数論 50 本ノック

学部50 問。全問無料です。

対象読者: 学部 1〜3 年の線形代数・抽象代数（群・環・体）と基礎的な微分積分を学んだ人。本テーマの記事を一通り読んでいれば解けます。上級の代数的整数論は仮定しません。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 4 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers
• K. Ireland, M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory
• J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves
• 高木貞治『初等整数論講義』

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜8: 素数と素数定理
• 9〜18: 整除・素因数分解・中国剰余定理・オイラー関数
• 19〜28: 合同式・フェルマーの小定理・RSA
• 29〜38: 原始根と平方剰余の相互法則
• 39〜44: ゼータ関数とリーマン予想
• 45〜50: 楕円曲線・フェルマーの最終定理・ABC 予想

形式: 単一選択 18・複数選択 8・○× 6・数値 7・並べ替え 3・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 8 / 26 / 16 / 0。

この冊で使う定義・定理（81）

• 系 5.2 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する → 26, 28 番
• 系 4.5 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する → 21 番
• 定義 6.3 カーマイケル数 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する → 23, 24 番
• 定義 3.1 合同 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する → 20 番
• 定義 4.6 オイラーのトーシェント関数 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する → 21 番
• 例 3.7 割り算が壊れる例 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する → 20 番
• 演習 7.4 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する → 24 番
• 命題 3.3 合同式の四則 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する → 19, 28 番
• 命題 3.6 消去法則 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する → 20, 23 番
• 命題 4.4 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する → 21, 22, 25 番
• 定理 2.2 ベズーの等式 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する → 22 番
• 定理 4.8 中国剰余定理 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する → 26, 27 番
• 定理 5.3 オイラーの定理 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する → 27 番
• 定理 5.1 フェルマーの小定理 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する → 19, 23, 24 番
• 定理 6.1 RSA の正当性 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する → 25, 26 番
• 定義 3.1 ユークリッドの互除法 整除と素因数分解：互除法・中国剰余定理・オイラー関数 → 9, 17 番
• 定義 7.1 オイラー関数 整除と素因数分解：互除法・中国剰余定理・オイラー関数 → 16 番
• 定義 5.1 素数 p に関する付値 整除と素因数分解：互除法・中国剰余定理・オイラー関数 → 8, 12 番
• 補題 2.2 ユークリッドの補題（一般形） 整除と素因数分解：互除法・中国剰余定理・オイラー関数 → 18 番
• 命題 5.5 約数の個数 整除と素因数分解：互除法・中国剰余定理・オイラー関数 → 13 番
• 命題 2.4 gcd と lcm の関係 整除と素因数分解：互除法・中国剰余定理・オイラー関数 → 12, 14, 28 番
• 命題 4.1 一次不定方程式 整除と素因数分解：互除法・中国剰余定理・オイラー関数 → 10, 11 番
• 命題 5.3 付値の規則と gcd・lcm 整除と素因数分解：互除法・中国剰余定理・オイラー関数 → 8, 12 番
• 定理 6.1 中国剰余定理（一般形） 整除と素因数分解：互除法・中国剰余定理・オイラー関数 → 14, 15 番
• 定理 3.2 互除法の正しさと拡張 整除と素因数分解：互除法・中国剰余定理・オイラー関数 → 9, 10, 11, 17, 22 番
• 定理 7.3 オイラー関数の乗法性と公式 整除と素因数分解：互除法・中国剰余定理・オイラー関数 → 15, 16 番
• 定理 5.2 素因数分解の指数による表示 整除と素因数分解：互除法・中国剰余定理・オイラー関数 → 8, 13 番
• 系 7.4 楕円曲線・モジュラー形式と現代数論：谷山・志村予想からフェルマーの最終定理、ABC予想へ → 48 番
• 定義 12.4 ABC三つ組 楕円曲線・モジュラー形式と現代数論：谷山・志村予想からフェルマーの最終定理、ABC予想へ → 49, 50 番
• 定義 4.4 トレース $a_p$ 楕円曲線・モジュラー形式と現代数論：谷山・志村予想からフェルマーの最終定理、ABC予想へ → 45 番
• 定義 2.1 楕円曲線（短ヴァイエルシュトラス形） 楕円曲線・モジュラー形式と現代数論：谷山・志村予想からフェルマーの最終定理、ABC予想へ → 45, 47 番
• 定義 13.4 ABC三つ組の質 楕円曲線・モジュラー形式と現代数論：谷山・志村予想からフェルマーの最終定理、ABC予想へ → 50 番
• 定義 12.1 根基 楕円曲線・モジュラー形式と現代数論：谷山・志村予想からフェルマーの最終定理、ABC予想へ → 49, 50 番
• 命題 12.8 指数 1 では成り立たない 楕円曲線・モジュラー形式と現代数論：谷山・志村予想からフェルマーの最終定理、ABC予想へ → 49 番
• 命題 2.2 非特異性の判定 楕円曲線・モジュラー形式と現代数論：谷山・志村予想からフェルマーの最終定理、ABC予想へ → 47 番
• 命題 12.3 根基の基本性質 楕円曲線・モジュラー形式と現代数論：谷山・志村予想からフェルマーの最終定理、ABC予想へ → 49 番
• 命題 7.2 指数の還元 楕円曲線・モジュラー形式と現代数論：谷山・志村予想からフェルマーの最終定理、ABC予想へ → 48 番
