乱数と確率的数値計算 50 本ノック

修士50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ全 7 章の内容（擬似乱数、標本抽出、Monte Carlo 積分、MCMC、誤差解析、準 Monte Carlo 法、経路積分）を学んだ修士課程の人。各章の定理の仮定と結論を確かめる力を前提とします。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• D. E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 2, 3rd ed., Addison-Wesley
• C. P. Robert, G. Casella, Monte Carlo Statistical Methods, 2nd ed., Springer
• H. Niederreiter, Random Number Generation and Quasi-Monte Carlo Methods, SIAM
• D. A. Levin, Y. Peres, E. L. Wilmer, Markov Chains and Mixing Times, American Mathematical Society

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜7: 擬似乱数生成器
• 8〜14: 分布からの標本抽出
• 15〜23: Monte Carlo 積分と分散低減
• 24〜31: Markov 連鎖 Monte Carlo
• 32〜39: 統計誤差の解析
• 40〜45: 準 Monte Carlo 法
• 46〜50: 経路積分 Monte Carlo

形式: 単一選択 18・複数選択 8・○× 5・数値 7・並べ替え 4・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 0 / 15 / 29 / 6。

この冊で使う定義・定理（100）

• 系 5.5 Metropolis の採択関数の最適性 Markov 連鎖 Monte Carlo：提案の設計・Peskun の順序・混合時間 → 25 番
• 定義 2.3 Metropolis–Hastings 型の連鎖と採択関数 Markov 連鎖 Monte Carlo：提案の設計・Peskun の順序・混合時間 → 25 番
• 定義 6.1 ボトルネック比 Markov 連鎖 Monte Carlo：提案の設計・Peskun の順序・混合時間 → 27, 28 番
• 定義 2.7 スペクトルギャップ・緩和時間・怠惰な連鎖 Markov 連鎖 Monte Carlo：提案の設計・Peskun の順序・混合時間 → 28, 30 番
• 定義 2.5 熱浴法と走査の順序 Markov 連鎖 Monte Carlo：提案の設計・Peskun の順序・混合時間 → 30 番
• 例 4.5 完全グラフ・円周・超立方体のスペクトルギャップ Markov 連鎖 Monte Carlo：提案の設計・Peskun の順序・混合時間 → 26 番
• 例 4.4 2 状態の連鎖 Markov 連鎖 Monte Carlo：提案の設計・Peskun の順序・混合時間 → 24 番
• 補題 5.3 逆作用素の単調性 Markov 連鎖 Monte Carlo：提案の設計・Peskun の順序・混合時間 → 29 番
• 命題 6.3 2 つの山と局所的な更新 Markov 連鎖 Monte Carlo：提案の設計・Peskun の順序・混合時間 → 27, 31 番
• 命題 7.3 超立方体上の怠惰なランダムウォークの混合時間 Markov 連鎖 Monte Carlo：提案の設計・Peskun の順序・混合時間 → 26 番
• 命題 8.1 無作為走査と系統走査 Markov 連鎖 Monte Carlo：提案の設計・Peskun の順序・混合時間 → 30 番
• 定理 5.2 可逆な連鎖の漸近分散 Markov 連鎖 Monte Carlo：提案の設計・Peskun の順序・混合時間 → 24, 29 番
• 定理 6.2 Cheeger の不等式 Markov 連鎖 Monte Carlo：提案の設計・Peskun の順序・混合時間 → 27, 28, 31 番
• 定理 3.2 時間平均の概収束 Markov 連鎖 Monte Carlo：提案の設計・Peskun の順序・混合時間 → 30 番
• 定理 5.4 Peskun の順序 Markov 連鎖 Monte Carlo：提案の設計・Peskun の順序・混合時間 → 25, 29 番
