K^{\times}$ で $J = xI$ となることは同値である。より詳しく、準同型 $I \to J$ はすべて $K$ のある元による掛け算である。
3. 可逆イデアル $I, J$ について、$a \otimes b \mapsto ab$ は同型 $I \otimes_A J \cong IJ$ を与える。

したがって $I \mapsto [I]$ は全単射 $\operatorname{Cl}(A) \to \operatorname{Pic}(A)$ を引き起こし、積をテンソル積に写す。とくに $\operatorname{Pic}(A)$ はテンソル積について群で、$\operatorname{Cl}(A)$ と同型である。

証明（系 4.4）

(1) $P$ を条件を満たす加群とします。$P$ は $A^n$ の直和因子（定理 3.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）で、$A^n \to K^n$ は単射なので、$S = A \setminus \{0\}$ として $P \to S^{-1}P$ は単射です。$(0)$ での階数が $1$ なので $S^{-1}P \cong K$ で、$P$ は $K$ の有限生成部分加群 $M$ と同型です。生成元の分母の積 $d$ について $dM \subseteq A$ なので $M$ は分数イデアルで、定理 4.3 の (2) ⇒ (1) により可逆です。

(2) $\varphi \colon I \to J$ を準同型とします。$a, b \in I \setminus \{0\}$ について、$da, db \in A$ となる $0 \ne d \in A$ を取ると、$A$ 線形性から $da\,\varphi(b) = \varphi(dab) = db\,\varphi(a)$、すなわち $\varphi(b)/b = \varphi(a)/a$ です。この共通の値を $x$ とすれば $\varphi(z) = xz$ です。同型なら $x \ne 0$ で $J = \varphi(I) = xI$、逆に $J = xI$ なら $x$ 倍は同型です。

(3) 写像 $\mu \colon I \otimes J \to IJ$、$a \otimes b \mapsto ab$ は全射です。$I$ は射影的なので平坦（命題 4.4［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (1)）で、包含 $J \to K$ から単射 $I \otimes J \to I \otimes K$ を得ます。$K = S^{-1}A$ なので 命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (1)・(6) により $I \otimes K \cong S^{-1}I = K$（$a \otimes c \mapsto ac$）です。合成 $I \otimes J \to K$ は $a \otimes b \mapsto ab$、すなわち $\mu$ に包含 $IJ \subseteq K$ を続けたものなので、$\mu$ は単射です。

結論：(2) により $[I] = [J]$（加群の同型類）は $I\operatorname{Prin}(A) = J\operatorname{Prin}(A)$ と同値なので、写像 $\operatorname{Cl}(A) \to \operatorname{Pic}(A)$ は well-defined かつ単射で、(1) と 定理 4.3 の最後の主張から全射です。(3) により積をテンソル積に写すので、$\operatorname{Pic}(A)$ の演算はこの全単射で $\operatorname{Cl}(A)$ の群演算に対応し、$\operatorname{Pic}(A)$ は群になります。

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例 4.5（可逆でない極大イデアル）

$A = \mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$、$\mathfrak{m} = (2, 1 + \sqrt{-3})$ とします。$A/2A \cong \mathbb{F}_2[x]/(x^2 + 3) = \mathbb{F}_2[x]/((x + 1)^2)$ で $\mathfrak{m}$ は $(x + 1)$ に対応するので、$A/\mathfrak{m} \cong \mathbb{F}_2$ で $\mathfrak{m}$ は極大イデアルです。$(1 + \sqrt{-3})^2 = -2 + 2\sqrt{-3} = 2\bigl((1 + \sqrt{-3}) - 2\bigr)$ から

$$\mathfrak{m}^2 = \bigl(4,\ 2(1 + \sqrt{-3}),\ (1 + \sqrt{-3})^2\bigr) = 2\mathfrak{m}$$

です。$\mathfrak{m}$ が可逆なら両辺に $\mathfrak{m}^{-1}$ を掛けて $\mathfrak{m} = 2A$ となりますが、$1 + \sqrt{-3} \notin 2A$ なので矛盾です。よって $\mathfrak{m}$ は可逆ではありません。$\mathfrak{m}$ 以外の極大イデアル $\mathfrak{n}$ では $\mathfrak{m} \not\subseteq \mathfrak{n}$ なので $\mathfrak{m}_{\mathfrak{n}} = A_{\mathfrak{n}}$ は単項です。したがって、定理 4.3 の (4) ⇒ (1) により $A_{\mathfrak{m}}$ の極大イデアル $\mathfrak{m}A_{\mathfrak{m}}$ は単項ではありません。$A$ は整閉でない（例 3.5［整拡大］）ので Dedekind 環ではなく、次節の定理と整合します。この $\mathfrak{m}$ は 例 9.3 で導手として再び現れます。

5. Dedekind 環の特徴づけ

Dedekind 環（Dedekind 整域）の定義は数論の章のもの（定義 4.1［代数体の整数環と Dedekind 整域］）をそのまま使います。体でない整域で、Noether、整閉、$0$ でない素イデアルは極大、の 3 条件を満たすものです。$0$ でない素イデアルがすべて極大であることは、$\dim A = 1$ と同じです（$A$ は体でないので $0$ でない極大イデアルをもち、$0 \ne \mathfrak{p} \subsetneq \mathfrak{m}$ となる素イデアルがあれば長さ $2$ の鎖ができる）。

定理 5.1（Dedekind 環の特徴づけ）✓

$A$ を体でない Noether 整域とする。次は同値である。

1. $A$ は Dedekind 環である。
2. すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ について、$A_{\mathfrak{m}}$ は DVR である。
3. すべての分数イデアルは可逆である。
4. $0$ でないすべてのイデアルは可逆である。

このとき $\operatorname{Inv}(A)$ は分数イデアル全体の群で、$\operatorname{Cl}(A)$ は数論の章のイデアル類群に一致し、$\operatorname{Pic}(A) \cong \operatorname{Cl}(A)$ である。$\operatorname{Cl}(A)$ が自明であることと $A$ が単項イデアル整域であることは同値である。

証明（定理 5.1）

(1) ⇒ (3)：定理 4.7［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の (1) により、分数イデアル $I$ には $IJ = A$ となる分数イデアル $J$ があります。

(3) ⇒ (4) は明らかです。

(4) ⇒ (2)：$A$ は体でないので極大イデアル $\mathfrak{m}$ は $0$ でありません（$\mathfrak{m} = 0$ が極大なら $A$ は体）。$A_{\mathfrak{m}}$ は Noether 局所整域です（系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (2)、命題 3.10［局所化と素イデアルのスペクトル］）。$A_{\mathfrak{m}}$ の $0$ でないイデアルは $A$ の $0$ でないイデアル $I$ により $IA_{\mathfrak{m}} = I_{\mathfrak{m}}$ と書け（定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (2)）、$I$ は可逆なので 定理 4.3 の (1) ⇒ (4) により単項です。とくに $\mathfrak{m}A_{\mathfrak{m}} \ne 0$ は単項で、系 3.5 により $A_{\mathfrak{m}}$ は DVR です。

(2) ⇒ (1)：Noether で体でないことは仮定です。DVR は整閉なので（命題 2.2 の (4)）、命題 3.2［整拡大］ の (3) ⇒ (1) により $A$ は整閉です。$\mathfrak{p} \ne 0$ を素イデアル、$\mathfrak{m} \supseteq \mathfrak{p}$ を極大イデアルとすると、$\mathfrak{p}A_{\mathfrak{m}}$ は $A_{\mathfrak{m}}$ の $0$ でない素イデアルです（定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (3)・(4)）。DVR の素イデアルは $(0)$ と極大イデアルだけなので（命題 3.2 の (3)）、$\mathfrak{p}A_{\mathfrak{m}} = \mathfrak{m}A_{\mathfrak{m}}$ で、対応の単射性から $\mathfrak{p} = \mathfrak{m}$ です。

