Noether 環と Artin 環：鎖条件・組成列の長さ・秋月–Hopkins の定理

0. この記事の要点

整数全体 $\mathbb{Z}$ では、イデアルを大きい方へ並べていくと必ずどこかで止まりますが、小さい方へ並べると $(2) \supsetneq (4) \supsetneq (8) \supsetneq \cdots$ のようにいつまでも続けられます。この記事は、「大きくする方向で止まる」「小さくする方向で止まる」という二つの性質が、環や加群の形をどこまで決めるかを調べます。読み終えると、止まる性質を部品に分けて確かめる方法と、環の「大きさ」を整数で測る方法が分かります。

• 加群の昇鎖条件（Noether）と降鎖条件（Artin）は、短完全列 $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ の両端がそれを満たすことと $M$ が満たすことが同値です。この一つの事実から、Noether 環の剰余・局所化・有限生成代数がまた Noether であることが出てきます。冪級数環 $A[[x]]$ も、Hilbert の基底定理と同じ発想（ただし最高次でなく最低次の係数を見る）で Noether です。
• Noether かつ Artin の加群は組成列をもち、Jordan–Hölder の定理により、組成列の長さと組成因子（の同型類の重複込みの集まり）は組成列の取り方によりません。この長さ $\ell_A(M)$ は短完全列で加法的で、体上では次元に一致します。
• Artin 環では、素イデアルはすべて極大で、極大イデアルは有限個で、Jacobson 根基（極大イデアルすべての共通部分）は冪零（何乗かすると $0$）です。
• 秋月–Hopkins の定理: 環 $A$ が Artin 環であることと、$A$ が Noether 環で素イデアルがすべて極大であることは同値です。鍵は「極大イデアルの積が $0$ なら、Noether と Artin は同じ条件になる」という補題です。
• Artin 環は有限個の Artin 局所環の直積に分かれます（中国剰余定理）。
• Eakin–永田の定理: Noether 環 $B$ が部分環 $A$ 上の有限生成加群なら、$A$ も Noether です。Formanek による、忠実な加群（$0$ 以外の環の元では消えない加群）と Zorn の補題を使う証明を述べます。

この記事で使う事前知識

• 加群: 環の元を「かけ算」できる足し算の構造で、体上のベクトル空間の一般化。→ 加群
• 有限生成: 有限個の元の一次結合で全体が表せる、という性質。→ 有限生成
• 短完全列: $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ の形の列で、$M'$ が $M$ の部分加群、$M''$ がその剰余加群になっている状況。→ 加群・完全列・中山の補題
• 局所化: 分母に入れてよい元を決めて、分数を作る操作。→ 局所化
• 局所環: 極大イデアルがただ一つの環。→ 局所環
• Hilbert の基底定理: Noether 環の上の多項式環も Noether 環である、という定理。→ Hilbert の基底定理

1. 動機

多項式環 $k[x_1, \ldots, x_n]$ のイデアルが有限個の元で生成されるという Hilbert の基底定理は、連立代数方程式の解集合が有限個の方程式で書けることを保証します。代数幾何と代数的整数論で現れる環のほとんどは Noether 環であり、この有限性が、準素分解（準素分解と随伴素イデアル）、次元論（Krull 次元と単項イデアル定理）、完備化（完備化と Artin–Rees の補題）を動かす燃料になります。

一方、昇鎖でなく降鎖が止まるという Artin 条件は、一見すると Noether 条件の鏡像に見えますが、環については非対称です。$\mathbb{Z}$ は Noether ですが、$(2) \supsetneq (4) \supsetneq (8) \supsetneq \cdots$ が止まらないので Artin ではありません。逆に、Artin 環は自動的に Noether であり、しかも「素イデアルがすべて極大」という非常に強い制約を受けます。幾何学的には、Artin 環は有限個の点だけからなる空間（0 次元のスキーム）に対応し、各点には「太さ」の情報が付いています。その太さを測るのが長さ $\ell_A(M)$ です。

長さは、ベクトル空間の次元を「体でない環」の上に一般化したものです。$\mathbb{Z}/p^2$ は体 $\mathbb{F}_p$ 上のベクトル空間ではありませんが、$0 \subset p\mathbb{Z}/p^2 \subset \mathbb{Z}/p^2$ と、これ以上細かくできない段を 2 つ積んで作られているので、長さ $2$ をもちます。Krull 次元と単項イデアル定理 の章の単項イデアル定理は Artin 環の降鎖が止まることを使って、次数環と Hilbert–Samuel 多項式 の章の Hilbert–Samuel 関数はこの長さで測った量として、それぞれ証明されます。代数的整数論では、整数環 $\mathcal{O}_K$ の $0$ でないイデアル $I$ について $\mathcal{O}_K/I$ は Artin 環で、その長さが $I$ の素イデアル分解の指数の和になります。

この記事では、まず加群の鎖条件を短完全列で整理し（§2〜§3）、Noether 環の構成（§4）、組成列と長さ（§5）、Artin 環の構造（§6）、Eakin–永田の定理（§7）の順に進みます。環はすべて単位元をもつ可換環で、加群は単位的な加群（定義 2.1［加群と PID 上の構造定理］）です。

2. 準備：同型定理と鎖条件

部分加群・剰余加群・準同型の核と像、および第一同型定理（定理 2.3［加群と PID 上の構造定理］）は既知とします。長さの議論では第二・第三同型定理と対応定理を何度も使うので、加群の形で証明しておきます。

補題 2.1（加群の同型定理と対応定理）✓

$A$ を環、$M$ を $A$ 加群とする。

1. （第二同型定理）部分加群 $N, L \subseteq M$ について $(N + L)/L \cong N/(N \cap L)$。
2. （対応定理）部分加群 $L \subseteq M$ と自然な全射 $\pi \colon M \to M/L$ について、$N \mapsto N/L = \pi(N)$ は「$L$ を含む $M$ の部分加群全体」から「$M/L$ の部分加群全体」への、包含関係を両方向に保つ全単射で、逆写像は $\bar N \mapsto \pi^{-1}(\bar N)$ である。
3. （第三同型定理）部分加群 $L \subseteq N \subseteq M$ について $(M/L)/(N/L) \cong M/N$。

証明（補題 2.1）

(1) 合成 $N \hookrightarrow N + L \to (N + L)/L$ を $\varphi$ とします。$\varphi$ は $A$ 線形です。$(N + L)/L$ の元 $n + l + L$（$n \in N$、$l \in L$）は $n + L = \varphi(n)$ に等しいので $\varphi$ は全射で、$\ker\varphi = \{ n \in N : n \in L \} = N \cap L$ です。第一同型定理（定理 2.3［加群と PID 上の構造定理］）より主張を得ます。

(2) $N \supseteq L$ なら $\pi^{-1}(\pi(N)) = N + L = N$ です（$\pi(x) \in \pi(N)$ なら $x - n \in L$ となる $n \in N$ があるので $x \in N + L$）。逆に $\bar N \subseteq M/L$ が部分加群なら $\pi^{-1}(\bar N)$ は $L = \pi^{-1}(0)$ を含む部分加群で、$\pi$ が全射なので $\pi(\pi^{-1}(\bar N)) = \bar N$ です。よって二つの写像は互いに逆です。$\pi$ と $\pi^{-1}$ はどちらも包含を保ちます。

(3) $M \to M/N$ は $L$ を $0$ に送るので、$\psi \colon M/L \to M/N$、$x + L \mapsto x + N$ は well-defined な全射 $A$ 線形写像です。核は $\{ x + L : x \in N \} = N/L$ なので、第一同型定理から主張を得ます。

∎

剰余環 $A/I$ のイデアルは、$A/I$ を $A$ 加群とみたときの部分加群と同じものです（$A$ の作用は $A \to A/I$ を通して $A/I$ の乗法になるため）。したがって (2) から、$A/I$ のイデアルと「$I$ を含む $A$ のイデアル」は包含を保って一対一に対応します。環のイデアルについてのこの対応（素イデアル・極大イデアルの対応を含む）は 補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］ でも示しました。(2) はその加群版で、長さの議論では環のイデアルでなく部分加群の対応が要るので、ここで改めて証明しています。

定義 2.2（Noether 加群・Artin 加群）↗

$A$ 加群 $M$ が Noether 加群であるとは、部分加群の昇鎖 $M_1 \subseteq M_2 \subseteq \cdots$ がつねに止まる（ある $n$ 以降 $M_n = M_{n+1} = \cdots$）ことをいう。部分加群の降鎖 $M_1 \supseteq M_2 \supseteq \cdots$ がつねに止まるとき Artin 加群という。環 $A$ が Artin 環であるとは、$A$ が $A$ 加群として Artin 加群であること、すなわちイデアルの降鎖がつねに止まることをいう。

$A$ の $A$ 部分加群はイデアルそのものなので、$A$ が $A$ 加群として Noether 加群であることは、$A$ が Noether 環である（定義 5.1［多項式環と体の拡大］）ことと同じです。

補題 2.3（鎖条件の言い換え）✓

$M$ を $A$ 加群とし、$\mathcal{F}$ を $M$ の部分加群からなる集合とする。

1. $\mathcal{F}$ の元からなる昇鎖がつねに止まることと、$\mathcal{F}$ の空でない部分集合がつねに（包含に関する）極大元をもつことは同値である。降鎖と極小元についても同様である。
2. $M$ が Noether 加群であることと、$M$ のすべての部分加群が有限生成であることは同値である。

