数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › 曲線と Riemann–Roch の定理

引き戻しの次数

命題 5.3（「曲線と Riemann–Roch の定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

$f\colon X \to Y$ を曲線の有限射とする。

$Y$ の因子 $D$ について $\deg f^*D = \deg f \cdot \deg D$ である。とくに、すべての $Q \in Y$ について $\sum_{f(P) = Q} e_P = \deg f$ である。
曲線 $X$ の $h \in K(X)^{\times}$ について $\deg \operatorname{div}(h) = 0$ である。
したがって $D \sim D'$ なら $\deg D = \deg D'$ で、次数は準同型 $\deg\colon \operatorname{Pic} X \to \mathbb{Z}$ を定める。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 308 件、定義なども含めて 349 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

曲線の射は有限✓定理 3.1・曲線と Riemann–Roch の定理
- 分離射・固有射の保存✓命題 6.2・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 超越基底の存在と超越次数の一意性✓定理 2.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- 体上有限生成整域の正規化の有限性✓定理 6.7・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 切断は局所環の共通部分✓補題 2.2・曲線と Riemann–Roch の定理
  - 整 ⇔ 被約かつ既約✓命題 2.2・スキームの性質と射この先をたどる →
- Spec への射と環準同型✓定理 3.4・アフィンスキームとスキームこの先をたどる →
- 整拡大と体✓命題 4.1・整拡大
- 多様体の次元✓定理 2.4・次元・正規性・非特異性と微分の層この先をたどる →
- 正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大この先をたどる →
- DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 付値環は支配について極大✓補題 2.1・曲線と Riemann–Roch の定理
  - 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
- 曲線の点と関数体の離散付値環✓命題 2.3・曲線と Riemann–Roch の定理この先をたどる →
- 分離性の付値判定法✓定理 5.3・分離射・固有射と付値判定法この先をたどる →
- 茎による単射・全射・同型の判定✓命題 3.2・層
Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環
- 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
- 正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大この先をたどる →
- DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
- Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
分岐指数と剰余次数（一般の Dedekind 環）定義 8.1・離散付値環と Dedekind 環
一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環
- 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大この先をたどる →
- 分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
- 分母を払うと整になる✓命題 2.7・整拡大この先をたどる →
- 捩れのない加群の剰余の長さ✓補題 7.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理この先をたどる →
DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
- 付値と付値環の対応✓命題 2.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
引き戻しと有理関数・可逆層✓補題 5.2・曲線と Riemann–Roch の定理
- DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
Cartier 因子類群と Picard 群✓定理 4.4・因子と直線束
- Picard 群✓命題 7.4・準連接層・連接層と直線束この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 7 件

Riemann–Hurwitz の公式✓定理 3.4・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
種数 1 以上の曲線の低次の因子✓補題 7.2・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
自己同型の固定点の個数✓補題 8.3・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
有限群による商✓補題 8.5・Riemann–Hurwitz の公式・楕円曲線・標準埋め込み
$l(D)$ の基本性質✓命題 6.1・曲線と Riemann–Roch の定理
種数 0 の曲線✓定理 7.2・曲線と Riemann–Roch の定理
局所自由層の Riemann–Roch✓命題 8.2・曲線と Riemann–Roch の定理

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