圏論・ホモロジー代数 100 本ノック

修士100 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマの記事（米田の補題・極限・随伴から導来圏まで）を一通り読み、各章の定義と主な定理の主張を知っている人。証明の細部は仮定しません。

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執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 3 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• S. Mac Lane, Categories for the Working Mathematician (2nd ed.), Springer GTM 5
• E. Riehl, Category Theory in Context, Dover
• C. A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press
• M. Kashiwara, P. Schapira, Categories and Sheaves, Springer Grundlehren 332

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜7: 圏・関手・自然変換
• 8〜13: 米田の補題と表現可能関手
• 14〜20: 極限と余極限
• 21〜27: 随伴関手と随伴関手定理
• 28〜32: Kan 拡張と前層の圏
• 33〜38: モナドとモノイダル圏
• 39〜45: 加法圏とアーベル圏
• 46〜50: 射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
• 51〜57: 鎖複体とホモトピー圏
• 58〜65: 導来関手と δ 関手
• 66〜72: Ext と拡大
• 73〜79: 群のコホモロジーと群の拡大
• 80〜85: スペクトル系列
• 86〜90: Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー
• 91〜95: 三角圏とホモトピー圏の三角構造
• 96〜100: 導来圏と全導来関手

形式: 単一選択 32・複数選択 18・○× 11・数値 16・並べ替え 7・誤り探し 8・記述 8。難易度 ★〜★★★★: 10 / 42 / 41 / 7。

この冊で使う定義・定理（178）

• 定理 7.1 準同型の分解定理（商群の普遍性） 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み → 24, 48 番
• 系 6.1 有限生成アーベル群の基本定理 加群と PID 上の構造定理：アーベル群の分類とジョルダン標準形を一つの定理で → 67 番
• 定理 4.1 スミス標準形 加群と PID 上の構造定理：アーベル群の分類とジョルダン標準形を一つの定理で → 100 番
• 系 7.2 五項補題 加法圏とアーベル圏：像分解から「元」による図式追跡まで → 42, 85 番
• 定義 4.1 アーベル圏・平衡圏 加法圏とアーベル圏：像分解から「元」による図式追跡まで → 44 番
• 定義 3.2 双積 加法圏とアーベル圏：像分解から「元」による図式追跡まで → 45 番
• 補題 5.2 完全性の判定 加法圏とアーベル圏：像分解から「元」による図式追跡まで → 45 番
• 補題 2.2 核と余核の基本性質 加法圏とアーベル圏：像分解から「元」による図式追跡まで → 39, 44 番
• 命題 4.2 双対圏もアーベル圏 加法圏とアーベル圏：像分解から「元」による図式追跡まで → 39 番
• 命題 4.3 アーベル圏の mono・epi と平衡性 加法圏とアーベル圏：像分解から「元」による図式追跡まで → 39, 44 番
• 命題 3.7 加法関手と双積 加法圏とアーベル圏：像分解から「元」による図式追跡まで → 43, 62 番
• 命題 3.3 有限積・有限余積・双積の一致 加法圏とアーベル圏：像分解から「元」による図式追跡まで → 43 番
• 命題 5.4 完全関手は完全列を保つ 加法圏とアーベル圏：像分解から「元」による図式追跡まで → 43 番
• 命題 5.7 関手圏はアーベル圏 加法圏とアーベル圏：像分解から「元」による図式追跡まで → 39, 50 番
