Gibbs 測度と相転移の数理 50 本ノック

修士50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ第 1〜7 章（熱力学的極限・Gibbs 測度・Peierls の議論・Lee–Yang の円定理・FK 表示・関数不等式）の内容を学んだ修士課程の人。定理の仮定や反例まで確かめたい人向けです。

テーマの目次へ（Gibbs 測度と相転移の数理）

執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

読み込んでいます…

この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• H.-O. Georgii, Gibbs Measures and Phase Transitions, 2nd ed.
• S. Friedli, Y. Velenik, Statistical Mechanics of Lattice Systems
• B. Simon, The Statistical Mechanics of Lattice Gases, Vol. I
• G. Grimmett, The Random-Cluster Model

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜9: 熱力学的極限
• 10〜18: DLR 条件と Gibbs 測度
• 19〜27: Ising 模型と Peierls の議論
• 28〜35: Lee–Yang の円定理
• 36〜43: ランダムクラスター表示と浸透
• 44〜50: 関数不等式

形式: 単一選択 16・複数選択 9・○× 6・数値 7・並べ替え 4・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 0 / 17 / 28 / 5。

この冊で使う定義・定理（81）

• 系 5.2 Gibbs 測度の集合は凸でコンパクト DLR 条件と Gibbs 測度：仕様・存在・極値測度と Dobrushin の一意性定理 → 12, 16, 18 番
• 系 7.4 Gibbs 仕様での判定 DLR 条件と Gibbs 測度：仕様・存在・極値測度と Dobrushin の一意性定理 → 17 番
• 系 6.3 尾部での値が Gibbs 測度を決める DLR 条件と Gibbs 測度：仕様・存在・極値測度と Dobrushin の一意性定理 → 18 番
• 定義 7.1 Dobrushin の相互作用行列 DLR 条件と Gibbs 測度：仕様・存在・極値測度と Dobrushin の一意性定理 → 14 番
• 定義 4.1 Gibbs 測度（DLR 条件） DLR 条件と Gibbs 測度：仕様・存在・極値測度と Dobrushin の一意性定理 → 11 番
• 定義 3.1 仕様 DLR 条件と Gibbs 測度：仕様・存在・極値測度と Dobrushin の一意性定理 → 16 番
• 例 7.6 Ising 模型の高温での一意性 DLR 条件と Gibbs 測度：仕様・存在・極値測度と Dobrushin の一意性定理 → 13, 17, 27 番
• 演習 8.2 DLR 条件と Gibbs 測度：仕様・存在・極値測度と Dobrushin の一意性定理 → 12 番
• 補題 2.1 配位空間の性質 DLR 条件と Gibbs 測度：仕様・存在・極値測度と Dobrushin の一意性定理 → 10, 15 番
• 補題 6.1 Gibbs 測度どうしの密度は尾部可測 DLR 条件と Gibbs 測度：仕様・存在・極値測度と Dobrushin の一意性定理 → 18 番
• 補題 7.2 変動の評価 DLR 条件と Gibbs 測度：仕様・存在・極値測度と Dobrushin の一意性定理 → 15 番
• 命題 4.2 DLR 方程式と条件付き期待値 DLR 条件と Gibbs 測度：仕様・存在・極値測度と Dobrushin の一意性定理 → 11 番
• 注意 4.3 1 点の仕様で足りること DLR 条件と Gibbs 測度：仕様・存在・極値測度と Dobrushin の一意性定理 → 11 番
• 定理 7.3 Dobrushin の一意性定理 DLR 条件と Gibbs 測度：仕様・存在・極値測度と Dobrushin の一意性定理 → 13, 14, 15 番
• 定理 5.1 Gibbs 測度の存在 DLR 条件と Gibbs 測度：仕様・存在・極値測度と Dobrushin の一意性定理 → 10 番
• 定理 6.2 極値 Gibbs 測度の特徴づけ DLR 条件と Gibbs 測度：仕様・存在・極値測度と Dobrushin の一意性定理 → 12, 16 番
• 系 3.2 対数凹関数の周辺は対数凹 Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度：Bakry–Émery・Brascamp–Lieb・Holley–Stroock・Gross → 44, 48 番
• 定義 2.1 Poincaré 不等式と対数 Sobolev 不等式 Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度：Bakry–Émery・Brascamp–Lieb・Holley–Stroock・Gross → 50 番
• 例 5.2 Gauss 測度での等号 Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度：Bakry–Émery・Brascamp–Lieb・Holley–Stroock・Gross → 47 番
• 例 4.3 Gauss 測度 Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度：Bakry–Émery・Brascamp–Lieb・Holley–Stroock・Gross → 45, 46 番