• 定理 4.3 スペクトルギャップによる混合の評価 Markov 連鎖 Monte Carlo：提案の設計・Peskun の順序・混合時間 → 26, 31 番
• 定義 4.1 対称変量 Monte Carlo 積分と分散低減：重点サンプリング・制御変量・層別 → 15, 22 番
• 定義 4.4 制御変量 Monte Carlo 積分と分散低減：重点サンプリング・制御変量・層別 → 16 番
• 定義 6.1 重点サンプリング Monte Carlo 積分と分散低減：重点サンプリング・制御変量・層別 → 19, 20 番
• 定義 6.5 自己正規化重点サンプリング・有効標本サイズ Monte Carlo 積分と分散低減：重点サンプリング・制御変量・層別 → 21 番
• 定義 5.3 層別サンプリング Monte Carlo 積分と分散低減：重点サンプリング・制御変量・層別 → 17, 18, 23 番
• 例 6.3 提案の裾が軽いと分散が無限大になる Monte Carlo 積分と分散低減：重点サンプリング・制御変量・層別 → 19 番
• 例 6.4 Monte Carlo 積分と分散低減：重点サンプリング・制御変量・層別 → 21 番
• 補題 4.2 単調な 2 関数の共分散 Monte Carlo 積分と分散低減：重点サンプリング・制御変量・層別 → 22 番
• 補題 5.1 全分散の分解 Monte Carlo 積分と分散低減：重点サンプリング・制御変量・層別 → 18 番
• 命題 6.6 自己正規化推定量の一致性・漸近分散・偏り Monte Carlo 積分と分散低減：重点サンプリング・制御変量・層別 → 21 番
• 定理 4.3 対称変量の分散 Monte Carlo 積分と分散低減：重点サンプリング・制御変量・層別 → 15, 22 番
• 定理 4.5 制御変量の最適な係数 Monte Carlo 積分と分散低減：重点サンプリング・制御変量・層別 → 16 番
• 定理 6.2 重点サンプリングの分散と最適な提案 Monte Carlo 積分と分散低減：重点サンプリング・制御変量・層別 → 19, 20 番
• 定理 5.4 層別推定量の分散 Monte Carlo 積分と分散低減：重点サンプリング・制御変量・層別 → 17, 18, 23 番
• 系 5.4 二分法による更新の採択確率 経路積分 Monte Carlo：Feynman–Kac 公式・時間分割の誤差・推定量と符号問題 → 48 番
• 定義 5.2 Brown 橋 経路積分 Monte Carlo：Feynman–Kac 公式・時間分割の誤差・推定量と符号問題 → 49 番
• 定義 3.1 M 分割の原始近似 経路積分 Monte Carlo：Feynman–Kac 公式・時間分割の誤差・推定量と符号問題 → 46 番
• 定義 4.1 離散化した作用・環状の鎖 経路積分 Monte Carlo：Feynman–Kac 公式・時間分割の誤差・推定量と符号問題 → 47 番
• 定義 8.1 符号つきの重み・平均符号 経路積分 Monte Carlo：Feynman–Kac 公式・時間分割の誤差・推定量と符号問題 → 50 番
• 例 8.3 調和振動子の中の 2 個の Fermi 粒子 経路積分 Monte Carlo：Feynman–Kac 公式・時間分割の誤差・推定量と符号問題 → 50 番
• 補題 5.1 熱核の積 経路積分 Monte Carlo：Feynman–Kac 公式・時間分割の誤差・推定量と符号問題 → 49 番
• 命題 4.2 調和振動子の M 分割の分配関数とエネルギー 経路積分 Monte Carlo：Feynman–Kac 公式・時間分割の誤差・推定量と符号問題 → 47 番
• 命題 6.2 2 つの推定量の期待値と分散 経路積分 Monte Carlo：Feynman–Kac 公式・時間分割の誤差・推定量と符号問題 → 48 番
• 命題 7.1 1 点ずつの熱浴更新の緩和は M² に比例して遅くなる 経路積分 Monte Carlo：Feynman–Kac 公式・時間分割の誤差・推定量と符号問題 → 48 番
• 定理 5.3 Brown 橋の中点と、中点で分けた両側 経路積分 Monte Carlo：Feynman–Kac 公式・時間分割の誤差・推定量と符号問題 → 49 番
• 定理 8.2 符号つきの重みの期待値と、必要な標本数 経路積分 Monte Carlo：Feynman–Kac 公式・時間分割の誤差・推定量と符号問題 → 48, 50 番
• 定理 3.2 縮小半群を生成する行列の分割の誤差 経路積分 Monte Carlo：Feynman–Kac 公式・時間分割の誤差・推定量と符号問題 → 46 番