• 命題 5.5 Hom の左完全性 加法圏とアーベル圏：像分解から「元」による図式追跡まで → 43 番
• 命題 4.6 加群の圏はアーベル圏 加法圏とアーベル圏：像分解から「元」による図式追跡まで → 41 番
• 定理 6.3 元による図式追跡の規則 加法圏とアーベル圏：像分解から「元」による図式追跡まで → 42 番
• 定理 7.1 蛇の補題 加法圏とアーベル圏：像分解から「元」による図式追跡まで → 40, 41 番
• 系 5.4 自由群の存在 随伴関手と随伴関手定理：自由群・テンソルと Hom・量化子を一つの形で見る → 9, 25 番
• 系 5.5 群の圏は余完備 随伴関手と随伴関手定理：自由群・テンソルと Hom・量化子を一つの形で見る → 16 番
• 定義 2.1 随伴 随伴関手と随伴関手定理：自由群・テンソルと Hom・量化子を一つの形で見る → 21, 22, 26, 32 番
• 定義 2.2 単位・余単位・三角等式 随伴関手と随伴関手定理：自由群・テンソルと Hom・量化子を一つの形で見る → 33, 37 番
• 補題 5.3 生成された部分群の大きさ 随伴関手と随伴関手定理：自由群・テンソルと Hom・量化子を一つの形で見る → 25 番
• 命題 6.1 自由加群とアーベル化 随伴関手と随伴関手定理：自由群・テンソルと Hom・量化子を一つの形で見る → 22, 23 番
• 命題 4.2 右随伴の充満忠実性と余単位 随伴関手と随伴関手定理：自由群・テンソルと Hom・量化子を一つの形で見る → 23, 38 番
• 命題 6.2 テンソルと Hom の随伴、係数の拡大と制限 随伴関手と随伴関手定理：自由群・テンソルと Hom・量化子を一つの形で見る → 17, 21, 24 番
• 定理 2.7 普遍射の族から随伴 随伴関手と随伴関手定理：自由群・テンソルと Hom・量化子を一つの形で見る → 27 番
• 定理 5.2 一般随伴関手定理（Freyd） 随伴関手と随伴関手定理：自由群・テンソルと Hom・量化子を一つの形で見る → 25 番
• 定理 3.1 右随伴は極限を保つ 随伴関手と随伴関手定理：自由群・テンソルと Hom・量化子を一つの形で見る → 17, 22, 23, 26, 31 番
• 定義 6.1 圏同値・骨格 圏・関手・自然変換：Grothendieck 宇宙の上で「構造と写像」を一つの言葉にする → 5 番
• 定義 4.5 忠実・充満・本質的全射 圏・関手・自然変換：Grothendieck 宇宙の上で「構造と写像」を一つの言葉にする → 4, 7 番
• 定義 4.1 関手 圏・関手・自然変換：Grothendieck 宇宙の上で「構造と写像」を一つの言葉にする → 2 番
• 定義 3.9 始対象・終対象・零対象・零射 圏・関手・自然変換：Grothendieck 宇宙の上で「構造と写像」を一つの言葉にする → 3 番
• 定義 3.6 mono・epi・同型・切断・レトラクション 圏・関手・自然変換：Grothendieck 宇宙の上で「構造と写像」を一つの言葉にする → 1 番
• 定義 5.1 自然変換・自然同型 圏・関手・自然変換：Grothendieck 宇宙の上で「構造と写像」を一つの言葉にする → 2, 6, 12 番
• 命題 5.7 二重双対の自然性 圏・関手・自然変換：Grothendieck 宇宙の上で「構造と写像」を一つの言葉にする → 6 番
• 命題 6.3 圏同値は性質を保ち反映する 圏・関手・自然変換：Grothendieck 宇宙の上で「構造と写像」を一つの言葉にする → 5 番
• 命題 3.10 始対象・終対象の一意性 圏・関手・自然変換：Grothendieck 宇宙の上で「構造と写像」を一つの言葉にする → 3 番
• 命題 3.7 mono・epi の合成と打ち消し 圏・関手・自然変換：Grothendieck 宇宙の上で「構造と写像」を一つの言葉にする → 1, 17 番
• 定理 6.2 圏同値の判定 圏・関手・自然変換：Grothendieck 宇宙の上で「構造と写像」を一つの言葉にする → 4, 5, 7, 36 番
• 定義 4.1 鎖ホモトピー 鎖複体とホモトピー圏：長完全列・写像錐・非輪状集成補題 → 52, 57, 98 番
• 定義 5.1 写像錐・写像柱 鎖複体とホモトピー圏：長完全列・写像錐・非輪状集成補題 → 51 番
• 定義 2.3 コサイクル・コホモロジー・非輪状 鎖複体とホモトピー圏：長完全列・写像錐・非輪状集成補題 → 51 番