• 例 6.2 凸でないポテンシャル Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度：Bakry–Émery・Brascamp–Lieb・Holley–Stroock・Gross → 46 番
• 演習 8.3 Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度：Bakry–Émery・Brascamp–Lieb・Holley–Stroock・Gross → 50 番
• 命題 2.3 LSI は Poincaré 不等式を導く Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度：Bakry–Émery・Brascamp–Lieb・Holley–Stroock・Gross → 47, 50 番
• 注意 6.3 格子系への拡張と次元の問題 Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度：Bakry–Émery・Brascamp–Lieb・Holley–Stroock・Gross → 47 番
• 注意 7.3 2 点空間と Gross の元の証明 Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度：Bakry–Émery・Brascamp–Lieb・Holley–Stroock・Gross → 49 番
• 定理 4.2 Bakry–Émery 判定 Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度：Bakry–Émery・Brascamp–Lieb・Holley–Stroock・Gross → 45, 46 番
• 定理 7.2 Gross の定理（LSI と超縮小性） Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度：Bakry–Émery・Brascamp–Lieb・Holley–Stroock・Gross → 49 番
• 定理 6.1 Holley–Stroock の摂動定理 Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度：Bakry–Émery・Brascamp–Lieb・Holley–Stroock・Gross → 45 番
• 定理 3.1 Prékopa–Leindler の不等式 Poincaré 不等式・対数 Sobolev 不等式と対数凹測度：Bakry–Émery・Brascamp–Lieb・Holley–Stroock・Gross → 44, 48 番
• 系 6.2 d≥2 での相の共存 Ising 模型と Peierls の議論：1 次元の一意性と 2 次元以上の相の共存 → 27 番
• 演習 8.2 Ising 模型と Peierls の議論：1 次元の一意性と 2 次元以上の相の共存 → 22 番
• 補題 5.3 単連結な集合の輪郭は連結 Ising 模型と Peierls の議論：1 次元の一意性と 2 次元以上の相の共存 → 22, 25 番
• 補題 5.4 連結な偶集合の個数 Ising 模型と Peierls の議論：1 次元の一意性と 2 次元以上の相の共存 → 21, 25 番
• 補題 5.2 偶な集合は輪郭 Ising 模型と Peierls の議論：1 次元の一意性と 2 次元以上の相の共存 → 22 番
• 補題 3.1 転送行列のスペクトル分解 Ising 模型と Peierls の議論：1 次元の一意性と 2 次元以上の相の共存 → 19, 20 番
• 命題 4.4 自発磁化の性質 Ising 模型と Peierls の議論：1 次元の一意性と 2 次元以上の相の共存 → 24, 27 番
• 注意 3.3 Markov 連鎖としての解釈 Ising 模型と Peierls の議論：1 次元の一意性と 2 次元以上の相の共存 → 20, 24, 26 番
• 定理 3.2 1 次元 Ising 模型の Gibbs 測度の一意性 Ising 模型と Peierls の議論：1 次元の一意性と 2 次元以上の相の共存 → 14, 19, 26 番
• 定理 6.1 Peierls の定理 Ising 模型と Peierls の議論：1 次元の一意性と 2 次元以上の相の共存 → 21, 23, 25, 26 番
• 定理 4.2 + 状態の存在 Ising 模型と Peierls の議論：1 次元の一意性と 2 次元以上の相の共存 → 23, 24 番
• 定義 2.1 Lee–Yang 多項式 Lee–Yang の円定理：Asano 縮約による証明と外場のもとでの相転移の不在 → 29 番
• 例 4.4 1 次元の周期鎖の零点 Lee–Yang の円定理：Asano 縮約による証明と外場のもとでの相転移の不在 → 34 番
• 例 4.3 2 点の場合 Lee–Yang の円定理：Asano 縮約による証明と外場のもとでの相転移の不在 → 29 番
• 演習 6.2 Lee–Yang の円定理：Asano 縮約による証明と外場のもとでの相転移の不在 → 30 番
• 補題 3.1 Asano の補題 Lee–Yang の円定理：Asano 縮約による証明と外場のもとでの相転移の不在 → 30, 32 番
• 補題 2.2 Ising 模型の分配関数 Lee–Yang の円定理：Asano 縮約による証明と外場のもとでの相転移の不在 → 28 番
• 補題 5.1 対数の一様な評価 Lee–Yang の円定理：Asano 縮約による証明と外場のもとでの相転移の不在 → 33 番
• 補題 2.3 反転対称性 Lee–Yang の円定理：Asano 縮約による証明と外場のもとでの相転移の不在 → 31 番