証明（補題 2.3）

(1) 昇鎖の場合を示します（降鎖は包含を逆にするだけです）。昇鎖が止まるとし、空でない $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{F}$ が極大元をもたないと仮定します。$N_1 \in \mathcal{S}$ を取ると、極大でないので $N_1 \subsetneq N_2$ となる $N_2 \in \mathcal{S}$ があり、これを繰り返して止まらない昇鎖 $N_1 \subsetneq N_2 \subsetneq \cdots$ が得られ、矛盾です（各段で一つを選ぶので、選択公理を使っています）。逆に極大元がつねにあるとき、昇鎖 $N_1 \subseteq N_2 \subseteq \cdots$ の集合 $\{N_i\}$ の極大元を $N_n$ とすると、$i \ge n$ で $N_n \subseteq N_i$ と極大性から $N_i = N_n$ です。

(2) Noether 加群の部分加群 $N$ が有限生成でないとすると、$x_1 \in N$、$x_{k+1} \in N \setminus (A x_1 + \cdots + A x_k)$ と選べて、$A x_1 \subsetneq A x_1 + A x_2 \subsetneq \cdots$ が止まらない昇鎖になります。逆に部分加群がすべて有限生成なら、昇鎖 $M_1 \subseteq M_2 \subseteq \cdots$ の和集合 $U$ は部分加群（二元はある共通の $M_i$ に入るので和もそこに入る）で、生成元 $u_1, \ldots, u_r$ はそれぞれある $M_{i_j}$ に入ります。$n = \max_j i_j$ とすると $U \subseteq M_n \subseteq M_i \subseteq U$（$i \ge n$）なので鎖は止まります。

∎

(2) は、環についての 命題 5.2［多項式環と体の拡大］ の加群版です。

3. Noether 加群と Artin 加群の基本性質

定理 3.1（鎖条件と短完全列）✓

$A$ を環とする。

1. $0 \to M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M'' \to 0$ を $A$ 加群の短完全列とする。$M$ が Noether 加群であることと、$M'$ と $M''$ がともに Noether 加群であることは同値である。Artin 加群についても同じことが成り立つ。
2. Noether 加群（Artin 加群）の有限個の直和は Noether 加群（Artin 加群）である。
3. $A$ が Noether 環なら、有限生成 $A$ 加群は Noether 加群である。$A$ が Artin 環なら、有限生成 $A$ 加群は Artin 加群である。

証明の方針です。$M'$ と $M''$ の鎖は $M$ の鎖に持ち上がるので、$M$ が Noether なら両端も Noether です。逆向きでは、$M$ の鎖 $M_i$ を $M'$ に落とした $f^{-1}(M_i)$ と $M''$ に送った $g(M_i)$ の二つの鎖にします。両方が止まる位置以降では、この二つの情報が同じ部分加群どうしは等しい、という事実（証明中の「一般的な事実」）により $M_i$ 自身も動けなくなります。

証明（定理 3.1）

(1) $M$ が Noether とします（Artin の場合は昇鎖を降鎖に置き換えるだけです）。$M'$ の昇鎖は $f$ で $M$ の昇鎖に写り（$f$ は単射なので狭義の包含も保たれます）、それが止まるので元の鎖も止まります。$M''$ の昇鎖 $L_1 \subseteq L_2 \subseteq \cdots$ は $g^{-1}(L_i)$ という $M$ の昇鎖を与え、$g$ が全射なので $g(g^{-1}(L_i)) = L_i$ です。前者が止まれば後者も止まります。

逆に $M'$ と $M''$ が Noether とし、$M_1 \subseteq M_2 \subseteq \cdots$ を $M$ の昇鎖とします。$f^{-1}(M_i)$ と $g(M_i)$ はそれぞれ $M'$、$M''$ の昇鎖なので、ある $n$ 以降どちらも止まります。次の一般的な事実を示せば十分です: 部分加群 $P \subseteq Q \subseteq M$ が $f^{-1}(P) = f^{-1}(Q)$ と $g(P) = g(Q)$ を満たすなら $P = Q$。実際、$x \in Q$ を取ると $g(x) \in g(Q) = g(P)$ なので $g(x) = g(y)$ となる $y \in P$ があります。$x - y \in \ker g = \operatorname{Im} f$ で、$P \subseteq Q$ より $x - y \in Q$ なので、$x - y = f(z)$、$z \in f^{-1}(Q) = f^{-1}(P)$、すなわち $x - y \in P$ です。よって $x \in P$ です。これを $P = M_n$、$Q = M_i$（$i \ge n$）に当てれば昇鎖は止まります。Artin の場合は降鎖について $P = M_i$、$Q = M_n$ に当てます。

(2) $M_1 \oplus M_2$ について $0 \to M_1 \to M_1 \oplus M_2 \to M_2 \to 0$（包含と射影）は完全なので、(1) から従います。一般の有限個は帰納法です。

(3) $M$ が $m_1, \ldots, m_n$ で生成されるとき、$A^n \to M$、$(a_i) \mapsto \sum a_i m_i$ は全射です。$A$ は $A$ 加群として Noether（Artin）なので (2) から $A^n$ も Noether（Artin）で、(1) から剰余 $M \cong A^n/\ker$ も Noether（Artin）です。

∎

この定理は、鎖条件を「部品に分けて確かめる」ための道具です。以下の証明のほとんどは、加群を短完全列や部分加群の鎖で分解し、各段にこの定理を当てる形をとります。

例 3.2（Z 加群での鎖条件）

$\mathbb{Z}$ は Noether 環なので、有限生成アーベル群はすべて Noether $\mathbb{Z}$ 加群です。しかし $\mathbb{Z}$ 自身は Artin ではありません（$(2^k)$ の降鎖）。

$\mathbb{Q}$ は Noether でも Artin でもありません。昇鎖 $\mathbb{Z} \subsetneq \frac{1}{2}\mathbb{Z} \subsetneq \frac{1}{4}\mathbb{Z} \subsetneq \cdots$ と、降鎖 $\mathbb{Z} \supsetneq 2\mathbb{Z} \supsetneq 4\mathbb{Z} \supsetneq \cdots$ がどちらも止まりません。

素数 $p$ について $\mathbb{Z}(p^\infty) = \mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z}$ は Artin ですが Noether ではありません。$C_n$ を $1/p^n + \mathbb{Z}$ が生成する位数 $p^n$ の巡回部分群とすると、$C_1 \subsetneq C_2 \subsetneq \cdots$ は止まらない昇鎖です。一方、部分群 $H$ に含まれる元の位数が有界でないなら、$p \nmid a$ のとき $a/p^n + \mathbb{Z}$ は $a$ が法 $p^n$ で可逆なので $C_n$ を生成し、したがって $H$ はすべての $C_n$ を含んで $H = \mathbb{Z}(p^\infty)$ です。有界なら $H$ はある $C_n$ に含まれ、巡回群 $C_n$ の部分群は $C_0 = 0, C_1, \ldots, C_n$ だけです。よって部分群は $0 = C_0 \subsetneq C_1 \subsetneq \cdots$ と全体だけで、真の部分群はすべて有限なので、降鎖は止まります。

4. Noether 環の構成

系 4.1（Noether 性の遺伝）✓

$A$ を Noether 環とする。

1. 任意のイデアル $I$ について、剰余環 $A/I$ は Noether 環である。
2. 任意の積閉集合 $S$ について、局所化 $S^{-1}A$ は Noether 環である。
3. 有限生成 $A$ 代数 $B$（ある $b_1, \ldots, b_n \in B$ について、$A[x_1, \ldots, x_n] \to B$、$x_i \mapsto b_i$ が全射になる $A$ 代数）は Noether 環である。とくに $A[x_1, \ldots, x_n]$ は Noether 環である。

証明（系 4.1）

(1) $A/I$ のイデアルは $A$ 加群 $A/I$ の部分加群と同じものです（§2 の対応定理の直後の注意）。$A/I$ は $A$ の剰余加群なので、定理 3.1 の (1) から Noether $A$ 加群であり、そのイデアルの昇鎖は止まります。

(2) 局所化 $S^{-1}A$ と標準写像 $\iota \colon A \to S^{-1}A$、$a \mapsto a/1$ は 定義 3.2［局所化と素イデアルのスペクトル］ のものです。$\mathfrak{b}$ を $S^{-1}A$ のイデアルとし、$\mathfrak{a} = \iota^{-1}(\mathfrak{b})$ とおくと $\mathfrak{a}$ は $A$ のイデアルです。$b/s \in \mathfrak{b}$ なら $b/1 = (s/1)(b/s) \in \mathfrak{b}$ なので $b \in \mathfrak{a}$ で、$b/s = (1/s)\,\iota(b)$ です。よって $\mathfrak{b}$ は $\iota(\mathfrak{a})$ で生成されます。$\mathfrak{a}$ が $a_1, \ldots, a_r$ で生成されるなら、$\mathfrak{b}$ は $a_1/1, \ldots, a_r/1$ で生成されます。命題 5.2［多項式環と体の拡大］ により $S^{-1}A$ は Noether です。

(3) Hilbert の基底定理（定理 5.3［多項式環と体の拡大］）を $A[x_1, \ldots, x_{k+1}] = A[x_1, \ldots, x_k][x_{k+1}]$ に $k$ についての帰納法で当てると、$A[x_1, \ldots, x_n]$ は Noether です。$B$ はその剰余環に同型（環の準同型定理 定理 5.1［イデアルと剰余環］）なので、(1) から Noether です。

∎

代数幾何で扱う環（体上の有限生成代数とその局所化、$\mathbb{Z}$ 上の有限生成代数）はこの系により Noether です。部分環は対象外であることに注意してください（例 4.4）。

4.1. 形式的冪級数環

定義 4.2（環係数の形式的冪級数環）↗

環 $A$ の元の列 $(f_n)_{n \ge 0}$ を $f = \sum_{n \ge 0} f_n x^n$ と書き、体上の場合（定義 2.1［数え上げと母関数］）と同じ式で和と積を定めた可換環を $A[[x]]$ と書く。$k \ge 0$ について、$f_n = 0$（$n < k$）となる $f$ 全体を $x^k A[[x]]$ と書く。

