局所コンパクト空間：一点コンパクト化・Urysohn・Tietze・1 の分割・位相群

0. この記事の要点

実数全体はコンパクトではありませんが、どの点のまわりを見ても有界な閉区間で囲めるので、「小さく切り取れば扱いやすい」空間です。この記事は、このように各点のまわりだけがコンパクトな空間を調べます。そうした空間では、無限遠に 1 点を足してコンパクトにしたり、値が 1 から 0 へなめらかに下がる連続関数を作ったり、関数を貼り合わせたりできます。読み終えると、測度論で使う道具（台がコンパクトな連続関数の存在と分解）を位相の言葉だけで組み立てられるようになります。

• 局所コンパクトとは、各点がコンパクトな近傍を持つことです。$\mathbb{R}^n$、離散空間、コンパクト空間は局所コンパクトですが、$\mathbb{Q}$ や無限次元 Hilbert 空間はそうではありません。ハウスドルフ空間では、各点の近傍基をコンパクト集合で取れます。
• 一点コンパクト化 $X^{*} = X \cup \{\infty\}$ は、無限遠点を 1 つ足してコンパクトにする構成です。$X^{*}$ がハウスドルフであることは、$X$ が局所コンパクトであることと同値で、$(\mathbb{R}^n)^{*}$ は球面 $S^n$ になります。
• 一点コンパクト化は、正規空間の理論を局所コンパクト空間へ運ぶ橋になります。これで Urysohn の補題の台つき版（コンパクト集合 $K$ と開集合 $U \supseteq K$ に対し、$K$ で $1$、台（$0$ でない点の集合の閉包）がコンパクトで $U$ に入る連続関数）が出ます。
• Tietze の拡張定理（正規空間の閉部分集合上の連続関数は全体に拡張できる）を、一様収束する級数を作って証明します。
• 1 の分割により、コンパクト集合の有限開被覆に従属する（各関数が $U_i$ の中だけに台を持つ）連続関数の分解が得られます。測度論で Riesz–Markov の表現定理（正の線形汎関数を測度で表す定理）を示すときの基本の道具です。
• 位相群（群演算が連続な群）の基本性質を示します。局所コンパクト群は Haar 測度（群の演算で動かしても値が変わらない測度）の舞台です。
• 補遺として、LCH 空間が Baire 空間であること（疎集合の可算和は内部を持たない）と、写像空間のコンパクト開位相で評価写像が連続になること・指数法則が成り立つこと・値域が距離空間なら一様収束の位相と一致することを示します（第 2 節の最後）。

この記事で使う事前知識

• コンパクト: どんな開被覆からも有限個を選んで覆える、という性質。→ コンパクト空間
• ハウスドルフ空間: 異なる 2 点を互いに交わらない開集合で分けられる空間。→ ハウスドルフ空間
• 正規空間: 互いに素な 2 つの閉集合を、互いに交わらない開集合で分けられる空間（T1 も仮定）。→ 正則・正規
• 閉包・内部: 集合を含む最小の閉集合と、集合に含まれる最大の開集合。→ 内部・閉包
• 有限交叉性: 集合の族のどの有限個を取っても共通部分が空でない、という性質。コンパクト空間では、閉集合の族がこれを持てば全体の共通部分も空でない。→ 有限交叉性
• 準基: 有限個の共通部分を取って開基を作れる集合族。→ 準基と生成される位相

1. 動機：コンパクトではないが「局所的にはコンパクト」

実数全体 $\mathbb{R}$ はコンパクトではありません。しかし解析学の議論の多くは、$\mathbb{R}$ の「有界な範囲」で行われます。各点のまわりに閉区間（コンパクト）が取れるので、コンパクト性が効く議論を局所的に行い、あとで貼り合わせることができます。これを位相の言葉にしたのが局所コンパクト性です。

この性質は、後続の理論の舞台を決めます。

• 測度論では、局所コンパクトハウスドルフ空間 $X$ 上の連続関数で台がコンパクトなもの全体 $C_c(X)$ から出発して、正値線形汎関数を Radon 測度で表す（Riesz–Markov の表現定理）。そこで関数を作る補題（Urysohn）、関数を貼り合わせる道具（1 の分割）、関数を拡張する道具（Tietze）が必須になります。
• 群の上の不変測度（Haar 測度）は、局所コンパクトな位相群の上で存在します。

距離空間では、これらの関数は距離から具体的に書けました（分離公理と距離づけ可能性の 距離空間でのウリゾーン関数（例 6.3）［分離公理と距離づけ可能性］）。距離を持たない一般の空間では、正規性という集合の条件から関数を作らねばなりません。そのとき、局所コンパクト空間にコンパクトな「無限遠」を貼り付けて正規空間に帰着するのが、この記事の主要な戦略です。

2. 局所コンパクト空間

定義 2.1（局所コンパクト・LCH 空間）↗

位相空間 $X$ が局所コンパクトであるとは、各点 $x \in X$ がコンパクトな近傍 $K$ を持つこと、すなわち $x \in O \subseteq K$ なる開集合 $O$ とコンパクト集合 $K$ が存在することをいう。局所コンパクトかつハウスドルフな空間を LCH 空間という。

コンパクト空間は、全体 $X$ 自身がコンパクトな近傍なので局所コンパクトです。ただし定義の文献差に注意してください。ハウスドルフでない空間では、「コンパクトな近傍が存在する」「近傍基がコンパクト集合で取れる」「相対コンパクトな開近傍が存在する」は同値になりません。この記事ではハウスドルフ性を仮定して LCH 空間を扱い、そのとき上の三つが同値になることを次に示します。

次の命題は、「コンパクトな近傍がある」という弱い条件から、好きな開集合の中に収まる小さなコンパクト近傍が取れる、という強い形を引き出すものです。以後の構成（Urysohn の補題、Baire 空間、評価写像）はすべてこの形を使います。証明では、コンパクトな近傍 $K$ の中だけで考えます。$K$ は正規なので、$K$ の中での閉包を使って点 $x$ を小さく囲め、最後にそれが $X$ の中でも開であることを確かめます。ここで「$K$ の中での閉包」と「$X$ での閉包」を区別して読んでください。

「相対コンパクト」とは、閉包がコンパクトになること（有界な集合のイメージ）です。

命題 2.2（LCH 空間の近傍基）✓

$X$ を LCH 空間、$x \in U$（$U$ は開集合）とする。このとき、$x$ のコンパクトな近傍 $N$ で $N \subseteq U$ となるものが存在する。とくに、$x$ は相対コンパクトな開近傍 $W$（閉包 $\overline{W}$ がコンパクト）を持ち、$\overline{W} \subseteq U$ とできる。

証明（命題 2.2）

$x \in O \subseteq K$（$O$ は開、$K$ はコンパクト）とする。$W_0 := O \cap U$ は $X$ の開集合で $x \in W_0$、しかも $W_0 \subseteq K$ なので $K$ の開集合でもある。$K$ はコンパクトなハウスドルフ空間なので正規であり（定理 4.5［分離公理と距離づけ可能性］）、$\{x\}$ は $K$ で閉である。補題 4.4［分離公理と距離づけ可能性］ の 2 を、$K$ の中の閉集合 $\{x\}$ と開集合 $W_0$ に適用して、$K$ の開集合 $V$ で

$$x \in V \subseteq \mathrm{cl}_K(V) \subseteq W_0$$

となるものを得る（$\mathrm{cl}_K$ は $K$ の中での閉包）。

$V$ は $X$ の開集合である。実際 $V$ は $K$ の開集合なので $V = G \cap K$（$G$ は $X$ の開集合）と書け、$V \subseteq W_0 \subseteq O \subseteq K$ だから $V = V \cap O = G \cap K \cap O = G \cap O$ で、これは開集合。$N := \mathrm{cl}_K(V)$ は、コンパクト空間 $K$ の閉集合なのでコンパクトで（定理 4.1［コンパクト性］）、開集合 $V \ni x$ を含むので $x$ の近傍であり、$N \subseteq W_0 \subseteq U$。

後半：$W := V$ とおく。$N$ はコンパクトでハウスドルフ空間 $X$ の中で閉だから $\overline{W} \subseteq N$ で、閉集合 $\overline{W}$ はコンパクト集合 $N$ の閉部分集合としてコンパクト、かつ $\overline{W} \subseteq N \subseteq U$。

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さらに、点をコンパクト集合に取り替えても同じことが言えます。

