作用素環と量子統計力学 100 本ノック

博士・研究100 問。先頭 10 問は無料、残りは購入者向けです。

対象読者: 本テーマの記事で扱う GNS 構成、von Neumann 環、冨田–竹崎理論、KMS 状態、CCR・CAR 代数、量子スピン系の内容を学んだ博士課程レベルの人。各ブロックは該当する章を前提とします。

テーマの目次へ（作用素環と量子統計力学）

執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

読み込んでいます…

この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• O. Bratteli, D. W. Robinson, Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1・2
• M. Takesaki, Theory of Operator Algebras
• B. Nachtergaele, R. Sims, Lieb–Robinson bounds and the exponential clustering theorem (2006)

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜10: 状態と GNS 構成
• 11〜20: von Neumann 環
• 21〜28: 因子の型
• 29〜40: 冨田–竹崎理論
• 41〜52: KMS 状態
• 53〜62: CCR・CAR 代数
• 63〜72: 表現の準同値
• 73〜82: 量子スピン系
• 83〜92: Lieb–Robinson 評価
• 93〜100: 熱平衡への回帰

形式: 単一選択 29・複数選択 19・○× 12・数値 20・並べ替え 7・誤り探し 5・記述 8。難易度 ★〜★★★★: 11 / 39 / 38 / 12。