• 定義 6.2 飛び越しとストリーム 擬似乱数生成器：線形合同法の周期・格子構造・並列ストリーム → 7 番
• 定義 3.1 線形合同法・乗算型合同法 擬似乱数生成器：線形合同法の周期・格子構造・並列ストリーム → 1, 2 番
• 定義 5.2 F_2 上の原始多項式 擬似乱数生成器：線形合同法の周期・格子構造・並列ストリーム → 6 番
• 例 5.5 4 ビットの LFSR 擬似乱数生成器：線形合同法の周期・格子構造・並列ストリーム → 6 番
• 補題 3.3 等比和の p 進付値 擬似乱数生成器：線形合同法の周期・格子構造・並列ストリーム → 2 番
• 命題 2.3 有限状態の生成器は最終的に周期的 擬似乱数生成器：線形合同法の周期・格子構造・並列ストリーム → 5 番
• 命題 6.3 飛び越しの計算量 擬似乱数生成器：線形合同法の周期・格子構造・並列ストリーム → 7 番
• 命題 3.7 法 2^e の線形合同法の下位ビット 擬似乱数生成器：線形合同法の周期・格子構造・並列ストリーム → 3, 5 番
• 命題 3.6 乗算型合同法の周期 擬似乱数生成器：線形合同法の周期・格子構造・並列ストリーム → 2, 3 番
• 定理 5.3 F_2 線形生成器の最大周期 擬似乱数生成器：線形合同法の周期・格子構造・並列ストリーム → 6 番
• 定理 3.4 Hull–Dobell の定理 擬似乱数生成器：線形合同法の周期・格子構造・並列ストリーム → 1, 3, 5 番
• 定理 4.2 線形合同法の格子構造 擬似乱数生成器：線形合同法の周期・格子構造・並列ストリーム → 4 番
• 定理 4.3 Marsaglia の定理 擬似乱数生成器：線形合同法の周期・格子構造・並列ストリーム → 4 番
• 定理 6.4 ストリームの重なりの確率 擬似乱数生成器：線形合同法の周期・格子構造・並列ストリーム → 7 番
• 系 3.3 Kronecker 列の一様分布 準 Monte Carlo 法：食い違い量・Koksma–Hlawka の不等式・格子則 → 42 番
• 定義 2.1 局所食い違い関数・食い違い量 準 Monte Carlo 法：食い違い量・Koksma–Hlawka の不等式・格子則 → 41, 45 番
• 定義 6.1 階数 1 の格子則・双対格子 準 Monte Carlo 法：食い違い量・Koksma–Hlawka の不等式・格子則 → 44 番
• 定義 5.1 逆進関数・van der Corput 列・Halton 列・Hammersley 点集合 準 Monte Carlo 法：食い違い量・Koksma–Hlawka の不等式・格子則 → 40 番
• 例 5.6 大きな基数の Halton 列の相関 準 Monte Carlo 法：食い違い量・Koksma–Hlawka の不等式・格子則 → 42 番
• 補題 6.2 指標の直交性 準 Monte Carlo 法：食い違い量・Koksma–Hlawka の不等式・格子則 → 44 番
• 命題 2.3 1 次元の星型食い違い量 準 Monte Carlo 法：食い違い量・Koksma–Hlawka の不等式・格子則 → 41, 45 番
• 命題 7.2 無作為な平行移動による推定量は不偏 準 Monte Carlo 法：食い違い量・Koksma–Hlawka の不等式・格子則 → 43 番
• 注意 4.5 有界変動関数への拡張と、不等式の読み方 準 Monte Carlo 法：食い違い量・Koksma–Hlawka の不等式・格子則 → 42 番
• 定理 4.1 Koksma の不等式（C¹ 級の場合） 準 Monte Carlo 法：食い違い量・Koksma–Hlawka の不等式・格子則 → 45 番
• 定理 4.4 Koksma–Hlawka の不等式 準 Monte Carlo 法：食い違い量・Koksma–Hlawka の不等式・格子則 → 42, 43 番
• 定理 6.3 格子則の誤差と、良い生成ベクトルの存在 準 Monte Carlo 法：食い違い量・Koksma–Hlawka の不等式・格子則 → 43, 44 番
• 定理 5.3 van der Corput 列の食い違い量 準 Monte Carlo 法：食い違い量・Koksma–Hlawka の不等式・格子則 → 40 番
• 定理 3.2 Weyl の判定法 準 Monte Carlo 法：食い違い量・Koksma–Hlawka の不等式・格子則 → 43 番
• 定義 6.1 別名法の表 分布からの標本抽出：逆関数法・棄却法・正規乱数・離散分布 → 11 番