• 補題 4.1 1 本の辺 Lee–Yang の円定理：Asano 縮約による証明と外場のもとでの相転移の不在 → 30, 35 番
• 命題 3.2 縮約は非零性を保つ Lee–Yang の円定理：Asano 縮約による証明と外場のもとでの相転移の不在 → 32, 35 番
• 注意 5.3 「相転移がない」ことの意味 Lee–Yang の円定理：Asano 縮約による証明と外場のもとでの相転移の不在 → 33 番
• 定理 5.2 外場のもとでの圧力の解析性 Lee–Yang の円定理：Asano 縮約による証明と外場のもとでの相転移の不在 → 31, 33 番
• 定理 4.2 Lee–Yang の円定理 Lee–Yang の円定理：Asano 縮約による証明と外場のもとでの相転移の不在 → 28, 31, 34, 35 番
• 系 3.2 相関は連結確率 ランダムクラスター表示と浸透：FK 表示・Edwards–Sokal 結合・FKG による比較と長距離模型 → 36, 37 番
• 系 6.3 短距離的な 1 次元 Ising 模型に自発磁化はない ランダムクラスター表示と浸透：FK 表示・Edwards–Sokal 結合・FKG による比較と長距離模型 → 42 番
• 定義 2.1 ランダムクラスター測度 ランダムクラスター表示と浸透：FK 表示・Edwards–Sokal 結合・FKG による比較と長距離模型 → 37 番
• 補題 4.1 クラスターの個数の超モジュラ性 ランダムクラスター表示と浸透：FK 表示・Edwards–Sokal 結合・FKG による比較と長距離模型 → 38 番
• 補題 4.3 増加関数で傾けると大きくなる ランダムクラスター表示と浸透：FK 表示・Edwards–Sokal 結合・FKG による比較と長距離模型 → 39, 41 番
• 補題 6.1 Kolmogorov の 0-1 法則 ランダムクラスター表示と浸透：FK 表示・Edwards–Sokal 結合・FKG による比較と長距離模型 → 43 番
• 命題 5.1 経路の数え上げによる高温評価 ランダムクラスター表示と浸透：FK 表示・Edwards–Sokal 結合・FKG による比較と長距離模型 → 40 番
• 命題 5.2 輪郭の数え上げによる低温評価 ランダムクラスター表示と浸透：FK 表示・Edwards–Sokal 結合・FKG による比較と長距離模型 → 40 番
• 命題 6.2 短い辺が支配的なら浸透しない ランダムクラスター表示と浸透：FK 表示・Edwards–Sokal 結合・FKG による比較と長距離模型 → 42, 43 番
• 定理 6.4 1/r² 浸透の二分律（Aizenman–Newman, ACCN の主張） ランダムクラスター表示と浸透：FK 表示・Edwards–Sokal 結合・FKG による比較と長距離模型 → 42, 43 番
• 定理 4.4 比較不等式 ランダムクラスター表示と浸透：FK 表示・Edwards–Sokal 結合・FKG による比較と長距離模型 → 39, 40 番
• 定理 3.1 Edwards–Sokal 結合 ランダムクラスター表示と浸透：FK 表示・Edwards–Sokal 結合・FKG による比較と長距離模型 → 36, 37, 41 番
• 定理 4.2 ランダムクラスター測度の FKG 不等式 ランダムクラスター表示と浸透：FK 表示・Edwards–Sokal 結合・FKG による比較と長距離模型 → 38, 41 番
• 定義 2.1 相互作用 熱力学的極限：圧力の存在・凸性・Gibbs の変分原理と Cramér の定理 → 4 番
• 定義 5.1 対数積率母関数と速度関数 熱力学的極限：圧力の存在・凸性・Gibbs の変分原理と Cramér の定理 → 8 番
• 定義 2.4 van Hove 列 熱力学的極限：圧力の存在・凸性・Gibbs の変分原理と Cramér の定理 → 1 番
• 例 5.4 ±1 のコイン投げと混合エントロピー 熱力学的極限：圧力の存在・凸性・Gibbs の変分原理と Cramér の定理 → 3 番
• 例 4.5 独立スピンでの変分原理 熱力学的極限：圧力の存在・凸性・Gibbs の変分原理と Cramér の定理 → 7 番
• 例 2.2 Ising 模型 熱力学的極限：圧力の存在・凸性・Gibbs の変分原理と Cramér の定理 → 2, 9 番
• 補題 2.5 境界項は体積に比べて小さい 熱力学的極限：圧力の存在・凸性・Gibbs の変分原理と Cramér の定理 → 4, 6 番
• 補題 4.1 エントロピーの基本性質 熱力学的極限：圧力の存在・凸性・Gibbs の変分原理と Cramér の定理 → 5, 7, 9 番
• 補題 5.2 速度関数の性質 熱力学的極限：圧力の存在・凸性・Gibbs の変分原理と Cramér の定理 → 3, 8 番
• 命題 3.2 境界条件によらないこと 熱力学的極限：圧力の存在・凸性・Gibbs の変分原理と Cramér の定理 → 6 番
• 命題 4.2 平均エントロピーの存在 熱力学的極限：圧力の存在・凸性・Gibbs の変分原理と Cramér の定理 → 2, 5 番
• 定理 5.3 Cramér の定理 熱力学的極限：圧力の存在・凸性・Gibbs の変分原理と Cramér の定理 → 3 番
• 定理 3.1 熱力学的極限における圧力の存在 熱力学的極限：圧力の存在・凸性・Gibbs の変分原理と Cramér の定理 → 4, 6, 9 番
• 定理 4.3 Gibbs の変分原理 熱力学的極限：圧力の存在・凸性・Gibbs の変分原理と Cramér の定理 → 2, 7 番
• 定理 3.3 Prokhorov の定理（緊密ならば相対コンパクト） 確率測度の弱収束：Portmanteau・Prokhorov・Skorokhod の表現定理 → 10 番