分岐指数と剰余次数（一般の Dedekind 環）

$A$ を Dedekind 環、$K = \operatorname{Frac} A$、$L/K$ を $n$ 次拡大、$B$ を $L$ における $A$ の整閉包（系 7.3 により Dedekind 環）とする。$A$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{p}$ について、$B$ の素イデアル $\mathfrak{P}$ が $\mathfrak{P} \cap A = \mathfrak{p}$ を満たすとき、$\mathfrak{P}$ は $\mathfrak{p}$ の上にあるという。$\mathfrak{p}B = \mathfrak{P}_1^{e_1}\cdots\mathfrak{P}_g^{e_g}$（$\mathfrak{P}_i$ は相異なる）と分解するとき、$e_i$ を分岐指数、体の拡大次数 $f_i = [B/\mathfrak{P}_i : A/\mathfrak{p}]$ を剰余次数という。