代数体の整数環と Dedekind 整域：イデアルで素因数分解を取り戻す

0. この記事の要点

整数は素数の積に、ただ一通りに分解できます。ところが、$\sqrt{-5}$ のような数を整数に付け加えて数の世界を広げると、この「一通り」が崩れることがあります。この記事では、数ではなく「数の集まり」（イデアル）を分解することで一意性を取り戻せることを示し、そのうえで、ふつうの素数が広げた世界でどう分解するかを調べます。読み終えると、$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ や $\mathbb{Z}[i]$ のような二次体で、素数がどう分解するかを計算できるようになります。

• 代数体 $K$ の整数環 $\mathcal{O}_K$（$\mathbb{Z}$ 係数モニック多項式の根になる $K$ の元の全体）は環で、$\mathbb{Q} \cap \mathcal{O}_K = \mathbb{Z}$、かつ $K$ の中で整閉です（定理 2.3）。
• トレースの作る双線形形式が非退化であることから、$\mathcal{O}_K$ は階数 $n = [K:\mathbb{Q}]$ の自由 $\mathbb{Z}$ 加群で、判別式 $d_K$ は $0$ でない整数です（定理 3.4）。
• $\mathcal{O}_K$ は Dedekind 整域（ネーター・整閉・$0$ でない素イデアルは極大。整閉の意味は定義 定義 2.1 の末尾にあります）であり（定理 4.2）、Dedekind 整域では $0$ でないイデアルが素イデアルの積に一意に分解します（定理 4.5）。分数イデアルは群をなします（定理 4.7）。
• 素数 $p$ が $p\mathcal{O}_K = \prod \mathfrak{P}_i^{e_i}$ と分解するとき $\sum e_i f_i = n$、ガロア拡大なら $efg = n$ です（定理 5.4、定理 5.5）。$p$ が分岐することと $p \mid d_K$ は同値です（定理 6.1、定理 6.3）。
• Kummer–Dedekind の判定法（定理 7.1）は、分解を $\mathbb{F}_p[x]$ での多項式の因数分解に帰着させます。二次体ではこれで分解が完全に決まります。

この記事で使う事前知識

• ネーター環: イデアルがすべて有限個の元で生成される環のこと。→ ネーター環
• 加群: 環の元をスカラーとして掛けられるアーベル群のこと（$\mathbb{Z}$ 加群はアーベル群そのもの）。→ 加群
• 最小多項式: 体の拡大で、ある元を根に持つ $\mathbb{Q}$ 係数のモニック多項式のうち、次数が最小のもの。→ 最小多項式
• ガロア拡大: 自己同型の数が拡大次数と一致する、対称性のよい体の拡大のこと。→ ガロア拡大
• 行列式: 正方行列に定まる数で、$0$ でないことが逆行列を持つことと同値になる。→ 行列式

1. 動機

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}] = \{a + b\sqrt{-5} \mid a, b \in \mathbb{Z}\}$ では

$$6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5})$$

と、$6$ が本質的に異なる 2 通りに分解します（4 つの因子がどれもそれ以上分解しないことは 例 8.3 で確かめます）。整除と素因数分解 で見た素因数分解の一意性は、整数を少し広げただけで壊れてしまいます。これは 19 世紀に Fermat の最終定理への取り組みの中で見つかった現象で、Kummer は「理想数」を導入してこれを救い、Dedekind がそれをイデアルとして定式化しました。

本記事の主張は、元ではなくイデアルを分解すれば一意性が戻る、というものです（上の例の 2 通りの分解は、同じイデアル分解 $\mathfrak{p}^2\mathfrak{q}\mathfrak{q}'$ の異なるまとめ方になります）。そのために必要な環の性質（Dedekind 整域）を抽出し、整数環がそれを満たすことを示すのが前半、素数 $p$ が $\mathcal{O}_K$ でどう分解するかを調べるのが後半です。

既出の章から使うもの。 環・イデアル・剰余環（イデアルと剰余環）、有限生成アーベル群と PID 上の加群（PID 上の加群）、体の拡大とガロア理論（ガロア理論への招待）、行列式です。本記事を通して、代数体とは $\mathbb{C}$ の部分体 $K$ で $n = [K:\mathbb{Q}]$ が有限のものとします。

2. 整数環

定義 2.1（代数的整数と整数環）↗

複素数 $\alpha$ が $\mathbb{Z}$ 係数のモニック多項式の根であるとき、$\alpha$ を代数的整数という。代数的整数の全体を $\overline{\mathbb{Z}}$、代数体 $K$ について $\mathcal{O}_K := K \cap \overline{\mathbb{Z}}$ を $K$ の整数環と書く。一般に整域 $A$ がその商体 $F$ の中で整閉であるとは、$A$ 係数のモニック多項式の根になる $F$ の元が $A$ に属することをいう。

補題 2.2（加群による整性の判定）✓

$\gamma \in \mathbb{C}$ とし、$\mathbb{C}$ の $0$ でない有限生成な加法部分群 $M$ で $\gamma M \subseteq M$ を満たすものがあるとする。このとき $\gamma$ は代数的整数である。

証明（補題 2.2）

$M$ は有限生成アーベル群で、$\mathbb{C}$ の中にあるので位数有限の元は $0$ だけです。系 6.1［加群と PID 上の構造定理］ により $M \cong \mathbb{Z}^k$（$k \ge 1$）で、基底 $m_1, \ldots, m_k$ が取れます。$\gamma m_i = \sum_j c_{ij} m_j$（$c_{ij} \in \mathbb{Z}$）と書き $C = (c_{ij})$ とおくと、$\boldsymbol{m} = (m_1, \ldots, m_k)^{\mathsf{T}} \neq 0$ について $(\gamma I - C)\boldsymbol{m} = 0$ です。定理 7.1［行列式とその性質］ により $\det(\gamma I - C) = 0$。ライプニッツの公式で展開すると、$\det(xI - C)$ は恒等置換の項 $\prod_i (x - c_{ii})$ だけが $x^k$ を含むので、$\mathbb{Z}$ 係数の $k$ 次モニック多項式です。よって $\gamma$ は代数的整数です。

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定理 2.3（整数環の基本性質）✓

$K$ を代数体とする。

1. $\overline{\mathbb{Z}}$ は $\mathbb{C}$ の部分環であり、$\mathcal{O}_K$ は $K$ の部分環である。
2. 任意の $\alpha \in K$ に対し、$d\alpha \in \mathcal{O}_K$ となる正の整数 $d$ がある。特に $\mathcal{O}_K$ の商体は $K$ である。
3. $\mathcal{O}_K \cap \mathbb{Q} = \mathbb{Z}$。
4. $\mathcal{O}_K$ は $K$ の中で整閉である。

証明（定理 2.3）

1. $\alpha, \beta \in \overline{\mathbb{Z}}$ がそれぞれ $a$ 次、$b$ 次の $\mathbb{Z}$ 係数モニック多項式の根だとします。$M = \sum_{0 \le i \lt a,\, 0 \le j \lt b} \mathbb{Z}\,\alpha^i\beta^j$ は有限生成で $1$ を含みます。$\alpha^a$ は $1, \alpha, \ldots, \alpha^{a-1}$ の整数係数一次結合なので $\alpha M \subseteq M$、同様に $\beta M \subseteq M$ で、したがって $(\alpha \pm \beta)M \subseteq M$、$\alpha\beta M \subseteq M$ です。補題 2.2 から $\alpha \pm \beta$、$\alpha\beta$ は代数的整数です。$\mathcal{O}_K$ は二つの部分環の共通部分なので部分環です。
2. $\alpha$ は $\mathbb{Q}$ 上代数的なので、分母を払って $a_m\alpha^m + a_{m-1}\alpha^{m-1} + \cdots + a_0 = 0$（$a_i \in \mathbb{Z}$、$a_m \geq 1$）と書けます。両辺に $a_m^{m-1}$ を掛けると、$a_m\alpha$ は $x^m + a_{m-1}x^{m-1} + a_m a_{m-2}x^{m-2} + \cdots + a_m^{m-1}a_0$ の根です。$d = a_m$ とすればよく、$\alpha = (d\alpha)/d$ なので商体は $K$ です。
3. 既約分数 $u/v$（$v \ge 1$）が $x^m + c_{m-1}x^{m-1} + \cdots + c_0$（$c_i \in \mathbb{Z}$）の根なら、$v^m$ を掛けて $u^m = -v(c_{m-1}u^{m-1} + \cdots + c_0v^{m-1})$。$v$ の素因数 $p$ は $u^m$ を割り、ユークリッドの補題 補題 2.2［整除と素因数分解］ から $u$ も割って既約性に反します。よって $v = 1$ です。
4. $\alpha \in K$ が $x^m + a_{m-1}x^{m-1} + \cdots + a_0$（$a_i \in \mathcal{O}_K$）の根だとします。各 $a_i$ が $k_i$ 次の整数係数モニック多項式の根であるとき、$a_0^{j_0}\cdots a_{m-1}^{j_{m-1}}\alpha^j$（$0 \le j_i \lt k_i$、$0 \le j \lt m$）が生成する $M$ は有限生成で、1 と同じ理由で $\alpha M \subseteq M$ です。補題 2.2 より $\alpha \in \overline{\mathbb{Z}} \cap K = \mathcal{O}_K$。

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命題 2.4（代数的整数の最小多項式）✓

$\alpha \in \overline{\mathbb{Z}}$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式 $g$ は $\mathbb{Z}$ 係数であり、$g$ の複素根はすべて代数的整数である。逆に、$\mathbb{Q}$ 上の最小多項式が $\mathbb{Z}$ 係数である複素数は代数的整数である。

