パラコンパクト空間と 1 の分割：局所有限被覆・Michael の定理・Stone の定理

0. この記事の要点

数直線全体は、有限個の開区間では覆えません。それでも、区間 $(n, n+2)$ を無限に並べれば、どの点の近くを見ても関わる区間は有限個で済む形で覆えます。このように「全体では無限でも、各点の近くでは有限」という条件で、コンパクト性の「有限個で覆える」を緩めたものがパラコンパクト性です。この記事を読み終えると、局所的に作った関数や計量を全体に貼り合わせる道具である「1 の分割」が、どんな空間で使えるのかがわかります。

• パラコンパクト性とは、任意の開被覆が局所有限な開細分（元の被覆の各集合がどれかに収まる、より細かい開被覆）を持つことです。コンパクト性の「有限部分被覆」を「局所有限な細分」に弱めた条件で、距離空間・σ コンパクトな LCH 空間（第二可算な多様体を含む）が満たします。この記事ではハウスドルフ性を定義に含めません。
• パラコンパクトなハウスドルフ空間は正規です（定理 3.2）。ハウスドルフ性は外せません（例 3.3）。
• Michael の定理（定理 4.1）：正則空間では、「σ 局所有限（可算個の局所有限な族の合併）な開細分がある」「局所有限な（開とは限らない）細分がある」「局所有限な閉細分がある」はすべてパラコンパクト性と同値です。これを使うと、正則 Lindelöf 空間（系 4.2）と距離空間（A. H. Stone の定理、定理 5.1）がパラコンパクトだとわかります。
• パラコンパクトなハウスドルフ空間では、任意の開被覆に従属する連続な 1 の分割が存在します（定理 6.1）。多様体上の Riemann 計量や接続の構成の土台です。
• T1 空間では、ハウスドルフかつパラコンパクトであることは全体正規（任意の開被覆に対し、各元とそれに触れる元すべての合併がなお元の被覆のどれかに収まるような、より細かい開被覆が取れる性質。§2 で定義）であることと同値です（定理 7.1。証明は Appendix）。

この記事で使う事前知識

• コンパクト: どんな開被覆からも有限個を選んで覆える、という性質。→ コンパクト空間
• ハウスドルフ空間: 異なる 2 点が、互いに交わらない開近傍で分けられる空間。→ ハウスドルフ空間
• 正則・正規: 閉集合と、それに含まれない点（正規では互いに素な 2 つの閉集合）を、交わらない開集合で分けられるという性質。→ 正則・正規
• Lindelöf: どんな開被覆からも可算個を選んで覆える、という性質。→ Lindelöf
• 局所コンパクト（LCH 空間）: 各点がコンパクトな近傍を持つハウスドルフ空間。→ LCH 空間

1. 動機：有限性をどこまで弱められるか

コンパクト性は強力ですが、$\mathbb{R}^n$ や多様体はコンパクトではありません。局所コンパクト空間の記事では、コンパクト集合の有限開被覆に従属する 1 の分割（定理 6.1［局所コンパクト空間］）を作りました。しかし $\mathbb{R}^n$ 全体の開被覆に従属する 1 の分割が欲しい場面（多様体上の積分や計量の貼り合わせ）では、無限個の関数を使わざるをえません。そのとき必要なのは「各点の近くでは有限個の関数しか効かない」という局所有限性です。

被覆に対して「有限」を求めるのは強すぎ、「各点の近傍で有限」を求めるのがちょうどよい。これがパラコンパクト性（J. Dieudonné、1944）の発想です。局所有限性があれば、無限和 $\sum_s \varphi_s$ も各点の近くでは有限和になり、連続性の議論が通ります。一方、局所有限性だけでは足りないことも、すぐ後でわかります。ハウスドルフ性を外すと、コンパクト空間（したがってパラコンパクト空間）でも正規でない例があるからです。

被覆に関する性質の関係。実線は一般に成り立つ含意（この記事の命題と定義から従う）。ハウスドルフ性・正則性の仮定の有無は本文の各定理を見る。

2. 局所有限族とパラコンパクト空間

定義 2.1（局所有限・σ 局所有限・離散・点有限）↗

$X$ を位相空間、$\mathcal{A}$ を $X$ の部分集合の族とする。

1. $\mathcal{A}$ が局所有限であるとは、各点 $x \in X$ が開近傍 $N$ を持ち、$N$ と交わる $\mathcal{A}$ の元が有限個であることをいう。
2. $\mathcal{A}$ が離散であるとは、各点が開近傍 $N$ を持ち、$N$ と交わる $\mathcal{A}$ の元が高々 1 つであることをいう。
3. $\mathcal{A}$ が点有限であるとは、各点がたかだか有限個の元にしか含まれないことをいう。
4. $\mathcal{A}$ が $\sigma$ 局所有限（$\sigma$ 離散）であるとは、$\mathcal{A} = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{A}_n$ で各 $\mathcal{A}_n$ が局所有限（離散）となることをいう。