• 定義 2.4 擬同型 鎖複体とホモトピー圏：長完全列・写像錐・非輪状集成補題 → 52 番
• 定義 2.5 シフト 鎖複体とホモトピー圏：長完全列・写像錐・非輪状集成補題 → 57 番
• 定義 6.1 切り詰め 鎖複体とホモトピー圏：長完全列・写像錐・非輪状集成補題 → 55 番
• 補題 3.2 連結射の鎖の水準の記述 鎖複体とホモトピー圏：長完全列・写像錐・非輪状集成補題 → 54, 56, 57, 95 番
• 命題 2.2 複体の圏はアーベル圏 鎖複体とホモトピー圏：長完全列・写像錐・非輪状集成補題 → 54, 55 番
• 命題 5.2 写像錐の基本性質 鎖複体とホモトピー圏：長完全列・写像錐・非輪状集成補題 → 53 番
• 命題 4.4 ホモトピー圏は加法圏 鎖複体とホモトピー圏：長完全列・写像錐・非輪状集成補題 → 53 番
• 命題 5.5 ホモトピー同値と錐の可縮性 鎖複体とホモトピー圏：長完全列・写像錐・非輪状集成補題 → 53, 93 番
• 命題 4.2 ホモトピックな写像はコホモロジーで等しい 鎖複体とホモトピー圏：長完全列・写像錐・非輪状集成補題 → 52, 53 番
• 命題 6.2 切り詰めのコホモロジー 鎖複体とホモトピー圏：長完全列・写像錐・非輪状集成補題 → 55 番
• 定理 5.3 写像錐の長完全列 鎖複体とホモトピー圏：長完全列・写像錐・非輪状集成補題 → 51 番
• 定理 3.1 コホモロジーの長完全列 鎖複体とホモトピー圏：長完全列・写像錐・非輪状集成補題 → 54, 56 番
• 系 5.5 導来圏の Hom と Ext 導来圏と全導来関手：擬同型を可逆にして導来関手を一つの関手にする → 96, 97 番
• 補題 5.1 非輪状複体から入射複体への射は零ホモトピック 導来圏と全導来関手：擬同型を可逆にして導来関手を一つの関手にする → 98 番
• 補題 4.4 短完全列は導来圏の完全三角形を与える 導来圏と全導来関手：擬同型を可逆にして導来関手を一つの関手にする → 99 番
• 命題 4.5 アーベル圏は導来圏に充満忠実に入る 導来圏と全導来関手：擬同型を可逆にして導来関手を一つの関手にする → 97, 99 番
• 命題 7.1 大域次元 1 以下での対象の分類 導来圏と全導来関手：擬同型を可逆にして導来関手を一つの関手にする → 100 番
• 定理 4.3 導来圏は三角圏 導来圏と全導来関手：擬同型を可逆にして導来関手を一つの関手にする → 97, 99 番
• 定理 5.3 入射複体のホモトピー圏と D⁺(A) 導来圏と全導来関手：擬同型を可逆にして導来関手を一つの関手にする → 97 番
• 系 5.3 導来関手の普遍性 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 58 番
• 系 7.2 Tor の平衡性の自然性 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 62 番
• 定義 5.4 F 非輪状対象・F 非輪状分解 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 60 番
• 定義 4.1 δ 関手 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 58 番
• 定義 6.4 射影次元・入射次元・大域次元 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 64, 100 番
• 定義 6.1 アーベル圏の Ext 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 60 番
• 定義 8.1 逆極限の導来関手 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 59, 61 番
• 定義 4.2 普遍 δ 関手 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 58 番
• 補題 5.5 非輪状対象の完全複体 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 63 番
• 補題 2.4 延長補題 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 98 番