証明（命題 2.4）

$\alpha$ を根に持つ $\mathbb{Z}$ 係数モニック多項式 $h$ は、代入の核に属するので $g$ で割り切れます（命題 6.2［多項式環と体の拡大］）。よって $g$ の根は $h$ の根で、代数的整数です。$g$ の係数は根の基本対称式の $\pm 1$ 倍なので、定理 2.3 の 1 から $\overline{\mathbb{Z}} \cap \mathbb{Q}$ に属し、同じ定理の 3（$K = \mathbb{Q}$ の場合）により整数です。逆は定義そのものです。

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3. トレース・ノルム・判別式

この節の目標は、$\mathcal{O}_K$ が $\mathbb{Z}^n$ と同じ形の加群であること（整基底の存在）を示すことです。そのために、$K$ の元を複素数へ写す体の準同型（埋め込み）をすべて集め、その値の和（トレース）と積（ノルム）から判別式という数を作ります。判別式が $0$ でないことが、整基底を取り出す鍵になります。

補題 3.1（埋め込みの個数）✓

$K$ を次数 $n$ の代数体とする。体の準同型 $K \to \mathbb{C}$（埋め込み）はちょうど $n$ 個ある。さらに $\alpha \in K$ の最小多項式 $g$ の次数を $d$ とすると、$n$ 個の埋め込み $\sigma$ について値 $\sigma(\alpha)$ を重複込みで並べたものは、$g$ の $d$ 個の相異なる根をそれぞれ $n/d$ 回ずつ並べたものに一致する。

証明（補題 3.1）

$K = \mathbb{Q}(\alpha_1, \ldots, \alpha_k)$ と書き、$f$ を $\alpha_i$ たちの最小多項式の積、$L \subseteq \mathbb{C}$ を $f$ の根全体で $\mathbb{Q}$ 上生成される体とします。$L$ は $f$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体で、$K \subseteq L$ なので $K$ 上の最小分解体でもあります。埋め込み $\tau: K \to \mathbb{C}$ は $\alpha_i$ を $f$ の根に送るので $\tau(K) \subseteq L$ で、$L$ は $\tau(K)$ 上の $f$ の最小分解体です。補題 7.5［ガロア理論への招待］ を $\tau : K \to \tau(K)$ に適用すると、各 $\tau$ は $L \to L$ にちょうど $[L:K]$ 通りに延長されます。また $\mathrm{id}_{\mathbb{Q}}$ を延長する $L \to L$ はちょうど $[L:\mathbb{Q}]$ 個で、それぞれ $K$ への制限によって一つの $\tau$ に属します。したがって $\tau$ の個数は $[L:\mathbb{Q}]/[L:K] = [K:\mathbb{Q}] = n$ です（命題 2.3［ガロア理論への招待］）。

同じ数え方を $\mathbb{Q}(\alpha)$ に使うと、その埋め込みは $d$ 個です。埋め込みは $\alpha$ の行き先（$g$ の根）で決まり、$g$ は標数 $0$ の既約多項式なので根は相異なる（命題 6.11［多項式環と体の拡大］）ので、各根にちょうど一つずつ対応します。さらに、$\mathbb{Q}(\alpha)$ の埋め込み $\rho$ を延長する $L \to L$ は $[L:\mathbb{Q}(\alpha)]$ 個で、上と同様に $K$ への制限でまとめると、$\rho$ を延長する $K$ の埋め込みは $[L:\mathbb{Q}(\alpha)]/[L:K] = n/d$ 個です。

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定義 3.2（トレースとノルム）↗

$K$ の埋め込みを $\sigma_1, \ldots, \sigma_n$ とする。$\alpha \in K$ に対し

$$\mathrm{Tr}(\alpha) := \sum_{i=1}^n \sigma_i(\alpha), \qquad N(\alpha) := \prod_{i=1}^n \sigma_i(\alpha)$$

をそれぞれ $\alpha$ のトレース、ノルムという（$\mathrm{Tr}_{K/\mathbb{Q}}$、$N_{K/\mathbb{Q}}$ とも書く）。$\omega_1, \ldots, \omega_n \in K$ に対し $d(\omega_1, \ldots, \omega_n) := \det\bigl(\mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j)\bigr)_{i,j}$ を判別式という。

命題 3.3（トレースとノルムの性質）✓

$K$ を次数 $n$ の代数体とする。

1. $\alpha \in K$ の最小多項式を $g$、次数を $d$ とすると $\prod_i (x - \sigma_i(\alpha)) = g(x)^{n/d}$。特に $\mathrm{Tr}(\alpha), N(\alpha) \in \mathbb{Q}$ であり、$\alpha \in \mathcal{O}_K$ なら $\mathrm{Tr}(\alpha), N(\alpha) \in \mathbb{Z}$ である。
2. $\mathrm{Tr}$ は $\mathbb{Q}$ 線形、$N$ は乗法的で、$\alpha \neq 0$ なら $N(\alpha) \neq 0$ である。
3. $0 \neq \alpha \in \mathcal{O}_K$ ならば $N(\alpha) \in \alpha\mathcal{O}_K$。
4. $\omega_1, \ldots, \omega_n$ を $K$ の $\mathbb{Q}$ 基底とすると $d(\omega) \neq 0$ であり、$\Omega = (\sigma_i(\omega_j))_{i,j}$ について $d(\omega) = (\det\Omega)^2$。$\omega' = P\omega$（$P \in M_n(\mathbb{Q})$、$\omega'_i = \sum_j p_{ij}\omega_j$）ならば $d(\omega') = (\det P)^2 d(\omega)$。
5. 4 の基底について、$\alpha\omega_j = \sum_k a_{kj}\omega_k$ で定まる行列 $A_\alpha = (a_{kj})$（$\alpha$ 倍写像の表現行列）は $\mathrm{tr}\,A_\alpha = \mathrm{Tr}(\alpha)$、$\det A_\alpha = N(\alpha)$ を満たす。

証明（命題 3.3）

1. 前半は 補題 3.1 の言い換えです。$g \in \mathbb{Q}[x]$ なので $g^{n/d}$ の係数 $-\mathrm{Tr}(\alpha)$、$(-1)^nN(\alpha)$ は有理数です。$\alpha \in \mathcal{O}_K$ なら 命題 2.4 により $g \in \mathbb{Z}[x]$ で、係数は整数です。

2. 各 $\sigma_i$ は $\mathbb{Q}$ 上線形かつ乗法的なので明らかです。$\sigma_i$ は体の準同型なので単射で、$\alpha \neq 0$ なら各因子が $0$ でありません。

3. 埋め込みの一つは包含写像 $\iota$ です。$\beta := N(\alpha)/\alpha = \prod_{\sigma_i \neq \iota}\sigma_i(\alpha)$ は $K$ の元で、各 $\sigma_i(\alpha)$ は $\alpha$ と同じモニック多項式の根なので代数的整数、したがって 定理 2.3 の 1 により $\beta \in \overline{\mathbb{Z}} \cap K = \mathcal{O}_K$。$N(\alpha) = \alpha\beta$ です。

4. $(\Omega^{\mathsf{T}}\Omega)_{ij} = \sum_k \sigma_k(\omega_i)\sigma_k(\omega_j) = \mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j)$ なので、積の定理（定理 6.1［行列式とその性質］）と転置不変性（命題 3.3［行列式とその性質］）から $d(\omega) = (\det\Omega)^2$。同様に $\bigl(\mathrm{Tr}(\omega'_i\omega'_j)\bigr) = P\bigl(\mathrm{Tr}(\omega_k\omega_l)\bigr)P^{\mathsf{T}}$ から変換則が出ます。$d(\omega) = 0$ と仮定すると、定理 7.1［行列式とその性質］（体 $\mathbb{Q}$ 上）により $0$ でない $c \in \mathbb{Q}^n$ で $\sum_j \mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j)c_j = 0$（すべての $i$）となるものがあります。$x = \sum_j c_j\omega_j \neq 0$ は $\mathrm{Tr}(\omega_i x) = 0$ を満たし、線形性からすべての $y \in K$ で $\mathrm{Tr}(yx) = 0$。$y = x^{-1}$ とすると $\mathrm{Tr}(1) = n = 0$ となって矛盾です。

5. $\alpha\omega_j = \sum_k a_{kj}\omega_k$ に $\sigma_i$ を施すと $\sigma_i(\alpha)\Omega_{ij} = \sum_k \Omega_{ik}a_{kj}$、すなわち $D\Omega = \Omega A_\alpha$（$D = \mathrm{diag}(\sigma_i(\alpha))$）です。4 により $\Omega$ は正則なので $A_\alpha = \Omega^{-1}D\Omega$ で、トレースと行列式は相似で変わらないので（命題 2.2［対角化とジョルダン標準形］） $\mathrm{tr}\,A_\alpha = \sum_i\sigma_i(\alpha)$、$\det A_\alpha = \prod_i\sigma_i(\alpha)$ です。

∎

整基底の存在の証明の方針は次のとおりです。$K$ の基底からトレース形式の双対基底を作ると、$\mathcal{O}_K$ は、階数が $n$ の二つの自由 $\mathbb{Z}$ 加群ではさまれます。PID 上の加群の部分加群は自由なので、$\mathcal{O}_K$ も自由で、階数は $n$ になります。