離散 $\Rightarrow$ 局所有限 $\Rightarrow$ 点有限（$x$ を含む元は $x$ の開近傍と交わる）で、局所有限 $\Rightarrow$ $\sigma$ 局所有限です。

局所有限な族（上、(a)）と、局所有限でない族（下、(c)）。破線の枠は点の小さな近傍。上では近傍と交わる区間が 2 個だけだが、下では 0 の近傍が無限個の点 1/n を含む。

定義 2.2（細分・星細分）↗

$\mathcal{U}$ を $X$ の被覆とする。被覆 $\mathcal{V}$ が $\mathcal{U}$ の細分であるとは、すべての $V \in \mathcal{V}$ に対し $V \subseteq U$ となる $U \in \mathcal{U}$ が存在することをいう。部分集合 $A$ と被覆 $\mathcal{V}$ に対し $\operatorname{St}(A, \mathcal{V}) := \bigcup \{ V \in \mathcal{V} : V \cap A \ne \emptyset \}$ とおき、$\operatorname{St}(x, \mathcal{V}) := \operatorname{St}(\{x\}, \mathcal{V})$ と書く。$\mathcal{V}$ が $\mathcal{U}$ の星細分であるとは、すべての $V \in \mathcal{V}$ に対し $\operatorname{St}(V, \mathcal{V}) \subseteq U$ となる $U \in \mathcal{U}$ が存在することをいう。

星細分は（空でない $V$ について $V \subseteq \operatorname{St}(V, \mathcal{V})$ だから）細分です。

直感的には、$\mathcal{V}$ の各元 $V$ を、$V$ に触れている元ごとまとめて一回り太らせても、まだ $\mathcal{U}$ の 1 つの元に収まる、ということです。通常の細分は $V$ 自身が収まるだけなので、星細分のほうが強い条件です。

定義 2.3（パラコンパクト・メタコンパクト・強パラコンパクト）↗

位相空間 $X$ がパラコンパクトであるとは、任意の開被覆が局所有限な開細分を持つことをいう。メタコンパクトであるとは、任意の開被覆が点有限な開細分を持つことをいう。強パラコンパクトであるとは、任意の開被覆が星有限（各元が有限個の元としか交わらない）な開細分を持つことをいう。

ハウスドルフ性は含めません（正則・正規と同様、必要な定理では仮定に書きます）。含意は定義から直ちに従います。局所有限な族は点有限なのでパラコンパクト $\Rightarrow$ メタコンパクト。星有限な開細分 $\mathcal{V}$ では、$x \in V \in \mathcal{V}$ の開近傍 $V$ と交わる元が有限個だから局所有限であり、強パラコンパクト $\Rightarrow$ パラコンパクト。コンパクト空間では、有限部分被覆そのものが局所有限（星有限）な開細分になるので、コンパクト $\Rightarrow$ 強パラコンパクト。

定義 2.4（全体正規空間）↗

位相空間 $X$ が全体正規であるとは、任意の開被覆が開星細分を持つことをいう。

定義 2.5（開被覆に従属する 1 の分割）↗

$\mathcal{U} = \{U_s\}_{s \in S}$ を $X$ の開被覆とする。連続関数の族 $\{\varphi_s : X \to [0,1]\}_{s \in S}$ が $\mathcal{U}$ に従属する 1 の分割であるとは、次の 3 条件を満たすことをいう。(i) 台 $\operatorname{supp}\varphi_s := \overline{\{\varphi_s \ne 0\}}$ が $U_s$ に含まれる。(ii) 台の族 $\{\operatorname{supp}\varphi_s\}_{s \in S}$ が局所有限。(iii) すべての $x$ で $\sum_{s} \varphi_s(x) = 1$（(ii) により各点の近くでは有限和）。

3. パラコンパクトなハウスドルフ空間は正規

局所有限性の基本は、閉包を取っても局所有限性が保たれ、しかも合併と閉包が交換できることです。

補題 3.1（局所有限族の閉包）✓

$\mathcal{A}$ を $X$ の部分集合の局所有限な族とする。このとき $\{\overline{A} : A \in \mathcal{A}\}$ も局所有限であり、$\overline{\bigcup_{A \in \mathcal{A}} A} = \bigcup_{A \in \mathcal{A}} \overline{A}$ が成り立つ。とくに、閉集合の局所有限な族の合併は閉集合である。