補題 2.3（コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む）✓

$X$ を LCH 空間、$K \subseteq U$（$K$ はコンパクト、$U$ は開）とする。このとき、閉包がコンパクトな開集合 $V$ で $K \subseteq V \subseteq \overline{V} \subseteq U$ となるものが存在する。

証明（補題 2.3）

各 $x \in K$ について、命題 2.2 により相対コンパクトな開近傍 $W_x$ で $\overline{W_x} \subseteq U$ となるものを取る。$K$ のコンパクト性により、有限個の $x_1, \ldots, x_m$ で $K \subseteq V := W_{x_1} \cup \cdots \cup W_{x_m}$。$V$ は開で、$\overline{V} = \overline{W_{x_1}} \cup \cdots \cup \overline{W_{x_m}}$（有限個の合併の閉包は閉包の合併）はコンパクト集合の有限合併としてコンパクトで、$U$ に含まれる。

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例 2.4（局所コンパクトな空間とそうでない空間）

1. $\mathbb{R}^n$ は LCH：$x$ を中心とする閉球 $\overline{B}(x, 1)$ は有界閉集合で、定理 5.2［コンパクト性］ によりコンパクト、かつ開球 $B(x, 1)$ を含む。離散空間も LCH（1 点集合 $\{x\}$ がコンパクトな近傍）。
2. $\mathbb{Q}$（$\mathbb{R}$ からの相対位相）は局所コンパクトでない。$0$ がコンパクトな近傍 $K$ を持つとする。$K \supseteq (-\delta, \delta) \cap \mathbb{Q}$ なる $\delta > 0$ がある。$K$ は $\mathbb{R}$ でもコンパクトなので閉集合であり、有理数の稠密性から $K \supseteq [-\delta, \delta]$ となって、無理数 $\delta/\sqrt{2}$ を含む。$K \subseteq \mathbb{Q}$ に反する。
3. 2 乗総和可能な数列の空間 $\ell^2$ は局所コンパクトでない。もし $0$ がコンパクトな近傍 $N$ を持てば、$N$ は開球 $B(0, r)$ を含むので、閉球 $\overline{B}(0, r/2)$（$N$ の閉部分集合）がコンパクトになる。ところが $\tfrac{r}{2} e_n$（$e_n$ は第 $n$ 成分だけ $1$ の標準基底）は、$m \ne n$ で互いの距離が $\tfrac{r}{\sqrt{2}}$ なので、コーシー列になる部分列を持たず、収束部分列を持たない。コンパクト距離空間は点列コンパクトなので矛盾する。

命題 2.5（局所コンパクト性の遺伝）✓

$X$ を LCH 空間とする。$X$ の開部分集合 $U$ は、相対位相で LCH 空間である。

証明（命題 2.5）

ハウスドルフ性は部分空間に遺伝する。$x \in U$ とする。命題 2.2 のコンパクトな近傍 $N \subseteq U$ は、$U$ の部分集合としてもコンパクトで（コンパクト性は部分空間の内在的な性質）、$x \in O \subseteq N$ なる $X$ の開集合 $O$ は $U$ の開集合でもある（$O \subseteq U$）。よって $N$ は $U$ における $x$ のコンパクトな近傍。

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閉部分集合や有限直積についても同様に局所コンパクト性が保たれます（演習 8.1）。一方、$\mathbb{Q}$ は局所コンパクトな $\mathbb{R}$ の部分空間ですが、局所コンパクトでありません。開でも閉でもない部分集合では遺伝しません。

2.1. Baire 空間

局所コンパクト性のもう一つの帰結として、完備距離空間に対する Baire のカテゴリー定理（Baire のカテゴリー定理（定理 5.1）［距離空間］）が、距離を使わずに LCH 空間でも成り立つことを見ます。完備性と局所コンパクト性は一見無関係ですが、証明の骨格はどちらも「入れ子の閉集合の共通部分が空でない」ことです。

疎な集合とは、「どの空でない開集合の中にも、その集合と交わらない空でない開集合が残る」ような、すかすかの集合です（たとえば $\mathbb{R}$ の中の 1 点）。Baire 空間とは、そのようなすかすかな集合を可算個かき集めても、空でない開集合を満たすことはできない空間のことです。

定義 2.6（疎集合・Baire 空間）↗

位相空間 $X$ の部分集合 $A$ が疎（どこにも稠密でない、nowhere dense）であるとは、閉包 $\overline{A}$ が内点を持たない（$\operatorname{int}\overline{A} = \emptyset$）ことをいう。$X$ が Baire 空間であるとは、$X$ の疎な部分集合の列 $A_1, A_2, \ldots$ に対し、つねに合併 $\bigcup_{n} A_n$ の内部が空であることをいう。

定理 2.7（LCH 空間は Baire 空間）✓

LCH 空間は Baire 空間である。

証明（定理 2.7）

$X$ を LCH 空間、$A_1, A_2, \ldots$ を疎な部分集合とし、$W := \operatorname{int}\bigl(\bigcup_n A_n\bigr) \ne \emptyset$ と仮定して矛盾を導く。

$F_n := \overline{A_n}$ とおく。$F_n$ は閉で内点を持たない。$U_n := X \setminus F_n$ は開であり、さらに稠密である。実際、空でない開集合 $V$ が $U_n$ と交わらないなら $V \subseteq F_n$ となり、$F_n$ が内点を持たないことに反する。

入れ子の構成。 $V_0 := W$（空でない開集合）とする。$V_{n-1}$ が空でない開集合として定まったとき、$U_n$ は稠密だから $V_{n-1} \cap U_n$ は空でない開集合である。その点 $x$ をひとつ取ると、命題 2.2 により、開集合 $V_n$ で $x \in V_n$、閉包 $\overline{V_n}$ がコンパクト、$\overline{V_n} \subseteq V_{n-1} \cap U_n$ となるものが取れる。こうして空でない開集合の列 $V_0, V_1, V_2, \ldots$ で、$n \ge 1$ について $\overline{V_n}$ がコンパクト、$\overline{V_n} \subseteq V_{n-1} \cap U_n$ となるものを得る。

共通点。 $C_n := \overline{V_n}$（$n \ge 1$）とおくと $C_1 \supseteq C_2 \supseteq \cdots$（$C_{n+1} \subseteq V_n \subseteq C_n$）で、各 $C_n$ は空でない。$C_1$ を部分空間と見るとコンパクトで、各 $C_n$ はその閉部分集合であり、入れ子だから有限交叉性を持つ。有限交叉性による特徴づけ（命題 4.5）［コンパクト性］ により $p \in \bigcap_{n \ge 1} C_n$ が取れる。

$p \in C_1 \subseteq V_0 = W \subseteq \bigcup_n A_n \subseteq \bigcup_n F_n$ なので、ある $m$ で $p \in F_m$。一方 $p \in C_m \subseteq U_m = X \setminus F_m$ である。矛盾。したがって $\operatorname{int}\bigl(\bigcup_n A_n\bigr) = \emptyset$。

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例 2.8（Baire 空間であることの使い方）

$\mathbb{R}$ は LCH 空間なので Baire 空間です。可算個の点 $\{q_n\}$ の合併として $\mathbb{R}$ の開区間が書けたとすると、各 $\{q_n\}$ は閉で内点を持たない（疎）ので、その合併が空でない内部を持つことになり、定理 2.7 に反します。したがって開区間は非可算です。同じ議論は、孤立点を持たない LCH 空間すべて（たとえば $\mathbb{R}^n$）に通用します。

2.2. 写像空間とコンパクト開位相

連続写像全体のなす集合 $C(X,Y)$ に位相を入れると、「写像の族を点の動きとして調べる」ことができます。ホモトピー・ループ空間・関数解析の関数空間のいずれでも使われる位相が、次のコンパクト開位相です。

定義 2.9（コンパクト開位相）↗

$X, Y$ を位相空間とし、$C(X,Y)$ を $X$ から $Y$ への連続写像全体とする。$X$ のコンパクト集合 $K$ と $Y$ の開集合 $U$ に対し、

$$S(K, U) := \{ f \in C(X,Y) : f(K) \subseteq U \}$$

とおく。これらの全体を準基とする位相（準基と生成される位相（定義 2.1）［積位相・商位相と Tychonoff の定理］）を $C(X,Y)$ のコンパクト開位相という。