定理 3.4（整基底の存在と判別式）✓

$K$ を次数 $n$ の代数体とする。

1. $\mathcal{O}_K$ は階数 $n$ の自由 $\mathbb{Z}$ 加群である。その基底（整基底）$\omega_1, \ldots, \omega_n$ は $K$ の $\mathbb{Q}$ 基底でもある。
2. $d_K := d(\omega_1, \ldots, \omega_n)$ は整基底の取り方によらない $0$ でない整数である。これを $K$ の判別式という。
3. $\beta_i = \sum_j p_{ij}\omega_j$（$P = (p_{ij}) \in M_n(\mathbb{Z})$、$\det P \neq 0$）が生成する部分群 $M$ について、$[\mathcal{O}_K : M] = |\det P|$、$d(\beta) = [\mathcal{O}_K:M]^2 d_K$ である。
4. $0 \neq \alpha \in \mathcal{O}_K$ ならば $[\mathcal{O}_K : \alpha\mathcal{O}_K] = |N(\alpha)|$。

証明（定理 3.4）

1. $K$ の $\mathbb{Q}$ 基底を取り、定理 2.3 の 2 で整数倍して $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathcal{O}_K$ とします。命題 3.3 の 4 よりグラム行列 $G = (\mathrm{Tr}(\alpha_i\alpha_j))$ は正則なので、$\alpha^{*} := G^{-1}\alpha$ とおくと $\mathrm{Tr}(\alpha_i\alpha_j^{*}) = \delta_{ij}$ です（双対基底）。$\beta \in \mathcal{O}_K$ を $\beta = \sum_j c_j\alpha_j^{*}$ と書くと $c_j = \mathrm{Tr}(\beta\alpha_j) \in \mathbb{Z}$（命題 3.3 の 1）。よって $\sum_i \mathbb{Z}\alpha_i \subseteq \mathcal{O}_K \subseteq \sum_j \mathbb{Z}\alpha_j^{*} \cong \mathbb{Z}^n$ です。定理 3.1［加群と PID 上の構造定理］ により $\mathcal{O}_K$ は $m \le n$ 個の元を基底とする自由加群です。その基底は $\mathbb{Z}$ 上一次独立なので（分母を払えば）$\mathbb{Q}$ 上も一次独立で、$\mathcal{O}_K$ は $\mathbb{Q}$ 上一次独立な $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ を含むので $m \ge n$。よって $m = n$ で、基底は $K$ の $\mathbb{Q}$ 基底です。

2. 整基底どうしは互いに整数行列 $P$、$P^{-1}$ で移り合うので $\det P \cdot \det P^{-1} = 1$ から $\det P = \pm1$、命題 3.3 の 4 で $d$ は変わりません。$\mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j) \in \mathbb{Z}$ なので $d_K \in \mathbb{Z}$、$\neq 0$ も 命題 3.3 の 4 です。

3. 整基底で $\mathcal{O}_K \cong \mathbb{Z}^n$ と同一視すると、$M$ は整数行列 $Q = P^{\mathsf{T}}$ の列が生成する部分群です。スミス標準形 定理 4.1［加群と PID 上の構造定理］ により $Q = UDV$（$U, V$ は $\mathbb{Z}$ 上可逆、$D = \mathrm{diag}(d_1, \ldots, d_n)$）と書け、$\det Q \neq 0$ よりすべての $d_i \neq 0$ です。$V\mathbb{Z}^n = \mathbb{Z}^n$ なので $M = UD\mathbb{Z}^n$、$U$ による同型で $\mathbb{Z}^n/M \cong \mathbb{Z}^n/D\mathbb{Z}^n \cong \bigoplus_i \mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z}$。位数は $\prod|d_i| = |\det D| = |\det Q| = |\det P|$ です。後半は 命題 3.3 の 4 です。

4. $\alpha\mathcal{O}_K$ は $\alpha\omega_j = \sum_k a_{kj}\omega_k$ で生成され、$A_\alpha$ は整数行列です。3 と 命題 3.3 の 5 から $[\mathcal{O}_K:\alpha\mathcal{O}_K] = |\det A_\alpha| = |N(\alpha)|$。

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4 は「ノルムは主イデアルで割った剰余環の大きさ」という幾何的な意味をノルムに与えます。たとえば $\mathbb{Z}[i]$ で $\alpha = 2 + i$ なら $N(\alpha) = 5$ で、$\mathbb{Z}[i]/(2+i)$ は 5 元の体 $\mathbb{F}_5$ です。

4. Dedekind 整域とイデアルの素因数分解

定義 4.1（Dedekind 整域）↗

体でない整域 $A$ が次の 3 条件を満たすとき、Dedekind 整域という。(i) ネーター環である（定義 5.1［多項式環と体の拡大］）。(ii) 商体の中で整閉である。(iii) $0$ でない素イデアルはすべて極大イデアルである。

定理 4.2（整数環は Dedekind 整域）✓

代数体 $K$ の整数環 $\mathcal{O}_K$ は Dedekind 整域である。さらに $0$ でない任意のイデアル $I$ について $\mathcal{O}_K/I$ は有限環である。

証明（定理 4.2）

$1/2 \notin \mathcal{O}_K$（定理 2.3 の 3）なので体ではありません。(ii) は 定理 2.3 の 2・4 です。(i)：イデアル $I$ は $\mathcal{O}_K \cong \mathbb{Z}^n$（定理 3.4）の部分群なので 定理 3.1［加群と PID 上の構造定理］ により有限生成アーベル群で、その生成元はイデアルとしても $I$ を生成します。命題 5.2［多項式環と体の拡大］ からネーター環です。有限性と (iii)：$0 \neq \alpha \in I$ を取ると 命題 3.3 の 3 より $m := |N(\alpha)| \in I$ は正の整数です。$m\mathcal{O}_K \subseteq I$ で、$\mathcal{O}_K/m\mathcal{O}_K \cong (\mathbb{Z}/m)^n$ は $m^n$ 元なので、その商 $\mathcal{O}_K/I$ も有限です。$I$ が素イデアルなら $\mathcal{O}_K/I$ は有限整域なので体（定理 5.3［環と体の基礎］）、よって $I$ は極大です（定理 6.3［イデアルと剰余環］）。

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以下この節では、$A$ を Dedekind 整域、$F$ をその商体とします。イデアル $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ の積 $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ は $ab$（$a \in \mathfrak{a}$、$b \in \mathfrak{b}$）の有限和の全体です。素イデアル $\mathfrak{p}$ が積 $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ を含めば $\mathfrak{a}$ か $\mathfrak{b}$ を含みます（$a \in \mathfrak{a} \setminus \mathfrak{p}$、$b \in \mathfrak{b} \setminus \mathfrak{p}$ があれば $ab \in \mathfrak{p}$ に反します）。この事実を何度も使います。

補題 4.3（素イデアルの積を含む）✓

$A$ の $0$ でない任意のイデアルは、$0$ でない素イデアルの有限個の積を含む。

証明（補題 4.3）

主張が成り立たないイデアルの全体 $\Sigma$ が空でないと仮定します。$A$ はネーター環なので $\Sigma$ には極大元 $\mathfrak{a}$ があります（極大元がなければ $\Sigma$ の中に止まらない昇鎖が作れます）。$\mathfrak{a}$ は素イデアルでなく（素イデアルなら自分自身を含む）、$A$ でもありません（$A$ は体でないので $0$ でない極大イデアルを持ち、それを含む）。よって $b, c \notin \mathfrak{a}$ で $bc \in \mathfrak{a}$ となるものがあります。$\mathfrak{a} + bA$ と $\mathfrak{a} + cA$ は $\mathfrak{a}$ より真に大きいので $\Sigma$ に属さず、それぞれ素イデアルの積を含みます。ところが $(\mathfrak{a} + bA)(\mathfrak{a} + cA) \subseteq \mathfrak{a} + bcA = \mathfrak{a}$ なので、$\mathfrak{a}$ も二つの積の積を含み、矛盾です。

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次の補題は、素イデアル $\mathfrak{p}$ に「逆」を与えるためのものです。整数 $p$ に対する $1/p$ にあたる $\mathfrak{p}^{-1}$ を考え、$\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1} = A$ となることを示すのが目標です。逆があるとイデアルを「割る」ことができ、素イデアルへの分解の存在と一意性の証明に使えます。

補題 4.4（素イデアルの逆）✓

$\mathfrak{p}$ を $A$ の $0$ でない素イデアルとし、$\mathfrak{p}^{-1} := \{x \in F \mid x\mathfrak{p} \subseteq A\}$ とおく。

1. $\mathfrak{p}^{-1} \neq A$（$A \subseteq \mathfrak{p}^{-1}$ は明らか）。
2. $0$ でない任意のイデアル $\mathfrak{a}$ について $\mathfrak{a} \subsetneq \mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1}$。ここで $\mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1}$ は $ax$（$a \in \mathfrak{a}$、$x \in \mathfrak{p}^{-1}$）の有限和の全体である。
3. $\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1} = A$。

証明（補題 4.4）

1. $0 \neq a \in \mathfrak{p}$ を取ります。補題 4.3 により $aA \supseteq \mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_r$ となる $0$ でない素イデアルがあり、$r$ を最小に取ります。$\mathfrak{p} \supseteq \mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_r$ なので、ある $\mathfrak{p}_i$、たとえば $\mathfrak{p}_1$ が $\mathfrak{p}$ に含まれ、条件 (iii) から $\mathfrak{p}_1$ は極大なので $\mathfrak{p}_1 = \mathfrak{p}$ です。$r$ の最小性から $\mathfrak{p}_2\cdots\mathfrak{p}_r \not\subseteq aA$（$r = 1$ のときは空積 $A$ と読む）なので、$b \in \mathfrak{p}_2\cdots\mathfrak{p}_r \setminus aA$ が取れます。$b\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_r \subseteq aA$ なので $b/a \in \mathfrak{p}^{-1}$ ですが、$b \notin aA$ より $b/a \notin A$ です。