• 補題 2.1 完全性の基本操作 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 63 番
• 命題 6.3 随伴と導来関手（Shapiro 型の補題） 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 65 番
• 命題 6.5 次元と Ext の消滅 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 64 番
• 命題 7.1 加群の Tor・Ext との一致 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 62 番
• 定理 5.2 導来関手は δ 関手をなす 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 63 番
• 定理 6.2 Ext の平衡性 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 71 番
• 定理 4.4 Grothendieck の普遍性定理 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 58 番
• 定理 8.2 lim¹ の記述と Mittag-Leffler 条件 導来関手と δ 関手：比較定理・Grothendieck の普遍性・Ext と Tor の平衡性 → 59, 61 番
• 系 4.4 連結射と押し出し Ext と拡大：Yoneda の Ext・Baer 和・Abel 群の Ext と代数的 Künneth 公式 → 70 番
• 系 6.3 捩れ群の Ext と Q/Z への双対 Ext と拡大：Yoneda の Ext・Baer 和・Abel 群の Ext と代数的 Künneth 公式 → 68, 71 番
• 系 7.3 ホモロジーの普遍係数定理 Ext と拡大：Yoneda の Ext・Baer 和・Abel 群の Ext と代数的 Künneth 公式 → 72 番
• 定義 3.7 Baer 和 Ext と拡大：Yoneda の Ext・Baer 和・Abel 群の Ext と代数的 Künneth 公式 → 69 番
• 定義 3.1 拡大と拡大の同値 Ext と拡大：Yoneda の Ext・Baer 和・Abel 群の Ext と代数的 Künneth 公式 → 66 番
• 補題 3.2 拡大の同値は同値関係 Ext と拡大：Yoneda の Ext・Baer 和・Abel 群の Ext と代数的 Künneth 公式 → 69 番
• 補題 2.1 分裂する短完全列 Ext と拡大：Yoneda の Ext・Baer 和・Abel 群の Ext と代数的 Künneth 公式 → 67 番
• 命題 6.2 Abel 群の Ext の計算 Ext と拡大：Yoneda の Ext・Baer 和・Abel 群の Ext と代数的 Künneth 公式 → 60, 64, 66, 67, 68, 70, 71, 87, 96 番
• 命題 4.3 引き戻し・押し出しと Ext¹ の関手性 Ext と拡大：Yoneda の Ext・Baer 和・Abel 群の Ext と代数的 Künneth 公式 → 70 番
• 定理 4.5 Baer 和と Ext¹ の加法 Ext と拡大：Yoneda の Ext・Baer 和・Abel 群の Ext と代数的 Künneth 公式 → 69 番
• 定理 4.2 Ext¹ と拡大の同値類 Ext と拡大：Yoneda の Ext・Baer 和・Abel 群の Ext と代数的 Künneth 公式 → 66, 67, 69 番
• 系 5.2 Grothendieck のスペクトル系列の 5 項完全列 Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー：Cartan–Eilenberg 分解から LHS スペクトル系列まで → 90 番
• 補題 5.3 係数の制限と Hom の随伴 Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー：Cartan–Eilenberg 分解から LHS スペクトル系列まで → 65, 86 番
• 補題 6.1 群のコホモロジーは導来関手 Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー：Cartan–Eilenberg 分解から LHS スペクトル系列まで → 86 番