後半：(3) により $\operatorname{Inv}(A)$ は分数イデアル全体で、$\operatorname{Cl}(A)$ はそれを単項分数イデアルで割ったもの、すなわち数論の章のイデアル類群です。$\operatorname{Pic}(A) \cong \operatorname{Cl}(A)$ は 系 4.4 です。$\operatorname{Cl}(A)$ が自明なら $0$ でないイデアル（可逆）は単項分数イデアル $xA$ で、$x = x \cdot 1 \in A$ なので単項イデアルです。逆に単項イデアル整域なら、分数イデアル $I$（$dI \subseteq A$）について $dI = aA$ から $I = (a/d)A$ です。

∎

DVR は「次元 $1$ の Dedekind 局所環」にほかなりません（DVR は Noether・整閉・次元 $1$ で、逆は 定理 3.4）。Dedekind 環は DVR を貼り合わせたものだ、というのがこの定理の内容です。

系 5.2（Noether 付値環と Noether Prüfer 整域）✓

1. Noether 付値環は体か DVR である。
2. 体でない Noether 整域 $A$ について、$A$ が Prüfer 整域であることと Dedekind 環であることは同値である。

証明（系 5.2）

(1) $A$ を体でない Noether 付値環とすると、極大イデアル $\mathfrak{m} \ne 0$ は有限生成なので単項で（命題 2.2 の (2)・(3)）、系 3.5 により DVR です。

(2) Prüfer なら、極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $A_{\mathfrak{m}}$ は Noether 付値環で、$\mathfrak{m} \ne 0$（$A$ は体でない）なので体でなく、(1) により DVR です。定理 5.1 の (2) ⇒ (1) により Dedekind です。逆に Dedekind なら、$0$ でない素イデアルは極大なので $A_{\mathfrak{p}}$ は DVR（同じ定理の (1) ⇒ (2)）、$\mathfrak{p} = 0$ なら $A_{(0)} = \operatorname{Frac} A$ は自明に付値環です。

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例 5.3（Dedekind 環の例）

1. 体でない単項イデアル整域（$\mathbb{Z}$、$k[x]$）は Dedekind 環で、類群は自明です。
2. 代数体の整数環 $\mathcal{O}_K$ は Dedekind 環です（定理 4.2［代数体の整数環と Dedekind 整域］）。$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ の類群は位数 $2$ で（イデアル類群の有限性と Minkowski 限界 の例）、$\mathfrak{p} = (2, 1 + \sqrt{-5})$ は単項でない可逆イデアル、すなわち自由でない階数 $1$ の射影加群です。
3. Dedekind 環 $A$ の積閉集合 $S$（$0 \notin S$）による局所化 $S^{-1}A$ は、体であるか Dedekind 環です。実際 Noether 整域で（系 4.1［Noether 環と Artin 環］）、その極大イデアルは $A$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ と $S^{-1}\mathfrak{p}$ で対応し、局所化は $(S^{-1}A)_{S^{-1}\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}}$ で DVR か（$\mathfrak{p} \ne 0$）体（$\mathfrak{p} = 0$）だからです。
4. $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ は Noether で次元 $1$ ですが、例 4.5 のとおり可逆でないイデアルをもち、Dedekind 環ではありません。

6. Krull 整域：高さ 1 の局所化の共通部分

次元が $2$ 以上になると、整閉 Noether 整域のイデアルは素イデアルの積に分解しません（たとえば $k[x, y]$ の $(x, y)$）。それでも「余次元 $1$ の点」での局所化は DVR になり、環はそれらの共通部分として復元できます。

定義 6.1（Krull 整域）↗

整域 $A$、$K = \operatorname{Frac} A$ について、$K$ の離散付値の族 $(v_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ で次の 2 条件を満たすものがあるとき、$A$ を Krull 整域という。

1. $A = \{ x \in K^{\times} : \text{すべての } \lambda \text{ で } v_\lambda(x) \ge 0 \} \cup \{ 0 \}$、すなわち $A = \bigcap_\lambda A_{v_\lambda}$。
2. $0$ でない各 $x \in K$ について、$v_\lambda(x) \ne 0$ となる $\lambda$ は有限個である。

$A$ の高さ $1$ の素イデアルの全体を $P^1(A)$ と書きます。

次の定理の条件 (b) に出てくる $\operatorname{Ass}(A/aA)$ は、剰余加群 $A/aA$ の元の零化イデアルとして現れる素イデアルの集まり（付随素イデアル）です。(b) は、そうした素イデアルがすべて高さ $1$ であること、つまり $a$ で割った環に「高さ 2 以上の素イデアルに由来する余計な成分」が無いことを述べています。定理は、整閉であることがこの (a)(b) と同値になる、という形で、次元 $1$ の Dedekind 環の話を高次元に持ち上げます。

定理 6.2（Noether 整閉整域は Krull 整域）✓

$A$ を体でない Noether 整域、$K = \operatorname{Frac} A$ とする。

1. $A$ が整閉なら、次の (a)、(b) が成り立つ。
   • (a) すべての $\mathfrak{p} \in P^1(A)$ について、$A_{\mathfrak{p}}$ は DVR である。
   • (b) $0$ でも単元でもないすべての $a \in A$ について、$\operatorname{Ass}(A/aA) \subseteq P^1(A)$ である。
2. 逆に (a)、(b) が成り立てば、$K$ の中で $A = \bigcap_{\mathfrak{p} \in P^1(A)} A_{\mathfrak{p}}$ であり、$A$ は整閉である。
3. $A$ が整閉なら、$0$ でない各 $a \in A$ を含む $\mathfrak{p} \in P^1(A)$ は有限個である。したがって $A$ は、$A_{\mathfrak{p}}$（$\mathfrak{p} \in P^1(A)$）の付値の族について Krull 整域である。

証明（定理 6.2）

(1)(a)：$\mathfrak{p} \in P^1(A)$ について $A_{\mathfrak{p}}$ は Noether 局所整域で、$\dim A_{\mathfrak{p}} = \operatorname{ht}\mathfrak{p} = 1$（命題 2.3［Krull 次元と単項イデアル定理］ の (1)）、整閉です（命題 3.2［整拡大］ の (1) ⇒ (2)）。定理 3.4 の (2) ⇒ (1) により DVR です。

(1)(b)：$\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(A/aA)$ とします。$a \in \mathfrak{p}$ なので $\mathfrak{p} \ne 0$ です。命題 2.4［準素分解と随伴素イデアル］ と $(A/aA)_{\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}}/aA_{\mathfrak{p}}$（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］）により、$B = A_{\mathfrak{p}}$、$\mathfrak{n} = \mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ について $\mathfrak{n} \in \operatorname{Ass}_B(B/aB)$ です。すなわち $b \in B \setminus aB$ で $\mathfrak{n} = \{ z \in B : zb \in aB \}$ となるものがあります。$y = b/a$ とおくと $y \notin B$、$y\mathfrak{n} \subseteq B$ で、$B$ は整閉な Noether 局所整域なので 補題 3.3 により $\mathfrak{n}$ は $0$ でない単項イデアルです。系 3.5 により $\dim B = 1$、すなわち $\operatorname{ht}\mathfrak{p} = 1$ です。