2. $\mathfrak{a} = \mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1}$ と仮定し、1 の $x \in \mathfrak{p}^{-1} \setminus A$ を取ります。$\mathfrak{a}$ の生成元 $a_1, \ldots, a_k$（ネーター性）について $xa_i \in \mathfrak{a}$ なので $xa_i = \sum_j c_{ij}a_j$（$c_{ij} \in A$）。体 $F$ 上で 補題 2.2 の証明と同じ計算をすると $\det(xI - C) = 0$ で、$x$ は $A$ 係数のモニック多項式の根です。$A$ は整閉なので $x \in A$ となり矛盾です。

3. $\mathfrak{p} \subseteq \mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1} \subseteq A$ で、$\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1}$ はイデアルです。2 からこれは $\mathfrak{p}$ と異なり、$\mathfrak{p}$ は極大なので $A$ に等しくなります。

∎

定理 4.5（イデアルの素イデアル分解）✓

Dedekind 整域 $A$ の $0$ でも $A$ でもないイデアル $\mathfrak{a}$ は、$0$ でない素イデアルの積 $\mathfrak{a} = \mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_r$ に書け、この表示は因子の順序を除いて一意である。

証明（定理 4.5）

存在。 素イデアルの積に書けない $0$ でない真のイデアルがあるとして、ネーター性からそのうち極大なもの $\mathfrak{a}$ を取ります。$\mathfrak{a}$ を含む極大イデアル $\mathfrak{p}$ を取ると（同じくネーター性から存在します）、補題 4.4 から

$$\mathfrak{a} \subsetneq \mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1} \subseteq \mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1} = A$$

で、$\mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1}$ は $A$ のイデアルです。$\mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1} = A$ なら $\mathfrak{a} = \mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{p} = \mathfrak{p}$ で、$\mathfrak{a}$ は素イデアルそのものです。そうでなければ $\mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1}$ は $\mathfrak{a}$ より大きい真のイデアルなので素イデアルの積に書け、$\mathfrak{a} = (\mathfrak{a}\mathfrak{p}^{-1})\mathfrak{p}$ も積に書けます。どちらも $\mathfrak{a}$ の選び方に反します。

一意性。 $\mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_r = \mathfrak{q}_1\cdots\mathfrak{q}_s$ とし、$r$ に関する帰納法で示します。$\mathfrak{p}_1$ は右辺を含むので、ある $\mathfrak{q}_j$ を含み、$\mathfrak{q}_j$ は極大なので $\mathfrak{p}_1 = \mathfrak{q}_j$ です。両辺に $\mathfrak{p}_1^{-1}$ を掛けると、補題 4.4 の 3 により $\mathfrak{p}_2\cdots\mathfrak{p}_r = \prod_{k \neq j}\mathfrak{q}_k$ となり、帰納法の仮定に帰着します（$r = 1$ のとき、右辺に残る因子があれば左辺 $A$ がその素イデアルに含まれて矛盾）。

∎

定義 4.6（分数イデアル）↗

$F$ の $0$ でない $A$ 部分加群 $\mathfrak{a}$ で、ある $0 \neq d \in A$ について $d\mathfrak{a} \subseteq A$ となるものを分数イデアルという。$0$ でないイデアル（整イデアル）や $\mathfrak{p}^{-1}$、$xA$（$x \in F^{\times}$、単項分数イデアル）は分数イデアルである。積はイデアルと同様に定める。

定理 4.7（分数イデアルの群）✓

1. 分数イデアルの全体は積について $A$ を単位元とするアーベル群をなし、$\mathfrak{p}$ の逆元は $\mathfrak{p}^{-1}$ である。
2. 任意の分数イデアル $\mathfrak{a}$ は、有限個を除いて $0$ の整数 $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a})$ により $\mathfrak{a} = \prod_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}^{v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a})}$ と一意に表される（$\mathfrak{p}$ は $0$ でない素イデアル全体を動く）。
3. $\mathfrak{a} \subseteq A$ であることと、すべての $\mathfrak{p}$ で $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a}) \ge 0$ であることは同値である。
4. 整イデアル $\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ について、$\mathfrak{a} \supseteq \mathfrak{b}$ ⇔ すべての $\mathfrak{p}$ で $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a}) \le v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{b})$ ⇔ $\mathfrak{b} = \mathfrak{a}\mathfrak{c}$ となる整イデアル $\mathfrak{c}$ がある（含むことは割ること）。

証明（定理 4.7）

1・2. 積が結合的・可換で $A$ が単位元なのは明らかです。定理 4.5 と 補題 4.4 の 3 から、整イデアル $\mathfrak{b} = \mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_r$ は逆元 $\mathfrak{p}_1^{-1}\cdots\mathfrak{p}_r^{-1}$ を持ちます。分数イデアル $\mathfrak{a}$ で $d\mathfrak{a} \subseteq A$ なら、$(dA)\mathfrak{a} = d\mathfrak{a}$ と $dA$ はともに整イデアルで、$\mathfrak{a} = (dA)^{-1}(d\mathfrak{a})$ は可逆元の積なので可逆、しかも素イデアルとその逆の積で書けます。表示の一意性：$\prod\mathfrak{p}^{a_{\mathfrak{p}}} = \prod\mathfrak{p}^{b_{\mathfrak{p}}}$ なら、両辺に十分大きな $\prod\mathfrak{p}^{c_{\mathfrak{p}}}$ を掛けて指数をすべて $0$ 以上にし、定理 4.5 の一意性を使えば $a_{\mathfrak{p}} = b_{\mathfrak{p}}$ です。

3. 指数がすべて $0$ 以上なら $\mathfrak{a}$ は整イデアルの積なので $A$ に含まれます。逆に $\mathfrak{a} \subseteq A$ なら $\mathfrak{a}$ は整イデアルで、定理 4.5 の分解（$\mathfrak{a} = A$ なら空積）の指数は $0$ 以上、一意性からそれが $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a})$ です。

4. $\mathfrak{c} := \mathfrak{a}^{-1}\mathfrak{b}$ とおきます。$\mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{a}$ なら両辺に $\mathfrak{a}^{-1}$ を掛けて $\mathfrak{c} \subseteq A$、逆に $\mathfrak{c} \subseteq A$ なら $\mathfrak{a}$ を掛けて $\mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{a}$。3 により $\mathfrak{c} \subseteq A$ は $v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{b}) - v_{\mathfrak{p}}(\mathfrak{a}) \ge 0$ と同値です。

∎

系 4.8（付値）✓

$x \in F^{\times}$ に対し $v_{\mathfrak{p}}(x) := v_{\mathfrak{p}}(xA)$ とおく。$v_{\mathfrak{p}} : F^{\times} \to \mathbb{Z}$ は準同型で、$x \in A$ ⇔ すべての $\mathfrak{p}$ で $v_{\mathfrak{p}}(x) \ge 0$、$x \in A^{\times}$ ⇔ すべての $\mathfrak{p}$ で $v_{\mathfrak{p}}(x) = 0$ が成り立つ。

証明（系 4.8）

$(xA)(yA) = xyA$ と 定理 4.7 の 2 の一意性から $v_{\mathfrak{p}}(xy) = v_{\mathfrak{p}}(x) + v_{\mathfrak{p}}(y)$。$x \in A$ ⇔ $xA \subseteq A$ なので、前半は 定理 4.7 の 3 です。$x \in A^{\times}$ は $x, x^{-1} \in A$ と同値で、$v_{\mathfrak{p}}(x^{-1}) = -v_{\mathfrak{p}}(x)$ です。

∎

分数イデアルの群を単項分数イデアルの部分群で割った商群がイデアル類群 $\mathrm{Cl}(A)$ です。$\mathrm{Cl}(A)$ が自明であることと $A$ が単項イデアル整域であることは同値で、イデアル類群は「元の素因数分解の一意性がどれだけ壊れているか」を測ります。整数環の類群が有限であることは次の記事 イデアル類群の有限性と Minkowski 限界 で示します。

5. 素イデアルの分解

ここから $A = \mathcal{O}_K$ に戻ります。$\mathcal{O}_K$ の $0$ でない素イデアル $\mathfrak{P}$ について、$\mathfrak{P} \cap \mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ の素イデアルで、$1$ を含まず、正の整数 $|N(\alpha)|$（$0 \neq \alpha \in \mathfrak{P}$）を含むので、ある素数 $p$ について $p\mathbb{Z}$ です。このとき $\mathfrak{P}$ は $p$ の上にあるといい、定理 4.7 の 4 から $\mathfrak{P}$ は $p\mathcal{O}_K$ の素因子です。

定義 5.1（分岐指数・剰余次数・イデアルのノルム）↗

素数 $p$ について $p\mathcal{O}_K = \mathfrak{P}_1^{e_1}\cdots\mathfrak{P}_g^{e_g}$（$\mathfrak{P}_i$ は相異なる）と分解するとき、$e_i = e(\mathfrak{P}_i \mid p)$ を分岐指数、有限体 $\mathcal{O}_K/\mathfrak{P}_i$ の $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上の次数 $f_i = f(\mathfrak{P}_i \mid p)$ を剰余次数という。ある $e_i \ge 2$ のとき $p$ は $K$ で分岐するという。$0$ でない整イデアル $\mathfrak{a}$ のノルムを $N\mathfrak{a} := |\mathcal{O}_K/\mathfrak{a}|$ と定める（定理 4.2 により有限）。