この位相の動機は、「関数が近い」ことを、定義域のコンパクトな部分の上で測りたいことにあります。$S(K,U)$ は「$K$ 全体を $U$ の中へ写す関数」の集まりで、$U$ を小さくするほど関数が $K$ 上で値を絞られます。次の命題以降は、この位相で評価写像が連続になり、指数法則が成り立つことを確かめます。

$K$ を 1 点集合に限ると $S(\{x\}, U)$ は「$f(x) \in U$」という条件で、これらが生成するのは点ごとの収束の位相です。コンパクト開位相は、$K$ を一般のコンパクト集合に広げた分だけ、それより細かい位相になります。

命題 2.10（評価写像の連続性）✓

$X$ を LCH 空間、$Y$ を位相空間とし、$C(X,Y)$ にコンパクト開位相を入れる。このとき評価写像

$$\mathrm{ev} : C(X,Y) \times X \to Y, \qquad \mathrm{ev}(f, x) = f(x)$$

は連続である。

証明（命題 2.10）

$(f, x) \in C(X,Y) \times X$ と、$\mathrm{ev}(f,x) = f(x)$ を含む開集合 $W \subseteq Y$ を任意に取る。$f$ は連続なので $f^{-1}(W)$ は $x$ を含む開集合である。命題 2.2 により、$x$ のコンパクトな近傍 $N \subseteq f^{-1}(W)$ が取れる。$N$ が近傍であるとは、$x \in O \subseteq N$ なる開集合 $O$ があることである。

集合 $S(N, W) \times O$ は $C(X,Y) \times X$ の開集合で、$(f,x)$ を含む（$f(N) \subseteq W$ だから）。$(g, y) \in S(N,W) \times O$ ならば $y \in O \subseteq N$ かつ $g(N) \subseteq W$ なので $\mathrm{ev}(g,y) = g(y) \in W$。よって $\mathrm{ev}$ は $(f,x)$ で連続である。

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定理 2.11（指数法則）✓

$X$ を LCH 空間、$Y, Z$ を位相空間とし、写像空間にはコンパクト開位相を入れる。写像 $f : X \times Y \to Z$ に対して $\Phi(f) : Y \to C(X,Z)$ を $\Phi(f)(y) = f(\cdot, y)$ で定めると、$\Phi$ は全単射

$$C(X \times Y, Z) \;\longrightarrow\; C\bigl(Y, C(X,Z)\bigr)$$

を与える。

証明（定理 2.11）

(1) $\Phi$ は連続写像を連続写像にうつす。 $f \in C(X\times Y, Z)$ とする。各 $y$ について $x \mapsto f(x,y)$ は連続（$x \mapsto (x,y)$ が連続で 積位相の普遍性（定理 3.4）［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ による）だから $\Phi(f)(y) \in C(X,Z)$。$\Phi(f)$ の連続性を示す。準基の元 $S(K,U)$（$K \subseteq X$ コンパクト、$U \subseteq Z$ 開）について 生成される位相の性質（補題 2.2）［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ の 2 により $\Phi(f)^{-1}(S(K,U)) = \{ y : f(K \times \{y\}) \subseteq U \}$ が開であることを示せばよい。

$y_0$ がこの集合に属するとする。各 $x \in K$ について $(x, y_0) \in f^{-1}(U)$ で、これは $X \times Y$ の開集合だから、積位相の開基（命題 3.2）［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ により開集合 $A_x \subseteq X$、$B_x \subseteq Y$ で $(x,y_0) \in A_x \times B_x \subseteq f^{-1}(U)$ となるものがある。$K$ はコンパクトなので有限個の $x_1, \ldots, x_m$ で $K \subseteq A_{x_1} \cup \cdots \cup A_{x_m}$。$V := B_{x_1} \cap \cdots \cap B_{x_m}$ は $y_0$ を含む開集合（$K = \emptyset$ のときは $V := Y$）で、$K \times V \subseteq \bigcup_i A_{x_i} \times B_{x_i} \subseteq f^{-1}(U)$。よって $V$ の点 $y$ はすべてこの集合に属し、集合は開である。

(2) 逆向き。 $g \in C(Y, C(X,Z))$ に対し $\Psi(g) : X \times Y \to Z$ を $\Psi(g)(x,y) := g(y)(x)$ で定める。これは $(x,y) \mapsto (g(y), x) \in C(X,Z) \times X$ と評価写像 $\mathrm{ev}$ の合成である。前者は成分 $(x,y) \mapsto g(y)$、$(x,y) \mapsto x$ がともに連続だから連続（積位相の普遍性（定理 3.4）［積位相・商位相と Tychonoff の定理］）、後者は 命題 2.10 により連続。よって $\Psi(g)$ は連続である。

(3) 全単射。 定義から $\Psi(\Phi(f))(x,y) = \Phi(f)(y)(x) = f(x,y)$ と $\Phi(\Psi(g))(y)(x) = \Psi(g)(x,y) = g(y)(x)$ が成り立つので、$\Psi \circ \Phi$ と $\Phi \circ \Psi$ は恒等写像である。

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最後に、値域が距離空間のとき、コンパクト開位相が解析学でおなじみの位相と一致することを見ます。$(Z, d)$ を距離空間、$f, g \in C(X, Z)$、$K \subseteq X$ をコンパクト集合とするとき、$x \mapsto d(f(x), g(x))$ は連続です（三角不等式から $|d(f(x),g(x)) - d(f(x_0),g(x_0))| \le d(f(x),f(x_0)) + d(g(x),g(x_0))$）。コンパクト集合 $K$ 上の連続関数は最大値を持つので（コンパクト集合の連続像（定理 6.1）［コンパクト性］ より像は $\mathbb{R}$ のコンパクト集合）、$K \ne \emptyset$ のとき $d_K(f,g) := \max_{x \in K} d(f(x), g(x))$ が定まる（$K = \emptyset$ なら $0$ とする）。$\varepsilon > 0$ に対し

$$B(f; K, \varepsilon) := \{ g \in C(X,Z) : d_K(f,g) < \varepsilon \}$$

とおき、$\mathcal{O} \subseteq C(X,Z)$ がコンパクト集合上の一様収束の位相で開であるとは、各 $f \in \mathcal{O}$ についてコンパクト集合 $K$ と $\varepsilon > 0$ で $B(f;K,\varepsilon) \subseteq \mathcal{O}$ となるものがあることとする。$f \in \mathcal{O}_1 \cap \mathcal{O}_2$ に対し $B(f; K_1 \cup K_2, \min(\varepsilon_1,\varepsilon_2)) \subseteq \mathcal{O}_1 \cap \mathcal{O}_2$ だから、これは位相の公理を満たす。

命題 2.12（コンパクト開位相とコンパクト一様収束の位相）✓

$X$ を位相空間、$(Z,d)$ を距離空間とする。$C(X,Z)$ のコンパクト開位相は、コンパクト集合上の一様収束の位相と一致する。

証明（命題 2.12）

(a) 準基の元は一様収束の位相で開。 $S(K,U)$ の元 $f$ を取り、$B(f;K,\varepsilon) \subseteq S(K,U)$ となる $\varepsilon$ を見つける。$K = \emptyset$ なら $S(K,U) = C(X,Z)$ で何でもよい。$K \ne \emptyset$ とする。$f(K)$ は $U$ に含まれ、各 $y \in f(K)$ に対し $B(y, 2r_y) \subseteq U$ なる $r_y > 0$ が取れる。$f(K)$ はコンパクトなので（コンパクト集合の連続像（定理 6.1）［コンパクト性］）、有限個の $y_1, \ldots, y_m$ で $f(K) \subseteq \bigcup_i B(y_i, r_{y_i})$。$\varepsilon := \min_i r_{y_i}$ とする。$g \in B(f;K,\varepsilon)$ と $x \in K$ に対し、$f(x) \in B(y_i, r_{y_i})$ なる $i$ を取ると $d(g(x), y_i) \le d(g(x), f(x)) + d(f(x), y_i) < \varepsilon + r_{y_i} \le 2 r_{y_i}$ だから $g(x) \in U$。よって $g \in S(K,U)$。