(2)：$A \subseteq \bigcap_{\mathfrak{p}} A_{\mathfrak{p}}$ は明らかです。$x = b/a$（$a, b \in A$、$a \ne 0$）が右辺に属するとします。$a$ が単元なら $x \in A$ です。そうでないとき $b \in aA$ を示します。$M = A/aA$ の中の $b$ の像を $\bar b$ とし、$\bar b \ne 0$ と仮定します。$M' = A\bar b \subseteq M$ は $0$ でない有限生成加群なので、定理 2.2［準素分解と随伴素イデアル］ の (2) により $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(M')$ があり、定義から $\operatorname{Ass}(M') \subseteq \operatorname{Ass}(M) \subseteq P^1(A)$ です（(b)）。系 3.2［準素分解と随伴素イデアル］ により $\mathfrak{p} \in \operatorname{Supp}(M')$、すなわち $M'_{\mathfrak{p}} \ne 0$ です。ところが $x = b/a \in A_{\mathfrak{p}}$ なので $b \in aA_{\mathfrak{p}}$、$M_{\mathfrak{p}} = A_{\mathfrak{p}}/aA_{\mathfrak{p}}$ の中で $\bar b/1 = 0$ で、$M'_{\mathfrak{p}}$ は $\bar b/1$ で生成されるので $0$ です。矛盾なので $b \in aA$、$x \in A$ です。整閉性：$x \in K$ が $A$ 上整なら各 $A_{\mathfrak{p}}$ 上整で、(a) により $A_{\mathfrak{p}}$ は DVR、したがって整閉なので（命題 2.2 の (4)）$x \in \bigcap_{\mathfrak{p}} A_{\mathfrak{p}} = A$ です。

(3)：$a$ が単元なら該当する $\mathfrak{p}$ はありません。$a$ が単元でないとき、$a \in \mathfrak{p} \in P^1(A)$ なら $\mathfrak{p}$ は $aA$ の極小素イデアルです（$aA \subseteq \mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{p}$ となる素イデアル $\mathfrak{q}$ は $0$ でないので、$\operatorname{ht}\mathfrak{p} = 1$ から $\mathfrak{q} = \mathfrak{p}$）。$aA$ の極小素イデアルは $\operatorname{Supp}(A/aA) = V(aA)$（命題 5.4［加群・完全列・中山の補題］ の (3)）の極小元なので、定理 3.3［準素分解と随伴素イデアル］ の (2) により有限個です。$x = b/a \in K^{\times}$ の付値 $v_{\mathfrak{p}}(x) = v_{\mathfrak{p}}(b) - v_{\mathfrak{p}}(a)$ が $0$ でないのは $a$ か $b$ を含む $\mathfrak{p}$ だけなので有限個で、(1)・(2) と合わせて $A$ は Krull 整域です。

∎

注意 6.3（次元 1 の場合と Serre の判定法への予告）

$\dim A = 1$ なら $0$ でない素イデアルはすべて高さ $1$ なので (b) は自動的に成り立ち、定理は「Noether 整域が整閉 ⇔ 高さ $1$ の局所化がすべて DVR」となって、定理 5.1 の (1) ⇔ (2) と同じ内容になります。次元が $2$ 以上では (b) が本質的で、(a) は「余次元 $1$ で正則」、(b) は「深さに関する条件」と読み替えられます。記事 Cohen–Macaulay 環と正則局所環 では、これを Serre の条件 $(R_1)$・$(S_2)$ として述べ直し、正規性の判定法にします（定理 9.4［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）。

例 6.4（多項式環の高さ 1 の素イデアル）

$A = k[x, y]$ は UFD なので整閉で（命題 3.3［整拡大］）、定理 6.2 が適用できます。高さ $1$ の素イデアルは既約多項式 $f$ の生成する $(f)$ で、$A_{(f)}$ の付値 $v_f$ は「$f$ で何回割れるか」です。定理の (2) は、有理関数 $g/h$ がすべての既約多項式 $f$ について $v_f(g/h) \ge 0$ なら多項式であるという、UFD での素因数分解から直接分かる事実の言い換えです。一方、高さ $2$ の素イデアル $(x, y)$ の局所化は DVR ではありません（次元が $2$）。代数幾何では、$v_f(g/h)$ を曲線 $f = 0$ に沿った零点・極の位数と読み、これが Weil 因子の出発点になります。

7. Krull–秋月の定理

Dedekind 環 $A$ の有限次拡大体 $L$ での整閉包 $B$ が Dedekind 環であることを示したいとします。整閉で次元 $1$ であることは整拡大の一般論から出ますが、Noether 性が問題です。$L/K$ が分離的なら $B$ は有限生成 $A$ 加群なので Noether です（命題 6.4［Noether の正規化と Hilbert の零点定理］）。非分離な場合には、DVR の純非分離拡大で整閉包が有限生成にならない例があり（永田『Local Rings』の Appendix）、別の議論が要ります。それが次の長さの評価です。

この補題のねらいは、拡大した側の加群 $M$（たとえば整閉包 $B$）についても、$a$ で割った剰余 $M/aM$ の「大きさ」（長さ）が、$A/aA$ の長さの $r$ 倍に等しい（有限生成の場合）か、$r$ 倍以下である（一般の場合）ことを示し、とくに有限であると結論する点にあります。この有限性を、次の定理で拡大環が Noether になることの根拠に使います。

補題 7.1（捩れのない加群の剰余の長さ）✓

$A$ を次元 $1$ 以下の Noether 整域、$K = \operatorname{Frac} A$、$S = A \setminus \{0\}$ とし、$M$ を捩れのない $A$ 加群（$a \ne 0$、$am = 0$ なら $m = 0$）で $r = \dim_K S^{-1}M$ が有限なものとする。$0 \ne a \in A$ について、$A/aA$ は有限の長さをもち、次が成り立つ。

1. $M$ が有限生成なら $\ell_A(M/aM) = r\,\ell_A(A/aA)$ である。
2. 一般に $\ell_A(M/aM) \le r\,\ell_A(A/aA)$ である。

証明（補題 7.1）

$A/aA$ の長さ。 $a$ が単元なら $A/aA = 0$ です。そうでないとき、$A/aA$ の素イデアルは $a$ を含む $A$ の素イデアルに対応し（補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］）、それらは $0$ でないので極大です（$\dim A \le 1$）。$A/aA$ は Noether で素イデアルがすべて極大なので、定理 6.3［Noether 環と Artin 環］ により Artin 環で、$\ell(A/aA) < \infty$ です。同じ理由で、$0 \ne c \in A$ について、$c$ で零化される有限生成 $A$ 加群 $T$ は有限の長さをもちます。$T$ は Artin 環 $A/cA$ 上の有限生成加群なので Noether かつ Artin で（定理 3.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)）、組成列をもち（命題 5.2［Noether 環と Artin 環］）、$A/cA$ 部分加群と $A$ 部分加群は同じものだからです。