補題 5.2（中国剰余定理（環））✓

可換環 $R$ のイデアル $\mathfrak{a}_1, \ldots, \mathfrak{a}_r$ が、$i \neq j$ で $\mathfrak{a}_i + \mathfrak{a}_j = R$ を満たすとする。このとき $\mathfrak{a}_1\cdots\mathfrak{a}_r = \mathfrak{a}_1 \cap \cdots \cap \mathfrak{a}_r$ であり、$R/\mathfrak{a}_1\cdots\mathfrak{a}_r \cong \prod_i R/\mathfrak{a}_i$ である。

証明（補題 5.2）

まず $\mathfrak{a}_1 + \mathfrak{a}_2\cdots\mathfrak{a}_r = R$ です。実際 $1 = x_j + y_j$（$x_j \in \mathfrak{a}_1$、$y_j \in \mathfrak{a}_j$）と書くと $y_2\cdots y_r = \prod_j(1 - x_j) \in 1 + \mathfrak{a}_1$ です。次に $\mathfrak{a} + \mathfrak{b} = R$ なら $\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b} = \mathfrak{a}\mathfrak{b}$：$\supseteq$ は明らかで、$1 = x + y$（$x \in \mathfrak{a}$、$y \in \mathfrak{b}$）なら $z \in \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$ は $z = zx + zy \in \mathfrak{b}\mathfrak{a} + \mathfrak{a}\mathfrak{b}$ です。この二つから帰納法で積と共通部分が一致します。写像 $R \to \prod_i R/\mathfrak{a}_i$ の核は $\bigcap_i\mathfrak{a}_i$ です。全射性：上と同様に $1 = x_i + y_i$（$x_i \in \mathfrak{a}_i$、$y_i \in \prod_{j \neq i}\mathfrak{a}_j$）と書くと $y_i \equiv 1 \pmod{\mathfrak{a}_i}$、$y_i \equiv 0 \pmod{\mathfrak{a}_j}$（$j \neq i$）なので、$\sum_i r_iy_i$ が任意の $(r_i \bmod \mathfrak{a}_i)$ に写ります。環の準同型定理（定理 5.1［イデアルと剰余環］）から主張を得ます。

∎

命題 5.3（イデアルのノルムの性質）✓

1. 相異なる素イデアル $\mathfrak{P} \neq \mathfrak{Q}$ と $a, b \ge 1$ について $\mathfrak{P}^a + \mathfrak{Q}^b = \mathcal{O}_K$。
2. 素イデアル $\mathfrak{P}$ と $e \ge 1$ について $N(\mathfrak{P}^e) = (N\mathfrak{P})^e$。
3. $N(\mathfrak{a}\mathfrak{b}) = N\mathfrak{a}\,N\mathfrak{b}$。また $0 \neq \alpha \in \mathcal{O}_K$ について $N(\alpha\mathcal{O}_K) = |N(\alpha)|$。
4. $N\mathfrak{a} \in \mathfrak{a}$。

証明（命題 5.3）

1. $\mathfrak{c} = \mathfrak{P}^a + \mathfrak{Q}^b$ は両方を含むので、定理 4.7 の 4 から両方を割ります。$\mathfrak{c}$ の素因子は $\mathfrak{P}$ でも $\mathfrak{Q}$ でもなければなりませんが、$\mathfrak{P} \neq \mathfrak{Q}$ なので $\mathfrak{c}$ は素因子を持たず、$\mathfrak{c} = \mathcal{O}_K$ です。

2. 列 $\mathcal{O}_K \supseteq \mathfrak{P} \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{P}^e$ の各段 $\mathfrak{P}^k/\mathfrak{P}^{k+1}$ が $N\mathfrak{P}$ 元であることを示せば十分です（位数は段ごとの積：系 5.2［群の準同型定理］）。一意分解から $\mathfrak{P}^k \neq \mathfrak{P}^{k+1}$ なので $\pi \in \mathfrak{P}^k \setminus \mathfrak{P}^{k+1}$ が取れます。$\mathfrak{P}^{k+1} \subseteq \pi\mathcal{O}_K + \mathfrak{P}^{k+1} \subseteq \mathfrak{P}^k$ で、定理 4.7 の 4 から間のイデアルは $\mathfrak{P}^{k}$ か $\mathfrak{P}^{k+1}$ のどちらかであり、$\pi$ を含むので $\mathfrak{P}^k$ です。よって $\mathcal{O}_K \to \mathfrak{P}^k/\mathfrak{P}^{k+1}$、$x \mapsto x\pi$ は全射で、核は $\{x \mid x\pi \in \mathfrak{P}^{k+1}\}$ という $\mathfrak{P}$ を含む真のイデアル、すなわち $\mathfrak{P}$ です（$\mathfrak{P}$ は極大）。加法群として $\mathfrak{P}^k/\mathfrak{P}^{k+1} \cong \mathcal{O}_K/\mathfrak{P}$ です。

3. $\mathfrak{a} = \prod\mathfrak{P}_i^{a_i}$ と分解すると、1 と 補題 5.2 から $\mathcal{O}_K/\mathfrak{a} \cong \prod\mathcal{O}_K/\mathfrak{P}_i^{a_i}$、2 から $N\mathfrak{a} = \prod(N\mathfrak{P}_i)^{a_i}$ です。この式は指数について加法的なので乗法性が従います。後半は 定理 3.4 の 4 です。

4. 加法群 $\mathcal{O}_K/\mathfrak{a}$ の位数が $N\mathfrak{a}$ なので、各元の $N\mathfrak{a}$ 倍は $0$ です（系 7.1［部分群と剰余類］）。$1$ に適用すれば $N\mathfrak{a} \in \mathfrak{a}$。

∎

定理 5.4（基本等式）✓

次数 $n$ の代数体 $K$ と素数 $p$ について、$p\mathcal{O}_K = \prod_{i=1}^g\mathfrak{P}_i^{e_i}$ ならば $\sum_{i=1}^g e_if_i = n$。

証明（定理 5.4）

$\mathcal{O}_K \cong \mathbb{Z}^n$ のもとで $p\mathcal{O}_K$ は $p\mathbb{Z}^n$ に対応するので $N(p\mathcal{O}_K) = p^n$。一方 $N\mathfrak{P}_i = p^{f_i}$ なので 命題 5.3 の 3 から $N(p\mathcal{O}_K) = \prod_i p^{e_if_i}$ です。

∎

素数 p の上にある素イデアル。各 P_i は分岐指数 e_i と剰余次数 f_i を持ち、Σ e_i f_i = n となる

$K/\mathbb{Q}$ がガロア拡大であるとは、すべての埋め込みの像が $K$ に入ることとします。このとき埋め込みは $K$ の自己同型で、$G = \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ はちょうど $n$ 個の元からなります（補題 3.1）。

証明の方針です。ガロア群の元は、$p$ の上にある素イデアルを別の素イデアルへ移します。そこで、ある素イデアルの移り先に入らない素イデアルがあると仮定し、中国剰余定理で「その素イデアルでは $0$、移り先の素イデアルたちでは $1$」となる元を作って矛盾を導きます。これで、すべての素イデアルが互いに移り合い、$e$ と $f$ が共通になることが分かります。

定理 5.5（ガロア拡大での分解）✓

$K/\mathbb{Q}$ をガロア拡大、$p$ を素数とする。$G$ は $p$ の上にある素イデアルの集合に推移的に作用し、したがって $e_1 = \cdots = e_g =: e$、$f_1 = \cdots = f_g =: f$ であって $efg = n$ となる。

証明（定理 5.5）

$\sigma \in G$ は $\mathcal{O}_K$ を $\mathcal{O}_K$ に写し（代数的整数の満たすモニック多項式を保つ）、素イデアルを素イデアルに、$p$ の上にあるものを $p$ の上にあるものに写します。$\mathfrak{P}$ の $G$ 軌道に入らない、$p$ の上の素イデアル $\mathfrak{Q}$ があると仮定します。$\mathfrak{Q}$ と相異なる $\sigma\mathfrak{P}$ たちに 命題 5.3 の 1 と 補題 5.2 を使うと、$x \equiv 0 \pmod{\mathfrak{Q}}$、すべての $\sigma$ で $x \equiv 1 \pmod{\sigma\mathfrak{P}}$ となる $x \in \mathcal{O}_K$ が取れます。$N(x) = \prod_{\sigma \in G}\sigma(x)$ は $x \in \mathfrak{Q}$ の倍数で整数なので $\mathfrak{Q} \cap \mathbb{Z} = p\mathbb{Z} \subseteq \mathfrak{P}$ に入り、$\mathfrak{P}$ は素イデアルなので、ある $\sigma(x) \in \mathfrak{P}$、すなわち $x \in \sigma^{-1}\mathfrak{P}$ です。これは $x \equiv 1 \pmod{\sigma^{-1}\mathfrak{P}}$ に反します。

$\sigma$ を $p\mathcal{O}_K = \prod\mathfrak{P}_i^{e_i}$ に施すと $p\mathcal{O}_K = \prod(\sigma\mathfrak{P}_i)^{e_i}$ で、一意性から $e(\sigma\mathfrak{P} \mid p) = e(\mathfrak{P} \mid p)$。また $\sigma$ は環同型 $\mathcal{O}_K/\mathfrak{P} \cong \mathcal{O}_K/\sigma\mathfrak{P}$ を引き起こすので $f$ も等しくなります。推移性からすべての $e_i$、$f_i$ が等しく、定理 5.4 から $efg = n$ です。

∎

6. 分岐と判別式

証明の方針です。分岐していれば、$x^2 \in p\mathcal{O}_K$ かつ $x \notin p\mathcal{O}_K$ となる $x$ が取れます。剰余環 $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$ では、$x$ 倍は「2 回かけると $0$」になる写像で、その表現行列のトレースは $0$ になります。これを使って、トレース形式の行列式 $d_K$ が $p$ で割り切れることを示します。