準基の元が開なので、コンパクト開位相の開集合は一様収束の位相で開である（準基の有限共通部分の合併だから）。

(b) 一様収束の位相の開集合はコンパクト開位相で開。 $B(f;K,\varepsilon)$ を含む形で示す。すなわち任意の $f \in C(X,Z)$、コンパクト集合 $K \ne \emptyset$、$\varepsilon > 0$ に対し、$f \in \mathcal{N} \subseteq B(f;K,\varepsilon)$ なるコンパクト開位相の開集合 $\mathcal{N}$ を作る。各 $x \in K$ に対し $U_x := f^{-1}(B(f(x), \varepsilon/8))$ は $x$ を含む開集合である。$K \subseteq \bigcup_{x} U_x$ とコンパクト性から、有限個の $x_1, \ldots, x_m$ で $K \subseteq U_{x_1} \cup \cdots \cup U_{x_m}$。$C_i := K \cap \overline{U_{x_i}}$ は、コンパクト集合 $K$ の閉部分集合としてコンパクトである（コンパクト空間の閉部分集合（定理 4.1）［コンパクト性］）。$f$ は連続だから $f(\overline{U_{x_i}}) \subseteq \overline{f(U_{x_i})}$ であり、$f(U_{x_i})$ は閉球 $\{z : d(z, f(x_i)) \le \varepsilon/8\}$（三角不等式により閉集合）に含まれるので、$f(C_i) \subseteq B(f(x_i), \varepsilon/4) =: V_i$。そこで

$$\mathcal{N} := S(C_1, V_1) \cap \cdots \cap S(C_m, V_m)$$

とおくと、$\mathcal{N}$ はコンパクト開位相の開集合で $f \in \mathcal{N}$。$g \in \mathcal{N}$ と $x \in K$ を取る。$x \in U_{x_i}$ なる $i$ があり、$x \in C_i$ だから $g(x) \in V_i$。よって

$$d(g(x), f(x)) \le d(g(x), f(x_i)) + d(f(x_i), f(x)) < \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{8} < \varepsilon$$

（$f(x) \in B(f(x_i), \varepsilon/8)$ を使った）。$K$ はコンパクトで最大値が取れるから $d_K(f,g) \le \tfrac{3}{8}\varepsilon < \varepsilon$、すなわち $g \in B(f;K,\varepsilon)$。

一様収束の位相の開集合 $\mathcal{O}$ と $f \in \mathcal{O}$ に対し、$B(f;K,\varepsilon) \subseteq \mathcal{O}$ なる $K, \varepsilon$ があり、$K = \emptyset$ なら $B(f;K,\varepsilon) = C(X,Z)$ なので $\mathcal{O} = C(X,Z)$ は開、$K \ne \emptyset$ なら上で作った $\mathcal{N}$ により $f \in \mathcal{N} \subseteq \mathcal{O}$。したがって $\mathcal{O}$ はコンパクト開位相で開である。

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とくに $X$ がコンパクトで $Z = \mathbb{R}$ なら、これは $C(X)$ の上限ノルムの位相（一様収束の位相）にほかなりません。$X = \mathbb{R}$ なら「任意の有界閉区間上で一様収束する」位相で、関数列の収束の議論（一様収束極限の連続性（定理 4.1）［関数列と一様収束］）の舞台になります。

3. 一点コンパクト化

局所コンパクト空間に無限遠点を足してコンパクトにします。

定義 3.1（一点コンパクト化）↗

$X$ をハウスドルフ空間とする。$X^{*} := X \cup \{\infty\}$（$\infty \notin X$ は新しい点）に、次の集合族を開集合とする位相 $\tau^{*}$ を入れる。

$$\tau^{*} := \{ U : U\text{ は }X\text{ の開集合}\} \cup \{ X^{*} \setminus K : K \subseteq X\text{ はコンパクト}\}.$$

$X^{*}$ を $X$ の一点コンパクト化（Alexandroff コンパクト化）という。

後者は「$\infty$ の近傍は、$X$ のコンパクト集合の外側すべて」という意味です。ハウスドルフ空間ではコンパクト集合は閉なので、$K$ は閉かつコンパクトです。

定理 3.2（一点コンパクト化の性質）✓

$X$ をハウスドルフ空間とする。

1. $\tau^{*}$ は $X^{*}$ の位相であり、$X$ は $X^{*}$ の開部分空間で、その相対位相は $X$ の元の位相に一致する。
2. $X^{*}$ はコンパクトである。$X$ がコンパクトでなければ、$X$ は $X^{*}$ で稠密である。
3. $X^{*}$ がハウスドルフであるための必要十分条件は、$X$ が局所コンパクトであることである。
4. （一意性）$Y$ をコンパクトハウスドルフ空間、$y \in Y$ とし、$h : X \to Y \setminus \{y\}$ を同相写像とする。このとき $h$ の拡張 $H : X^{*} \to Y$（$H(\infty) = y$）は同相写像である。

証明（定理 3.2）

1. $\tau^{*}$ が位相であること。以下、$K$ はつねに $X$ のコンパクト（したがって閉）集合を表す。$\emptyset$ と $X^{*} = X^{*} \setminus \emptyset$ は属す。補題として、$K$ がコンパクト、$F$ が閉なら $K \cap F$ は $K$ の閉部分集合としてコンパクトで、$K, K'$ が コンパクトなら $K \cup K'$ もコンパクトである。

• 有限共通部分：$U \cap (X^{*} \setminus K) = U \setminus K = U \cap (X \setminus K)$ は $X$ の開集合。$(X^{*} \setminus K) \cap (X^{*} \setminus K') = X^{*} \setminus (K \cup K')$。
• 任意合併：開集合 $U_\alpha$ の合併 $U$ は開、$X^{*} \setminus K_\beta$ の合併は $X^{*} \setminus \bigcap_\beta K_\beta$ で、$\bigcap_\beta K_\beta$ は 1 つの $K_{\beta_0}$ の閉部分集合としてコンパクト。混ざった場合は $U \cup (X^{*} \setminus K) = X^{*} \setminus (K \setminus U)$ で、$K \setminus U = K \cap (X \setminus U)$ はコンパクト。

$X \in \tau^{*}$ は $X$ 自身が開だから。相対位相：$X^{*} \setminus K$ の $X$ への制限は $X \setminus K$ で、$K$ が閉なので開。よって $X$ の部分空間位相は元の位相に一致し、$X$ 自身が開だから $X^{*}$ の開部分空間。

2. $\mathcal{V}$ を $X^{*}$ の開被覆とする。$\infty \in V_0 = X^{*} \setminus K$ なる $V_0 \in \mathcal{V}$ がある。$K$ は $\mathcal{V}$ の元の $X$ との共通部分（$X$ の開集合）で覆われるから、有限個で覆える。これらと $V_0$ で $X^{*}$ を覆う。稠密性：$X$ がコンパクトでないとき、$\infty$ の任意の開近傍 $X^{*} \setminus K$ は $K \ne X$ なので $X$ の点を含む。

3. （$\Leftarrow$）$X$ が LCH とする。$x, y \in X$ は $X$ のハウスドルフ性と $X$ が開部分空間であることから、$X$ の開集合で分離される。$x$ と $\infty$：$x$ のコンパクトな近傍 $N$ と開集合 $O$（$x \in O \subseteq N$）を取る。$N$ はコンパクトなので $X^{*} \setminus N$ は $\infty$ の開近傍で、$O \cap (X^{*} \setminus N) = \emptyset$。 （$\Rightarrow$）$X^{*}$ がハウスドルフとする。$x \in X$ に対し、$x$ と $\infty$ を交わらない開集合 $G \ni x$、$G' \ni \infty$ で分離する。$X^{*} \setminus G'$ は コンパクト空間 $X^{*}$ の閉集合なのでコンパクトで、$\infty \in G'$ より $X^{*} \setminus G' \subseteq X$。これは $G \subseteq X^{*} \setminus G'$ を含む $x$ のコンパクト近傍である。

4. $H$ は全単射。連続性：$V \subseteq Y$ を開集合とする。$y \notin V$ なら $H^{-1}(V) = h^{-1}(V)$ で、$V \subseteq Y \setminus \{y\}$ は $Y \setminus \{y\}$ の開集合だから $h$ の連続性により $X$ の開集合。$y \in V$ なら $Y \setminus V$ は $Y$ の閉集合でコンパクト、$Y \setminus V \subseteq Y \setminus \{y\}$。$h$ は同相写像なので $h^{-1}(Y \setminus V)$ は $X$ のコンパクト集合で、$H^{-1}(V) = X^{*} \setminus h^{-1}(Y \setminus V) \in \tau^{*}$。よって $H$ は連続。$X^{*}$ はコンパクト（2）、$Y$ はハウスドルフなので、系 6.5［コンパクト性］ により $H$ は同相写像。