(1) $M$ は捩れがないので $M \to S^{-1}M$ は単射です（核は $sm = 0$ となる $m$ の全体）。$M$ の元の像から $K$ 上一次独立なものをできるだけ多く $x_1, \ldots, x_s$ と取ると、命題 5.7［ベクトル空間と線形変換］ の (1) により $s \le r$ で、極大性から $M$ の各元の像はその張る空間に入り、$m/t = t^{-1}(m/1)$ なので $x_i$ は $S^{-1}M$ の基底、$s = r$ です。$F = Ax_1 + \cdots + Ax_r$ は $A^r$ と同型です（$K$ 上一次独立なので $A$ 上も独立）。$M$ の生成元 $m_1, \ldots, m_q$ を $m_j = \sum_i (c_{ji}/d_j)x_i$（$c_{ji}, d_j \in A$）と書き $c = d_1\cdots d_q$ とおくと、$M \to S^{-1}M$ の単射性から $cM \subseteq F$ です。$T = M/F$ は $c$ で零化される有限生成加群なので有限の長さをもちます。完全列 $0 \to F/aF \to M/aF \to T \to 0$ と 命題 5.5［Noether 環と Artin 環］ の (1)・(2)、$F/aF \cong (A/aA)^r$ から

$$\ell(M/aF) = r\,\ell(A/aA) + \ell(T)$$

です。一方 $aF \subseteq aM \subseteq M$ で、$a$ 倍 $M \to aM$ は（捩れがないので）同型で $F$ を $aF$ に写すから $aM/aF \cong M/F = T$、よって $\ell(M/aF) = \ell(M/aM) + \ell(T)$ です。両者を比べて $\ell(M/aM) = r\,\ell(A/aA)$ です。

(2) $C = r\,\ell(A/aA)$ とおきます。$M/aM$ の有限生成部分加群 $N$ は、$M$ の有限生成部分加群 $M_0$ の像で、$aM_0 \subseteq M_0 \cap aM$ なので $N \cong M_0/(M_0 \cap aM)$ は $M_0/aM_0$ の剰余加群です。$S^{-1}M_0 \subseteq S^{-1}M$（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］）なので $M_0$ の階数 $r_0$ は $r$ 以下で、(1) から $\ell(N) \le \ell(M_0/aM_0) = r_0\,\ell(A/aA) \le C$ です。$M/aM$ が長さ $C + 1$ の部分加群の狭義の鎖 $N_0 \subsetneq N_1 \subsetneq \cdots \subsetneq N_{C+1}$ をもつとすると、$x_i \in N_i \setminus N_{i-1}$ で生成される部分加群 $N$ の中で $N \cap N_i$ も狭義の鎖になり、命題 5.5［Noether 環と Artin 環］ の (3) から $\ell(N) \ge C + 1$ となって矛盾です。$M/aM$ が組成列をもたなければ Noether でないか Artin でないので（命題 5.2［Noether 環と Artin 環］）、いくらでも長い狭義の鎖をもちます。よって $M/aM$ は組成列をもち、長さは $C$ 以下です。

∎

定理 7.2（Krull–秋月の定理）✓

$A$ を次元 $1$ 以下の Noether 整域、$K = \operatorname{Frac} A$、$L$ を $K$ の有限次拡大体、$B$ を $A \subseteq B \subseteq L$ を満たす環とする。

1. $B$ の $0$ でないイデアル $J$ について $J \cap A \ne 0$ であり、$B/J$ は有限の長さの $A$ 加群である。
2. $B$ は Noether 環で、$\dim B \le 1$ である。

証明（定理 7.2）

(1) $0 \ne b \in J$ は $K$ 上代数的なので、$K$ 上の最小多項式 $t^m + c_1t^{m-1} + \cdots + c_m$ を取ると、$L$ が体で $b \ne 0$ なので $c_m \ne 0$ です（$c_m = 0$ なら $b$ で割って次数の低い式が得られる）。$0 \ne d \in A$ を $dc_i \in A$ となるように取ると

$$dc_m = -b\bigl(db^{m-1} + dc_1b^{m-2} + \cdots + dc_{m-1}\bigr) \in bB \subseteq J$$

なので $a = dc_m$ は $J \cap A$ の $0$ でない元です。$B$ は体 $L$ の部分環なので捩れのない $A$ 加群で、$S = A \setminus \{0\}$ について $S^{-1}B$ は $L$ の $K$ 部分空間なので $\dim_K S^{-1}B \le [L:K]$ です。補題 7.1 の (2) により $\ell_A(B/aB) < \infty$ で、$B/J$ はその剰余加群なので有限の長さをもちます（命題 5.5［Noether 環と Artin 環］ の (1)）。

(2) $B$ 部分加群は $A$ 部分加群でもあるので、(1) から $B/J$ の $B$ 部分加群の昇鎖・降鎖は止まり、$B/J$ は Noether かつ Artin な $B$ 加群です。$0$ でないイデアル $J$ について、上の $a \in J$ を取ると $J/aB$ は Noether $B$ 加群 $B/aB$ の部分加群なので有限生成で、$aB$ も有限生成なので $J$ は有限生成です。$0$ イデアルも有限生成なので、補題 2.3［Noether 環と Artin 環］ の (2) により $B$ は Noether です。$\mathfrak{P} \ne 0$ を $B$ の素イデアルとすると、$B/\mathfrak{P}$ は Artin 環でかつ整域です。Artin 環の素イデアルは極大なので（命題 6.1［Noether 環と Artin 環］ の (1)）、素イデアル $(0)$ が極大、すなわち $B/\mathfrak{P}$ は体で $\mathfrak{P}$ は極大です。$B$ は整域なので、$0$ でない素イデアルがすべて極大であることから $\dim B \le 1$ です。

∎

系 7.3（Dedekind 環の整閉包は Dedekind）✓

$A$ を Dedekind 環、$K = \operatorname{Frac} A$、$L$ を $K$ の有限次拡大体、$B$ を $L$ における $A$ の整閉包とする。このとき $B$ は Dedekind 環で、$\operatorname{Frac} B = L$ である。

証明（系 7.3）

$A$ の $0$ でない素イデアルは極大なので $\dim A \le 1$ で、定理 7.2 により $B$ は Noether で $\dim B \le 1$ です。$B$ は整域なので、$0$ でない素イデアルは極大です（$0 \ne \mathfrak{P} \subsetneq \mathfrak{M}$ なら長さ $2$ の鎖ができる）。$L$ の元は $c/a$（$c \in B$、$0 \ne a \in A$）と書けるので $\operatorname{Frac} B = L$ です（命題 2.7［整拡大］）。$B$ は $L$ で整閉です（系 2.4［整拡大］ の (6)）。$A \subseteq B$ は整域の整拡大で $A$ は体でないので、命題 4.1［整拡大］ により $B$ も体ではありません。以上で Dedekind 環の 3 条件がそろいます。

∎

注意 7.4（次元 2 以上では成り立たない）

Krull–秋月の定理は次元 $2$ の Noether 整域では成り立ちません。たとえば $A = k[x, y]$ と $L = K = k(x, y)$ について、中間環 $B = k[x, y, y/x, y/x^2, \ldots]$ は Noether ではありません（$(y/x) \subsetneq (y/x^2) \subsetneq \cdots$ が止まらない昇鎖になる。$B$ の元を $k[x, x^{-1}][y]$ の元と見ると、$y$ について $0$ 次の部分は $k[x]$ に入るので $x^{-1} \notin B$ で、$y/x^{n+1} = (y/x^n)x^{-1}$ から $y/x^{n+1} \notin (y/x^n)B$ が分かる）。例 2.6 の付値環はこの $B$ を含む例です。

8. 相対拡大での素イデアルの分解

数論の章の基本等式（定理 5.4［代数体の整数環と Dedekind 整域］）は、$\mathcal{O}_K$ が階数 $n$ の自由 $\mathbb{Z}$ 加群であることとイデアルのノルムを使って示しました。一般の Dedekind 環 $A$ の上では $B$ が自由とは限らないので、$\mathfrak{p}$ で局所化して DVR 上の問題にします。