積の係数 $(fg)_n = \sum_{i=0}^{n} f_i g_{n-i}$ は有限和なので、係数が体でなく環でも定義に問題はありません。$x^k A[[x]]$ は $x^k$ が生成する単項イデアルに一致し、$f \in x^a A[[x]]$、$g \in x^b A[[x]]$ なら $fg \in x^{a+b}A[[x]]$ です。また、すべての $k$ について $x^k A[[x]]$ に入る元は、どの係数も $0$ なので $0$ です。

定理 4.3（冪級数環の Noether 性）✓

$A$ が Noether 環ならば、$A[[x]]$ も Noether 環である。

証明の方針です。イデアル $I$ の元の「最低次の係数」を次数ごとに集めたイデアル $J_i$ を作り、有限個の生成元で低い次数から順に係数を消していきます。段階 2 の「無限回の操作をまとめる」は、収束の議論ではありません。各 $k$ で選んだ係数 $c'_{kj}$ を並べて冪級数 $u_j$ の $x^k$ の係数と定めるだけで、係数ごとに独立に決まっています。

証明（定理 4.3）

$I$ を $A[[x]]$ のイデアルとし、有限生成であることを示します。$i \ge 0$ について

$$J_i = \{\, a \in A : \text{ある } f \in I \cap x^i A[[x]] \text{ で } f_i = a \,\}$$

とおきます。$f, g \in I \cap x^iA[[x]]$ と $c \in A$ について $f + g$、$cf$ も $I \cap x^iA[[x]]$ に入り、その $x^i$ の係数は $f_i + g_i$、$cf_i$ なので $J_i$ は $A$ のイデアルです。また $f \in I \cap x^iA[[x]]$ なら $xf \in I \cap x^{i+1}A[[x]]$ で $(xf)_{i+1} = f_i$ なので、$J_i \subseteq J_{i+1}$ です。

$A$ は Noether なので、ある $N$ について $J_i = J_N$（$i \ge N$）となり、各 $J_i$ は有限生成です（命題 5.2［多項式環と体の拡大］）。$0 \le i \le N$ について $J_i$ の生成元 $a_{i1}, \ldots, a_{ir_i}$ を取り、$f_{ij} \in I \cap x^iA[[x]]$ を $(f_{ij})_i = a_{ij}$ となるように選びます。$I$ がこれらの $f_{ij}$ で生成されることを示します。$g \in I$ とします。

段階 1（次数 $N$ 未満の係数を消す）。 $g^{(0)} = g$ とし、$i = 0, 1, \ldots, N-1$ の順に次を行います。$g^{(i)} \in I \cap x^iA[[x]]$ なら、その $x^i$ の係数は $J_i$ に入るので $\sum_j c_{ij} a_{ij}$（$c_{ij} \in A$）と書けます。$g^{(i+1)} = g^{(i)} - \sum_j c_{ij} f_{ij}$ とおくと、これは $I$ に入り、$x^i$ 未満の係数は $0$ のまま、$x^i$ の係数は打ち消されて $0$ になるので、$g^{(i+1)} \in I \cap x^{i+1}A[[x]]$ です。最後に $h = g^{(N)} \in I \cap x^NA[[x]]$ を得て、$g - h$ は $f_{ij}$（$i < N$）の $A$ 係数の一次結合です。

段階 2（残りを一度に表す）。 $h_0 = h$ とし、$k = 0, 1, 2, \ldots$ について次を行います。$h_k \in I \cap x^{N+k}A[[x]]$ なら、その $x^{N+k}$ の係数は $J_{N+k} = J_N$ に入るので $\sum_j c'_{kj} a_{Nj}$ と書けます。$h_{k+1} = h_k - \sum_j c'_{kj}\, x^k f_{Nj}$ とおくと、$x^kf_{Nj} \in x^{N+k}A[[x]]$ でその $x^{N+k}$ の係数は $a_{Nj}$ なので、$h_{k+1} \in I \cap x^{N+k+1}A[[x]]$ です。そこで冪級数 $u_j = \sum_{k \ge 0} c'_{kj} x^k \in A[[x]]$ を定めます。任意の $K \ge 0$ について

$$h - \sum_j u_j f_{Nj} = \Bigl(h - \sum_j \sum_{k < K} c'_{kj} x^k f_{Nj}\Bigr) - \sum_j \Bigl(\sum_{k \ge K} c'_{kj} x^k\Bigr) f_{Nj} = h_K - \sum_j \Bigl(\sum_{k \ge K} c'_{kj} x^k\Bigr) f_{Nj}$$

で、右辺の二つの項はどちらも $x^{N+K}A[[x]]$ に入ります（後者は $x^KA[[x]]$ の元と $x^NA[[x]]$ の元の積）。$K$ は任意なので $h = \sum_j u_j f_{Nj}$ です。

段階 1 と 2 を合わせて、$g$ は $f_{ij}$（$0 \le i \le N$）たちの $A[[x]]$ 係数の一次結合です。よって $I$ は有限生成で、命題 5.2［多項式環と体の拡大］ により $A[[x]]$ は Noether です。

∎

Hilbert の基底定理の証明（定理 5.3［多項式環と体の拡大］）では最高次の係数を見ましたが、冪級数には最高次がないので、最低次の係数を見ています。その代償として、段階 2 では無限回の操作をまとめて一つの冪級数 $u_j$ にしています。帰納法により $A[[x_1, \ldots, x_n]] = A[[x_1, \ldots, x_{n-1}]][[x_n]]$ も Noether で、これは 完備化と Artin–Rees の補題 で完備局所環の Noether 性を示すときに使います。

例 4.4（Noether でない環）

1. 無限変数の多項式環。 体 $k$ 上の $R = k[x_1, x_2, \ldots]$ では、$(x_1) \subsetneq (x_1, x_2) \subsetneq \cdots$ が止まりません。実際、$x_1, \ldots, x_n$ を $0$ に、それ以外の変数をそれ自身に送る代入 $R \to R$ は $(x_1, \ldots, x_n)$ を $0$ に送り、$x_{n+1}$ を $x_{n+1} \ne 0$ に送るので、$x_{n+1} \notin (x_1, \ldots, x_n)$ です。$R$ は整域で、その商体（体なので Noether）の部分環です。
2. $\mathbb{Z} + x\mathbb{Q}[x]$。 $R = \{ f \in \mathbb{Q}[x] : f(0) \in \mathbb{Z} \}$ は $\mathbb{Q}[x]$ の部分環です。イデアル $\mathfrak{a} = x\mathbb{Q}[x]$ が有限生成でないことを示します。$g_1, \ldots, g_r \in \mathfrak{a}$ とし、$g_i$ の $x$ の係数を $q_i$ とします。$\sum_i h_i g_i$（$h_i \in R$）の $x$ の係数は $\sum_i h_i(0)\, q_i$ で、$h_i(0) \in \mathbb{Z}$ なので、$q_i$ の分母の公倍数 $D$ について $\frac{1}{D}\mathbb{Z}$ に入ります。しかし $\frac{x}{2D} \in \mathfrak{a}$ の $x$ の係数 $\frac{1}{2D}$ は $\frac{1}{D}\mathbb{Z}$ に入りません。よって $\mathfrak{a} \ne (g_1, \ldots, g_r)$ です。昇鎖で書けば $(x) \subsetneq (x/2) \subsetneq (x/4) \subsetneq \cdots$ です。

どちらの例も Noether 環（体、$\mathbb{Q}[x]$）の部分環です。Noether 性は部分環には遺伝しませんが、大きい環が部分環上の有限生成加群ならば遺伝する、というのが §7 の Eakin–永田の定理です。2 の $\mathbb{Q}[x]$ は $R$ 上有限生成ではありません（有限生成なら §7 の定理により $R$ が Noether になってしまいます）。

最後に、Noether 環のイデアルについて、§6 で使う補題を示します。

補題 4.5（Noether 環のイデアルは素イデアルの積を含む）✓

$A$ を Noether 環とする。$A$ の任意のイデアル $\mathfrak{a}$ は、有限個の素イデアルの積 $\mathfrak{p}_1 \cdots \mathfrak{p}_n$ を含む（$n = 0$ のときは空積 $A$ と約束する）。とくに $A$ のある有限個の素イデアルの積は $0$ である。

証明（補題 4.5）

主張が成り立たないイデアル全体を $\mathcal{S}$ とし、$\mathcal{S} \ne \emptyset$ と仮定します。補題 2.3 の (1) により $\mathcal{S}$ は極大元 $\mathfrak{a}$ をもちます。$\mathfrak{a} = A$ なら空積を含むので $\mathfrak{a} \ne A$ で、$\mathfrak{a}$ 自身が素イデアルなら $\mathfrak{a} \supseteq \mathfrak{a}$ なので $\mathfrak{a}$ は素でもありません。よって $x, y \notin \mathfrak{a}$ で $xy \in \mathfrak{a}$ となるものがあります（定義 6.1［イデアルと剰余環］）。$\mathfrak{a} + (x)$ と $\mathfrak{a} + (y)$ は $\mathfrak{a}$ より真に大きいので $\mathcal{S}$ に属さず、素イデアルの積 $P \subseteq \mathfrak{a} + (x)$、$Q \subseteq \mathfrak{a} + (y)$ を含みます。すると

$$PQ \subseteq (\mathfrak{a} + (x))(\mathfrak{a} + (y)) \subseteq \mathfrak{a} + (xy) = \mathfrak{a}$$

で、$PQ$ も素イデアルの積なので $\mathfrak{a} \notin \mathcal{S}$ となり矛盾です。最後の主張は $\mathfrak{a} = 0$ の場合です。