証明（補題 3.1）

開集合 $N$ と部分集合 $A$ について、$N \cap A = \emptyset \iff N \cap \overline{A} = \emptyset$ である（$x \in \overline{A}$ と、$x$ の任意の近傍が $A$ と交わることの同値、定理 6.5［位相空間の定義と基本概念］）。したがって $x$ の開近傍 $N$ が有限個の $A$ としか交わらなければ、$N$ は同じ有限個の $\overline{A}$ としか交わらない。前半が示された。

合併について、$\supseteq$ は閉包の単調性から明らか。$\subseteq$：$x \in \overline{\bigcup \mathcal{A}}$ とし、$x$ の開近傍 $N$ が $A_1, \ldots, A_k \in \mathcal{A}$ としか交わらないとする。$x \notin \bigcup_{A}\overline{A}$ と仮定すると、$x \notin \overline{A_i}$（$i = 1, \ldots, k$）だから、$N' := N \setminus (\overline{A_1} \cup \cdots \cup \overline{A_k})$ は $x$ の開近傍で、$N$ と交わらない元とは交わらず、$A_i$ とも交わらない。つまり $N' \cap \bigcup \mathcal{A} = \emptyset$ で、$x \in \overline{\bigcup \mathcal{A}}$ に反する。

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定理 3.2（パラコンパクトなハウスドルフ空間は正規）✓

$X$ がパラコンパクトなハウスドルフ空間ならば、$X$ は正則であり、かつ正規である。

証明（定理 3.2）

正則性。 $F$ を閉集合、$x \notin F$ とする。各 $y \in F$ にハウスドルフ性で交わらない開集合 $W_y \ni y$、$O_y \ni x$ を取る。$\mathcal{U} := \{W_y : y \in F\} \cup \{X \setminus F\}$ は開被覆であり、局所有限な開細分 $\mathcal{V}$ が取れる。$F$ と交わる $V \in \mathcal{V}$ の全体を $\mathcal{V}_F$ とする。$V \in \mathcal{V}_F$ は $X \setminus F$ に含まれえないので、ある $W_y \supseteq V$ であり、したがって $V \cap O_y = \emptyset$、つまり $x \notin \overline{V}$。$\mathcal{V}_F$ は局所有限だから 補題 3.1 により $\overline{G} = \bigcup_{V \in \mathcal{V}_F}\overline{V}$（$G := \bigcup \mathcal{V}_F$）で、$x \notin \overline{G}$。$G$ は開で、$\mathcal{V}$ が $X$ を覆うことから $F \subseteq G$。よって $G$ と $X \setminus \overline{G}$ が $F$ と $x$ を分離する。

正規性。 $E, F$ を互いに素な閉集合とする。上で示した正則性と 縮小補題（補題 4.4）［分離公理と距離づけ可能性］ の 1 により、各 $y \in E$ に対し開集合 $W_y$ で $y \in W_y \subseteq \overline{W_y} \subseteq X \setminus F$ となるものがある。$\{W_y : y \in E\} \cup \{X \setminus E\}$ に同様の議論を行う。局所有限な開細分 $\mathcal{V}$ をとり、$E$ と交わる元の全体を $\mathcal{V}_E$ とすると、各 $V \in \mathcal{V}_E$ はある $W_y$ に含まれ、$\overline{V} \subseteq \overline{W_y} \subseteq X \setminus F$。$G := \bigcup\mathcal{V}_E$ は開で $E \subseteq G$、補題 3.1 より $\overline{G} = \bigcup_{V \in \mathcal{V}_E}\overline{V} \subseteq X \setminus F$。したがって $G$ と $X \setminus \overline{G}$ が $E, F$ を分離する。

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例 3.3（ハウスドルフ性を外すと正規とは限らない）

無限集合 $X$ に補有限位相（$\emptyset$ と補集合が有限な集合を開集合とする）を入れる。$X$ はコンパクトである：空でない開被覆 $\mathcal{U}$ から $U_0 \ne \emptyset$ を 1 つ取ると、$X \setminus U_0$ は有限で、残りの各点を覆う元を 1 つずつ足せば有限部分被覆になる。したがって $X$ はパラコンパクト（有限部分被覆が局所有限な開細分）である。しかし $X$ は正規ではない：空でない開集合同士はつねに交わる（補集合が有限の 2 つの集合の共通部分は無限集合）ので、互いに素な空でない閉集合（有限集合）2 つを開集合で分離できない。定理 3.2 のハウスドルフ性の仮定は外せない。

4. Michael の定理

パラコンパクト性の定義は「局所有限な開細分」ですが、正則空間ではもっと弱い条件で十分です。実際に空間がパラコンパクトであることを確かめるときは、次の同値条件のほうが使いやすいことがよくあります。