この冊で使う定義・定理（198）

• 系 3.4 CAR 代数の自己同型と自由時間発展 CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 59 番
• 定義 3.1 CAR 系と CAR 代数 CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 58, 60 番
• 定義 5.1 CAR のゲージ不変な準自由状態 CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 56 番
• 定義 5.3 CCR のゲージ不変な準自由状態 CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 53 番
• 定義 2.1 Weyl 系と Weyl 代数 CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 48 番
• 例 2.5 反例：σ が退化していると一意性も単純性も壊れる CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 55 番
• 例 7.4 反例：有限自由度ではすべて準同値 CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 61 番
• 例 2.4 自由時間発展は Weyl 代数上でノルム連続でない CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 54 番
• 演習 8.4 CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 57 番
• 補題 7.2 巨視的平均の強収束 CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 61, 62 番
• 命題 4.1 Araki–Woods 表現 CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 53 番
• 命題 4.2 Araki–Wyss 表現 CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 58 番
• 命題 3.2 CAR からノルムが決まる CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 54, 60 番
• 命題 7.1 凝縮状態は正則な状態である CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 62 番
• 定理 3.3 CAR 代数の一意性と単純性 CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 54 番
• 定理 6.1 自由フェルミ気体の KMS 状態の一意性 CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 59 番
• 定理 7.3 Fock・温度・凝縮状態の表現は互いに素 CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 62 番
• 定理 5.2 CAR の準自由状態の存在条件 CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 56, 57, 59 番
• 定理 5.4 CCR の準自由状態の存在条件 CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 57 番
• 定理 2.2 Weyl 代数の一意性と単純性 CCR・CAR 代数と準自由状態：Araki–Woods 表現と無限自由度の非同値性 → 55 番
• 定義 2.1 中心台 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 23 番
• 定義 4.7 Connes の S 不変量と III_λ 型 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 40 番
• 定義 4.1 因子の型 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 27 番
• 定義 3.7 有限・無限・純無限な射影 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 22 番
• 定義 3.1 Murray–von Neumann 同値と順序 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 21, 23 番
• 定義 5.1 Powers 状態 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 30 番
• 定義 4.3 正規・忠実・半有限なトレース 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 27 番
• 例 5.8 反例：ICC でない群 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 19 番
• 例 5.7 自由群因子 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 25 番
• 例 5.4 温度で型が変わる 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 25 番
• 例 3.9 無限次元の B(H) では 1 は無限 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 22 番
• 演習 7.1 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 21 番
• 演習 7.3 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 25 番
• 演習 7.2 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 24 番
• 補題 3.4 直交和の同値 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 26 番
• 命題 2.2 因子では中心台は 1 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 26 番
• 命題 3.8 有限性は小さい射影に遺伝する 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 22 番
• 命題 3.3 左台と右台は同値 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 26 番
• 定理 3.5 比較定理（因子の場合） 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 23, 26 番
• 定理 6.1 局所代数は III₁ 型 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 28 番
• 定理 5.2 Powers の定理 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 25 番
• 定理 4.5 型とトレース 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 24, 28 番
• 定理 4.2 I 型因子の構造 因子の型分類：射影の比較・トレース・Powers 因子から III₁ 型の局所代数まで → 27 番
• 定義 3.1 KMS 状態 KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 41, 42 番
• 定義 6.1 受動的な状態・完全受動的な状態 KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 46, 50 番
• 定義 4.7 相転移（KMS 状態の非一意性） KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 51 番
• 例 5.2 Bose–Einstein 凝縮と KMS 状態の非一意性 KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 47, 52 番
• 例 5.1 自由ボース気体の KMS 状態 KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 48, 52 番
• 例 5.5 Ising 模型の相転移と 1 次元の一意性 KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 51 番
• 例 3.4 反例：無限次元の B(K) には KMS 状態がないことがある KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 45 番
• 演習 7.2 KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 48 番
• 命題 3.3 有限次元での KMS 状態は Gibbs 状態 KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 42, 45, 49 番
• 命題 4.1 KMS 状態の時間不変性 KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 43, 47 番
• 命題 4.2 KMS 条件の von Neumann 環への拡張と分離性 KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 43 番
• 命題 4.8 対称性と KMS 状態 KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 47, 51 番
• 命題 5.4 量子スピン系の KMS 状態の存在 KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 45 番
• 注意 5.3 熱力学極限との関係 KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 52 番
• 注意 3.5 β の符号と極限 KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 37, 44 番
• 注意 4.4 モジュラー群との関係（竹崎の定理） KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 44 番
• 定理 4.5 KMS 状態の集合の構造 KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 43, 51 番
• 定理 3.2 KMS 条件の同値な形 KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 41, 49 番
• 定理 6.2 受動的な状態の特徴づけ（有限次元） KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 46, 50 番
• 定理 6.4 完全受動性と KMS 条件（Pusz–Woronowicz、Lenard） KMS 状態と熱平衡：Gibbs 状態を解析的な境界条件で特徴づける → 50 番
• 系 3.3 Lieb–Robinson 速度 Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 85, 88 番
• 定義 2.3 F 関数 Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 83, 86 番
• 定義 6.1 frustration-free 系 Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 91 番
