スペクトルギャップの安定性：martingale 法・局所位相秩序・BHM 定理

0. この記事の要点

小さな磁石が格子状に並んだ物質のモデルでは、いちばん低いエネルギーの状態のすぐ上に隙間があるかどうかが重要な性質になります。この記事では、物質を大きくしても隙間が閉じないことをどう確かめるか、条件を少し変えても隙間が残るのはなぜか、という 2 つの問いに答える道具を順に紹介します。読み終えると、主要な結果がどんな仮定のもとでどう言えるのかを、証明の筋道とともに追えるようになります。

• 量子スピン系のスペクトルギャップ（基底エネルギーと次の固有値の差が体積によらず正であること）は、相の安定性・相関の指数減衰（定理 4.3［Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰］）・断熱的な状態の移り変わりの前提です。ここでは「ギャップをどう示すか」と「ギャップは摂動で閉じないか」を扱います。
• 2 つの射影の補題：射影 $P,Q$ について $(1-P)+(1-Q)\ge(1-\|PQ-P\wedge Q\|)(1-P\wedge Q)$。2 つの基底空間の「角度」がギャップの損失を決めます。
• martingale 法（Nachtergaele）：frustration-free 系（どの項も同時にエネルギー $0$ にできる系）で、ブロックの局所ギャップ $\gamma$、ブロックの重なりの数 $\ell$、新しく現れる励起がブロックから見える度合い $\varepsilon=\max_n\|G_{B_n}E_n\|$ について、$\varepsilon(r+1)<1$ なら全体のギャップは $\frac{\gamma}{\ell}(1-\varepsilon(r+1))^2$ 以上です（$r$ は相互作用するブロックの幅）。可換な射影の和では $\varepsilon=0$ です。
• 局所位相秩序（LTQO）：基底空間に射影した局所観測量がスカラーに近いこと。LTQO のもとでは局所摂動の 1 次の効果は基底空間で一様で、縮退の分裂は体積に比べて小さく抑えられます。Ising 模型のように LTQO が破れると、縮退（同じエネルギーの基底状態が複数あること）は体積に比例して分裂します。
• 安定性定理（Bravyi–Hastings–Michalakis、Michalakis–Zwolak、Nachtergaele–Sims–Young）：局所ギャップと LTQO を持つ frustration-free 系に、小さく速く減衰する摂動を加えてもギャップは体積によらず開いたままです。古典的なハミルトニアンへの量子摂動（Yarotsky）、1 次元の局所反復ブロック対角化（Del Vecchio–Fröhlich–Pizzo–Rossi）も同じ問題の別解です。これらは主張と証明の筋道を述べます。

この記事で使う事前知識

• frustration-free: ハミルトニアンの各項を、同時にエネルギー $0$ にできる状態があること。→ frustration-free
• Lieb–Robinson 評価とギャップ: 相互作用の影響が有限の速さでしか伝わらないことと、それから従う相関の減衰。→ Lieb–Robinson 評価
• 直交射影: ベクトルを部分空間へ落とす作用素で、$P^2=P=P^*$ を満たすもの。→ 直交射影
• 基底状態: ハミルトニアンの最小のエネルギーを与える状態。→ 基底状態
• 局所代数: 有限個のサイトの上の作用素全体がなす代数。→ 局所代数
• Kato の解析摂動論: 孤立した固有値が、摂動に対して連続に動くという結果。→ Kato の解析摂動論

1. 動機

有限次元の行列では、孤立した固有値は摂動に対して連続に動き、ギャップは摂動のノルムの 2 倍までしか縮みません（Kato の解析摂動論、定理 5.4［作用素の収束と摂動］）。ところが体積 $|\Lambda|$ の量子スピン系に、各サイトに大きさ $\varepsilon$ の摂動 $\varepsilon\sum_xV_x$ を加えると、摂動のノルムは $\varepsilon|\Lambda|$ で、熱力学極限では無限大です。ノルムの評価だけでは何も言えません。にもかかわらず、物理的には「ギャップのある相は小さな局所摂動で壊れない」と期待され、これが量子相の分類（同じ相 = ギャップを閉じずに移り合える）の前提になっています。

体積によらない評価を得るには局所性を使う必要があり、そのためには 2 つの段階があります。第 1 は、摂動のないハミルトニアン自身のギャップを示すことです。frustration-free 系では、有限の大きさのブロックの情報から全体のギャップを導く方法があり、Lieb–Robinson 評価 で扱った Knabe の判定（定理 6.5［Lieb–Robinson 評価とギャップ・相関の減衰］）と、本章の martingale 法がその代表です。第 2 は、ギャップを持つハミルトニアンへの摂動でギャップが閉じないことを示すことです。ここでは基底状態の縮退がどう分裂するかが問題で、局所位相秩序という条件が鍵になります。

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