体上の長さは次元

命題 5.6（「Noether 環と Artin 環」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\mathfrak{m}$ を環 $A$ の極大イデアル、 $k = A/\mathfrak{m}$ とし、 $M$ を $\mathfrak{m}M = 0$ を満たす $A$ 加群とする。このとき $M$ は $(a + \mathfrak{m})x = ax$ により $k$ 上のベクトル空間で、 $A$ 部分加群は $k$ 部分空間と一致し、

\ell_A(M) = \dim_k M

（両辺とも $\infty$ を含めて）が成り立つ。さらに、 $M$ が Noether $A$ 加群であること、Artin $A$ 加群であること、 $k$ 上有限次元であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

加群定義 2.1・加群と PID 上の構造定理
次元定義 5.6・ベクトル空間と線形変換
組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換

これを使っている定理証明で参照している 5 件

Euler 標数の加法性✓命題 7.2・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
パラメータイデアルの重複度と CM 性✓定理 5.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
正則性と随伴次数環✓定理 6.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環
極大イデアルの積が 0 になる環✓補題 6.2・Noether 環と Artin 環

体上の長さは次元

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件