定義 8.1（分岐指数と剰余次数（一般の Dedekind 環））↗

$A$ を Dedekind 環、$K = \operatorname{Frac} A$、$L/K$ を $n$ 次拡大、$B$ を $L$ における $A$ の整閉包（系 7.3 により Dedekind 環）とする。$A$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ について、$B$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ が $\mathfrak{P} \cap A = \mathfrak{p}$ を満たすとき、$\mathfrak{P}$ は $\mathfrak{p}$ の上にあるという。$\mathfrak{p}B = \mathfrak{P}_1^{e_1}\cdots\mathfrak{P}_g^{e_g}$（$\mathfrak{P}_i$ は相異なる）と分解するとき、$e_i$ を分岐指数、体の拡大次数 $f_i = [B/\mathfrak{P}_i : A/\mathfrak{p}]$ を剰余次数という。

定理 8.2（一般の Dedekind 環での基本等式）✓

定義 8.1 の状況で、次が成り立つ。

1. $\mathfrak{p}B \ne B$ であり、$\mathfrak{p}B$ の素因子 $\mathfrak{P}_1, \ldots, \mathfrak{P}_g$ はちょうど $\mathfrak{p}$ の上にある $B$ の素イデアルである。各 $f_i$ は有限で、$\sum_{i=1}^{g} e_if_i \le n$ である。
2. $B$ が有限生成 $A$ 加群なら $\sum_{i=1}^{g} e_if_i = n$ である。とくに $L/K$ が分離拡大なら等号が成り立つ。

証明（定理 8.2）

素因子。 横たわり定理（定理 4.4［整拡大］）により $\mathfrak{p}$ の上にある $\mathfrak{P}$ があり、$\mathfrak{p}B \subseteq \mathfrak{P} \ne B$ です。$B$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ について、$\mathfrak{P} \supseteq \mathfrak{p}B$ なら $\mathfrak{P} \cap A$ は $\mathfrak{p}$ を含む真のイデアルで、$\mathfrak{p}$ は極大なので $\mathfrak{P} \cap A = \mathfrak{p}$ です。逆も明らかです。$\mathfrak{p}B$ を含む素イデアルは、定理 4.7［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の (4)（含むことは割ること）により $\mathfrak{p}B$ の素因子と一致します。

$\ell_A(B/\mathfrak{p}B) = \sum e_if_i$。 $k = A/\mathfrak{p}$ とおきます。$\mathfrak{p}$ で零化される $A$ 加群の長さは $k$ 上の次元です（命題 5.6［Noether 環と Artin 環］）。$i \ne j$ なら $\mathfrak{P}_i^{e_i} + \mathfrak{P}_j^{e_j} = B$ です（両者を含む極大イデアルは $\mathfrak{P}_i$ と $\mathfrak{P}_j$ を含み、それらは極大なので一致してしまう）。中国剰余定理（補題 5.2［代数体の整数環と Dedekind 整域］）により $B/\mathfrak{p}B \cong \prod_i B/\mathfrak{P}_i^{e_i}$ です。$\mathfrak{P} = \mathfrak{P}_i$、$e = e_i$ として、鎖 $B \supseteq \mathfrak{P} \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{P}^e$ の各段 $\mathfrak{P}^j/\mathfrak{P}^{j+1}$ は $\mathfrak{P}$ で零化されるので $B/\mathfrak{P}$ 上のベクトル空間で、その部分空間は $\mathfrak{P}^{j+1}$ と $\mathfrak{P}^j$ の間のイデアルに対応します（補題 2.1［Noether 環と Artin 環］ の (2)）。素イデアル分解の一意性と「含むことは割ること」から、間のイデアルは $\mathfrak{P}^j$ と $\mathfrak{P}^{j+1}$ だけで、両者は異なります。よって $\mathfrak{P}^j/\mathfrak{P}^{j+1}$ は $1$ 次元の $B/\mathfrak{P}$ ベクトル空間、すなわち $B/\mathfrak{P}$ と同型で、$k$ 上の次元は $f_i$ です。長さの加法性（命題 5.5［Noether 環と Artin 環］）から $\ell_A(B/\mathfrak{P}_i^{e_i}) = e_if_i$、$\ell_A(B/\mathfrak{p}B) = \sum_i e_if_i$ です（$f_i$ が有限であることは下の評価から分かります）。

局所化。 $S = A \setminus \mathfrak{p}$、$A_{\mathfrak{p}}$、$B_{\mathfrak{p}} = S^{-1}B$ とします。$s \in S$ は $A/\mathfrak{p}$ の中で単元なので、$st - 1 \in \mathfrak{p}$ となる $t \in A$ があり、$s$ は $B/\mathfrak{p}B$ に全単射で作用します。したがって $B/\mathfrak{p}B \to S^{-1}(B/\mathfrak{p}B)$ は同型です（単射：$x/1 = 0$ なら $ux = 0$、$u \in S$ から $x = 0$。全射：$x/s = (tx)/1$）。$S^{-1}(B/\mathfrak{p}B) = B_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}B_{\mathfrak{p}}$ で（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］）、長さは $k \cong A_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$（命題 3.10［局所化と素イデアルのスペクトル］）上の次元として一致します。定理 5.1 により $A_{\mathfrak{p}}$ は DVR で、$\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}} = \pi A_{\mathfrak{p}}$ と書けます。$B_{\mathfrak{p}}$ は $L$ の部分環なので捩れのない $A_{\mathfrak{p}}$ 加群で、$L$ の元は $c/a$（$c \in B$、$0 \ne a \in A$）と書けるので（命題 2.7［整拡大］）$B_{\mathfrak{p}}$ を $A_{\mathfrak{p}} \setminus \{0\}$ で局所化すると $L$ になり、その $K$ 上の次元は $n$ です。

(1) 補題 7.1 の (2) を $A_{\mathfrak{p}}$（次元 $1$ の Noether 整域）、$M = B_{\mathfrak{p}}$、$a = \pi$ に使うと、$\ell(B_{\mathfrak{p}}/\pi B_{\mathfrak{p}}) \le n\,\ell(A_{\mathfrak{p}}/\pi A_{\mathfrak{p}}) = n$ です。よって $\sum e_if_i = \ell_A(B/\mathfrak{p}B) \le n$ で、とくに各 $f_i$ は有限です。

(2) $B$ が有限生成 $A$ 加群なら $B_{\mathfrak{p}}$ は有限生成 $A_{\mathfrak{p}}$ 加群なので、同じ補題の (1) により等号です。$L/K$ が分離的なら、$A$ は Noether 整閉整域なので 命題 6.4［Noether の正規化と Hilbert の零点定理］ により $B$ は有限生成です。

∎

注意 8.3（構造定理による見方）

$B$ が有限生成なら、$B_{\mathfrak{p}}$ は単項イデアル整域 $A_{\mathfrak{p}}$ 上の捩れのない有限生成加群なので、構造定理（定理 5.1［加群と PID 上の構造定理］）により自由で、階数は $n$ です。すると $B/\mathfrak{p}B \cong B_{\mathfrak{p}}/\pi B_{\mathfrak{p}} \cong k^n$ がすぐに分かります。上の証明は、この「局所的には自由」という性質を長さの補題で置き換えて、有限生成でない場合の不等式まで得たものです。$A = \mathbb{Z}$ のときは $B = \mathcal{O}_L$ が大域的に自由なので、局所化せずにノルムで数えることができました。