∎

4 は、一点コンパクト化が「コンパクトハウスドルフ空間から 1 点を抜いたもの」について一意に決まることを意味します。

例 3.3（(ℝⁿ)* は球面）

$S^n := \{(x, t) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} : |x|^2 + t^2 = 1\}$、北極 $N = (0, 1)$ とします。立体射影 $\sigma : S^n \setminus \{N\} \to \mathbb{R}^n$ を $\sigma(x, t) = x/(1 - t)$ と定め、$\tau(y) := \bigl( 2y/(1 + |y|^2),\ (|y|^2 - 1)/(|y|^2 + 1) \bigr)$ とおきます。

• $\tau(y) \in S^n \setminus \{N\}$：$|2y|^2 + (|y|^2 - 1)^2 = (|y|^2 + 1)^2$ より $\tau(y) \in S^n$ で、$t$ 成分は $1$ にならない。
• $\sigma \circ \tau = \mathrm{id}$：$\tau(y)$ について $1 - t = 2/(1 + |y|^2)$ なので、$x/(1-t) = y$。
• $\tau \circ \sigma = \mathrm{id}$：$y = x/(1 - t)$ とすると $|y|^2 = |x|^2/(1 - t)^2 = (1 + t)/(1 - t)$（$|x|^2 = 1 - t^2$）。よって $1 + |y|^2 = 2/(1 - t)$ で、$2y/(1 + |y|^2) = x$、$(|y|^2 - 1)/(|y|^2 + 1) = t$。

$\sigma, \tau$ は座標の有理式で連続なので、$\sigma$ は同相写像です。$S^n$ はコンパクトハウスドルフ空間（有界閉集合）ですから、定理 3.2 の 4 により $(\mathbb{R}^n)^{*} \cong S^n$、無限遠点は北極に対応します。$n = 1$ なら $\mathbb{R}$ に無限遠点を 1 つ足すと円ができる、ということです。

立体射影。北極 N と球面上の点 P を結ぶ直線が赤道面（数直線）と交わる点が σ(P)。P が N に近づくと σ(P) は無限遠へ行く。

もう一つ、離散空間 $\mathbb{N}$ の一点コンパクト化 $\mathbb{N}^{*}$ を考えます。$\mathbb{N}$ のコンパクト部分集合は有限集合なので、$\infty$ の近傍は補有限集合です。これは $K = \{0\} \cup \{1/n : n \in \mathbb{N}\} \subseteq \mathbb{R}$ とそっくりで、実際 $h(n) = 1/n$ は $\mathbb{N}$ から $K \setminus \{0\}$ への同相写像（どちらも離散位相）なので、定理 3.2 の 4 により $\mathbb{N}^{*} \cong K$ です。点列とその極限を、1 つの位相空間として取り出したものです。

4. Urysohn の補題（LCH 版）

LCH 空間に対する一点コンパクト化は、正規空間の理論をそのまま運ぶ橋になります。

定理 4.1（Urysohn の補題（台がコンパクトな版））✓

$X$ を LCH 空間、$K \subseteq U$（$K$ はコンパクト、$U$ は開）とする。このとき連続関数 $f : X \to [0, 1]$ で、$K$ 上で $f = 1$ であり、台 $\operatorname{supp} f := \overline{\{x \in X : f(x) \ne 0\}}$ がコンパクトで $U$ に含まれるものが存在する。

証明（定理 4.1）

補題 2.3 により、相対コンパクトな開集合 $V$ で $K \subseteq V \subseteq \overline{V} \subseteq U$ となるものを取る。

一点コンパクト化 $X^{*}$ はコンパクトハウスドルフ空間（定理 3.2 の 2, 3）なので、正規である（定理 4.5［分離公理と距離づけ可能性］）。$E := X^{*} \setminus V$ は $X^{*}$ の閉集合（$V$ が $X$ の開集合で、$X$ は $X^{*}$ の開部分空間なので $V$ は $X^{*}$ でも開）。$K$ はコンパクトでハウスドルフ空間 $X^{*}$ の中で閉。$K \subseteq V$ だから $E \cap K = \emptyset$。ウリゾーンの補題（補題 6.1［分離公理と距離づけ可能性］）により、連続関数 $g : X^{*} \to [0, 1]$ で、$E$ 上で $g = 0$、$K$ 上で $g = 1$ となるものがある。

$f := g|_X$ は連続で、$K$ 上で $1$ である。$\{f \ne 0\} \subseteq V$ （$E \supseteq X^{*} \setminus V$ 上で $g = 0$ だから）。$\overline{V}$（$X$ での閉包）はコンパクトなので $X$ の閉集合であり、$\{f \ne 0\}$ を含む。ゆえに $\operatorname{supp} f \subseteq \overline{V}$ で、コンパクト集合の閉部分集合としてコンパクト、かつ $\overline{V} \subseteq U$ である。

∎

Urysohn の補題の関数 f のグラフ。K の上では 1、U の外では 0 で、その間でなだらかに変わる。台は U の中に収まる。

この結論を $K \prec f \prec U$ と書く文献もあります。台がコンパクトな連続関数全体を $C_c(X)$ とします。$K \prec f \prec U$ の $f$ は $C_c(X)$ の元で、$K$ 上の指示関数を内側から、$U$ の指示関数を外側から連続関数で近似するものです。Riesz–Markov の表現定理では、この近似から集合の測度を定義します。

5. Tietze の拡張定理

ウリゾーンの補題は、閉集合 $E, F$ 上の値 $0, 1$ を全体に拡張する定理でした。値が一般の連続関数に取り替えても拡張できる、というのが Tietze の拡張定理です。正規空間の上で証明します。

戦略は、近似を重ねることです。$|g| \le r$ の関数 $g$ に対し、まず $|\varphi| \le r/3$ の関数 $\varphi$ を全体に作って、$A$ 上で誤差を $2r/3$ まで縮めます。誤差は元の大きさ $r$ の $2/3$ 倍になるので、これを繰り返すと誤差は $(2/3)^k$ で $0$ に近づき、足し合わせた級数が拡張になります。次の補題はその 1 回分で、値を $-r/3$ 以下・$r/3$ 以上・その間の 3 つに分けて、ウリゾーンの補題でつなぎます。

補題 5.1（Tietze の定理の 1 段階分）✓

$X$ を正規空間、$A \subseteq X$ を閉集合、$r > 0$、$g : A \to [-r, r]$ を連続とする。このとき連続関数 $\varphi : X \to [-r/3, r/3]$ で、$A$ 上で $|g - \varphi| \le 2r/3$ となるものが存在する。

証明（補題 5.1）

$B := g^{-1}([-r, -r/3])$、$C := g^{-1}([r/3, r])$ とおく。$g$ は連続なので、これらは $A$ の閉集合で、$A$ が $X$ の閉集合だから $X$ でも閉である。また $B \cap C = \emptyset$。ウリゾーンの補題（補題 6.1［分離公理と距離づけ可能性］）により、連続関数 $u : X \to [0, 1]$ で $B$ 上 $u = 0$、$C$ 上 $u = 1$ のものが取れる。$\varphi := \tfrac{r}{3}(2u - 1)$ とおくと、$\varphi$ は連続で値域は $[-r/3, r/3]$、$B$ 上で $-r/3$、$C$ 上で $r/3$ である。

$x \in A$ で評価する。$x \in B$ なら $g(x) \in [-r, -r/3]$、$\varphi(x) = -r/3$ なので $|g(x) - \varphi(x)| \le 2r/3$。$x \in C$ も同様。それ以外なら $|g(x)| < r/3$、$|\varphi(x)| \le r/3$ なので $|g(x) - \varphi(x)| < 2r/3$。

∎

定理 5.2（Tietze の拡張定理）✓

$X$ を正規空間、$A \subseteq X$ を閉集合とする。

1. 連続関数 $f : A \to [a, b]$ に対し、連続関数 $F : X \to [a, b]$ で $F|_A = f$ となるものが存在する。
2. 連続関数 $f : A \to \mathbb{R}$ に対し、連続関数 $F : X \to \mathbb{R}$ で $F|_A = f$ となるものが存在する。