• 定理 5.4 変化環のスペクトル系列 Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー：Cartan–Eilenberg 分解から LHS スペクトル系列まで → 87 番
• 定理 5.1 Grothendieck のスペクトル系列 Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー：Cartan–Eilenberg 分解から LHS スペクトル系列まで → 86 番
• 定理 6.2 Lyndon–Hochschild–Serre スペクトル系列 Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー：Cartan–Eilenberg 分解から LHS スペクトル系列まで → 88, 89 番
• 系 3.5 コチェインによる表示 群のコホモロジーと群の拡大：bar 分解・交差準同型・Schur–Zassenhaus・Hilbert 90 → 78 番
• 系 7.3 有限群では |G| が消す 群のコホモロジーと群の拡大：bar 分解・交差準同型・Schur–Zassenhaus・Hilbert 90 → 74, 75, 78, 79, 88, 89 番
• 系 7.4 Schur–Zassenhaus の定理（Abel 核の場合） 群のコホモロジーと群の拡大：bar 分解・交差準同型・Schur–Zassenhaus・Hilbert 90 → 76 番
• 定義 4.1 交差準同型・主交差準同型 群のコホモロジーと群の拡大：bar 分解・交差準同型・Schur–Zassenhaus・Hilbert 90 → 74, 77 番
• 定義 2.2 G 加群・不変部分・余不変部分 群のコホモロジーと群の拡大：bar 分解・交差準同型・Schur–Zassenhaus・Hilbert 90 → 73 番
• 定義 5.1 群の拡大・因子団 群のコホモロジーと群の拡大：bar 分解・交差準同型・Schur–Zassenhaus・Hilbert 90 → 75 番
• 命題 4.2 H^0 と H^1 群のコホモロジーと群の拡大：bar 分解・交差準同型・Schur–Zassenhaus・Hilbert 90 → 74, 78, 79 番
• 命題 4.3 H_0 と H_1 とアーベル化 群のコホモロジーと群の拡大：bar 分解・交差準同型・Schur–Zassenhaus・Hilbert 90 → 79 番
• 命題 7.5 インフレーション–制限完全列 群のコホモロジーと群の拡大：bar 分解・交差準同型・Schur–Zassenhaus・Hilbert 90 → 74 番
• 定理 6.1 巡回群のコホモロジー 群のコホモロジーと群の拡大：bar 分解・交差準同型・Schur–Zassenhaus・Hilbert 90 → 73, 79, 88, 89 番
• 定理 5.2 H^2 と拡大 群のコホモロジーと群の拡大：bar 分解・交差準同型・Schur–Zassenhaus・Hilbert 90 → 75, 76, 78 番
• 定理 8.1 Hilbert の定理 90（一般形） 群のコホモロジーと群の拡大：bar 分解・交差準同型・Schur–Zassenhaus・Hilbert 90 → 77 番
• 系 3.4 制限の左随伴と右随伴 Kan 拡張と前層の圏：表現可能前層を貼り合わせて空間を作る → 50 番
• 定義 6.1 デカルト閉圏 Kan 拡張と前層の圏：表現可能前層を貼り合わせて空間を作る → 31 番
• 定義 3.1 左 Kan 拡張・右 Kan 拡張・各点 Kan 拡張 Kan 拡張と前層の圏：表現可能前層を貼り合わせて空間を作る → 29 番
• 命題 3.7 随伴は Kan 拡張である Kan 拡張と前層の圏：表現可能前層を貼り合わせて空間を作る → 30 番
• 命題 7.1 誘導表現と Frobenius の相互律 Kan 拡張と前層の圏：表現可能前層を貼り合わせて空間を作る → 32 番
• 命題 3.6 充満忠実な関手に沿った各点 Kan 拡張 Kan 拡張と前層の圏：表現可能前層を貼り合わせて空間を作る → 30 番
• 定理 2.2 稠密性定理 Kan 拡張と前層の圏：表現可能前層を貼り合わせて空間を作る → 30 番
• 定理 3.3 各点 Kan 拡張の公式 Kan 拡張と前層の圏：表現可能前層を貼り合わせて空間を作る → 29 番