定理 6.1（分岐する素数は判別式を割る）✓

素数 $p$ が $K$ で分岐するならば $p \mid d_K$ である。

証明（定理 6.1）

$p\mathcal{O}_K = \mathfrak{P}_1^{e_1}\cdots\mathfrak{P}_g^{e_g}$、$e_1 \ge 2$ とします。$\mathfrak{b} = \mathfrak{P}_1^{e_1 - 1}\mathfrak{P}_2^{e_2}\cdots\mathfrak{P}_g^{e_g}$ は $p\mathcal{O}_K$ を真に含む（一意分解と 定理 4.7 の 4）ので、$x \in \mathfrak{b} \setminus p\mathcal{O}_K$ が取れます。$x^2 \in \mathfrak{b}^2 \subseteq p\mathcal{O}_K$ です（$2(e_1 - 1) \ge e_1$）。

$\omega_1, \ldots, \omega_n$ を整基底、$V = \mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$ とすると、$V$ は $\bar\omega_1, \ldots, \bar\omega_n$ を基底とする $\mathbb{F}_p$ 上の $n$ 次元空間です。$y \in \mathcal{O}_K$ について、$y$ 倍の表現行列 $A_y$（整数行列、トレースは $\mathrm{Tr}(y)$：命題 3.3 の 5）を $p$ で還元したものは、$V$ の $\bar y$ 倍の表現行列です。$z = xy$ なら $z^2 \in p\mathcal{O}_K$ なので、$V$ の $\bar z$ 倍 $T$ は $T^2 = 0$ を満たします。$\mathrm{im}\,T \subseteq \ker T$ なので、$\mathrm{im}\,T$ の基底を $\ker T$ の基底に、さらに $V$ の基底に延ばすと、$T$ の行列は対角成分がすべて $0$ になり、$\mathrm{tr}\,T = 0$ です（トレースは基底によらない）。よってすべての $y$ で $\mathrm{Tr}(xy) \equiv 0 \pmod p$ です。

$x = \sum_j c_j\omega_j$（$c_j \in \mathbb{Z}$）と書くと、$x \notin p\mathcal{O}_K$ なので $\bar c = (c_j \bmod p) \neq 0$ で、$\sum_j\mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j)c_j = \mathrm{Tr}(\omega_ix) \equiv 0$（すべての $i$）。つまり $\mathbb{F}_p$ 上の行列 $(\mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j) \bmod p)$ は $0$ でない核を持ち、その行列式 $d_K \bmod p$ は $0$ です（定理 7.1［行列式とその性質］、体 $\mathbb{F}_p$ 上）。

∎

逆向きを示すには、$p$ が分岐しないとき $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$ が有限体の直積になることと、有限体のトレース形式が非退化であることを使います。後者が次の補題です。

補題 6.2（有限体のトレース形式）✓

$k$ を標数 $p$ の有限体とし、$|k| = p^f$ とする。$x \in k$ に対し、$x$ 倍写像 $k \to k$ を $\mathbb{F}_p$ 上の線形写像と見たときのトレースを $t(x) \in \mathbb{F}_p$ と書く。

1. $t(x) = x + x^p + x^{p^2} + \cdots + x^{p^{f-1}}$。
2. $0 \neq x \in k$ ならば、$t(xy) \neq 0$ となる $y \in k$ がある。すなわち双線形形式 $(x, y) \mapsto t(xy)$ は非退化である。

証明（補題 6.2）

$k$ は $\mathbb{Z}$ の像 $\mathbb{F}_p$ を含み、$\mathbb{F}_p$ 上の次元を $d$ とすると $|k| = p^d$ なので $d = f$ です。$0 \le i \le f - 1$ について $\sigma_i(x) := x^{p^i}$ とおきます。補題 7.1［多項式環と体の拡大］ により $\sigma_i$ は体の準同型 $k \to k$ で、$c \in \mathbb{F}_p$ ならフェルマーの小定理（定理 7.3［部分群と剰余類］）から $c^p = c$ なので $\sigma_i(cx) = c\,\sigma_i(x)$、つまり $\sigma_i$ は $\mathbb{F}_p$ 線形です。

$\sigma_0, \ldots, \sigma_{f-1}$ は相異なる。 定理 7.3［多項式環と体の拡大］ により $k^{\times}$ は位数 $p^f - 1$ の元 $\xi$ で生成されます。$0 \le i \lt j \le f-1$ で $\sigma_i(\xi) = \sigma_j(\xi)$ なら $\xi^{p^j - p^i} = 1$ ですが、$0 \lt p^j - p^i \lt p^f - 1$ なので $\xi$ の位数の最小性に反します。

1. $\omega_1, \ldots, \omega_f$ を $k$ の $\mathbb{F}_p$ 基底とし、$k$ 成分の $f$ 次正方行列 $\Omega = (\sigma_i(\omega_j))$（行 $i = 0, \ldots, f-1$、列 $j$）を考えます。$\Omega$ が正則でなければ、定理 7.1［行列式とその性質］（体 $k$ 上、$\Omega^{\mathsf{T}}$ に適用）により $0$ でない $c \in k^f$ で $\sum_i c_i\sigma_i(\omega_j) = 0$（すべての $j$）となるものがあり、$\sigma_i$ の $\mathbb{F}_p$ 線形性からすべての $y \in k$ で $\sum_i c_i\sigma_i(y) = 0$ です。これはデデキントの補題 補題 7.6［ガロア理論への招待］ に反するので、$\Omega$ は正則です。$x\omega_j = \sum_l a_{lj}\omega_l$（$a_{lj} \in \mathbb{F}_p$）に $\sigma_i$ を施すと、$\sigma_i(a_{lj}) = a_{lj}$ なので $\sigma_i(x)\sigma_i(\omega_j) = \sum_l \sigma_i(\omega_l)a_{lj}$、すなわち $D\Omega = \Omega A$（$D = \mathrm{diag}(\sigma_i(x))$、$A = (a_{lj})$）です。命題 3.3 の 5 の証明と同じく、$A = \Omega^{-1}D\Omega$ とトレースの相似不変性（命題 2.2［対角化とジョルダン標準形］）から $t(x) = \mathrm{tr}\,A = \sum_i \sigma_i(x)$ です。

2. 1 とデデキントの補題（係数をすべて $1$ とする）から、$t(z) = \sum_i\sigma_i(z) \neq 0$ となる $z \in k$ があります。$x \neq 0$ なら $y = x^{-1}z$ とおけば $t(xy) = t(z) \neq 0$ です。

∎

定理 6.3（判別式を割る素数は分岐する）✓

素数 $p$ が $p \mid d_K$ を満たすならば、$p$ は $K$ で分岐する。したがって 定理 6.1 と合わせて、$p$ が $K$ で分岐することと $p \mid d_K$ は同値であり、分岐する素数は有限個である。

証明（定理 6.3）

対偶を示します。$p$ が分岐しない、つまり $p\mathcal{O}_K = \mathfrak{P}_1\cdots\mathfrak{P}_g$（相異なる素イデアル）とし、$k_i = \mathcal{O}_K/\mathfrak{P}_i$、$z_i := z \bmod \mathfrak{P}_i$ と書きます。命題 5.3 の 1 と 補題 5.2 から、環同型 $\phi : V := \mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K \to \prod_i k_i$、$\bar z \mapsto (z_i)_i$ があり、これは $\mathbb{F}_p$ 線形です。各 $k_i$ は $p$ を $0$ にする有限体です。

$z \in \mathcal{O}_K$ について、定理 6.1 の証明と同じく、$V$ の $\bar z$ 倍写像 $T_z$ のトレースは $\mathrm{Tr}(z) \bmod p$ です。一方 $\phi$ で移すと $T_z$ は $(u_i) \mapsto (z_iu_i)$ で、各 $k_i$ の $\mathbb{F}_p$ 基底を並べた基底では表現行列が $k_i$ の $z_i$ 倍の表現行列を対角に並べたブロック対角行列になります。トレースは基底によらないので、補題 6.2 の記号 $t_i$（$k_i$ のトレース）で

$$\mathrm{Tr}(z) \equiv \sum_{i=1}^g t_i(z_i) \pmod p.$$

ここで $p \mid d_K$ と仮定します。整基底 $\omega_1, \ldots, \omega_n$ について $\mathbb{F}_p$ 上の行列 $(\mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j) \bmod p)$ の行列式が $0$ なので、定理 7.1［行列式とその性質］（体 $\mathbb{F}_p$ 上）により $0$ でない $\bar c \in \mathbb{F}_p^n$ で $\sum_j \mathrm{Tr}(\omega_i\omega_j)c_j \equiv 0 \pmod p$（すべての $i$）となるものがあります。$x = \sum_j c_j\omega_j$（$c_j \in \mathbb{Z}$ は持ち上げ）は $x \notin p\mathcal{O}_K$ で、線形性からすべての $y \in \mathcal{O}_K$ について $\mathrm{Tr}(xy) \equiv 0 \pmod p$ です。$\bar x \neq 0$ なので、ある $i$ で $x_i \neq 0$ です。補題 6.2 の 2 から $t_i(x_iw) \neq 0$ となる $w \in k_i$ を取り、補題 5.2 の全射性で $y \equiv w \pmod{\mathfrak{P}_i}$、$y \equiv 0 \pmod{\mathfrak{P}_j}$（$j \neq i$）となる $y \in \mathcal{O}_K$ を取ると

$$\mathrm{Tr}(xy) \equiv \sum_j t_j(x_jy_j) = t_i(x_iw) \not\equiv 0 \pmod p$$

となって矛盾です。よって $p \nmid d_K$ です。最後の主張は、$d_K \neq 0$（定理 3.4 の 2）の素因数が有限個であることから従います。