証明（定理 5.2）

1. $a = b$ なら定数関数でよいので $a < b$ とし、$[a, b]$ から $[-1, 1]$ への増加アフィン写像を合成して、$[a, b] = [-1, 1]$ の場合に帰着する。$f : A \to [-1, 1]$ とする。$g_0 := f$、$r_0 := 1$ とし、$k = 1, 2, \ldots$ について次を帰納的に作る。$g_{k-1} : A \to [-(2/3)^{k-1}, (2/3)^{k-1}]$ に 補題 5.1（$r = (2/3)^{k-1}$）を適用して、連続関数 $\varphi_k : X \to [-\tfrac{1}{3}(2/3)^{k-1}, \tfrac{1}{3}(2/3)^{k-1}]$ で $A$ 上 $|g_{k-1} - \varphi_k| \le (2/3)^k$ となるものを取り、$g_k := g_{k-1} - \varphi_k|_A$ とおく。すると $g_k$ は連続で $|g_k| \le (2/3)^k$ である。

部分和 $S_n := \varphi_1 + \cdots + \varphi_n$ は連続で、$A$ 上で $f - S_n = g_n$、すなわち

$$|f - S_n| \le (2/3)^n$$

が $A$ 上で成り立つ。 また $m > n$ のとき $X$ 全体で $|S_m - S_n| \le \sum_{k > n} \tfrac{1}{3}(2/3)^{k-1} = (2/3)^n$。したがって各点で $(S_n(x))$ はコーシー列で、実数の完備性（定理 7.3［実数の完備性とコーシー列］）により $F(x) := \lim_n S_n(x)$ が存在し、$|F - S_n| \le (2/3)^n$ が $X$ 全体で成り立つ。

$F$ は連続である：$x_0 \in X$ と $\varepsilon > 0$ に対し、$(2/3)^n < \varepsilon/3$ なる $n$ を取る。$S_n$ の連続性により $x_0$ の近傍 $W$ で $|S_n(x) - S_n(x_0)| < \varepsilon/3$ ($x \in W$)。$x \in W$ なら $|F(x) - F(x_0)| \le |F(x) - S_n(x)| + |S_n(x) - S_n(x_0)| + |S_n(x_0) - F(x_0)| < \varepsilon$。また $|F| \le \sum_k \tfrac{1}{3}(2/3)^{k-1} = 1$ であり、$A$ 上で $F = \lim S_n = f$（$|f - S_n| \to 0$）。

2. $\theta : \mathbb{R} \to (-1, 1)$ を $\theta(t) = t/(1 + |t|)$ とする。これは連続な全単射で、逆写像 $s \mapsto s/(1 - |s|)$ も連続である。$\theta \circ f : A \to (-1, 1) \subseteq [-1, 1]$ に 1 を適用して連続関数 $G : X \to [-1, 1]$ で $G|_A = \theta \circ f$ となるものを得る。$D := G^{-1}(\{-1, 1\})$ は閉集合で、$A$ 上で $|G| < 1$ なので $D \cap A = \emptyset$。ウリゾーンの補題により連続関数 $u : X \to [0, 1]$ で、$A$ 上 $u = 1$、$D$ 上 $u = 0$ のものが取れる。$G' := uG$ は連続で、$D$ 上で $G' = 0$、それ以外で $|G'| \le |G| < 1$ なので $G'(X) \subseteq (-1, 1)$。$A$ 上で $G' = G = \theta \circ f$。$F := \theta^{-1} \circ G'$ が求める拡張である。

∎

逆に、拡張の性質（1）から正規性が従います。互いに素な閉集合 $E, F$ に対し $A = E \cup F$ 上の関数（$E$ で $0$、$F$ で $1$）を拡張すれば、注意 6.2［分離公理と距離づけ可能性］ の議論で $E, F$ が分離できるからです。したがって、ウリゾーンの補題と Tietze の拡張定理は正規性の言い換えを与えています。

例 5.3（閉集合の仮定は落とせない）

$X = \mathbb{R}$、$A = (0, 1]$ は閉でない。$f(x) = \sin(1/x)$ は $A$ 上で連続で $[-1, 1]$ に値を取るが、$\mathbb{R}$ 上の連続関数には拡張できない（$x \to 0^{+}$ で極限が存在しない）。閉集合の仮定は落とせません。

LCH 空間では、コンパクト集合上の関数が $C_c(X)$ の元に拡張されます。

系 5.4（コンパクト集合上の連続関数の拡張）✓

$X$ を LCH 空間、$K \subseteq X$ をコンパクト、$f : K \to \mathbb{R}$ を連続とする。このとき、$F \in C_c(X)$ で $F|_K = f$ となるものが存在する。

証明（系 5.4）

$K$ は $X^{*}$ でもコンパクトでハウスドルフ空間の中なので閉。$X^{*}$ はコンパクトハウスドルフなので正規だから（定理 4.5［分離公理と距離づけ可能性］）、定理 5.2 の 2 により、連続関数 $F_0 : X^{*} \to \mathbb{R}$ で $F_0|_K = f$ となるものが取れる。定理 4.1 を $K \subseteq U = X$ に適用して、$h : X \to [0, 1]$（$K$ 上 $h = 1$、$\operatorname{supp} h$ はコンパクト）を取る。$F := F_0|_X \cdot h$ は連続で、$K$ 上で $f$ に等しく、台は $\operatorname{supp} h$ に含まれるのでコンパクトである。

∎

6. 1 の分割

定理 6.1（1 の分割）✓

$X$ を LCH 空間、$K \subseteq X$ をコンパクト、$U_1, \ldots, U_n$ を $K \subseteq U_1 \cup \cdots \cup U_n$ となる開集合とする。このとき、連続関数 $h_1, \ldots, h_n : X \to [0, 1]$ で次を満たすものが存在する。

1. 各 $h_i$ の台 $\operatorname{supp} h_i$ はコンパクトで $U_i$ に含まれる。
2. $K$ 上で $h_1 + \cdots + h_n = 1$ であり、$X$ 全体で $h_1 + \cdots + h_n \le 1$ である。

証明（定理 6.1）

第 1 段（$K$ を $U_i$ に従属するコンパクト集合 $H_i$ に分ける）。 各 $x \in K$ に対し、$x \in U_{i(x)}$ なる $i(x)$ を 1 つ選ぶ。補題 2.3 で $K = \{x\}$、$U = U_{i(x)}$ とすれば、相対コンパクトな開集合 $W_x$ で $x \in W_x \subseteq \overline{W_x} \subseteq U_{i(x)}$ となるものが取れる。$K$ のコンパクト性により、有限個の $x_1, \ldots, x_m$ で $K \subseteq W_{x_1} \cup \cdots \cup W_{x_m}$。

$$H_i := \bigcup \{ \overline{W_{x_j}} : i(x_j) = i \}$$

とおく。$H_i$ はコンパクト集合の有限合併でコンパクト、$H_i \subseteq U_i$、かつ $K \subseteq H_1 \cup \cdots \cup H_n$ である。

第 2 段（Urysohn 関数をかけ合わせる）。 定理 4.1 により、各 $i$ に対し連続関数 $g_i : X \to [0, 1]$ で、$H_i$ 上で $g_i = 1$、$\operatorname{supp} g_i$ はコンパクトで $U_i$ に含まれるものを取る。

$$h_1 := g_1, \qquad h_i := (1 - g_1)(1 - g_2) \cdots (1 - g_{i-1})\, g_i \quad (2 \le i \le n)$$

とおく。各 $h_i$ は $[0, 1]$ に値を取る連続関数で、$\{h_i \ne 0\} \subseteq \{g_i \ne 0\}$ より $\operatorname{supp} h_i \subseteq \operatorname{supp} g_i$ なので、1 が成り立つ。

$k$ に関する帰納法で $h_1 + \cdots + h_k = 1 - (1 - g_1) \cdots (1 - g_k)$ を示す。$k = 1$ は定義。$k$ で成り立つとすると、

$$h_1 + \cdots + h_{k+1} = 1 - \prod_{i \le k} (1 - g_i) + \prod_{i \le k} (1 - g_i)\, g_{k+1} = 1 - \prod_{i \le k+1} (1 - g_i).$$

したがって $h_1 + \cdots + h_n = 1 - \prod_{i \le n}(1 - g_i) \in [0, 1]$。$x \in K$ なら、ある $i$ で $x \in H_i$ なので $g_i(x) = 1$、積は $0$ となり、和は $1$ である。