• 定義 4.1 基底状態とスペクトルギャップ Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 89 番
• 定義 2.2 相互作用と有限体積の動力学 Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 87 番
• 定義 2.5 相互作用のノルム Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 84, 86, 88 番
• 例 6.2 AKLT 模型 Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 91 番
• 例 4.4 一意性を外すと相関は減衰しない Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 89 番
• 例 2.6 最近接相互作用のノルム Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 84 番
• 例 2.4 ℤ^ν 上の多項式型 F 関数 Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 83, 84 番
• 演習 7.4 Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 90 番
• 演習 7.1 Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 83 番
• 補題 3.1 交換子の積分不等式 Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 86 番
• 注意 5.3 Haldane 予想：主張と現状 Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 92 番
• 注意 3.6 無限体積の動力学の証明の筋道 Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 87 番
• 注意 3.4 評価の性質と拡張 Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 85 番
• 定理 6.3 AKLT 模型の基底状態とギャップ（Affleck–Kennedy–Lieb–Tasaki） Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 80, 92 番
• 定理 4.3 指数クラスタリング定理（Hastings–Koma, Nachtergaele–Sims） Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 88, 89 番
• 定理 3.5 無限体積の動力学の存在 Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 87 番
• 定理 6.5 Knabe の有限サイズ判定 Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 91 番
• 定理 3.2 Lieb–Robinson 評価 Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 85, 86 番
• 定理 5.2 Lieb–Schultz–Mattis の定理 Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰：量子スピン系の有限伝播速度 → 90, 92 番
• 定義 5.1 基底状態 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 76 番
• 定義 4.1 相互作用と局所ハミルトニアン 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 74, 75 番
• 定義 6.1 平均エネルギー・平均エントロピー・圧力 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 82 番
• 定義 3.1 局所代数・準局所代数・平行移動 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 73 番
• 例 7.2 AKLT 模型 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 80 番
• 例 4.6 反例：全対結合では熱力学極限の動力学が存在しない 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 75, 77 番
• 例 7.1 Heisenberg 模型と強磁性体の基底状態 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 79 番
• 例 7.3 横磁場 Ising 模型と量子相転移 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 81 番
• 演習 8.1 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 74 番
• 補題 6.3 有限体積の Gibbs 変分原理 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 82 番
• 命題 5.4 frustration-free な状態は基底状態 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 78, 79, 81 番
• 命題 5.3 有限体積の基底状態の極限 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 76 番
• 命題 5.2 基底状態の局所的な判定 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 76, 78 番
• 命題 6.2 平均エネルギーは体積あたりのエネルギー 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 82 番
• 命題 3.3 準局所代数の構造 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 73 番
• 注意 3.4 CAR 代数との関係 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 73 番
• 定理 4.3 熱力学極限の動力学の存在 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 74, 75, 77 番
• 定理 6.5 変分原理（並進不変状態） 量子スピン系：準局所代数・相互作用・熱力学極限の動力学と平衡状態 → 82 番
• 系 7.1 切断を外した基底状態は Fock 状態と互いに素 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 68 番
• 定義 4.2 Hellinger 親和度 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 65 番
• 定義 3.2 π-正規状態とフォリウム 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 64 番
• 定義 3.1 表現の準同値・互いに素 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 62, 63 番
• 例 4.5 反例：各因子は同値でも直積は特異 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 67 番
• 例 7.2 可換な影：Cameron–Martin の定理 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 65 番
• 例 3.5 反例：準同値だがユニタリ同値でない 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 63 番
• 例 6.6 温度の異なる熱平衡状態 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 71 番
• 例 5.4 傾けたスピンの積状態 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 66 番
• 演習 8.2 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 69 番
• 補題 5.2 積状態の表現の中の状態は無限遠で積状態に近づく 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 70 番
• 補題 5.1 ベクトル状態の距離 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 70 番
• 命題 3.4 因子表現の二分法 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 64, 71, 72 番
• 命題 6.3 シフトした Fock 状態の準同値 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 68 番
• 定理 6.4 ゲージ不変な CCR 準自由状態の準同値（Araki–Yamagami の判定の特別な場合） 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 69, 71 番
• 定理 4.3 Kakutani の定理 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 65, 67 番
• 定理 6.7 Powers–Størmer の定理（同時対角化できる場合） 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 69, 72 番
• 定理 5.3 純粋な積状態の同値判定 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 66, 67, 70, 79 番
• 定理 3.3 準同値の特徴づけ 表現の準同値と準自由状態の判定：正規状態・Kakutani の定理・Hilbert–Schmidt 条件 → 64 番
• 定義 3.1 Araki–Woods 表現 Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論 → 94 番
• 定義 3.6 結合系の Liouvillean Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論 → 100 番
• 定義 2.5 標準 Liouvillean Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論 → 93, 100 番
• 例 6.3 有限次元での Araki の摂動 Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論 → 99, 100 番
• 例 2.7 有限次元の Liouvillean Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論 → 93, 95, 99 番
• 例 4.5 反例：黄金律の条件が破れると回帰しない Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論 → 98 番
• 例 5.2 2 準位系の黄金律と緩和率 Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論 → 98 番
• 演習 9.2 Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論 → 96 番
• 命題 3.3 Araki–Woods 表現の標準形 Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論 → 94 番