例 8.4（ℝ[x] ⊂ ℝ[y]（x = y²）での分解）

$A = \mathbb{R}[x]$、$L = \mathbb{R}(y)$、$x = y^2$ とします。$y \notin \mathbb{R}(x)$（$x$ の有理式の $y$ についての次数は偶数）なので $n = [L : K] = 2$ で、$B = \mathbb{R}[y]$ は UFD なので整閉（命題 3.3［整拡大］）、かつ $y^2 - x = 0$ により $A$ 上整なので、$B$ が整閉包です。$B = A + Ay$ は有限生成です。

• $\mathfrak{p} = (x)$：$xB = y^2B$ で $e = 2$、$f = 1$、$ef = 2$（分岐）。
• $\mathfrak{p} = (x - c)$、$c > 0$：$(x - c)B = (y - \sqrt{c})(y + \sqrt{c})B$ で、$e_1 = e_2 = 1$、$f_1 = f_2 = 1$。
• $\mathfrak{p} = (x - c)$、$c < 0$：$y^2 - c$ は $\mathbb{R}[y]$ で既約なので $(x - c)B$ は素イデアルで、$e = 1$、$f = [\mathbb{R}[y]/(y^2 - c) : \mathbb{R}] = 2$。

どの場合も $\sum e_if_i = 2 = n$ です。

$c$ を $2$ から $-2$ まで動かしたとき、$x = c$ の上の点が実の $2$ 点、重なった $1$ 点、実の点なし（複素点 $1$ つ）と入れ替わる様子を見てください。点の数は変わっても $\sum e_if_i = 2$ は保たれます。

放物線 x = y² による被覆。c を動かすと x = c の上の点が 2 点、1 点（重根）、実の点なし（次数 2 の複素点）と変わる。

9. 導手

整数環 $\mathcal{O}_K$ の代わりに、扱いやすい部分環 $\mathbb{Z}[\theta]$ で計算したいことがよくあります。二つの環が「どこで食い違うか」を測るのが導手です。

定義 9.1（導手）↗

環の拡大 $A \subseteq B$ について、$\mathfrak{f} = (A : B) = \{ a \in A : aB \subseteq A \}$ を $B$ の $A$ に関する導手という。

命題 9.2（導手と局所化）✓

$A \subseteq B$ を環の拡大、$\mathfrak{f}$ を導手とする。素イデアル $\mathfrak{p}$ について $S = A \setminus \mathfrak{p}$、$A_{\mathfrak{p}} = S^{-1}A$、$B_{\mathfrak{p}} = S^{-1}B$ とおく。

1. $\mathfrak{f}$ は $A$ に含まれる $B$ のイデアルのうち最大のものである。とくに $\mathfrak{f}$ は $A$ のイデアルでもある。
2. $\mathfrak{f} \not\subseteq \mathfrak{p}$ なら、$A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ は同型である。
3. $B$ が有限生成 $A$ 加群なら、(2) の逆も成り立つ。すなわち $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ が全射なら $\mathfrak{f} \not\subseteq \mathfrak{p}$ である。
4. $A$ を Noether 整域、$B$ を $\operatorname{Frac} A$ における $A$ の整閉包とし、$B$ が有限生成 $A$ 加群であるとする。このとき $\mathfrak{f} \ne 0$ であり、素イデアル $\mathfrak{p}$ について、$A_{\mathfrak{p}}$ が整閉であることと $\mathfrak{f} \not\subseteq \mathfrak{p}$ は同値である。とくに $A_{\mathfrak{p}}$ が整閉でない $\mathfrak{p}$ の全体は、$\operatorname{Spec} A$ の閉集合 $V(\mathfrak{f})$ で、$(0)$ を含まない。

証明（命題 9.2）

(1) $a, a' \in \mathfrak{f}$、$b \in B$ なら $(a + a')B \subseteq A$、$ab \in aB \subseteq A$ かつ $(ab)B \subseteq aB \subseteq A$ なので、$\mathfrak{f}$ は $A$ に含まれる $B$ のイデアルです。$J \subseteq A$ が $B$ のイデアルなら、$a \in J$ について $aB \subseteq J \subseteq A$ なので $J \subseteq \mathfrak{f}$ です。

(2) 単射性は局所化の完全性（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］）です。$s \in \mathfrak{f} \setminus \mathfrak{p}$ を取ると、$b/t \in B_{\mathfrak{p}}$ は $b/t = (sb)/(st)$ で $sb \in A$、$st \in S$ なので $A_{\mathfrak{p}}$ の像に入ります。

(3) $B = Ab_1 + \cdots + Ab_n$ とします。$b_i/1 = a_i/s_i$（$a_i \in A$、$s_i \in S$）なら、局所化の定義から $u_i(s_ib_i - a_i) = 0$ となる $u_i \in S$ があり、$t_i = u_is_i \in S$ について $t_ib_i = u_ia_i \in A$ です。$t = t_1\cdots t_n \in S$ は $tb_i \in A$（すべての $i$）を満たすので $tB \subseteq A$、すなわち $t \in \mathfrak{f} \setminus \mathfrak{p}$ です。

(4) $b_i = c_i/d_i$（$c_i, d_i \in A$）と書き $d = d_1\cdots d_n \ne 0$ とおくと $dB \subseteq A$ なので $d \in \mathfrak{f}$ です。命題 2.6［整拡大］ により $B_{\mathfrak{p}}$ は $\operatorname{Frac} A$ における $A_{\mathfrak{p}}$ の整閉包なので、$A_{\mathfrak{p}}$ が整閉であることは $A_{\mathfrak{p}} = B_{\mathfrak{p}}$ と同値で、(2)・(3) によりこれは $\mathfrak{f} \not\subseteq \mathfrak{p}$ と同値です。$\mathfrak{f} \ne 0$ なので $(0) \notin V(\mathfrak{f})$ です。

∎

(4) の有限性の仮定は、たとえば $A$ が体上有限生成な整域のとき（定理 6.7［Noether の正規化と Hilbert の零点定理］）や、代数体の整数環の部分環 $\mathbb{Z}[\theta]$ のとき（$\mathcal{O}_K$ は有限生成 $\mathbb{Z}$ 加群）に満たされます。整閉でない点の集合が「小さな閉集合」になるというこの事実は、代数幾何では「正規でない点の全体は真の閉集合」と読めます。

例 9.3（ℤ[√-3] ⊂ ℤ[ω] の導手）

$A = \mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$、$B = \mathbb{Z}[\omega]$、$\omega = (1 + \sqrt{-3})/2$ とします。$B$ は $A$ の整閉包です（例 3.5［整拡大］）。$B = A + A\omega$ なので、$a = u + v\sqrt{-3} \in A$ が導手に入る条件は $a\omega \in A$ です。

$$a\omega = \frac{(u - 3v) + (u + v)\sqrt{-3}}{2}$$

が $A$ に入るのは $u - 3v$ と $u + v$ がともに偶数のとき、すなわち $u \equiv v \pmod 2$ のときです。よって

$$\mathfrak{f} = \{ u + v\sqrt{-3} : u \equiv v \bmod 2 \} = (2, 1 + \sqrt{-3})A = 2B$$

です（最後の等号：$2(x + y\omega) = (2x + y) + y\sqrt{-3}$ で、$u = 2x + y$、$v = y$ は $u \equiv v$ を満たし、逆も解ける）。$\mathfrak{f}$ は 例 4.5 の極大イデアル $\mathfrak{m}$ そのもので、命題 9.2 の (4) により $A$ が整閉でない素イデアルは $\mathfrak{m}$ だけです。$2$ 以外の素数 $p$ の上の素イデアルでは $A$ と $B$ の局所化が一致し、分解は $A$ の側で計算できます。