∎

この定理は「コンパクト集合上の関数を、局所的に支えられた関数の和に分解する」ことを保証します。

系 6.2（台つき関数の分解）✓

$X$ を LCH 空間、$f \in C_c(X)$、$U_1, \ldots, U_n$ を $\operatorname{supp} f$ を覆う開集合とする。このとき $f = f_1 + \cdots + f_n$ となる $f_i \in C_c(X)$ で、$\operatorname{supp} f_i \subseteq U_i$ となるものが存在する。さらに $f \ge 0$ なら $f_i \ge 0$ とできる。

証明（系 6.2）

$K := \operatorname{supp} f$ はコンパクトなので、定理 6.1 の $h_i$ が取れる。$f_i := f h_i$ とおく。$\operatorname{supp} f_i \subseteq \operatorname{supp} h_i \subseteq U_i$ で、コンパクト集合の閉部分集合なのでコンパクト。$x \in K$ なら $\sum_i f_i(x) = f(x) \sum_i h_i(x) = f(x)$、$x \notin K$ なら $f(x) = 0$ で両辺 $0$。$f \ge 0$ なら $h_i \ge 0$ から $f_i \ge 0$。

∎

たとえば Riesz–Markov の表現定理の証明で、汎関数 $\Lambda$ の値を $\Lambda f = \sum_i \Lambda f_i$ と各部分に分けて評価するときにこの分解が使われます。多様体の上では、滑らかな関数を使った同様の「1 の分割」が貼り合わせの標準的な道具になります。

7. 位相群

定義 7.1（位相群）↗

群 $G$ に位相が入っていて、乗法 $m : G \times G \to G$、$(x, y) \mapsto xy$ と逆元 $\iota : G \to G$、$x \mapsto x^{-1}$ がともに連続である（$G \times G$ には積位相を入れる）とき、$G$ を位相群という。群の定義は群の定義を参照のこと。局所コンパクトハウスドルフ位相群を局所コンパクト群という。

例 7.2（位相群の例）

1. $(\mathbb{R}^n, +)$、$S^1 = \{z \in \mathbb{C} : |z| = 1\}$（複素数の積）。$\mathbb{R}^n$ の加法は座標ごとの加法、$S^1$ の積は実部と虚部の多項式で、連続。
2. $GL_n(\mathbb{R})$（可逆実行列、$\mathbb{R}^{n^2}$ の部分空間）。積は各成分が成分の多項式で連続（定理 3.4［積位相・商位相と Tychonoff の定理］）。逆行列の各成分は余因子行列を行列式で割ったもの（行列式）で、分母が $0$ にならない範囲で連続。$GL_n(\mathbb{R}) = \det^{-1}(\mathbb{R} \setminus \{0\})$ は $\mathbb{R}^{n^2}$ の開集合なので LCH である（命題 2.5）。
3. 直交群 $O(n)$ は $GL_n(\mathbb{R})$ の閉部分群で、各成分が $[-1, 1]$ に入る有界閉集合（Heine–Borel）なのでコンパクト。
4. $\{\pm 1\}^{\mathbb{N}}$（離散群 $\{\pm 1\}$ の可算個の積）は、定理 6.2［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ によりコンパクトな位相群である。
5. $(\mathbb{Q}, +)$ は位相群だが局所コンパクトでない（例 2.4）。$\ell^2$ の加法群も局所コンパクトでない位相群である。

位相群の一番の特徴は、位相が単位元のまわりの様子だけで決まることです。

命題 7.3（平行移動）✓

$G$ を位相群、$a \in G$ とする。左移動 $L_a(x) = ax$ は同相写像であり、逆元写像 $\iota$ も同相写像である。したがって、$x$ の近傍系は $\{ xU : U \text{ は } e \text{ の近傍}\}$ である。

証明（命題 7.3）

$L_a$ は $x \mapsto (a, x) \mapsto ax$ の合成で連続（定理 3.4［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ と $m$ の連続性）。逆写像は $L_{a^{-1}}$ で、これも連続。$\iota \circ \iota = \mathrm{id}$ なので $\iota$ は同相写像。同相写像は近傍を近傍に写す。

∎

補題 7.4（対称な近傍）✓

$G$ を位相群、$U$ を $e$ の近傍とする。このとき、$e$ の開近傍 $V$ で $V = V^{-1}$ かつ $VV := \{vw : v, w \in V\} \subseteq U$ となるものが存在する。

証明（補題 7.4）

$m(e, e) = e \in U$ で $m$ が連続なので、$e$ の開近傍 $W_1, W_2$ で $W_1 W_2 \subseteq U$ となるものがある。$W := W_1 \cap W_2$ とおくと $WW \subseteq U$。$V := W \cap W^{-1}$ とすれば、$\iota$ は同相写像なので $W^{-1}$ は開、$V$ は $e$ の開近傍で $V^{-1} = V$、$VV \subseteq WW \subseteq U$。

∎

命題 7.5（ハウスドルフ性の判定）✓

位相群 $G$ について、$\{e\}$ が閉集合であることと、$G$ がハウスドルフであることは同値である。

証明（命題 7.5）

（$\Leftarrow$）ハウスドルフなら 1 点集合は閉（命題 3.2［分離公理と距離づけ可能性］）。（$\Rightarrow$）$\{e\}$ が閉とする。写像 $d : G \times G \to G$、$d(x, y) = x^{-1}y$ は連続で、$\Delta := \{(x, x)\} = d^{-1}(\{e\})$ は閉集合である。$x \ne y$ なら $(x, y) \notin \Delta$ なので、$(x, y)$ を含む基本開集合 $U \times V$ で $(U \times V) \cap \Delta = \emptyset$ となるものが取れる。これは $U \cap V = \emptyset$ ということである。

∎

局所コンパクト群で Haar 測度を作るには、コンパクト集合と開集合の「余裕」が必要になります。

補題 7.6（コンパクト集合の周りの余裕）✓

$G$ を位相群、$K \subseteq G$ をコンパクト、$U \supseteq K$ を開集合とする。このとき、$e$ の開近傍 $V$ で $KV \subseteq U$ となるものが存在する。

証明（補題 7.6）

各 $x \in K$ について $x^{-1}U$ は $e$ の開近傍。補題 7.4 により $e$ の開近傍 $W_x$ で $W_x W_x \subseteq x^{-1}U$ となるものを取る。$\{xW_x\}_{x \in K}$ は $K$ の開被覆なので、有限個の $x_1, \ldots, x_m$ で $K \subseteq \bigcup_j x_j W_{x_j}$。$V := W_{x_1} \cap \cdots \cap W_{x_m}$ とおく。$k \in K$, $v \in V$ とし、$k \in x_j W_{x_j}$ とすると、$kv \in x_j W_{x_j} V \subseteq x_j W_{x_j} W_{x_j} \subseteq x_j x_j^{-1} U = U$。

∎

この補題の応用として、台がコンパクトな連続関数は一様連続です。Haar 測度の構成（関数の平行移動による比較）で使われます。

命題 7.7（$C_c(G)$ の関数は一様連続）✓

$G$ を位相群、$f \in C_c(G)$ とする。任意の $\varepsilon > 0$ に対し、$e$ の開近傍 $V = V^{-1}$ で、$x^{-1}y \in V$ なるすべての $x, y \in G$ について $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$ となるものが存在する。

証明（命題 7.7）

$K := \operatorname{supp} f$ はコンパクト。各 $x \in K$ に対し、$s \mapsto f(xs)$ は $s = e$ で連続だから、$e$ の開近傍 $N_x$ で、$s \in N_x$ なら $|f(xs) - f(x)| < \varepsilon/2$ となるものが取れる。補題 7.4 で $e$ の開近傍 $W_x$ を $W_x W_x \subseteq N_x$ となるように取る。$K \subseteq \bigcup_j x_j W_{j}$（$W_j := W_{x_j}$）なる有限個の $x_1, \ldots, x_m \in K$ を選び、補題 7.4 により $e$ の開近傍 $V = V^{-1} \subseteq W_1 \cap \cdots \cap W_m$ を取る。

$x^{-1} y = v \in V$ とする（$y = xv$）。(a) $x \in K$ のとき：$x = x_j w$（$w \in W_j$）となる $j$ がある。$w \in N_{x_j}$ なので $|f(x) - f(x_j)| < \varepsilon/2$。また $y = x_j (wv)$ で $wv \in W_j W_j \subseteq N_{x_j}$ なので $|f(y) - f(x_j)| < \varepsilon/2$。よって $|f(x) - f(y)| < \varepsilon$。(b) $y \in K$ のとき：$y^{-1} x = v^{-1} \in V$ なので、(a) の議論で $x, y$ の役割を入れ替えればよい。(c) $x, y \notin K$ のとき：$f(x) = f(y) = 0$。

