von Neumann 環と二重可換子定理：弱閉包・射影・正規状態・因子

0. この記事の要点

無限個の自由度をもつ量子系では、観測量の列が近づいていく先が、もとの観測量の集まりの外にはみ出してしまうことがあります。はみ出さないように「極限をとっても閉じている」観測量の集まりを考えたい、というのがこの記事の出発点です。ここでは、そのような集まりが「ある集まりとどの順序でかけても結果が変わらないものを集め、その操作をもう一度繰り返す」という素朴な操作だけで得られることを示します。読み終えると、そうして得られる環の中にどんな観測量や状態が入っているかが見通せるようになります。

• $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ には弱・強・σ弱・σ強の 4 つの局所凸位相（半ノルムの族で定まる位相）があり、有界集合の上では弱 = σ弱、強 = σ強です。σ弱位相は $\mathcal{B}(\mathcal{H})=\mathcal{S}_1(\mathcal{H})^*$ の弱 $*$ 位相で、単位球はσ弱コンパクトです。
• 二重可換子定理: $1$ を含む $*$-部分環 $\mathfrak{A}\subset\mathcal{B}(\mathcal{H})$ について、二重可換子 $\mathfrak{A}''$ は 4 つの位相のどれによる閉包とも一致します。代数的条件 $\mathfrak{M}=\mathfrak{M}''$ と位相的条件（弱閉）が同値になることが、von Neumann 環の理論の出発点です。
• von Neumann 環はスペクトル射影（自己共役作用素を値の範囲ごとに切り分ける射影）・極分解の部分等長を含み、射影の線形包がノルム稠密です。射影を 1 つも持たない $C(X)$ と対照的です。
• 正規状態（単調収束について連続な状態）は密度作用素 $\rho$（トレースが 1 の正の作用素）による $\mathrm{tr}(\rho\,\cdot)$ と同じものです。前章のベクトル状態でない純粋状態は正規でない状態の典型です。
• 中心 $\mathfrak{M}\cap\mathfrak{M}'$ が $\mathbb{C}1$ のものを因子といいます。$\mathcal{B}(\mathcal{H})$、ICC 群（単位元以外の共役類がすべて無限集合の群）の群 von Neumann 環、$M_2(\mathbb{C})$ の無限テンソル積の跡状態による閉包はいずれも因子で、可換 von Neumann 環は $L^\infty$ 環です。

この記事で使う事前知識

• ノルム位相・強位相・弱位相: 作用素が別の作用素に近づくことを、作用素の大きさ全体で測るか、各ベクトルへの作用で測るか、内積で測るか、という三通りの測り方。→ 強位相
• ネット: 点列を一般化した、向きのついた添字集合で並べた族。位相空間での収束を扱うために使う。→ ネット
• 直交射影: 各ベクトルを、閉部分空間の中の最も近い点に移す作用素。→ 直交射影
• 表現: $C^*$ 環の元を Hilbert 空間上の作用素として実現する $*$-準同型。→ 表現
• 関数計算: 自己共役作用素 $T$ と関数 $f$ から作用素 $f(T)$ を作る操作。→ 関数計算

1. 動機

前章 C* 環の状態と GNS 構成 では、状態 $\omega$ から表現 $\pi_\omega$ を作りました。量子統計力学で実際に計算したいものの多くは、$\pi_\omega(\mathfrak{A})$ そのものには入っていません。たとえば、無限系の「粒子数が $n$ 以下である」ことを表す射影、熱力学極限で現れる秩序変数（空間平均の極限）、時間発展の生成子のスペクトル射影は、$\pi_\omega(\mathfrak{A})$ の元の弱極限や強極限としてしか得られません。ノルム位相で閉じた $C^*$ 環はこうした極限操作で閉じていないので、弱位相で閉じた作用素環が必要になります。

von Neumann は 1929 年、作用素環の弱閉包が純粋に代数的な操作「可換子を 2 回取る」で得られることを示しました。これが二重可換子定理です。この定理のおかげで、von Neumann 環は「対称性（可換子 $\mathfrak{M}'$）と観測量（$\mathfrak{M}$）が互いに相手を決める」という双対的な構造を持ちます。前章で見た「純粋状態 ⇔ $\pi_\omega(\mathfrak{A})'=\mathbb{C}1$」も、二重可換子定理を通すと「純粋状態の GNS 表現では $\pi_\omega(\mathfrak{A})''=\mathcal{B}(\mathcal{H}_\omega)$」と読み替えられます。

この記事では、まず作用素の位相を整理し（第 2 節）、二重可換子定理を証明します（第 3 節）。次に von Neumann 環が射影を豊富に含むこと（第 4 節）と、状態のうちで von Neumann 環と相性のよい正規状態（第 5 節）を扱い、最後に中心と因子を定義して基本例を調べます（第 6 節）。因子の分類（I・II・III 型）は次章 因子の型分類 の主題です。

記号は前章と同じです。$\mathcal{H}$ は Hilbert 空間、内積は第 1 変数について共役線形、$S\subset\mathcal{B}(\mathcal{H})$ の可換子を $S'$、$S''=(S')'$ と書きます。

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