∎

5. 組成列と長さ

定義 5.1（単純加群・組成列）↗

$A$ 加群 $M$ が単純であるとは、$M \ne 0$ で、部分加群が $0$ と $M$ だけであることをいう。$M$ の部分加群の列

$$0 = M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \cdots \subsetneq M_n = M$$

で、各 $M_i/M_{i-1}$（$1 \le i \le n$）が単純であるものを $M$ の組成列、$n$ をその長さ、$M_i/M_{i-1}$ を組成因子という（$M = 0$ のときは $n = 0$ の列だけを組成列とする）。

対応定理（補題 2.1 の (2)）により、$M_i/M_{i-1}$ が単純であることは「$M_{i-1}$ と $M_i$ の間に真に挟まる部分加群がない」ことと同じです。つまり組成列とは、これ以上細かくできない部分加群の鎖のことです。単純 $A$ 加群 $S$ は $0$ でない任意の元 $s$ で生成される（$As$ は $0$ でない部分加群）ので、$S \cong A/\mathfrak{m}$ で、核 $\mathfrak{m}$ は対応定理により極大イデアルです。

命題 5.2（組成列の存在）✓

$A$ 加群 $M$ が組成列をもつことと、$M$ が Noether かつ Artin であることは同値である。

証明（命題 5.2）

組成列 $0 = M_0 \subsetneq \cdots \subsetneq M_n = M$ をもつとします。単純加群は部分加群が二つしかないので Noether かつ Artin です。$n$ についての帰納法で、$0 \to M_{n-1} \to M \to M/M_{n-1} \to 0$ に 定理 3.1 の (1) を当てれば、$M$ は Noether かつ Artin です（$M_{n-1}$ は長さ $n-1$ の組成列をもちます）。

逆に $M$ が Noether かつ Artin とします。$M^0 = M$ とし、$M^i \ne 0$ なら、$M^i$ の真の部分加群全体（$0$ を含むので空でない）の極大元を $M^{i+1}$ とします。極大元の存在は、$M^i$ が Noether（定理 3.1 の (1)）であることと 補題 2.3 によります。$M^{i+1}$ の極大性から、$M^{i+1}$ と $M^i$ の間に真に挟まる部分加群はなく、$M^i/M^{i+1}$ は単純です。こうして得られる降鎖 $M^0 \supsetneq M^1 \supsetneq \cdots$ は、$M$ が Artin なので有限で終わらなければならず、それは $M^n = 0$ となったときだけです。添字を逆に並べると組成列になります。

∎

定理 5.3（Jordan–Hölder の定理（加群））✓

$A$ 加群 $M$ が二つの組成列

$$0 = M_0 \subsetneq \cdots \subsetneq M_n = M, \qquad 0 = N_0 \subsetneq \cdots \subsetneq N_m = M$$

をもつならば、$n = m$ であり、$\{1, \ldots, n\}$ の置換 $\sigma$ で $M_i/M_{i-1} \cong N_{\sigma(i)}/N_{\sigma(i)-1}$（すべての $i$）となるものがある。

二つの組成列の組成因子が「重複を込めて同型を除いて一致する」ことを、以下では「組成因子が一致する」と略します。

証明の方針です。長さ $n$ の組成列をもつ加群で、任意の組成列の長さと組成因子が一致することを $n$ についての帰納法で示します。最後の段 $M_{n-1}$ と $N_{m-1}$ が等しければ帰納法の仮定をそのまま使えます。異なる場合は共通部分 $K$ を間に挟み、$K$ の組成列を土台にして、帰納法の仮定を $M_{n-1}$ と $N_{m-1}$ の二つに（それぞれ長さが $n-1$ になる組成列に）当てます。

証明（定理 5.3）

次の主張 $P(n)$ を $n$ についての帰納法で示します: 長さ $n$ の組成列をもつ任意の $A$ 加群について、その任意の組成列は長さ $n$ で、組成因子が一致する。

$n = 0$ なら $M = 0$ で、組成列は長さ $0$ のものだけです。$n \ge 1$ とし、$P(n')$（$n' < n$）を仮定します。$M \ne 0$ なので $m \ge 1$ です。

場合 1: $M_{n-1} = N_{m-1}$。 $M_{n-1}$ は長さ $n - 1$ の組成列 $(M_i)_{i \le n-1}$ をもつので、$P(n-1)$ により $(N_j)_{j \le m-1}$ も長さ $n-1$ で組成因子が一致します。最後の因子はともに $M/M_{n-1}$ なので、主張が従います。

場合 2: $M_{n-1} \ne N_{m-1}$。 $K = M_{n-1} \cap N_{m-1}$ とおきます（図）。もし $N_{m-1} \subseteq M_{n-1}$ なら、$N_{m-1}$ と $M$ の間に真に挟まる部分加群はないので $M_{n-1} \in \{N_{m-1}, M\}$ となり、$M_{n-1} \ne M$ から $M_{n-1} = N_{m-1}$ となって仮定に反します。よって $N_{m-1} \not\subseteq M_{n-1}$ で、$M_{n-1} \subsetneq M_{n-1} + N_{m-1} \subseteq M$ です。$M_{n-1}$ と $M$ の間にも真に挟まる部分加群はないので、$M_{n-1} + N_{m-1} = M$ です。第二同型定理（補題 2.1 の (1)）から

$$M/M_{n-1} = (N_{m-1} + M_{n-1})/M_{n-1} \cong N_{m-1}/K, \qquad M/N_{m-1} \cong M_{n-1}/K$$

で、とくに $N_{m-1}/K$ と $M_{n-1}/K$ は単純です。

$M$ は組成列をもつので Noether かつ Artin で（命題 5.2）、その部分加群 $K$ もそうです（定理 3.1 の (1)）。よって $K$ は組成列 $\mathcal{K}$ をもちます（命題 5.2）。その長さを $r$ とします。$\mathcal{K}$ の後ろに $M_{n-1}$ を付けた列は $M_{n-1}$ の組成列で、長さは $r + 1$ です。$M_{n-1}$ は長さ $n - 1$ の組成列 $(M_i)_{i \le n-1}$ ももつので、$P(n-1)$ により $r + 1 = n - 1$ で、$(M_i)_{i \le n-1}$ の組成因子は「$\mathcal{K}$ の組成因子と $M_{n-1}/K$」に一致します。

次に、$\mathcal{K}$ の後ろに $N_{m-1}$ を付けた列は $N_{m-1}$ の長さ $r + 1 = n - 1$ の組成列です。$P(n-1)$ を $N_{m-1}$ に当てると、組成列 $(N_j)_{j \le m-1}$ も長さ $n-1$ で、すなわち $m = n$ であり、その組成因子は「$\mathcal{K}$ の組成因子と $N_{m-1}/K$」に一致します。

以上をまとめると、$(M_i)$ の組成因子は「$\mathcal{K}$ の組成因子、$M_{n-1}/K$、$M/M_{n-1}$」、$(N_j)$ の組成因子は「$\mathcal{K}$ の組成因子、$N_{m-1}/K$、$M/N_{m-1}$」で、上の二つの同型 $M/M_{n-1} \cong N_{m-1}/K$、$M/N_{m-1} \cong M_{n-1}/K$ により両者は一致します。

∎

Jordan–Hölder の定理の証明の場合 2。向かい合う辺の剰余加群が同型になる

定義 5.4（加群の長さ）↗

$A$ 加群 $M$ が組成列をもつとき、その長さ（定理 5.3 により組成列によらない）を $M$ の長さといい $\ell_A(M)$ と書く。組成列をもたないときは $\ell_A(M) = \infty$ とする。$\ell_A(M) < \infty$ のとき $M$ は有限の長さをもつという。

長さは係数環に依存します。$\ell_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/p^2) = 2$（組成列 $0 \subsetneq p\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$）ですが、$\mathbb{Z}/p^2$ を自分自身の上の加群とみても同じ鎖で長さ $2$ です。一方 $\ell_{\mathbb{Q}}(\mathbb{Q}^2) = 2$ に対して $\ell_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Q}^2) = \infty$ です。

命題 5.5（長さの加法性）✓

$A$ を環とする。

1. $0 \to M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M'' \to 0$ が完全なら $\ell_A(M) = \ell_A(M') + \ell_A(M'')$（$\infty$ を含めて。$M$ が有限の長さをもつことと、$M'$、$M''$ がともに有限の長さをもつことは同値）。
2. 部分加群の鎖 $M = L_0 \supseteq L_1 \supseteq \cdots \supseteq L_r = 0$ について $\ell_A(M) = \sum_{i=1}^{r} \ell_A(L_{i-1}/L_i)$。
3. $\ell_A(M) < \infty$ で $N \subsetneq M$ が部分加群なら $\ell_A(N) < \ell_A(M)$。したがって $M$ の部分加群の狭義の鎖の長さは $\ell_A(M)$ 以下である。

証明（命題 5.5）

(1) 有限性の同値は 命題 5.2 と 定理 3.1 の (1) から従います。$M'$、$M''$ が組成列 $0 = M'_0 \subsetneq \cdots \subsetneq M'_a = M'$、$0 = M''_0 \subsetneq \cdots \subsetneq M''_b = M''$ をもつとします。

$$0 = f(M'_0) \subsetneq \cdots \subsetneq f(M'_a) = \ker g = g^{-1}(M''_0) \subsetneq g^{-1}(M''_1) \subsetneq \cdots \subsetneq g^{-1}(M''_b) = M$$

を考えます。前半の因子は $f$ が単射なので $M'_i/M'_{i-1}$ に同型です。後半では、$g$ が全射なので $g^{-1}(M''_j) \to M''_j \to M''_j/M''_{j-1}$ は全射で、その核は $g^{-1}(M''_{j-1})$ です。第一同型定理（定理 2.3［加群と PID 上の構造定理］）から $g^{-1}(M''_j)/g^{-1}(M''_{j-1}) \cong M''_j/M''_{j-1}$ です。よってこれは長さ $a + b$ の $M$ の組成列で、定理 5.3 から $\ell_A(M) = a + b$ です。