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最後に商群を調べます。商群の構成は剰余群の 定理 5.1［正規部分群と商群］ を、商位相は 定義 4.1［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ を参照してください。

命題 7.8（位相群の商群）✓

$G$ を位相群、$N$ を正規部分群とし、$G/N$ に商位相を入れる。$\pi : G \to G/N$ を自然な射影とする。このとき次が成り立つ。

1. $\pi$ は開写像であり、$G/N$ は位相群で、$\pi$ は連続な準同型写像である。
2. $G/N$ がハウスドルフであるための必要十分条件は、$N$ が閉集合であることである。

証明（命題 7.8）

1. $U \subseteq G$ が開なら、$\pi^{-1}(\pi(U)) = UN = \bigcup_{n \in N} Un$ は開集合の合併（右移動も同相写像）なので開。商位相の定義により $\pi(U)$ は開。よって $\pi$ は開写像で、命題 4.3［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ により商写像である。

乗法 $\bar{m} : G/N \times G/N \to G/N$ について、$\bar{m} \circ (\pi \times \pi) = \pi \circ m$ は連続。$\pi \times \pi$ は開写像の直積で、基本開集合 $U \times U'$ を $\pi(U) \times \pi(U')$ に写すので開写像（開集合は基本開集合の合併で、像は合併と交換する）。連続な開全射なので商写像であり（命題 4.3［積位相・商位相と Tychonoff の定理］）、定理 4.2［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ により $\bar{m}$ は連続。逆元写像 $\bar\iota$ も $\bar\iota \circ \pi = \pi \circ \iota$ が連続で、$\pi$ が商写像なので連続。

2. $\{eN\}$ が $G/N$ で閉であることと、$G/N \setminus \{eN\}$ が開、すなわち商位相の定義でその逆像 $G \setminus N$ が開、すなわち $N$ が閉であることは同値。位相群 $G/N$ について 命題 7.5 を適用する。

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例 7.9（ℝ/ℤ は円周）

整数全体 $\mathbb{Z}$ は $\mathbb{R}$ の閉部分群なので、命題 7.8 により $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ はハウスドルフな位相群です。$p(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$ が誘導する全単射 $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \to S^1$ は、群同型であり、また連続です。逆写像も連続であることは、$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ が $[0, 1]$ の連続像としてコンパクトで、コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続全単射が同相であること（系 6.5［コンパクト性］）から従います。これは、区間の両端を貼り合わせると円ができるという 例 4.4［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ の群版です。局所コンパクト群 $\mathbb{R}$ の商としてコンパクト群 $S^1$ が現れる、という構図は、局所コンパクト可換群の双対理論（Pontryagin 双対）の出発点です。

注意 7.10（次に何が来るか）

局所コンパクトハウスドルフ群 $G$ には、左移動で不変な正則ボレル測度（左 Haar 測度）が、正のスカラー倍を除いて一意に存在します。この証明は、この記事の道具（台つき関数、一様連続性、1 の分割、Urysohn 関数）を使って、$C_c(G)$ 上の正値左不変汎関数を作り、Riesz–Markov の表現定理で測度に移す、という流れで進みます。その存在・一意性の証明はここでは行わず、測度論の側の記事に譲ります。

8. 演習

演習 8.1易

LCH 空間の閉部分集合は、相対位相で LCH 空間であることを示せ。また、局所コンパクト空間 $X, Y$ の直積 $X \times Y$ は局所コンパクトであることを示せ。

解答

閉部分集合 $F$：$x \in F$ のコンパクトな近傍 $N$（$x \in O \subseteq N$）に対し、$N \cap F$ は コンパクト集合 $N$ の閉部分集合としてコンパクトで、$O \cap F$ は $F$ の開集合なので、$N \cap F$ は $F$ における $x$ のコンパクトな近傍。ハウスドルフ性は部分空間に遺伝する。直積：$(x, y)$ のコンパクトな近傍 $N \ni x$、$N' \ni y$ に対し、$N \times N'$ はコンパクト（有限個の直積に対する Tychonoff の定理、定理 6.2［積位相・商位相と Tychonoff の定理］）で、$O \times O'$ を含む。

演習 8.2易

$[0, 1)$ の一点コンパクト化は $[0, 1]$ と同相であることを示せ。また、$\mathbb{Z}$（離散位相）の一点コンパクト化は $\{0\} \cup \{\pm 1/n : n \in \mathbb{N}\} \subseteq \mathbb{R}$ と同相であることを示せ。

解答

$[0, 1]$ はコンパクトハウスドルフ、$y = 1$ とすると包含写像は $[0, 1)$ から $[0, 1] \setminus \{1\} = [0, 1)$ への同相写像（恒等写像）なので、定理 3.2 の 4 により $[0, 1)^{*} \cong [0, 1]$。後者：$K := \{0\} \cup \{\pm 1/n\}$ は $\mathbb{R}$ の有界閉集合でコンパクト、$y = 0$、$h(n) = 1/n$ ($n > 0$)、$h(-n) = -1/n$ は $\mathbb{Z}$ から $K \setminus \{0\}$ への全単射で、どちらも離散位相なので同相。定理 3.2 の 4 により $\mathbb{Z}^{*} \cong K$。

演習 8.3標準

位相群 $G$ の開部分群 $H$ は閉でもあることを示せ。さらに $G$ が連結（開かつ閉な部分集合が $\emptyset$ と $G$ のみ）なら、$e$ の任意の開近傍 $V$ に対し $V$ が生成する部分群は $G$ であることを示せ。

解答

前半：$G \setminus H = \bigcup_{g \notin H} gH$ で、各 $gH$ は左移動による $H$ の像なので開（命題 7.3）。よって $G \setminus H$ は開、$H$ は閉。後半：$V = V^{-1}$ と仮定してよい（$V \cap V^{-1}$ に取り替えると生成される部分群は小さくなるだけ）。$H := \bigcup_{k \ge 1} V^k$ は $V$ が生成する部分群である。$h \in H$ について $hV \subseteq H$ で $hV$ は $h$ を含む開集合なので、$H$ は開。前半により閉。$H \ni e$ は空でなく、$G$ が連結なので $H = G$。

演習 8.4標準

$X$ を LCH 空間、$U \subseteq X$ を開集合とする。$f \in C_c(U)$（$U$ の相対位相での台がコンパクトな連続関数）を $U$ の外で $0$ とおいて $X$ 上の関数 $\tilde{f}$ に拡張する。$\tilde{f} \in C_c(X)$ であることを示せ。（開集合に台をもつ関数を全体に拡張できる、という Riesz–Markov の議論で使われる事実である。）

解答

$S := \operatorname{supp} f$（$U$ での閉包）は $U$ のコンパクト集合で、$X$ のコンパクト集合でもある（コンパクト性は部分空間の内在的な性質）。$X$ はハウスドルフなので $S$ は $X$ の閉集合である。$X = U \cup (X \setminus S)$ は開集合による被覆で、$U$ 上で $\tilde{f} = f$（連続）、$X \setminus S$ 上で $\tilde{f} = 0$（$S$ の外では $f = 0$）である。2 つの開集合それぞれの上で $\tilde{f}$ は連続なので、$X$ 上で連続（開集合 $V$ の逆像は $\tilde f|_U^{-1}(V) \cup \tilde f|_{X \setminus S}^{-1}(V)$ で開）。$\tilde{f} \ne 0$ となる点の集合は $S$ に含まれるので、台は $S$ に含まれてコンパクトである。

参考文献

• W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1987 — Chapter 2（局所コンパクト空間上の Urysohn の補題と 1 の分割）。
• J. R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000 — Chapter 4 §32–§35（正規空間、Urysohn の補題、Tietze の拡張定理）、Chapter 3 §29（局所コンパクト性と一点コンパクト化）。
• G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed., Wiley, 1999 — Chapter 4（位相空間、局所コンパクト空間）、Chapter 7（位相群と Haar 測度）。
• J. L. Kelley, General Topology, Van Nostrand, 1955 — Chapter 5（局所コンパクト空間、一点コンパクト化）。
• 松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968 — コンパクト空間、正規空間の節。