Liouvillean と熱平衡への回帰：W* 力学系のスペクトル理論

0. この記事の要点

熱いコーヒーを置いておくと、最初の温度が何であっても、やがて部屋の温度に落ち着きます。量子力学の小さな系（たとえば 2 つのエネルギー準位をもつ原子）を広い空間の熱の浴（熱浴）につないでも同じことが起きるはずですが、部品が有限個だけの系では、状態は落ち着かず、元の近くに何度も戻ってきます（§1）。この記事は、熱浴を無限に大きな系として扱うと、「初期状態によらず平衡に落ち着く」という性質が、ある作用素のスペクトル（固有値がどう分布しているか）の問題に言い換えられることを示します。読み終えると、なぜ落ち着くのか、どのくらいの速さか、どんなときに落ち着かないのかを、同じ言葉で説明できるようになります。

• von Neumann 環 $\mathfrak{M}$ を標準形（環を Hilbert 空間に載せる決まった作法）$(\mathfrak{M},\mathcal{H},J,\mathcal{P})$ で表現すると、$\mathfrak{M}$ の時間発展 $\tau_t$ は $J$ と自然錐 $\mathcal{P}$ を保つユニタリ群 $e^{itL}$ でただ 1 通りに実装されます。この生成子 $L$ が Liouvillean です。正規な不変状態は $\mathrm{Ker}\,L\cap\mathcal{P}$ のベクトルと 1 対 1 に対応します。
• 熱平衡への回帰の抽象定理（Jakšić–Pillet）: $\mathrm{Ker}\,L=\mathbb{C}\Omega$ で、$L$ が $\{\Omega\}^\perp$ 上で純粋に絶対連続（スペクトル測度が Lebesgue 測度に絶対連続）なら、任意の正規な初期状態 $\eta$ について $\eta(\tau_t(A))\to\omega(A)$ です。証明は Riemann–Lebesgue の補題と $\Omega$ の $\mathfrak{M}'$ に対する巡回性だけです。
• 有限準位系と自由ボース場（Araki–Woods 表現。熱浴を無限に大きな自由ボース場で表す方法）の結合系では $L_\lambda=L_0+\lambda(V-JVJ)$ で、非摂動の $L_0$ は実軸全体の連続スペクトルの中に固有値 $E_i-E_j$ を埋め込んでいます。摂動でこれらが（$0$ を 1 つだけ残して）消えることが熱平衡への回帰の中身です。
• 埋め込み固有値が消えるかどうかは Fermi の黄金律の作用素 $\Gamma_{\mathrm{F}}$ の核で判定され、2 準位系では緩和率 $\lambda^2\pi|G_{12}|^2j(\Delta)\coth(\beta\Delta/2)$ が現れます。厳密な証明は複素変形（共鳴の解析）か Mourre 理論（正の交換子）で行います。系の対称性で黄金律の条件が破れると回帰は起きません。
• Araki の摂動論: KMS 状態を表すベクトル（KMS ベクトル）$\Omega$ と有界な $V=V^*\in\mathfrak{M}$ から、$e^{-\beta(L+V)/2}\Omega$ が摂動された動力学の KMS ベクトルになり、$L+V-JVJ$ がその Liouvillean です。

この記事で使う事前知識

• 巡回分離ベクトル: ベクトル $\Omega$ について、$\mathfrak{M}\Omega$ が空間全体で稠密（巡回）で、$A\Omega=0$ なら $A=0$（分離）となること。
• 冨田作用素とモジュラー共役・モジュラー作用素: $A\Omega\mapsto A^*\Omega$ で決まる作用素 $S$ の極分解 $S=J\Delta^{1/2}$ から出る $J$ と $\Delta$。→ 冨田作用素
• KMS 状態: 逆温度 $\beta$ の熱平衡を表す状態。→ KMS 状態
• 正規状態: von Neumann 環の上で $\sigma$-弱連続な状態（行列環では密度行列で表される状態）。→ 正規状態
• 自己共役作用素: $L=L^*$ の作用素。$e^{itL}$ がユニタリ群になる。→ 自己共役作用素
• 絶対連続スペクトル: スペクトル測度が Lebesgue 測度に絶対連続な部分。この成分では時間とともに $\langle\phi,e^{itL}\psi\rangle\to0$ となる（Riemann–Lebesgue の補題）。→ 絶対連続

1. 動機

有限個の自由度を持つ量子系は、平衡に「回帰」しません。$H$ が離散スペクトルなら $\langle\psi,e^{itH}Ae^{-itH}\psi\rangle$ は概周期関数で、初期値の近くに何度でも戻ってきます（Poincaré 回帰）。一方、実際の系は環境（熱浴）と接していて、十分時間が経てば初期状態によらず温度 $\beta^{-1}$ の平衡状態に落ち着きます。この「熱平衡への回帰」を数学的に証明するには、熱浴を無限に大きな系として扱い、熱力学極限の時間発展を直接解析する必要があります。

作用素環の立場では、熱浴を含む系の観測量は von Neumann 環 $\mathfrak{M}$ をなし、温度 $\beta^{-1}$ の平衡状態は KMS 状態です（KMS 状態と熱平衡）。KMS 状態の GNS 空間では、時間発展が自己共役作用素 $L$（Liouvillean）で $e^{itL}$ と実装されます。ハミルトニアンと違い $L$ は下に有界ではなく、$\Delta=e^{-\beta L}$ がモジュラー作用素です（冨田–竹崎理論とモジュラー群）。

Jakšić と Pillet（1996）の洞察は、熱平衡への回帰が $L$ のスペクトルの問題に帰着するということでした。$L$ の零固有値が単純で、ほかが絶対連続なら回帰が起きます。これで、量子力学のスペクトル理論の道具（複素変形、Mourre 理論、Feshbach 写像、繰り込み群）が非平衡統計力学に持ち込まれました。この章ではその枠組みを、標準形の Liouvillean の定義から順に組み立てます。

次の図は、全体の見取り図です。有限系では $L$ の固有値が点として並ぶだけですが、熱浴をつなぐと、その点が連続スペクトルの中に埋め込まれます。結合を入れるとこの埋め込まれた固有値のほとんどが消える、というのがこの記事の主題です。

2 準位系（準位の差を Δ とする）の Liouvillean の固有値。上は熱浴なし、下は熱浴をつないだ非摂動の場合。0 は 2 重の固有値。

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