(2) $r$ についての帰納法です。$0 \to L_1 \to M \to M/L_1 \to 0$ に (1) を当て、$L_1$ の鎖 $L_1 \supseteq \cdots \supseteq L_r = 0$ に帰納法の仮定を当てます。

(3) (1) から $\ell_A(M) = \ell_A(N) + \ell_A(M/N)$ で、$M/N \ne 0$ なので $\ell_A(M/N) \ge 1$ です（長さ $0$ の加群は $0$ だけ）。狭義の鎖 $N_0 \subsetneq \cdots \subsetneq N_s$ に当てると $\ell_A(N_0) < \cdots < \ell_A(N_s) \le \ell_A(M)$ なので $s \le \ell_A(M)$ です。

∎

命題 5.6（体上の長さは次元）✓

$\mathfrak{m}$ を環 $A$ の極大イデアル、$k = A/\mathfrak{m}$ とし、$M$ を $\mathfrak{m}M = 0$ を満たす $A$ 加群とする。このとき $M$ は $(a + \mathfrak{m})x = ax$ により $k$ 上のベクトル空間で、$A$ 部分加群は $k$ 部分空間と一致し、

$$\ell_A(M) = \dim_k M$$

（両辺とも $\infty$ を含めて）が成り立つ。さらに、$M$ が Noether $A$ 加群であること、Artin $A$ 加群であること、$k$ 上有限次元であることは同値である。

証明（命題 5.6）

$a - a' \in \mathfrak{m}$ なら $ax - a'x \in \mathfrak{m}M = 0$ なので作用は well-defined で、ベクトル空間の公理は加群の公理（定義 2.1［加群と PID 上の構造定理］）から従います。$ax = (a + \mathfrak{m})x$ なので、部分群が $A$ 倍で閉じることと $k$ 倍で閉じることは同じで、部分加群と部分空間は同じものです。

$\dim_k M = n < \infty$ とし、基底 $e_1, \ldots, e_n$（定義 5.6［ベクトル空間と線形変換］）を取って $V_i = k e_1 + \cdots + k e_i$ とおきます。$V_i/V_{i-1}$ は $e_i$ の像で張られる $1$ 次元空間で、$0$ でない元はそれ自身で全体を張るので、部分空間は $0$ と全体だけ、すなわち単純です。よって $0 = V_0 \subsetneq \cdots \subsetneq V_n = M$ は組成列で、$\ell_A(M) = n$ です。$M$ は有限の長さをもつので Noether かつ Artin です（命題 5.2）。

$M$ が無限次元とします。有限個の線形独立な元 $e_1, \ldots, e_n$ が $M$ を張れば有限の基底になってしまうので、張らない元 $e_{n+1}$ を足しても線形独立なままです。こうして線形独立な列 $e_1, e_2, \ldots$ が取れます（定義 5.1［ベクトル空間と線形変換］）。$V_n = ke_1 + \cdots + ke_n$ は狭義の昇鎖、$W_n = \sum_{j \ge n} k e_j$ は狭義の降鎖です（$e_n \notin W_{n+1}$ は線形独立性による）。よって $M$ は Noether でも Artin でもなく、命題 5.2 から $\ell_A(M) = \infty$ です。

∎

$A = k$ が体の場合、これは「$k$ 上のベクトル空間の長さは次元」という主張で、定理 5.3 は次元の一意性（定理 5.5［ベクトル空間と線形変換］）の別証明を与えています。この命題の価値は、体でない $A$ の加群でも、$\mathfrak{m}$ で消える「層」に分ければ長さを次元の和として計算できる点にあります（命題 5.5 の (2)）。

例 5.7（長さの計算）

1. $\mathbb{Z}/n$。 $n = p_1 p_2 \cdots p_s$（素数の重複を許す）と書くと、$\mathbb{Z}/n \supsetneq p_1\mathbb{Z}/n \supsetneq p_1p_2\mathbb{Z}/n \supsetneq \cdots \supsetneq 0$ の各因子は $\mathbb{Z}/p_i$ に同型で単純なので、$\ell_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/n) = s$（素因数の重複込みの個数）です。
2. $k[x]/(x^n)$。 $\mathfrak{m} = (x)$ として、鎖 $(x^i)/(x^n)$（$0 \le i \le n$）の各因子 $(x^i)/(x^{i+1})$ は $\mathfrak{m}$ で消え、$x^i$ の像が張る $1$ 次元空間です。命題 5.5 の (2) と 命題 5.6 から $\ell(k[x]/(x^n)) = n$ で、これは $k$ 上の次元とも一致します。
3. $k[x,y]/(x^2, xy, y^2)$。 $k$ 上 $1, x, y$ の像を基底にもつ $3$ 次元の環で、$\mathfrak{m} = (x, y)$ は $\mathfrak{m}^2 = 0$ を満たします。$0 \subseteq \mathfrak{m} \subseteq A$ で $\mathfrak{m}$ と $A/\mathfrak{m}$ はともに $\mathfrak{m}$ で消えるので、長さは $\dim_k \mathfrak{m} + \dim_k A/\mathfrak{m} = 2 + 1 = 3$ です。$\mathfrak{m}$ の $k$ 部分空間はすべてイデアルなので（$\mathfrak{m}$ の作用は $0$）、$k$ が無限体ならイデアルは無限個あります。有限の長さは「イデアルが有限個」を意味しません。

6. Artin 環

環 $A$ の極大イデアル全体の共通部分を Jacobson 根基 $\operatorname{Jac}(A)$ と書きます（定義 2.2［局所化と素イデアルのスペクトル］）。局所環（定義 3.8［局所化と素イデアルのスペクトル］）$(A, \mathfrak{m})$ では $\operatorname{Jac}(A) = \mathfrak{m}$ です。この節では Jacobson 根基の特徴づけは使わず、定義だけを使います。

命題 6.1（Artin 環の基本性質）✓

$A \ne 0$ を Artin 環とする。

1. $A$ の素イデアルはすべて極大イデアルである。
2. $A$ の極大イデアルは有限個である。
3. Jacobson 根基 $\operatorname{Jac}(A)$ は冪零である。すなわち、ある $k \ge 1$ で $\operatorname{Jac}(A)^k = 0$。とくに $\operatorname{Jac}(A)$ の元はすべて冪零で、$\operatorname{Jac}(A)$ は冪零元全体と一致する。

(3) の証明の方針です。降鎖 $J \supseteq J^2 \supseteq \cdots$ が止まるので、ある $k$ で $J^k = J^{k+1} = \cdots =: I$ となります。$I \ne 0$ と仮定して矛盾を導きます。$I$ をかけると $0$ でなくなるイデアルのうち極小のものを取ると、それが単項イデアル $(x)$ になり、$x = xy$（$y \in J$）が出ます。$1 - y$ は単元なので $x = 0$ となり、矛盾します。

証明（命題 6.1）

(1) $\mathfrak{p}$ を素イデアルとします。$D = A/\mathfrak{p}$ は整域（命題 6.2［イデアルと剰余環］）で、そのイデアルは $A$ 加群 $A/\mathfrak{p}$ の部分加群なので、定理 3.1 の (1) により $D$ も Artin 環です。$0 \ne x \in D$ について降鎖 $(x) \supseteq (x^2) \supseteq \cdots$ は止まり、ある $n$ で $x^n \in (x^{n+1})$、すなわち $x^n = x^{n+1}y$ となる $y \in D$ があります。$x^n(1 - xy) = 0$ で、整域なので $x^n \ne 0$ から $xy = 1$ です。よって $D$ は体で、$\mathfrak{p}$ は極大です（定理 6.3［イデアルと剰余環］）。

(2) 極大イデアルの有限個の共通部分 $\mathfrak{m}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{m}_r$ 全体の集合は、$A \ne 0$ なので極大イデアルが存在し（定理 6.5［選択公理と Zorn の補題］）空でなく、補題 2.3 の (1) により極小元 $\mathfrak{m}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{m}_r$ をもちます。任意の極大イデアル $\mathfrak{m}$ について、$\mathfrak{m} \cap \mathfrak{m}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{m}_r$ もこの集合に属し、極小性から $\mathfrak{m}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{m}_r$ に等しいので、$\mathfrak{m} \supseteq \mathfrak{m}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{m}_r \supseteq \mathfrak{m}_1 \cdots \mathfrak{m}_r$ です。もしどの $i$ でも $\mathfrak{m}_i \not\subseteq \mathfrak{m}$ なら、$x_i \in \mathfrak{m}_i \setminus \mathfrak{m}$ の積 $x_1 \cdots x_r$ は $\mathfrak{m}$ に入るのに、$\mathfrak{m}$ が素イデアル（系 6.4［イデアルと剰余環］）なのでどれかの $x_i$ が $\mathfrak{m}$ に入り、矛盾します。よってある $i$ で $\mathfrak{m}_i \subseteq \mathfrak{m}$ で、$\mathfrak{m}_i$ の極大性から $\mathfrak{m} = \mathfrak{m}_i$ です。

(3) $J = \operatorname{Jac}(A)$ とおきます。降鎖 $J \supseteq J^2 \supseteq \cdots$ は止まるので、ある $k$ で $J^k = J^{k+1} = \cdots =: I$ です。$I \ne 0$ と仮定して矛盾を導きます。$\mathfrak{a}I \ne 0$ となるイデアル $\mathfrak{a}$ 全体の集合 $\Sigma$ は、$I \cdot I = J^{2k} = I \ne 0$ より $I \in \Sigma$ なので空でなく、極小元 $\mathfrak{a}$ をもちます（補題 2.3）。$\mathfrak{a}I \ne 0$ なので $xI \ne 0$ となる $x \in \mathfrak{a}$ があり、$(x) \in \Sigma$、$(x) \subseteq \mathfrak{a}$ から $\mathfrak{a} = (x)$ です。さらに $(xI)I = xI^2 = xI \ne 0$ なので $xI \in \Sigma$ で、$xI \subseteq (x)$ と極小性から $xI = (x)$ です。よって $x = xy$ となる $y \in I \subseteq J$ があり、$x(1 - y) = 0$ です。