• 定理 6.4 前層の圏はトポス Kan 拡張と前層の圏：表現可能前層を貼り合わせて空間を作る → 28, 30, 31 番
• 定義 6.1 フィルター圏・順極限・逆極限 極限と余極限：積・等化子・引き戻しからフィルター余極限の完全性まで → 18 番
• 定義 2.2 極限・余極限・完備 極限と余極限：積・等化子・引き戻しからフィルター余極限の完全性まで → 14, 15, 20, 26 番
• 定義 2.4 積・等化子・引き戻しとその双対 極限と余極限：積・等化子・引き戻しからフィルター余極限の完全性まで → 14, 15, 20, 27, 29, 45 番
• 補題 6.2 フィルター圏の有限な条件 極限と余極限：積・等化子・引き戻しからフィルター余極限の完全性まで → 19 番
• 命題 6.3 集合のフィルター余極限の記述 極限と余極限：積・等化子・引き戻しからフィルター余極限の完全性まで → 18, 19 番
• 命題 5.2 Hom は極限を保つ 極限と余極限：積・等化子・引き戻しからフィルター余極限の完全性まで → 10, 16, 24, 48 番
• 命題 7.1 mono と核対 極限と余極限：積・等化子・引き戻しからフィルター余極限の完全性まで → 17 番
• 命題 5.1 関手圏の極限は各点で計算できる 極限と余極限：積・等化子・引き戻しからフィルター余極限の完全性まで → 16 番
• 定理 6.4 フィルター余極限と有限極限の交換 極限と余極限：積・等化子・引き戻しからフィルター余極限の完全性まで → 16, 19 番
• 定理 3.1 積と等化子から極限 極限と余極限：積・等化子・引き戻しからフィルター余極限の完全性まで → 20 番
• 定義 2.4 T 代数と Eilenberg–Moore 圏 モナドとモノイダル圏：随伴から代数を、テンソル積から圏の構造を取り出す → 34, 38 番
• 定義 2.1 モナド・余モナド モナドとモノイダル圏：随伴から代数を、テンソル積から圏の構造を取り出す → 37 番
• 定義 3.6 モノイド対象 モナドとモノイダル圏：随伴から代数を、テンソル積から圏の構造を取り出す → 35 番
• 補題 3.3 有限積はモノイダル構造を与える モナドとモノイダル圏：随伴から代数を、テンソル積から圏の構造を取り出す → 35 番
• 命題 2.2 随伴はモナドを定める モナドとモノイダル圏：随伴から代数を、テンソル積から圏の構造を取り出す → 33, 37, 38 番
• 命題 4.4 デカルト閉圏の例 モナドとモノイダル圏：随伴から代数を、テンソル積から圏の構造を取り出す → 33 番
• 命題 4.3 閉モノイダル圏のテンソル積は余極限を保つ モナドとモノイダル圏：随伴から代数を、テンソル積から圏の構造を取り出す → 35 番
• 命題 2.12 リストモナドの代数はモノイド モナドとモノイダル圏：随伴から代数を、テンソル積から圏の構造を取り出す → 34, 36 番
• 命題 5.4 超ベクトル空間の対称モノイダル構造 モナドとモノイダル圏：随伴から代数を、テンソル積から圏の構造を取り出す → 35 番
• 定理 2.8 比較関手 モナドとモノイダル圏：随伴から代数を、テンソル積から圏の構造を取り出す → 36 番
• 定理 2.7 Kleisli の随伴 モナドとモノイダル圏：随伴から代数を、テンソル積から圏の構造を取り出す → 36 番
• 系 8.5 入射余生成子の存在 射影対象・入射対象と Grothendieck 圏：十分な入射対象と入射包 → 48 番
• 定義 3.1 射影対象・入射対象 射影対象・入射対象と Grothendieck 圏：十分な入射対象と入射包 → 46 番
• 補題 6.5 有向な部分対象の族と AB5 射影対象・入射対象と Grothendieck 圏：十分な入射対象と入射包 → 47 番
• 命題 4.2 随伴は入射対象・射影対象を保つ 射影対象・入射対象と Grothendieck 圏：十分な入射対象と入射包 → 49, 50, 65, 86 番
• 命題 6.7 Grothendieck 圏の例 射影対象・入射対象と Grothendieck 圏：十分な入射対象と入射包 → 47 番
• 命題 5.1 加群の圏は十分に射影対象・入射対象をもつ 射影対象・入射対象と Grothendieck 圏：十分な入射対象と入射包 → 49, 50, 96 番
• 命題 3.2 射影対象と Hom の完全性 射影対象・入射対象と Grothendieck 圏：十分な入射対象と入射包 → 46 番