注意 9.4（Kummer–Dedekind の判定法との関係）

数論の章の Kummer–Dedekind の判定法（定理 7.1［代数体の整数環と Dedekind 整域］）は、素数 $p$ が指数 $m = [\mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\theta]]$ を割らないことを仮定しました。このとき $m\mathcal{O}_K \subseteq \mathbb{Z}[\theta]$ なので $m$ は導手に入り、$p$ の上の $\mathbb{Z}[\theta]$ の素イデアルは $m$ を含まないので導手を含みません。命題 9.2 の (2) により、$p$ の上では $\mathbb{Z}[\theta]$ と $\mathcal{O}_K$ の局所化が一致します。判定法の仮定は、この局所的な一致を保証する条件だと読めます。

10. Dedekind 環上の有限生成加群

単項イデアル整域上の有限生成加群は自由加群と巡回加群の直和でした（定理 5.1［加群と PID 上の構造定理］）。Dedekind 環ではイデアルが単項とは限らないので、自由加群の代わりに「自由加群とイデアルの直和」が現れます。

補題 10.1（互いに素な代表）✓

$A$ を Dedekind 環、$K = \operatorname{Frac} A$、$I, J$ を $0$ でないイデアルとする。このとき $x \in K^{\times}$ で、$xJ \subseteq A$ かつ $xJ + I = A$ となるものがある。

証明（補題 10.1）

以下、$0$ でない素イデアル $\mathfrak{q}$ と分数イデアル $\mathfrak{a}$ について $v_{\mathfrak{q}}(\mathfrak{a})$ を 定理 4.7［代数体の整数環と Dedekind 整域］ の (2) の指数とします。同定理の (4)（含むことは割ること）から、$0 \ne y \in A$ と整イデアル $\mathfrak{a}$ について、$y \in \mathfrak{a}$ はすべての $\mathfrak{q}$ で $v_{\mathfrak{q}}(y) \ge v_{\mathfrak{q}}(\mathfrak{a})$ となることと同値です（$v_{\mathfrak{q}}(y) = v_{\mathfrak{q}}(yA)$、系 4.8［代数体の整数環と Dedekind 整域］）。

$I$ を含む素イデアルを $\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_r$ とします（$I$ の素因子で有限個）。$r = 0$ なら $I = A$ で $x = 1$ が条件を満たします。$0 \ne c \in J$ を取り、$N = cJ^{-1}$ とおくと $N \subseteq JJ^{-1} = A$ は整イデアルです。$k_i = v_{\mathfrak{p}_i}(N)$ とします。

$v_{\mathfrak{p}_i}(\alpha) = k_i$（すべての $i$）となる $\alpha \in N$ を作ります。 $N' = N\mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_r$、$N_i = N\prod_{j \ne i}\mathfrak{p}_j$ とおくと $N' = N_i\mathfrak{p}_i \subsetneq N_i$（分数イデアルの群で $\mathfrak{p}_i \ne A$）なので、$\alpha_i \in N_i \setminus N'$ が取れます。$v_{\mathfrak{p}_i}(\alpha_i) \ge k_i + 1$ なら、すべての $\mathfrak{q}$ で $v_{\mathfrak{q}}(\alpha_i) \ge v_{\mathfrak{q}}(N')$ となり（$\mathfrak{q} \ne \mathfrak{p}_i$ では $v_{\mathfrak{q}}(N') = v_{\mathfrak{q}}(N_i)$）、$\alpha_i \in N'$ に反します。よって $\alpha_i \in \mathfrak{p}_i^{k_i} \setminus \mathfrak{p}_i^{k_i + 1}$ です。一方 $j \ne i$ なら $\alpha_j \in N_j \subseteq N\mathfrak{p}_i \subseteq \mathfrak{p}_i^{k_i + 1}$ です。$\alpha = \alpha_1 + \cdots + \alpha_r \in N$ は $\mathfrak{p}_i^{k_i} \setminus \mathfrak{p}_i^{k_i+1}$ に入り（$\mathfrak{p}_i^{k_i+1}$ はイデアル）、$\alpha \ne 0$、$v_{\mathfrak{p}_i}(\alpha) = k_i$ です。

$x = \alpha c^{-1}$ とおくと、$xJ = \alpha(cJ^{-1})^{-1} = \alpha N^{-1}$ です。$\alpha A \subseteq N$ に $N^{-1}$ を掛けて $xJ \subseteq A$、また $v_{\mathfrak{p}_i}(xJ) = v_{\mathfrak{p}_i}(\alpha) - k_i = 0$ です。$xJ + I \ne A$ なら、これを含む極大イデアルは $I$ を含むのである $\mathfrak{p}_i$ で、$\mathfrak{p}_i \supseteq xJ$ から $v_{\mathfrak{p}_i}(xJ) \ge 1$ となり矛盾です。

∎

補題 10.2（イデアルの直和）✓

$A$ を Dedekind 環、$I, J$ を $0$ でないイデアルとすると、$A$ 加群として $I \oplus J \cong A \oplus IJ$ である。

証明（補題 10.2）

補題 10.1 の $x$ を取り、$J' = xJ$ とおきます。$x$ 倍により $J \cong J'$、$IJ \cong IJ'$ です。$\sigma \colon I \oplus J' \to A$、$(a, b) \mapsto a + b$ は $I + J' = A$ により全射で、核は $\{ (c, -c) : c \in I \cap J' \} \cong I \cap J'$ です。中国剰余定理（補題 5.2［代数体の整数環と Dedekind 整域］）により $I \cap J' = IJ'$ です。$A$ は自由なので短完全列 $0 \to IJ' \to I \oplus J' \to A \to 0$ は分裂し（命題 4.4［加群・完全列・中山の補題］）、$I \oplus J \cong I \oplus J' \cong A \oplus IJ' \cong A \oplus IJ$ です。

∎

命題 10.3（Dedekind 環上の有限生成加群）✓

$A$ を Dedekind 環、$K = \operatorname{Frac} A$、$S = A \setminus \{0\}$、$M$ を有限生成 $A$ 加群とする。

1. $M$ が射影的であることと、$M$ が捩れをもたないことは同値である。
2. $M$ が捩れをもたず $n = \dim_K S^{-1}M \ge 1$ なら、$0$ でないイデアル $I$ により $M \cong A^{n-1} \oplus I$ である。
3. 捩れ部分 $T(M) = \{ m \in M : \text{ある } a \ne 0 \text{ で } am = 0 \}$ について $M \cong T(M) \oplus M/T(M)$ である。

証明（命題 10.3）

(1) 射影加群は自由加群の直和因子なので（定理 3.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］）捩れをもちません。逆に $M$ が捩れをもたないとします。$A$ は Noether なので、全射 $A^q \to M$ の核は有限生成で（定理 3.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)、補題 2.3［Noether 環と Artin 環］ の (2)）、$M$ は有限表示です。極大イデアル $\mathfrak{m}$ について、$M_{\mathfrak{m}}$ は DVR $A_{\mathfrak{m}}$（定理 5.1）上の有限生成加群で、捩れをもちません（$a(m/s) = 0$、$a \ne 0$ なら $uam = 0$ となる $u \notin \mathfrak{m}$ があり $m = 0$）。DVR は単項イデアル整域なので（命題 3.2）、構造定理（定理 5.1［加群と PID 上の構造定理］）の分解に $A_{\mathfrak{m}}/(d)$ の成分は現れず、$M_{\mathfrak{m}}$ は自由です。定理 5.2［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (4) ⇒ (1) により $M$ は射影的です。