• 命題 3.5 非摂動 Liouvillean のスペクトル Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論 → 94, 95 番
• 命題 2.6 不変状態と Liouvillean の核 Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論 → 95, 96 番
• 命題 2.8 KMS 状態の Liouvillean とモジュラー作用素 Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論 → 93 番
• 注意 4.4 証明の所在と仮定について Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論 → 98 番
• 定理 6.1 KMS 状態の摂動（Araki） Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論 → 99, 100 番
• 定理 4.3 有限準位系と熱浴の熱平衡への回帰（Jakšić–Pillet, Bach–Fröhlich–Sigal） Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論 → 98 番
• 定理 4.2 熱平衡への回帰の抽象定理（Jakšić–Pillet） Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論 → 96, 97 番
• 定理 2.3 標準形の基本定理（Araki, Connes） Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論 → 93, 97 番
• 系 4.4 Gelfand–Naimark の定理 C* 環の状態と GNS 構成：期待値の汎関数から Hilbert 空間を再構成する → 8 番
• 定義 3.1 正値汎関数と状態 C* 環の状態と GNS 構成：期待値の汎関数から Hilbert 空間を再構成する → 1 番
• 例 4.5 密度行列状態の GNS 表現 C* 環の状態と GNS 構成：期待値の汎関数から Hilbert 空間を再構成する → 3, 7 番
• 例 3.8 行列環の状態と密度行列 C* 環の状態と GNS 構成：期待値の汎関数から Hilbert 空間を再構成する → 1, 49 番
• 例 4.3 巡回性を外すと一意性は壊れる C* 環の状態と GNS 構成：期待値の汎関数から Hilbert 空間を再構成する → 4 番
• 例 5.3 ベクトル状態でない純粋状態 C* 環の状態と GNS 構成：期待値の汎関数から Hilbert 空間を再構成する → 5, 9 番
• 演習 6.3 C* 環の状態と GNS 構成：期待値の汎関数から Hilbert 空間を再構成する → 5, 8 番
• 演習 6.2 C* 環の状態と GNS 構成：期待値の汎関数から Hilbert 空間を再構成する → 4, 5 番
• 補題 5.1 Radon–Nikodym 型の補題 C* 環の状態と GNS 構成：期待値の汎関数から Hilbert 空間を再構成する → 6, 7, 10 番
• 補題 2.5 Schur の補題 C* 環の状態と GNS 構成：期待値の汎関数から Hilbert 空間を再構成する → 6 番
• 命題 3.11 ノルムを実現する状態 C* 環の状態と GNS 構成：期待値の汎関数から Hilbert 空間を再構成する → 8 番
• 命題 2.2 正錐の基本性質 C* 環の状態と GNS 構成：期待値の汎関数から Hilbert 空間を再構成する → 2 番
• 命題 3.2 正値汎関数の基本性質 C* 環の状態と GNS 構成：期待値の汎関数から Hilbert 空間を再構成する → 1, 2, 78 番
• 定理 4.1 GNS 構成 C* 環の状態と GNS 構成：期待値の汎関数から Hilbert 空間を再構成する → 2, 3 番
• 定理 4.2 GNS 表現の一意性 C* 環の状態と GNS 構成：期待値の汎関数から Hilbert 空間を再構成する → 4, 7, 10 番
• 定理 5.2 純粋状態と既約表現 C* 環の状態と GNS 構成：期待値の汎関数から Hilbert 空間を再構成する → 5, 6, 9, 10 番
• 定義 7.3 Araki の相対エントロピー 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 36 番
• 定義 2.1 巡回ベクトルと分離ベクトル 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 29 番
• 定義 5.2 KMS 条件 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 38 番
• 定義 5.1 モジュラー自己同型群 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 31, 39 番
• 定義 3.3 モジュラー作用素とモジュラー共役 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 33, 35 番
• 定義 3.1 冨田作用素 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 29 番
• 例 5.6 Gibbs 状態のモジュラー群は時間発展 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 32 番
• 例 4.3 行列環のモジュラー作用素：Δ = ρ⊗ρ⁻¹ 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 30, 31, 32, 39, 40 番
• 例 3.5 反例：分離的でないと S は定義できない 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 29 番
• 例 7.2 行列環の相対モジュラー作用素 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 36 番
• 例 7.5 行列環では梅垣の相対エントロピー 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 36 番
• 演習 8.4 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 30 番
• 演習 8.2 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 33 番
• 補題 2.2 巡回性と分離性の双対性 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 97 番
• 命題 3.4 モジュラー作用素の基本関係 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 33, 38 番
• 注意 5.7 モジュラー群と因子の型 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 40 番
• 定理 6.1 Bisognano–Wichmann の定理 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 37 番
• 定理 5.3 状態はモジュラー群に関して KMS 条件を満たす 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 31, 37, 38, 44 番
• 定理 4.1 冨田–竹崎の定理 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 34 番
• 定理 4.4 冨田–竹崎の定理（有限次元の場合） 冨田–竹崎理論とモジュラー群：モジュラー作用素・KMS 条件・Bisognano–Wichmann・相対エントロピー → 34, 35 番
• 系 6.4 L∞ は極大可換 von Neumann 環 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 11 番
• 定義 6.1 中心と因子 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 15, 19 番
• 定義 5.2 正規状態 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 16 番
• 定義 2.1 σ弱位相とσ強位相 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 12 番
• 定義 3.2 von Neumann 環 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 11 番
• 例 6.6 確率測度の GNS 表現が生成する環 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 17 番
• 例 3.7 ノルム閉でも弱閉とは限らない von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 11 番
• 例 4.4 射影を持たない C* 環とその弱閉包 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 17 番
• 例 6.12 群 von Neumann 環 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 18, 20 番
• 例 3.6 *-閉でない環では二重可換子定理が壊れる von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 13 番
• 演習 7.2 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 16 番
• 演習 7.3 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 18 番
• 演習 7.1 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 15 番
• 命題 4.1 関数計算で閉じていること von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 18 番
• 命題 3.1 可換子の基本性質 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 13, 20 番
• 命題 6.15 跡状態から生じる因子 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 24 番
• 命題 6.13 ICC 群の群 von Neumann 環は因子 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 19, 20 番
• 命題 2.2 4 つの位相の関係 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 12 番
• 注意 3.9 Kaplansky の定理の証明の筋道 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 12 番
• 注意 3.5 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 13 番
• 定理 3.3 von Neumann の二重可換子定理 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 13, 14 番
• 定理 3.8 Kaplansky の稠密性定理 von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 14, 17 番
• 定理 5.3 正規状態の特徴づけ von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子 → 9, 16, 28 番