ここで $1 - y$ は単元です。実際、単元でなければ $(1 - y)$ は真のイデアルで、ある極大イデアル $\mathfrak{m}$ に含まれます（定理 6.5［選択公理と Zorn の補題］）。$y \in J \subseteq \mathfrak{m}$ なので $1 = (1 - y) + y \in \mathfrak{m}$ となり、矛盾です。したがって $x = 0$ で、$xI \ne 0$ に反します。よって $J^k = 0$ です。

最後に、$J$ の元 $z$ は $z^k \in J^k = 0$ で冪零です。逆に冪零元 $z$（$z^n = 0$）は、任意の極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $z^n = 0 \in \mathfrak{m}$ と $\mathfrak{m}$ が素であることから $z \in \mathfrak{m}$ で、$z \in J$ です。

∎

次の補題が、Artin 性と Noether 性をつなぐ要です。

補題 6.2（極大イデアルの積が 0 になる環）✓

環 $A$ の極大イデアル $\mathfrak{m}_1, \ldots, \mathfrak{m}_n$（重複を許す）について $\mathfrak{m}_1 \cdots \mathfrak{m}_n = 0$ とする。このとき、$A$ が Noether 環であることと Artin 環であることは同値で、そのとき $\ell_A(A) = \sum_{i=1}^{n} \dim_{A/\mathfrak{m}_i} \mathfrak{a}_{i-1}/\mathfrak{a}_i < \infty$ である。ただし $\mathfrak{a}_0 = A$、$\mathfrak{a}_i = \mathfrak{m}_1 \cdots \mathfrak{m}_i$。

証明（補題 6.2）

イデアルの鎖 $A = \mathfrak{a}_0 \supseteq \mathfrak{a}_1 \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{a}_n = 0$ を考えます。因子 $F_i = \mathfrak{a}_{i-1}/\mathfrak{a}_i$ は $\mathfrak{m}_i \mathfrak{a}_{i-1} = \mathfrak{a}_i$ より $\mathfrak{m}_i F_i = 0$ を満たすので、命題 5.6 により、$F_i$ が Noether $A$ 加群であることと Artin $A$ 加群であることはどちらも $\dim_{A/\mathfrak{m}_i} F_i < \infty$ と同値です。

$A$ が Noether（または Artin）とすると、その部分加群 $\mathfrak{a}_{i-1}$ の剰余 $F_i$ も Noether（Artin）なので（定理 3.1 の (1)）、すべての $F_i$ は有限次元です。逆にすべての $F_i$ が有限次元なら、$i = n, n-1, \ldots, 1$ の順に、短完全列 $0 \to \mathfrak{a}_i \to \mathfrak{a}_{i-1} \to F_i \to 0$ と 定理 3.1 の (1) から $\mathfrak{a}_{i-1}$ は Noether かつ Artin です（$\mathfrak{a}_n = 0$ から始めます）。$i = 1$ で $A$ が Noether かつ Artin になります。したがって、$A$ が Noether であること、Artin であること、すべての $F_i$ が有限次元であることは同値です。長さの式は 命題 5.5 の (2) と 命題 5.6 から従います。

∎

定理 6.3（秋月–Hopkins の定理（可換環））✓

環 $A$ について、次は同値である。

1. $A$ は Artin 環である。
2. $A$ は Noether 環で、$A$ の素イデアルはすべて極大イデアルである。

さらにこのとき $\ell_A(A) < \infty$ である。

証明（定理 6.3）

$A = 0$ なら両方とも成り立ち（イデアルは $0$ だけで、素イデアルはない）、$\ell_A(A) = 0$ です。以下 $A \ne 0$ とします。

(1 ⇒ 2) 命題 6.1 により、素イデアルはすべて極大で、極大イデアルは有限個 $\mathfrak{m}_1, \ldots, \mathfrak{m}_r$ で、ある $k$ について $\operatorname{Jac}(A)^k = 0$ です。$\mathfrak{m}_1 \cdots \mathfrak{m}_r \subseteq \mathfrak{m}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{m}_r = \operatorname{Jac}(A)$ なので、

$$(\mathfrak{m}_1 \cdots \mathfrak{m}_r)^k \subseteq \operatorname{Jac}(A)^k = 0$$

で、極大イデアル $kr$ 個の積が $0$ です。補題 6.2 により $A$ は Noether です。

(2 ⇒ 1) 補題 4.5 により、ある素イデアル $\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_n$ について $\mathfrak{p}_1 \cdots \mathfrak{p}_n = 0$ です。仮定からこれらはすべて極大なので、補題 6.2 により $A$ は Artin です。

どちらの場合も 補題 6.2 から $\ell_A(A) < \infty$ です。

∎

条件 2 の「素イデアルがすべて極大」は、Krull 次元と単項イデアル定理 の章の言葉で「Krull 次元が $0$」ということです。したがってこの定理は「Artin 環 ＝ 0 次元の Noether 環」と標語的に言えます。Noether 性を外すと 2 ⇒ 1 は成り立ちません。たとえば体 $k$ 上の無限変数の環 $k[x_1, x_2, \ldots]/(x_1, x_2, \ldots)^2$ は、各 $x_i$ の像が冪零なのでどの素イデアルも $\mathfrak{m} = (x_1, x_2, \ldots)$ の像を含み、素イデアルは極大イデアル $\mathfrak{m}$ ただ一つです。しかし $\mathfrak{m}^2 = 0$ なので $\mathfrak{m}$ は $k$ 上のベクトル空間で、$x_1, x_2, \ldots$ の像が線形独立なので無限次元です。命題 5.6 により部分加群 $\mathfrak{m}$ は Artin でなく、したがってこの環は Artin ではありません（定理 3.1 の (1)）。

定理 6.4（Artin 環の構造定理）✓

1. $A \ne 0$ を Artin 環とし、その相異なる極大イデアルを $\mathfrak{m}_1, \ldots, \mathfrak{m}_r$ とする。ある $k \ge 1$ について環の同型

$$A \cong A/\mathfrak{m}_1^k \times \cdots \times A/\mathfrak{m}_r^k$$

があり、各 $A/\mathfrak{m}_i^k$ は唯一の極大イデアル $\mathfrak{m}_i/\mathfrak{m}_i^k$ をもつ Artin 局所環である。 2. 逆に、有限個の Artin 環の直積は Artin 環である。

証明（定理 6.4）

(1) 命題 6.1 により $\operatorname{Jac}(A)^k = 0$ となる $k$ を取ります。

$i \ne j$ について $\mathfrak{m}_i^k + \mathfrak{m}_j^k = A$ を示します。$\mathfrak{m}_i + \mathfrak{m}_j$ は $\mathfrak{m}_i$ を真に含む（$\mathfrak{m}_j \not\subseteq \mathfrak{m}_i$。極大イデアルどうしの包含は等号を意味するため）ので $A$ に等しく、$1 = a + b$（$a \in \mathfrak{m}_i$、$b \in \mathfrak{m}_j$）と書けます。二項展開

$$1 = (a + b)^{2k} = \sum_{t=0}^{2k} \binom{2k}{t} a^t b^{2k - t}$$

の各項は、$t \ge k$ なら $\mathfrak{m}_i^k$ に、$t < k$ なら $2k - t > k$ なので $\mathfrak{m}_j^k$ に入ります。よって $1 \in \mathfrak{m}_i^k + \mathfrak{m}_j^k$ です。

中国剰余定理（補題 5.2［代数体の整数環と Dedekind 整域］）を $\mathfrak{m}_1^k, \ldots, \mathfrak{m}_r^k$ に当てると $A/\mathfrak{m}_1^k \cdots \mathfrak{m}_r^k \cong \prod_i A/\mathfrak{m}_i^k$ です。ここで

$$\mathfrak{m}_1^k \cdots \mathfrak{m}_r^k = (\mathfrak{m}_1 \cdots \mathfrak{m}_r)^k \subseteq (\mathfrak{m}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{m}_r)^k = \operatorname{Jac}(A)^k = 0$$

（命題 6.1 の (2) から極大イデアルは $\mathfrak{m}_1, \ldots, \mathfrak{m}_r$ だけなので、共通部分は $\operatorname{Jac}(A)$）なので、左辺は $A$ です。

$A/\mathfrak{m}_i^k$ は Artin 環の剰余環なので Artin です（定理 3.1 の (1) と §2 の注意）。その極大イデアルは、対応定理（補題 2.1 の (2)）により $\mathfrak{m}_i^k$ を含む $A$ の極大イデアルに対応します。$\mathfrak{m} \supseteq \mathfrak{m}_i^k$ なる極大イデアル $\mathfrak{m}$ は素なので $\mathfrak{m} \supseteq \mathfrak{m}_i$、したがって $\mathfrak{m} = \mathfrak{m}_i$ です。よって $A/\mathfrak{m}_i^k$ の極大イデアルは $\mathfrak{m}_i/\mathfrak{m}_i^k$ だけです。

(2) $B = B_1 \times \cdots \times B_s$ とし、各 $B_j$ を Artin 環とします。$B_j$ は射影 $B \to B_j$ を通して $B$ 加群になり、その $B$ 部分加群は $B_j$ のイデアルと同じものなので、$B_j$ は Artin $B$ 加群です。$B$ は $B$ 加群として $B_1 \oplus \cdots \oplus B_s$ に等しいので、定理 3.1 の (2) により Artin $B$ 加群、すなわち Artin 環です。