• 定義 2.3 倍精度の一様乱数 分布からの標本抽出：逆関数法・棄却法・正規乱数・離散分布 → 9 番
• 定義 4.1 棄却法 分布からの標本抽出：逆関数法・棄却法・正規乱数・離散分布 → 8, 10, 14 番
• 例 4.3 半正規分布を指数分布で包む 分布からの標本抽出：逆関数法・棄却法・正規乱数・離散分布 → 10 番
• 命題 3.5 倍精度の一様乱数で届く裾 分布からの標本抽出：逆関数法・棄却法・正規乱数・離散分布 → 9 番
• 命題 5.6 一様乱数の比 分布からの標本抽出：逆関数法・棄却法・正規乱数・離散分布 → 14 番
• 命題 5.5 球面と球の上の一様分布 分布からの標本抽出：逆関数法・棄却法・正規乱数・離散分布 → 13 番
• 定理 6.2 別名法 分布からの標本抽出：逆関数法・棄却法・正規乱数・離散分布 → 11 番
• 定理 6.3 Fisher–Yates の方法 分布からの標本抽出：逆関数法・棄却法・正規乱数・離散分布 → 12 番
• 定理 3.3 逆関数法 分布からの標本抽出：逆関数法・棄却法・正規乱数・離散分布 → 9 番
• 定理 4.2 棄却法の正しさ 分布からの標本抽出：逆関数法・棄却法・正規乱数・離散分布 → 8, 10, 13 番
• 定義 5.1 バッチ平均 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 34 番
• 定義 7.2 ブロック・ブートストラップ 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 37 番
• 定義 7.1 ブートストラップ（再標本化分布） 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 39 番
• 定義 2.2 有効標本数 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 32 番
• 定義 8.3 Gelman–Rubin の統計量 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 38 番
• 定義 6.1 ジャックナイフ分散推定量 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 36 番
• 定義 2.1 弱定常列・自己共分散・長期分散 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 32 番
• 定義 3.3 自己共分散の推定量・窓つき推定量 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 33 番
• 例 5.4 AR(1) 過程では全部が閉じた形で分かる 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 32, 33, 34 番
• 例 6.4 中央値ではジャックナイフ分散推定量は一致しない 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 37 番
• 演習 10.2 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 36 番
• 命題 7.5 一様分布の最大値ではブートストラップは一致しない 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 37, 39 番
• 命題 8.4 R̂ の収束 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 38 番
• 命題 6.6 比の推定量の偏り 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 36 番
• 命題 4.1 窓つき推定量の偏り 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 33, 35 番
• 定理 5.2 バッチ平均の偏りと、バッチ数を固定したときの不一致 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 34, 35 番
• 定理 7.3 標本平均のブートストラップの一致性 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 37 番
• 定理 3.1 可逆な連鎖の自己共分散（Geyer） 統計誤差の解析：自己相関・バッチ平均・ジャックナイフとブートストラップ → 35 番