• 定理 7.3 フェルマー（$n = 4$） 楕円曲線・モジュラー形式と現代数論：谷山・志村予想からフェルマーの最終定理、ABC予想へ → 48 番
• 定理 3.3 楕円曲線の群構造 楕円曲線・モジュラー形式と現代数論：谷山・志村予想からフェルマーの最終定理、ABC予想へ → 47 番
• 定理 4.8 ハッセの定理 楕円曲線・モジュラー形式と現代数論：谷山・志村予想からフェルマーの最終定理、ABC予想へ → 45, 46 番
• 定理 4.1 モーデル・ヴェイユの定理 楕円曲線・モジュラー形式と現代数論：谷山・志村予想からフェルマーの最終定理、ABC予想へ → 47 番
• 定義 6.1 対数積分 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ → 7 番
• 定義 5.1 素数計数関数と漸近同値 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ → 3, 6, 7 番
• 定義 2.2 素数と合成数 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ → 1, 3 番
• 例 3.3 $p_1\cdots p_k + 1$ は素数とは限らない 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ → 4 番
• 補題 4.1 ユークリッドの補題 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ → 18 番
• 補題 3.1 最小の約数は素数 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ → 2, 4, 18 番
• 命題 5.3 チェビシェフ型の評価 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ → 7 番
• 定理 3.2 ユークリッドの定理 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ → 2, 4 番
• 定理 5.2 オイラー：素数の逆数和の発散 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ → 5 番
• 定理 4.2 算術の基本定理 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ → 1 番
• 定理 6.2 素数定理 素数の魅力と素数定理：無限性・一意分解から分布の法則へ → 5, 6, 7, 42 番
• 系 3.4 ルジャンドル記号の性質 原始根と平方剰余の相互法則：mod p で平方数になる条件を決める → 32, 33, 34, 36 番
• 定義 3.2 ルジャンドル記号 原始根と平方剰余の相互法則：mod p で平方数になる条件を決める → 32, 35 番
• 定義 2.1 位数 原始根と平方剰余の相互法則：mod p で平方数になる条件を決める → 30 番
• 定義 2.4 原始根 原始根と平方剰余の相互法則：mod p で平方数になる条件を決める → 29, 30, 37, 38 番
• 定義 3.1 平方剰余 原始根と平方剰余の相互法則：mod p で平方数になる条件を決める → 32 番
• 例 5.6 合成数を法とする二次合同式 原始根と平方剰余の相互法則：mod p で平方数になる条件を決める → 35 番
• 例 5.4 (30/61) の計算 原始根と平方剰余の相互法則：mod p で平方数になる条件を決める → 36 番
• 例 2.6 p = 7 と p = 13 原始根と平方剰余の相互法則：mod p で平方数になる条件を決める → 37 番
• 補題 2.2 位数の基本性質 原始根と平方剰余の相互法則：mod p で平方数になる条件を決める → 27, 30, 31, 37, 38 番
• 補題 2.3 素数を法とする根の個数 原始根と平方剰余の相互法則：mod p で平方数になる条件を決める → 38 番
• 命題 4.3 2 の平方剰余 原始根と平方剰余の相互法則：mod p で平方数になる条件を決める → 33, 35 番
• 注意 5.7 ヤコビ記号 原始根と平方剰余の相互法則：mod p で平方数になる条件を決める → 35 番
• 注意 2.9 原始根をもつ法の分類 原始根と平方剰余の相互法則：mod p で平方数になる条件を決める → 31 番
• 定理 2.8 素数べきと 2 × 素数べきの原始根 原始根と平方剰余の相互法則：mod p で平方数になる条件を決める → 31 番
• 定理 2.5 素数を法とする原始根の存在 原始根と平方剰余の相互法則：mod p で平方数になる条件を決める → 29, 38 番
• 定理 5.3 平方剰余の相互法則（ガウス） 原始根と平方剰余の相互法則：mod p で平方数になる条件を決める → 34, 36 番
• 公理 5.3 リーマン予想（未解決の主張） リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する → 40, 41, 42 番
• 系 3.3 素数の無限性（オイラー） リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する → 43, 44 番
• 定義 4.1 解析接続 リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する → 39 番
• 定義 5.2 非自明零点と臨界帯 リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する → 41 番
• 定義 2.1 リーマン・ゼータ関数（級数表示） リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する → 44 番
• 例 4.8 関数等式から特殊値を計算する リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する → 39 番
• 命題 3.4 素数の逆数和の発散 リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する → 43 番
• 命題 5.1 自明な零点 リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する → 40 番
• 注意 5.4 リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する → 40, 42 番
• 定理 4.3 ゼータ関数の有理型接続と単純極 リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する → 40 番
• 定理 3.1 オイラー積表示 リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する → 40, 43, 44 番
• 定理 4.5 リーマンの関数等式 リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する → 39, 41, 42 番
• 定理 6.3 フォン・コッホの同値定理 リーマン予想とは何か：ゼータ関数の零点が素数を支配する → 42 番