C*-代数の基礎：スペクトル理論・ゲルファント双対性・非可換空間

0. この記事の要点

図形や空間の形を調べるとき、その上で定義された連続関数の全体を調べるという方法があります。この記事では、関数どうしの足し算と掛け算の構造だけを残しても、もとの空間が復元できることを見ます。さらに、掛け算の順序を入れ替えると結果が変わる「関数」まで許すと、点に分けられない空間や量子力学の観測量まで同じ言葉で扱えることを説明します。読み終えると、関数の代数と空間の対応、およびその対応を非可換に広げる理由を、自分の言葉で説明できるようになります。

• 複素バナッハ代数の元 $a$ のスペクトル $\sigma(a)$（$\lambda 1 - a$ が可逆でなくなる複素数 $\lambda$ の集合で、行列の固有値の集合の一般化）は、つねに空でないコンパクト集合です。リウヴィルの定理を経由するこの一点に「解析」が凝縮され、以後の理論はすべてここから派生します。
• $C^*$-代数の公理は $\|a^*a\| = \|a\|^2$ というただ一本の等式です。これだけからノルムが $*$-代数構造によって一意に決まります。幾何学的情報がすべて代数に入っている、という非可換幾何学の出発点はここです。
• 可換な $C^*$-代数は $C_0(X)$（$X$ は局所コンパクトハウスドルフ空間）に限り、$X$ は代数から指標空間として復元できます（可換ゲルファント–ナイマルクの定理）。「局所コンパクトハウスドルフ空間」と「可換 $C^*$-代数」は同じ情報なのです。
• 非可換幾何学はこの辞書の代数側だけを残して可換性を捨て、一般の $C^*$-代数を「非可換位相空間」と読みます。
• 正規元 $a$ に対する連続関数計算 $C(\sigma(a)) \to A$（$a$ に連続関数を代入する操作）が、正値性・射影元・ユニタリ元といった以後の道具（K-理論、スペクトル三つ組）の共通の土台になります。
• 非可換な $C^*$-代数が必要になる場面は二つあります。円周を無理数回転で割った軌道空間は商位相では 1 点と区別がつきませんが、交叉積（回転のような作用を、代数の元として付け加えて作る代数）として作る非可換トーラス $A_\theta$（$VU = e^{2\pi i\theta}UV$）には $\theta$ の情報が残ります。量子論では $ab - ba = 1$ が有界作用素で実現できない（ヴィーラントの定理）ので、交換関係はワイル形式に直され、それは $A_\theta$ と同じ関係式になります。

この記事で使う事前知識

• コンパクト: どんな開被覆からも有限個を選んで覆える、という性質。→ コンパクト性
• ハウスドルフ空間: 異なる 2 点が、交わらない開集合で分けられる空間。→ ハウスドルフ空間
• 局所コンパクト: 各点がコンパクトな近傍をもつ、という性質。→ 局所コンパクト
• バナッハ空間: ノルムの入った完備なベクトル空間。→ ノルム空間・バナッハ空間
• 双対空間: 連続な線形汎関数 $A \to \mathbb{C}$ の全体。第 3 節の証明ではハーン–バナッハの定理と一様有界性原理を使います。→ 双対空間
• 整関数とリウヴィルの定理: 複素平面全体で正則な関数を整関数といい、有界な整関数は定数です。→ 整関数

1. 動機：なぜ関数環を非可換にするのか

位相空間 $X$ を調べるとき、私たちは $X$ そのものではなく連続関数のなす環 $C(X)$ を調べることがよくあります。代数幾何学ではこの方針が徹底されていて、代数閉体上のアフィン多様体 $V$ の点は座標環 $k[V]$ の極大イデアルに、多様体の射は環準同型に、向きを逆にして対応します（ヒルベルトの零点定理。イデアルと剰余環）。測度論でも、$(X, \mu)$ に $L^\infty(X,\mu)$ を対応させると可測集合は冪等元に、測度は線形汎関数に翻訳されます（L^p 空間と関数解析への導入）。位相空間についても同じことが言えるでしょうか。つまり $C(X)$ から $X$ を復元できるでしょうか。

1930 年代後半、ゲルファントはこの問いに答える枠組みを作りました。1941 年の論文「Normierte Ringe」で導入されたのが、可換バナッハ代数から「指標空間」を取り出す構成です。そして 1943 年、ゲルファントとナイマルクは、対合をもつバナッハ代数に $\|a^*a\| = \|a\|^2$ という一本の等式を課しただけで、可換な場合には $C_0(X)$ 以外にあり得ないことを示しました。$X$ は代数から完全に復元されます。空間はもはや点の集合として与えられる必要がなく、関数環という代数的対象で十分だということです。

同じころ、量子力学は別の方向から代数を要求していました。観測量は交換せず、位置と運動量は $[q, p] = i\hbar$ を満たすので、「位相空間の点」という古典的描像は成立しません。フォン・ノイマンが作用素環の研究を始めたのはこの事情によります。ここで自然な問いが立ちます。可換な $C^*$-代数が空間そのものだというなら、非可換な $C^*$-代数は何なのか。

コンヌの答えは、それも空間だ、ただし非可換な空間だ、というものです。この立場が力を持つのは、古典的には潰れてしまう空間が現れる場面です。群作用の軌道空間、葉層構造の葉空間、タイル張りの並進による同値類などは、商位相を入れると点が分離されず連続関数がほとんど残りません。例 7.1 で見るように、円周を無理数回転で割った空間は位相空間としては 1 点と区別がつきません。コンヌの処方箋は、商を取ってから関数環を作るのをやめ、同値関係そのものを代数に符号化することです。出てくる代数は非可換ですが、そのぶん情報を失いません（§7）。量子論の側からも同じ結論に至ります（§8）。

この記事はその土台を組みます。なぜバナッハ代数ではなく $C^*$-代数なのか、という問いにも答えます。答えは 系 4.3 です。バナッハ代数のノルムは代数の外から与える追加データですが、$C^*$-ノルムは代数構造だけで一意に決まります。位相が自動的に付いてくるからこそ、非可換空間を代数で定義してよいのです。

この記事の論理の流れ。左上のバナッハ代数から出発し、右下の連続関数計算まで一本道で降りていきます。

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