∎

注意 6.4（逆向きの証明で効いていること）

定理 6.3 の要は、剰余体 $k_i$ のトレース形式が非退化であること（補題 6.2）です。これは $k_i/\mathbb{F}_p$ が分離拡大であること（命題 7.6［多項式環と体の拡大］）を、相異なる $f$ 個の埋め込み $\sigma_i$ として使ったものです。非分離な拡大ではトレースが恒等的に $0$ になりえます。二次体では次節で両向きを直接確かめます。

7. Kummer–Dedekind の判定法

$\theta \in \mathcal{O}_K$ で $K = \mathbb{Q}(\theta)$ のとき、$\theta$ の最小多項式 $f$ は次数 $n$ の $\mathbb{Z}$ 係数モニック多項式で（命題 2.4）、$1, \theta, \ldots, \theta^{n-1}$ は $\mathbb{Q}$ 上一次独立なので $\mathbb{Z}[\theta]$ は $\mathcal{O}_K$ の階数 $n$ の部分群、指数 $[\mathcal{O}_K:\mathbb{Z}[\theta]]$ は有限です（定理 3.4 の 3）。

証明は四つの段に分かれます。(a) $p$ が指数 $[\mathcal{O}_K:\mathbb{Z}[\theta]]$ を割らないとき、$\mathcal{O}_K$ と $\mathbb{Z}[\theta]$ は $p$ を法とすれば同じものとみなせること、(b) そのとき剰余環 $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$ が $\mathbb{F}_p[x]/(\bar f)$ と同型になること、(c) $\bar f$ の既約因子から素イデアル $\mathfrak{P}_i$ が読み取れること、(d) それらの積が $p\mathcal{O}_K$ になることです。結論として、$p$ の分解の仕方は、$\mathbb{F}_p[x]$ で $\bar f$ を因数分解するだけで分かります。

定理 7.1（Kummer–Dedekind の判定法）✓

$K = \mathbb{Q}(\theta)$、$\theta \in \mathcal{O}_K$、$f$ を $\theta$ の最小多項式とし、素数 $p$ は $[\mathcal{O}_K:\mathbb{Z}[\theta]]$ を割らないとする。$\bar f = \prod_{i=1}^g\bar g_i^{e_i}$ を $\mathbb{F}_p[x]$ での相異なるモニック既約多項式への分解とし、$g_i \in \mathbb{Z}[x]$ を $\bar g_i$ のモニックな持ち上げとする。このとき $\mathfrak{P}_i := p\mathcal{O}_K + g_i(\theta)\mathcal{O}_K$ は相異なる素イデアルで、$f(\mathfrak{P}_i \mid p) = \deg g_i$、かつ

$$p\mathcal{O}_K = \mathfrak{P}_1^{e_1}\cdots\mathfrak{P}_g^{e_g}.$$

証明（定理 7.1）

(a) $\mathbb{Z}[\theta] \cap p\mathcal{O}_K = p\mathbb{Z}[\theta]$。 $m = [\mathcal{O}_K:\mathbb{Z}[\theta]]$ とすると $m\mathcal{O}_K \subseteq \mathbb{Z}[\theta]$ です（系 7.1［部分群と剰余類］）。$p\beta \in \mathbb{Z}[\theta]$（$\beta \in \mathcal{O}_K$）なら、$1 = um + vp$ と書いて $\beta = u(m\beta) + v(p\beta) \in \mathbb{Z}[\theta]$。よって $\mathbb{Z}[\theta]/p\mathbb{Z}[\theta] \to \mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$ は単射で、両辺とも $p^n$ 元なので全単射、すなわち $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\theta] + p\mathcal{O}_K$ です。

(b) $\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K \cong \mathbb{F}_p[x]/(\bar f)$。 $h \in \mathbb{Z}[x]$ が $h(\theta) = 0$ を満たせば、モニックな $f$ で割った余り $r$（$\mathbb{Z}$ 係数、次数 $\lt n$）も $r(\theta) = 0$ なので $r = 0$、つまり $h \in f\mathbb{Z}[x]$ です。$\Phi : \mathbb{Z}[x] \to \mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K$、$h \mapsto h(\theta) \bmod p$ は (a) により全射で、$h(\theta) \in p\mathcal{O}_K$ ⇔ $h(\theta) = pk(\theta)$（$k \in \mathbb{Z}[x]$、(a)）⇔ $h \in (p, f)$ です。$\mathbb{Z}[x]/(p, f) \cong \mathbb{F}_p[x]/(\bar f)$ なので、同型 $\rho : \mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K \to \mathbb{F}_p[x]/(\bar f)$、$h(\theta) \mapsto \bar h$ を得ます。

(c) $\mathfrak{P}_i$ は素イデアルで $f = \deg g_i$。 $\bar g_i \mid \bar f$ なので、$\pi_i : \mathcal{O}_K \to \mathbb{F}_p[x]/(\bar f) \to \mathbb{F}_p[x]/(\bar g_i)$ は全射な環準同型です。$\beta \equiv h(\theta) \pmod p$ について、$\pi_i(\beta) = 0$ ⇔ $\bar g_i \mid \bar h$ ⇔ $h \equiv g_ik \pmod p$ となる $k$ がある、なので $\ker\pi_i = p\mathcal{O}_K + g_i(\theta)\mathcal{O}_K = \mathfrak{P}_i$。$\mathbb{F}_p[x]/(\bar g_i)$ は $p^{\deg g_i}$ 元の体なので（補題 2.4［多項式環と体の拡大］）、$\mathfrak{P}_i$ は極大イデアルで剰余次数は $\deg g_i$ です。$i \neq j$ で $\mathfrak{P}_i = \mathfrak{P}_j$ なら $\pi_i(g_j(\theta)) = 0$、すなわち $\bar g_i \mid \bar g_j$ となり、相異なるモニック既約多項式であることに反します。

(d) 分解。 $\prod_i g_i^{e_i} - f \in p\mathbb{Z}[x]$ なので $\prod_i g_i(\theta)^{e_i} \in p\mathcal{O}_K$。$p$ の上の素イデアル $\mathfrak{P}$ はこの積を含むので、ある $g_i(\theta)$ を含み、$\mathfrak{P} \supseteq \mathfrak{P}_i$、極大性から $\mathfrak{P} = \mathfrak{P}_i$ です。さらに $\prod_i\mathfrak{P}_i^{e_i}$ を展開すると、各項は $p$ か $\prod_i g_i(\theta)^{e_i}$ の倍数なので $\prod_i\mathfrak{P}_i^{e_i} \subseteq p\mathcal{O}_K$、定理 4.7 の 4 から $p\mathcal{O}_K = \prod_i\mathfrak{P}_i^{a_i}$、$1 \le a_i \le e_i$ と書けます。定理 5.4 より $n = \sum_i a_i\deg g_i \le \sum_i e_i\deg g_i = \deg\bar f = n$ なので、すべての $i$ で $a_i = e_i$ です。

∎

指数の条件を外すと結論は成り立たないことがあり、指数を割る素数では別の $\theta$ を選び直す必要があります。

8. 二次体

$m \neq 0, 1$ を平方因子を持たない整数とし、$K = \mathbb{Q}(\sqrt m)$（$n = 2$）とします。埋め込みは $\sqrt m \mapsto \pm\sqrt m$ の 2 つです。

命題 8.1（二次体の整数環と判別式）✓

$m \equiv 2, 3 \pmod 4$ ならば $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt m]$、$d_K = 4m$。$m \equiv 1 \pmod 4$ ならば $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}\bigl[\tfrac{1+\sqrt m}{2}\bigr]$、$d_K = m$。

証明（命題 8.1）

$\alpha = a + b\sqrt m$（$a, b \in \mathbb{Q}$、$b \neq 0$）の最小多項式は $x^2 - 2ax + (a^2 - mb^2)$ なので、命題 2.4 から $\alpha \in \mathcal{O}_K$ ⇔ $A := 2a \in \mathbb{Z}$ かつ $a^2 - mb^2 \in \mathbb{Z}$ です（$b = 0$ のときは 定理 2.3 の 3 から $a \in \mathbb{Z}$）。$B := 2b$ とおくと $A^2 - mB^2 \in 4\mathbb{Z}$ なので $mB^2 \in \mathbb{Z}$。$B = u/v$（既約、$v \ge 1$）なら $v^2 \mid mu^2$ から $v^2 \mid m$、$m$ は平方因子を持たないので $v = 1$、$B \in \mathbb{Z}$ です。平方数は法 $4$ で $0$ か $1$ なので、$A^2 \equiv mB^2 \pmod 4$ は、$m \equiv 2, 3$ のとき $A, B$ がともに偶数（$a, b \in \mathbb{Z}$）であることと、$m \equiv 1$ のとき $A \equiv B \pmod 2$ であることと同値です。後者の全体は $\mathbb{Z} + \mathbb{Z}\frac{1+\sqrt m}{2}$ です。

判別式は 命題 3.3 の 4 の $(\det\Omega)^2$ で計算します。基底 $1, \omega$ について $\det\Omega = \omega' - \omega$（$\omega'$ は共役）で、$\omega = \sqrt m$ なら $(-2\sqrt m)^2 = 4m$、$\omega = \frac{1+\sqrt m}2$ なら $(-\sqrt m)^2 = m$ です。