∎

幾何的には、$\operatorname{Spec} A$ が有限個の点 $\mathfrak{m}_1, \ldots, \mathfrak{m}_r$ からなる離散空間で、環がその点ごとの「太った点」$A/\mathfrak{m}_i^k$ に分かれる、という主張です。$A/\mathfrak{m}_i^k$ は局所化 $A_{\mathfrak{m}_i}$ に同型になります（演習）。

系 6.5（Noether 局所環が Artin になる条件）✓

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所環とする。次は同値である。

1. $A$ は Artin 環である。
2. ある $n \ge 1$ で $\mathfrak{m}^n = \mathfrak{m}^{n+1}$。
3. ある $n \ge 1$ で $\mathfrak{m}^n = 0$。
4. $\mathfrak{m}$ は $A$ のただ一つの素イデアルである。

証明（系 6.5）

(1 ⇒ 3) 局所環では $\operatorname{Jac}(A) = \mathfrak{m}$ なので、命題 6.1 の (3) です。

(3 ⇒ 2) $\mathfrak{m}^n = 0 = \mathfrak{m}^{n+1}$ です。

(2 ⇒ 3) $A$ は Noether なので $\mathfrak{m}^n$ は有限生成 $A$ 加群で、$\mathfrak{m} \cdot \mathfrak{m}^n = \mathfrak{m}^n$ かつ $\mathfrak{m} = \operatorname{Jac}(A)$ です。中山の補題（定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］）により $\mathfrak{m}^n = 0$ です。

(3 ⇒ 4) 素イデアル $\mathfrak{p}$ は $\mathfrak{m}^n = 0$ を含むので、素であることから $\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{p}$ で、$\mathfrak{m}$ の極大性から $\mathfrak{p} = \mathfrak{m}$ です。

(4 ⇒ 1) 素イデアルはすべて（ただ一つの）極大イデアル $\mathfrak{m}$ なので、定理 6.3 から $A$ は Artin です。

∎

Krull 次元と単項イデアル定理 の章の Krull の単項イデアル定理の証明では、Noether 局所環 $(A, \mathfrak{m})$ の元 $x$ について $\mathfrak{m}$ が $(x)$ を含む極小の素イデアルであるとき、$A/(x)$ の素イデアルが $\mathfrak{m}/(x)$ だけになることから、この系で $A/(x)$ を Artin 環とみなし、その中で記号的冪の降鎖が止まることを使います。

例 6.6（Artin 環の例）

1. $\mathbb{Z}/n$。 $n = p_1^{e_1} \cdots p_r^{e_r}$ と素因数分解すると、$\mathbb{Z}/n$ の極大イデアルは $(p_i)$ の像で、構造定理の分解は $\mathbb{Z}/n \cong \prod_i \mathbb{Z}/p_i^{e_i}$ です。各 $\mathbb{Z}/p_i^{e_i}$ は Artin 局所環で長さ $e_i$（例 5.7）、全体の長さは $\sum e_i$ です。
2. $k[x]/(f)$。 $f \in k[x]$ を次数 $d \ge 1$ の多項式とし、$f = c\, g_1^{e_1} \cdots g_r^{e_r}$（$g_i$ は相異なるモニック既約多項式）と分解すると、$k[x]/(f) \cong \prod_i k[x]/(g_i^{e_i})$ です。$k[x]/(f)$ は $k$ 上 $d$ 次元なので、$k$ 部分空間の鎖として見ても Noether かつ Artin です。$k[x]/(g_i^{e_i})$ の長さは、鎖 $(g_i^t)/(g_i^{e_i})$（$0 \le t \le e_i$）の各因子が体 $k[x]/(g_i)$ 上の $1$ 次元空間（$g_i^t$ の像で張られる）なので $e_i$ で、$k$ 上の次元 $e_i \deg g_i$ とは $\deg g_i \ge 2$ のとき食い違います。剰余体が $k$ より大きいためです。
3. $k[x, y]/(x^2, xy, y^2)$。 例 5.7 の 3 の環は局所環で $\mathfrak{m}^2 = 0$ です。極大イデアルは単項ではありません。$\mathfrak{m} = (z)$ なら $\mathfrak{m} = Az = kz + \mathfrak{m}z = kz$（$\mathfrak{m}z \subseteq \mathfrak{m}^2 = 0$）は $1$ 次元になりますが、$\mathfrak{m}$ は $x, y$ の像を基底とする $2$ 次元空間です。Artin 局所環でも極大イデアルが単項とは限りません。

7. Eakin–永田の定理

§4 で見たように、Noether 環の部分環は Noether とは限りません。しかし大きい環が部分環上の有限生成加群であれば、Noether 性は下に降ります。ここでは Formanek による証明を紹介します。

$A$ 加群 $M$ の零化イデアルを $\operatorname{Ann}(M) = \{ a \in A : aM = 0 \}$ と書き（定義 2.4［加群・完全列・中山の補題］）、$\operatorname{Ann}(M) = 0$ のとき $M$ は忠実であるといいます。$A$ のイデアル $I$ について、$IM$ は $\{ am : a \in I, m \in M \}$ が生成する部分加群です。

補題 7.1（Formanek の補題）✓

$M$ を有限生成で忠実な $A$ 加群とし、$A$ のイデアル $I$ によって $IM$ の形に書ける部分加群の昇鎖がつねに止まるとする。このとき $M$ は Noether $A$ 加群であり、$A$ は Noether 環である。

証明の方針です。$M$ が Noether でないと仮定し、その反例のうち最小のものまで加群を取り替えます（段階 1）。次に Zorn の補題で、割っても忠実性が残る最大の部分加群を取って、さらに取り替えます（段階 2）。最後に、取り替えた加群の部分加群がすべて有限生成になることを示して矛盾を導きます（段階 3）。

証明（補題 7.1）

段階 0（$M$ が Noether なら $A$ も Noether）。 $M = A\omega_1 + \cdots + A\omega_n$ とし、$\varphi \colon A \to M^n$、$a \mapsto (a\omega_1, \ldots, a\omega_n)$ を考えます。$a\omega_i = 0$（すべての $i$）なら $aM = 0$ なので $\ker\varphi = \operatorname{Ann}(M) = 0$ です。$M$ が Noether なら $M^n$ も Noether（定理 3.1 の (2)）で、$A$ はその部分加群 $\varphi(A)$ に同型なので Noether $A$ 加群、すなわち Noether 環です。

以下、$M$ が Noether でないと仮定して矛盾を導きます。

段階 1（$M$ を取り替える）。 $M/IM$ が Noether でないようなイデアル $I$ についての $IM$ 全体は、$I = 0$ を含むので空でなく、仮定と 補題 2.3 の (1) により極大元 $I_0M$ をもちます。$M_1 = M/I_0M$、$\mathfrak{c} = \operatorname{Ann}(M_1)$、$B = A/\mathfrak{c}$ とおくと、$M_1$ は有限生成で忠実な $B$ 加群で、$B$ 部分加群と $A$ 部分加群は一致し、$M_1$ は Noether ではありません。$B$ のイデアルは $J/\mathfrak{c}$（$J \supseteq \mathfrak{c}$）の形で、

$$(J/\mathfrak{c})M_1 = (JM + I_0M)/I_0M = (J + I_0)M/I_0M$$

です。

(a) $M_1$ は仮定（$IM_1$ の形の部分加群の昇鎖条件）を満たします。上の式から、$B$ のイデアル $I'$ について $I'M_1$ の昇鎖は $(J + I_0)M$ の形の $M$ の部分加群の昇鎖に対応し（補題 2.1 の (2)）、それは止まります。（以下の段階 2・3 で使うのは (b) だけですが、(a) により $M_1$ も補題の仮定をすべて満たしていることがわかります。）

(b) $B$ の $0$ でない任意のイデアル $I'$ について $M_1/I'M_1$ は Noether です。実際 $I' = J/\mathfrak{c} \ne 0$ なら、忠実性から $I'M_1 \ne 0$、すなわち $(J + I_0)M \supsetneq I_0M$ です。$I_0M$ の極大性から $M/(J + I_0)M$ は Noether で、第三同型定理（補題 2.1 の (3)）により $M_1/I'M_1 \cong M/(J + I_0)M$ です。

段階 2（忠実性を保つ最大の部分加群）。 $M_1$ の生成元を $\bar\omega_1, \ldots, \bar\omega_n$ とし、$\Sigma$ を「$M_1/N$ が忠実な $B$ 加群になる部分加群 $N \subseteq M_1$」全体とします。$N \in \Sigma$ は「$0 \ne b \in B$ ならば $bM_1 \not\subseteq N$」と同じです。$0 \in \Sigma$ です。$\Sigma$ の空でない鎖 $\mathcal{C}$ の和集合 $U$ は部分加群で、もし $0 \ne b$ について $bM_1 \subseteq U$ なら、$b\bar\omega_1, \ldots, b\bar\omega_n$ はそれぞれ $\mathcal{C}$ のある元に入り、鎖なので一つの $N \in \mathcal{C}$ にすべて入って $bM_1 \subseteq N$ となり、$N \in \Sigma$ に反します。よって $U \in \Sigma$ で、Zorn の補題（定理 5.1［選択公理と Zorn の補題］）により $\Sigma$ は極大元 $N_0$ をもちます。

もし $M_1/N_0$ が Noether なら、段階 0 を忠実な有限生成 $B$ 加群 $M_1/N_0$ に当てて $B$ は Noether 環になり、定理 3.1 の (3) から有限生成 $B$ 加群 $M_1$ は Noether となって矛盾です。よって $M_2 = M_1/N_0$ は Noether でない、有限生成で忠実な $B$ 加群です。