(2) $n$ についての帰納法です。$M \to V = S^{-1}M$ は単射で（捩れがない）、$M$ を $V$ の部分加群と見ます。$V$ の $0$ でない $K$ 線形写像 $\varphi \colon V \to K$ を取ると、$M$ は $V$ を $K$ 上張るので $\varphi(M) \ne 0$ です。$I_1 = \varphi(M)$ は $K$ の $0$ でない有限生成 $A$ 部分加群なので分数イデアルで、生成元の分母の積 $d$ を掛けた $dI_1$ は整イデアルで $I_1 \cong dI_1$ です。定理 5.1 の (3) と 定理 4.3 により $I_1$ は射影的なので、全射 $M \to I_1$ は分裂し（定理 3.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (3)）、$M \cong M' \oplus I_1$、$M' = M \cap \ker\varphi$ です。$M'$ は $M$ の直和因子なので有限生成で捩れをもたず、局所化の完全性から $S^{-1}M' = \ker\varphi$ は $n - 1$ 次元です（定理 7.3［ベクトル空間と線形変換］）。$n = 1$ なら $M' \subseteq S^{-1}M' = 0$ で $M \cong I_1 \cong dI_1$ です。$n \ge 2$ なら帰納法の仮定で $M' \cong A^{n-2} \oplus J$ と書け、補題 10.2 により

$$M \cong A^{n-2} \oplus J \oplus dI_1 \cong A^{n-2} \oplus A \oplus J\,dI_1 = A^{n-1} \oplus J\,dI_1$$

です。

(3) $A$ は整域なので $T(M)$ は部分加群です。$M/T(M)$ は捩れをもちません（$a\bar m = 0$、$a \ne 0$ なら $am \in T(M)$ で $bam = 0$ となる $b \ne 0$ があり、$m \in T(M)$）。有限生成なので (1) により射影的で、$0 \to T(M) \to M \to M/T(M) \to 0$ は分裂します（定理 3.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (3)、命題 4.4［加群・完全列・中山の補題］）。

∎

注意 10.4（Steinitz 類）

(2) の $I$ のイデアル類 $[I] \in \operatorname{Cl}(A)$ は $M$ だけで決まり（Steinitz 類）、階数 $n$ と $[I]$ が捩れのない有限生成加群の同型類を完全に決めることが知られています。一意性の証明には外積 $\bigwedge^n M \cong I$ を使います。この記事では存在だけを使い、一意性は扱いません（Milnor『Introduction to Algebraic K-Theory』§1 を参照）。

11. 演習

演習 11.1標準

Bezout 整域（定義 2.7）は Prüfer 整域であることを示せ。

解答

$A$ を Bezout 整域、$K = \operatorname{Frac} A$、$\mathfrak{p}$ を素イデアルとし、$A_{\mathfrak{p}}$ が $K$ の付値環であることを示します。$x \in K^{\times}$ を $x = a/b$（$a, b \in A \setminus \{0\}$）と書きます。仮定から $(a, b) = (d)$ となる $d \in A$ があり、$d \ne 0$ です。$a = da'$、$b = db'$、$d = ra + sb$（$a', b', r, s \in A$）と書くと、$d = d(ra' + sb')$ で $A$ は整域なので $1 = ra' + sb'$ です。よって $a'$ と $b'$ の両方が $\mathfrak{p}$ に入ることはありません。$b' \notin \mathfrak{p}$ なら $x = a'/b' \in A_{\mathfrak{p}}$、$a' \notin \mathfrak{p}$ なら $x^{-1} = b'/a' \in A_{\mathfrak{p}}$ です。とくに体でない Noether の Bezout 整域、すなわち体でない単項イデアル整域は、系 5.2 により Dedekind 環です。

演習 11.2標準

$k$ を体、$A = k[t^2, t^3] \subseteq B = k[t]$ とする。$B$ の $A$ に関する導手 $\mathfrak{f}$ を求め、$A$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ で $A_{\mathfrak{p}}$ が整閉でないものを決定せよ。

解答

$A$ は $t^1$ の係数が $0$ の多項式の全体です（例 3.4［整拡大］）。$B = A + At$ なので、$a = \sum c_it^i \in A$ が $\mathfrak{f}$ に入る条件は $at \in A$ です。$at$ の $t^1$ の係数は $c_0$ なので、条件は $c_0 = 0$ です。よって

$$\mathfrak{f} = \{ a \in A : c_0 = c_1 = 0 \} = t^2k[t] = (t^2, t^3)A$$

で、これは $A$ の極大イデアル $\mathfrak{m} = (t^2, t^3)$ に一致し、同時に $B$ のイデアル $t^2B$ でもあります（命題 9.2 の (1)）。$B$ は $A$ 上 $1, t$ で生成され、$\operatorname{Frac} A = k(t)$ における $A$ の整閉包です。命題 9.2 の (4) により、$A_{\mathfrak{p}}$ が整閉でないのは $\mathfrak{p} \supseteq \mathfrak{m}$、すなわち $\mathfrak{p} = \mathfrak{m}$ のときだけです。幾何学的には、尖点 $y^2 = x^3$ の特異点は原点だけで、それ以外の点では局所環が DVR です。

演習 11.3標準

$A = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$、$\mathfrak{p} = (2, 1 + \sqrt{-5})$ とする。$\mathfrak{p}^2 = 2A$ を確かめ、$\mathfrak{p}$ は自由でない射影 $A$ 加群だが、$\mathfrak{p} \oplus \mathfrak{p} \cong A \oplus A$ であることを示せ。ただし $A$ が Dedekind 環であることと、$\mathfrak{p}$ が単項でないことは使ってよい。

解答

$(1 + \sqrt{-5})^2 = -4 + 2\sqrt{-5}$ なので

$$\mathfrak{p}^2 = \bigl(4,\ 2 + 2\sqrt{-5},\ -4 + 2\sqrt{-5}\bigr) = 2\bigl(2,\ 1 + \sqrt{-5},\ -2 + \sqrt{-5}\bigr)$$

で、括弧の中のイデアルは $(1 + \sqrt{-5}) - (-2 + \sqrt{-5}) = 3$ と $2$ を含むので $1$ を含み、$\mathfrak{p}^2 = 2A$ です。$A$ は Dedekind 環なので $\mathfrak{p}$ は可逆で（定理 5.1）、定理 4.3 により有限生成射影加群です。自由なら階数は $1$（$\operatorname{Frac} A$ 上の次元が $1$）で $\mathfrak{p} \cong A$、系 4.4 の (2) により $\mathfrak{p} = xA$ となって単項になるので、自由ではありません。補題 10.2 により

$$\mathfrak{p} \oplus \mathfrak{p} \cong A \oplus \mathfrak{p}^2 = A \oplus 2A \cong A \oplus A$$

です。$\operatorname{Cl}(A)$ で言えば $[\mathfrak{p}]^2 = 1$ であることに対応します。

参考文献

• M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969 — Chapter 5（付値環）、Chapter 9（離散付値環と Dedekind 整域）。
• H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986 — §10（付値環）、§11（Dedekind 環と Krull–秋月の定理）、§12（Krull 環）。
• D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 150, Springer, 1995 — Chapter 11（離散付値環と Dedekind 整域、可逆イデアル）。
• J.-P. Serre, Local Fields, Graduate Texts in Mathematics 67, Springer, 1979 — Chapter I（離散付値環と Dedekind 環、拡大での分解）。
• J. Neukirch, Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322, Springer, 1999 — Chapter I §8（Dedekind 整域の拡大）。
• M. Nagata, Local Rings, Interscience, 1962 — Appendix（整閉包が有限生成にならない例）。