• 命題 3.3 射影対象の直和と直和因子 射影対象・入射対象と Grothendieck 圏：十分な入射対象と入射包 → 49 番
• 定理 7.3 Grothendieck 圏は十分に入射対象をもつ 射影対象・入射対象と Grothendieck 圏：十分な入射対象と入射包 → 47 番
• 定理 8.3 入射包の存在と一意性 射影対象・入射対象と Grothendieck 圏：十分な入射対象と入射包 → 47 番
• 定義 2.3 収束 スペクトル系列：完全対・フィルター付き複体・二重複体 → 81, 83, 84 番
• 定義 2.1 スペクトル系列 スペクトル系列：完全対・フィルター付き複体・二重複体 → 80, 81, 82 番
• 補題 2.2 微分が消えるときの E 項 スペクトル系列：完全対・フィルター付き複体・二重複体 → 81, 82, 83 番
• 命題 6.1 エッジ写像と 5 項完全列 スペクトル系列：完全対・フィルター付き複体・二重複体 → 83, 90 番
• 命題 4.5 スペクトル系列の比較定理 スペクトル系列：完全対・フィルター付き複体・二重複体 → 85 番
• 命題 6.2 1 行・2 行・2 列に集中する場合 スペクトル系列：完全対・フィルター付き複体・二重複体 → 87, 88, 89 番
• 定理 4.4 有界なフィルターの収束 スペクトル系列：完全対・フィルター付き複体・二重複体 → 84, 85 番
• 系 3.5 錐の一意性 三角圏とホモトピー圏の三角構造：写像錐を公理にする → 91, 95 番
• 定義 5.1 標準三角形と K(A) の完全三角形 三角圏とホモトピー圏の三角構造：写像錐を公理にする → 93 番
• 定義 2.2 三角圏 三角圏とホモトピー圏の三角構造：写像錐を公理にする → 91, 92, 94 番
• 命題 5.6 H^0 はコホモロジー的 三角圏とホモトピー圏の三角構造：写像錐を公理にする → 93 番
• 命題 3.2 Hom の完全性 三角圏とホモトピー圏の三角構造：写像錐を公理にする → 94 番
• 命題 5.7 次数ごとに分裂する短完全列の三角形 三角圏とホモトピー圏の三角構造：写像錐を公理にする → 93, 95 番
• 命題 4.4 分裂する完全三角形 三角圏とホモトピー圏の三角構造：写像錐を公理にする → 92, 95, 99 番
• 命題 3.1 完全三角形の基本性質 三角圏とホモトピー圏の三角構造：写像錐を公理にする → 91, 92, 94 番
• 命題 3.4 三角形の五項補題 三角圏とホモトピー圏の三角構造：写像錐を公理にする → 92 番
• 系 4.3 表現対象の一意性 米田の補題と表現可能関手：対象を「そこへの射の全体」で知る → 13 番
• 系 3.3 米田埋め込み 米田の補題と表現可能関手：対象を「そこへの射の全体」で知る → 11 番
• 系 3.4 米田の原理 米田の補題と表現可能関手：対象を「そこへの射の全体」で知る → 11 番
• 定義 2.3 表現可能関手 米田の補題と表現可能関手：対象を「そこへの射の全体」で知る → 9, 10 番
• 定義 2.4 部分関手と篩 米田の補題と表現可能関手：対象を「そこへの射の全体」で知る → 28 番
• 定義 4.5 普遍射 米田の補題と表現可能関手：対象を「そこへの射の全体」で知る → 27 番
• 定義 4.1 普遍元 米田の補題と表現可能関手：対象を「そこへの射の全体」で知る → 13 番
• 命題 4.4 忘却関手と冪集合関手の表現 米田の補題と表現可能関手：対象を「そこへの射の全体」で知る → 8, 10, 13 番
• 命題 4.2 表現と普遍元 米田の補題と表現可能関手：対象を「そこへの射の全体」で知る → 9 番
• 定理 3.1 米田の補題 米田の補題と表現可能関手：対象を「そこへの射の全体」で知る → 8, 11, 12 番
• 命題 3.6 PID 上の入射加群 テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群：Baer の判定法から忠実平坦まで → 49, 65 番
• 定義 4.1 Tor と Ext Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで → 62, 72 番
• 定理 5.1 商集合の普遍性 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 14 番