段階 3（矛盾）。 $M_2$ の部分加群がすべて有限生成であることを示します（補題 2.3 の (2) から $M_2$ が Noether となり矛盾します）。$L = 0$ は有限生成です。$0 \ne L \subseteq M_2$ とし、$L = L'/N_0$（$L' \supsetneq N_0$）と書きます。$N_0$ の極大性から $L' \notin \Sigma$ で、$M_2/L \cong M_1/L'$（第三同型定理）は忠実でないので、$0 \ne b \in B$ で $bM_2 \subseteq L$ となるものがあります。(b) から $M_1/bM_1$ は Noether で、その剰余 $M_2/bM_2 = M_1/(bM_1 + N_0)$ も Noether です（定理 3.1 の (1)）。よって部分加群 $L/bM_2$ は有限生成です（補題 2.3 の (2)）。$bM_2$ は $b\bar\omega_1, \ldots, b\bar\omega_n$ の像で生成されるので、$L$ は「$bM_2$ の生成元」と「$L/bM_2$ の生成元の $L$ への持ち上げ」で生成され、有限生成です。

以上で矛盾が得られたので $M$ は Noether で、段階 0 により $A$ も Noether です。

∎

定理 7.2（Eakin–永田の定理）✓

$B$ を Noether 環、$A$ をその部分環とし、$B$ が $A$ 加群として有限生成であるとする。このとき $A$ は Noether 環である。

証明（定理 7.2）

$M = B$ を $A$ 加群とみます。仮定から有限生成で、$a \in A$ が $aB = 0$ を満たせば $a = a \cdot 1 = 0$ なので忠実です。$A$ のイデアル $I$ について $IB$ は $B$ のイデアルで、$B$ は Noether なので、$IB$ の形の部分加群の昇鎖は止まります。補題 7.1 から $A$ は Noether です。

∎

「有限生成」は外せません。例 4.4 の 2 は Noether 環 $\mathbb{Q}[x]$ の Noether でない部分環で、$\mathbb{Q}[x]$ はその上有限生成ではありません。逆向き、すなわち $A$ が Noether で $B$ が $A$ 上有限生成なら $B$ も Noether であることは易しく、定理 3.1 の (3) から $B$ は Noether $A$ 加群で、$B$ のイデアルは $A$ 部分加群なのでその昇鎖は止まります。したがって、有限生成加群になる環の拡大 $A \subseteq B$ では「$A$ が Noether」と「$B$ が Noether」は同値です。難しいのは下に降りる向きで、その証明に忠実性と Zorn の補題が要りました。

8. 演習

演習 8.1易

$\mathbb{Z}$ 加群 $\mathbb{Z}/360$ の長さを求め、組成因子を（重複込みで）すべて挙げてください。また、定理 6.4 による環 $\mathbb{Z}/360$ の分解を書いてください。

解答

$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ です。例 5.7 の 1 と同じ鎖

$$\mathbb{Z}/360 \supsetneq 2\mathbb{Z}/360 \supsetneq 4\mathbb{Z}/360 \supsetneq 8\mathbb{Z}/360 \supsetneq 24\mathbb{Z}/360 \supsetneq 72\mathbb{Z}/360 \supsetneq 360\mathbb{Z}/360 = 0$$

の因子は順に $\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/3, \mathbb{Z}/3, \mathbb{Z}/5$ で、いずれも素数位数の巡回群なので単純です。よって $\ell_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/360) = 6$ で、組成因子は $\mathbb{Z}/2$ が 3 個、$\mathbb{Z}/3$ が 2 個、$\mathbb{Z}/5$ が 1 個です。定理 5.3 により、素因数を割る順番を変えて別の組成列を作っても、この内訳は変わりません。

$\mathbb{Z}/360$ の極大イデアルは $(2), (3), (5)$ の像の 3 個で、構造定理の分解は $\mathbb{Z}/360 \cong \mathbb{Z}/8 \times \mathbb{Z}/9 \times \mathbb{Z}/5$ です（$k$ を十分大きく取ると $\mathfrak{m}_i^k$ の像はそれぞれ $(8), (9), (5)$ の像になります）。各因子の長さ $3, 2, 1$ の和が $6$ になっていることも確かめられます。

演習 8.2標準

$A$ を Artin 環とします。$A$ の任意の元は、単元であるか零因子（ある $y \ne 0$ で $xy = 0$）であるかのどちらかであることを示してください。また $\mathbb{Z}$ ではこれが成り立たないことを確かめてください。

解答

$x \in A$ が零因子でないとし、単元であることを示します。降鎖 $(x) \supseteq (x^2) \supseteq \cdots$ は止まるので、ある $n$ で $x^n = x^{n+1}y$（$y \in A$）と書けます。$x^n(1 - xy) = 0$ です。$x$ は零因子でないので、$x \cdot z = 0$ なら $z = 0$ で、これを $n$ 回使うと $1 - xy = 0$、すなわち $xy = 1$ です。よって $x$ は単元です。（命題 6.1 の (1) の証明と同じ議論で、整域の仮定を「$x$ が零因子でない」に弱めています。）

$\mathbb{Z}$ では $2$ は単元でも零因子でもありません。これは $\mathbb{Z}$ が Artin でないことの別証明にもなります。

演習 8.3標準

$A$ を環とします。(1) $A[[x]]$ が Noether 環なら $A$ も Noether 環であることを示してください。(2) $A \ne 0$ なら $A[[x]]$ は Artin 環でないことを示してください。

解答

(1) $f \mapsto f_0$（定数項）は環の全射準同型 $A[[x]] \to A$ で、核は $xA[[x]]$ です。環の準同型定理（定理 5.1［イデアルと剰余環］）により $A \cong A[[x]]/xA[[x]]$ で、系 4.1 の (1) から $A$ は Noether です。

(2) 降鎖 $(x) \supseteq (x^2) \supseteq \cdots$ が狭義であることを示します。$x^n \in (x^{n+1})$ なら $x^n = x^{n+1}g$ で、右辺は $x^{n+1}A[[x]]$ に入るので $x^n$ の係数は $0$ ですが、左辺の $x^n$ の係数は $1 \ne 0$ です。よって降鎖は止まりません。$A$ が Noether なら $A[[x]]$ は Noether（定理 4.3）なので、定理 6.3 によれば $A[[x]]$ には極大でない素イデアルがあるはずです。たとえば $A = k$ が体なら $0$ は素イデアル（$k[[x]]$ は整域）で、極大イデアル $(x)$ に真に含まれます。

演習 8.4難

定理 6.4 の記号で、$A/\mathfrak{m}_i^k$ が局所化 $A_{\mathfrak{m}_i}$ に環として同型であることを示してください。局所化の構成と普遍性は 局所化と素イデアルのスペクトル のものを使って構いません。

解答

$\pi \colon A \to A/\mathfrak{m}_i^k$ を自然な全射、$\iota \colon A \to A_{\mathfrak{m}_i}$ を標準写像とします。

$\pi$ は $\iota$ を通る。 $s \notin \mathfrak{m}_i$ なら $\pi(s)$ は局所環 $A/\mathfrak{m}_i^k$ の唯一の極大イデアル $\mathfrak{m}_i/\mathfrak{m}_i^k$ に入らないので単元です（単元でなければ $(\pi(s))$ はある極大イデアルに含まれます）。局所化の普遍性（定理 3.4［局所化と素イデアルのスペクトル］）から、$\alpha \circ \iota = \pi$ となる環準同型 $\alpha \colon A_{\mathfrak{m}_i} \to A/\mathfrak{m}_i^k$ がただ一つあります。

$\iota$ は $\pi$ を通る。 構造定理の同型で $(0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0)$（第 $i$ 成分だけ $1$）に対応する $e \in A$ を取ります。$\pi(e) = 1$ なので $e \notin \mathfrak{m}_i$ です（$\mathfrak{m}_i \supseteq \mathfrak{m}_i^k$ の像は単元を含まない）。$z \in \mathfrak{m}_i^k$ なら、$z$ の第 $i$ 成分は $0$ で、$e$ の第 $i$ 成分以外は $0$ なので $ez = 0$ です。よって $\iota(z) = z/1 = 0$ で、$\iota$ は $\mathfrak{m}_i^k$ を $0$ に送り、$\beta \circ \pi = \iota$ となる $\beta \colon A/\mathfrak{m}_i^k \to A_{\mathfrak{m}_i}$ が得られます。

互いに逆。 $\alpha \circ \beta \circ \pi = \alpha \circ \iota = \pi$ で $\pi$ は全射なので $\alpha \circ \beta = \mathrm{id}$ です。$\beta \circ \alpha \circ \iota = \beta \circ \pi = \iota$ なので、普遍性の一意性（$\iota$ との合成が $\iota$ になる $A_{\mathfrak{m}_i}$ の自己準同型は恒等写像だけ）から $\beta \circ \alpha = \mathrm{id}$ です。

参考文献

• M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969 — Chapter 6（鎖条件と組成列）、Chapter 7（Noether 環）、Chapter 8（Artin 環）。§3〜§6 の流れはこの本に近く、証明の細部は独自に補っています。
• H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986 — §3（Noether 環と Artin 環、Eakin–永田の定理と Formanek の証明）。
• 松村英之『可換環論』共立出版、1980 — 上の英訳の原著。Noether 環・Artin 環を扱う節。
• D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 150, Springer, 1995 — Chapter 1（Hilbert の基底定理）、Chapter 2（有限の長さの加群と Artin 環）。
• E. Formanek, “Faithful Noetherian modules”, Proceedings of the American Mathematical Society 41 (1973), 381–383。
• P. M. Eakin, “The converse to a well known theorem on Noetherian rings”, Mathematische Annalen 177 (1968), 278–282。