∎

命題 8.2（二次体での素数の分解）✓

$K = \mathbb{Q}(\sqrt m)$ と素数 $p$ について次が成り立つ。

1. $p \mid d_K$ ならば $p\mathcal{O}_K = \mathfrak{P}^2$（分岐）。
2. $p$ が奇素数で $p \nmid m$ のとき、$\left(\frac mp\right) = 1$ なら $p\mathcal{O}_K = \mathfrak{P}\mathfrak{P}'$（$\mathfrak{P} \neq \mathfrak{P}'$、$f = 1$：分解）、$\left(\frac mp\right) = -1$ なら $p\mathcal{O}_K$ は素イデアル（$f = 2$：惰性）。
3. $m \equiv 1 \pmod 4$ のとき、$2$ は $m \equiv 1 \pmod 8$ なら分解し、$m \equiv 5 \pmod 8$ なら惰性である。

特に、$p$ が分岐することと $p \mid d_K$ は同値である。

証明（命題 8.2）

命題 8.1 により $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\omega]$ なので、指数は $1$ で 定理 7.1 がすべての $p$ に使えます。$m \equiv 2, 3 \pmod 4$ では $f = x^2 - m$ です。$p \mid m$ なら $\bar f = x^2$、$p = 2$ かつ $m \equiv 3$ なら $\bar f = x^2 - 1 = (x + 1)^2$ で、どちらも平方なので分岐します。$p$ が奇素数で $p \nmid m$ なら、$\bar f$ は $m$ が平方剰余のとき相異なる 2 根 $\pm r$（$r \not\equiv -r$）を持ち、平方非剰余のとき 2 次の既約多項式です（定義 3.2［原始根と平方剰余の相互法則］）。$m \equiv 1 \pmod 4$ では $f = x^2 - x - \frac{m-1}{4}$ で、$4f(x) = (2x - 1)^2 - m$ です。$p$ が奇素数なら $x \mapsto 2x - 1$ は $\mathbb{F}_p[x]$ の変数変換なので、$\bar f$ の分解の型は $x^2 - m$ と同じで、上と同じ結論になります（$p \mid m$ なら分岐）。$p = 2$ では $\bar f = x^2 + x + \frac{m-1}{4}$ で、$m \equiv 1 \pmod 8$ なら $x(x+1)$、$m \equiv 5 \pmod 8$ なら $x^2 + x + 1$（$\mathbb{F}_2$ に根がないので既約）です。$d_K = 4m$ または $m$ の素因数は、$m$ の素因数と（$m \equiv 2, 3$ のとき）$2$ なので、最後の主張が従います。

∎

Q(i) での素数 2, 3, 5 の分解。左から分岐 (1+i)²、惰性 (3)、分解 (2+i)(2−i)

例 8.3（Q(√−5) で 6 の分解を直す）

$m = -5 \equiv 3 \pmod 4$ なので $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$、$d_K = -20$ です。$x^2 + 5 \equiv (x+1)^2 \pmod 2$ から $(2) = \mathfrak{p}^2$、$\mathfrak{p} = (2, 1 + \sqrt{-5})$。$x^2 + 5 \equiv (x - 1)(x + 1) \pmod 3$ から $(3) = \mathfrak{q}\mathfrak{q}'$、$\mathfrak{q} = (3, 1 + \sqrt{-5})$、$\mathfrak{q}' = (3, 1 - \sqrt{-5})$。$5$ は $x^2$ で分岐、$7$ は $\left(\frac{-5}{7}\right) = \left(\frac{2}{7}\right) = 1$ で分解します。

$1 + \sqrt{-5}$ は相異なる素イデアル $\mathfrak{p}$、$\mathfrak{q}$ に含まれるので $\mathfrak{p}\mathfrak{q} \mid (1+\sqrt{-5})$（定理 4.7 の 4）、ノルムは $N\mathfrak{p}\,N\mathfrak{q} = 2 \cdot 3 = 6 = N(1+\sqrt{-5})$ なので（命題 5.3 の 3）$(1 + \sqrt{-5}) = \mathfrak{p}\mathfrak{q}$、同様に $(1 - \sqrt{-5}) = \mathfrak{p}\mathfrak{q}'$ です。よって

$$(6) = (2)(3) = \mathfrak{p}^2\,\mathfrak{q}\mathfrak{q}' = (\mathfrak{p}\mathfrak{q})(\mathfrak{p}\mathfrak{q}') = (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$$

です。一方、元としては $2$ は既約です：$2 = \alpha\beta$ で $\alpha, \beta$ が単数でなければ $N(\alpha) = 2$、すなわち $a^2 + 5b^2 = 2$ が整数解を持つ必要がありますが、ありません。$3$、$1 \pm \sqrt{-5}$ も同様に（$a^2 + 5b^2 = 2, 3$ が解を持たないことから）既約です。$\mathfrak{p}$ が単項でないこともこの計算からわかり、類群が自明でないことを示しています。

9. 演習

演習 9.1易

$K = \mathbb{Q}(i)$ とする。命題 8.2 を使って $2, 3, 5$ の分解の型を決め、$(2) = (1+i)^2$、$(5) = (2+i)(2-i)$ を確かめよ。また奇素数 $p$ が分解することと $p \equiv 1 \pmod 4$ が同値であることを示せ。

解答

$m = -1 \equiv 3 \pmod 4$ なので $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[i]$、$d_K = -4$ です。$2 \mid d_K$ なので分岐し、$(1+i)^2 = 2i$ で $i$ は単数なので $(2) = (1+i)^2$。$\left(\frac{-1}{3}\right) = -1$ なので $3$ は惰性。$\left(\frac{-1}{5}\right) = 1$（$2^2 \equiv -1$）なので $5$ は分解し、$(2+i)(2-i) = 5$、$N(2 \pm i) = 5$ なので $(2 \pm i)$ はノルム $5$ の素イデアルです（ノルムが素数のイデアルは 命題 5.3 の 3 から素イデアル）。最後に、オイラーの規準 定理 3.3［原始根と平方剰余の相互法則］ から $\left(\frac{-1}{p}\right) \equiv (-1)^{(p-1)/2} \pmod p$ なので、$\left(\frac{-1}{p}\right) = 1$ ⇔ $p \equiv 1 \pmod 4$ です。

演習 9.2易

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ で、$\mathfrak{p} = (2, 1+\sqrt{-5})$ について $\mathfrak{p}^2 = (2)$ を生成元の計算で直接確かめよ。

解答

$\mathfrak{p}^2$ は $4$、$2(1 + \sqrt{-5})$、$(1+\sqrt{-5})^2 = -4 + 2\sqrt{-5}$ で生成されます。どれも $2$ の倍数なので $\mathfrak{p}^2 = 2\mathfrak{c}$、$\mathfrak{c} = (2, 1 + \sqrt{-5}, -2 + \sqrt{-5})$。$\mathfrak{c}$ は $(1 + \sqrt{-5}) - (-2 + \sqrt{-5}) = 3$ と $2$ を含むので $1$ を含み、$\mathfrak{c} = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ です。よって $\mathfrak{p}^2 = (2)$。

演習 9.3標準

$\theta = \sqrt[3]{2}$、$K = \mathbb{Q}(\theta)$ とする。

1. $\mathrm{Tr}(\theta^k)$（$0 \le k \le 4$）を求め、$d(1, \theta, \theta^2) = -108$ を示せ。
2. $[\mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\theta]]$ が $6$ を割ることを示せ。
3. $5$ と $7$ の $K$ での分解の型（$e_i$、$f_i$）を決めよ。

解答

1. 埋め込みは $\theta \mapsto \theta, \theta\omega, \theta\omega^2$（$\omega$ は 1 の原始 3 乗根）です。$1 + \omega + \omega^2 = 0$ から $\mathrm{Tr}(\theta) = \mathrm{Tr}(\theta^2) = 0$、$\mathrm{Tr}(1) = 3$、$\mathrm{Tr}(\theta^3) = \mathrm{Tr}(2) = 6$、$\mathrm{Tr}(\theta^4) = 2\,\mathrm{Tr}(\theta) = 0$。グラム行列は

$$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 6 & 0 \end{pmatrix}$$

で、行列式は $3 \cdot (0 - 36) = -108$ です。

2. 定理 3.4 の 3 から $-108 = [\mathcal{O}_K:\mathbb{Z}[\theta]]^2 d_K$。$108 = 2^2 \cdot 3^3$ なので指数の 2 乗は $2^2 \cdot 3^2$ を割り、指数は $6$ を割ります。

3. $5, 7$ は指数を割らないので 定理 7.1 が使えます。法 $5$ で $3^3 = 27 \equiv 2$ なので $x^3 - 2 = (x - 3)(x^2 + 3x + 4)$ で、2 次因子の判別式 $9 - 16 \equiv 3$ は法 $5$ の平方数（$0, 1, 4$）でないので既約です。よって $(5) = \mathfrak{P}_1\mathfrak{P}_2$、$f_1 = 1$、$f_2 = 2$、$e_i = 1$。法 $7$ の立方数は $0, \pm1$ なので $x^3 - 2$ は根を持たず、3 次なので既約、$7$ は惰性（$e = 1$、$f = 3$）です。どちらも $\sum e_if_i = 3$ を満たします。

参考文献

1. J. Neukirch, Algebraic Number Theory, Springer, 1999 — 第 I 章 §2〜§8（整数環、Dedekind 整域、素イデアルの分解）、第 III 章 §2（判別式と分岐）。
2. D. A. Marcus, Number Fields, Universitext, Springer, 1977 — 第 2・3 章（整数環、イデアルの分解、Kummer–Dedekind の判定法）。
3. P. Samuel, Algebraic Theory of Numbers, Hermann, 1970 — 第 2〜5 章。
4. K. Ireland and M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 84, Springer, 1990 — 第 12 章（代数的整数論の基礎）。
5. 高木貞治『代数的整数論 第 2 版』岩波書店、1971 — イデアル論。