定理 4.1（Michael の定理）✓

$X$ を正則空間とする。次の 4 条件は同値である。

1. $X$ はパラコンパクトである。
2. $X$ の任意の開被覆は、$\sigma$ 局所有限な開細分を持つ。
3. $X$ の任意の開被覆は、局所有限な細分（開集合とは限らない）を持つ。
4. $X$ の任意の開被覆は、局所有限な閉細分（閉集合からなる細分）を持つ。

証明は 1 $\Rightarrow$ 2 $\Rightarrow$ 3 $\Rightarrow$ 4 $\Rightarrow$ 1 と一周します。2 $\Rightarrow$ 3 では、層 $\mathcal{V}_1, \mathcal{V}_2, \ldots$ のうち、各点は最初に覆われる層だけを使うように、前の層の合併を引いて切り詰めます。点 $x$ が最初に覆われる層を $n$ とすると、それより後の層の切り詰めた集合は $x$ の近くに現れないので、見るべき層は $n$ 個で済み、各層は局所有限なので全体も局所有限になります。4 $\Rightarrow$ 1 では、閉集合の族を開集合に太らせる必要があります。そこで閉細分をもう一度取り直し、与えられた閉集合 $F$ に触れない閉集合をすべて除いた補集合 $F^{*}$ を $F$ の開な太らせとして使います。

証明（定理 4.1）

（1 $\Rightarrow$ 2）局所有限な族は $\sigma$ 局所有限。

（2 $\Rightarrow$ 3）$\mathcal{U}$ を開被覆とし、$\mathcal{V} = \bigcup_{n \ge 1}\mathcal{V}_n$（各 $\mathcal{V}_n$ は局所有限な開集合の族）を $\mathcal{U}$ の細分とする。$\mathcal{V}_n$ の元の合併を $V_n^{*}$ と書き（開集合）、$\mathcal{V}_n = \{V_{n,t}\}_{t \in T_n}$ として

$$F_{n,t} := V_{n,t} \setminus \bigcup_{i < n} V_i^{*}$$

とおく（$n = 1$ のときは $F_{1,t} = V_{1,t}$）。$\mathcal{F} := \{F_{n,t}\}$ は $\mathcal{U}$ の細分（$F_{n,t} \subseteq V_{n,t}$）である。被覆：$x \in X$ に対し、$x \in V_n^{*}$ なる最小の $n$ を取る（$\mathcal{V}$ は被覆なので存在）。$x \in V_{n,t}$ なる $t$ があり、$x \notin V_i^{*}$（$i < n$）だから $x \in F_{n,t}$。局所有限：$x$ と上の $n$ に対し、$x \in V \in \mathcal{V}_n$ なる $V$ を取ると、$V$ は開近傍で $V \subseteq V_n^{*}$。$m > n$ では $F_{m,t} \subseteq X \setminus V_n^{*}$ だから $V$ と交わらない。$m \le n$ では、$\mathcal{V}_m$ が局所有限だから $x$ の開近傍 $N_m$ が有限個の $V_{m,t}$ としか交わらず、したがって有限個の $F_{m,t}$ としか交わらない。$V \cap N_1 \cap \cdots \cap N_n$ は $x$ の開近傍で $\mathcal{F}$ の有限個の元としか交わらない。

（3 $\Rightarrow$ 4）$\mathcal{U}$ を開被覆とする。$X$ は正則だから 縮小補題（補題 4.4）［分離公理と距離づけ可能性］ の 1 により、各 $x$ に開集合 $W_x$ と $U \in \mathcal{U}$ で $x \in W_x \subseteq \overline{W_x} \subseteq U$ となるものがある。開被覆 $\{W_x\}_{x \in X}$ の局所有限な細分 $\mathcal{B}$ を取る。$\{\overline{B} : B \in \mathcal{B}\}$ は 補題 3.1 により局所有限、閉集合からなり、被覆で、各 $B \subseteq W_x$ について $\overline{B} \subseteq \overline{W_x} \subseteq U$ だから $\mathcal{U}$ の細分である。

（4 $\Rightarrow$ 1）$\mathcal{U}$ を開被覆とし、$\mathcal{U}$ の局所有限な閉細分 $\mathcal{F}$ を取り、各 $F \in \mathcal{F}$ に対し $F \subseteq U_F \in \mathcal{U}$ なる $U_F$ を 1 つ選ぶ。各 $x$ に対し、有限個の $F \in \mathcal{F}$ としか交わらない開近傍 $O_x$ を取る。開被覆 $\{O_x\}_{x \in X}$ に 4 を適用して、局所有限な閉細分 $\mathcal{G}$ を得る。各 $G \in \mathcal{G}$ はある $O_x$ に含まれるので、有限個の $F \in \mathcal{F}$ としか交わらない。各 $F \in \mathcal{F}$ に対し

$$F^{*} := X \setminus \bigcup\{ G \in \mathcal{G} : G \cap F = \emptyset \}$$

とおく。$\mathcal{G}$ は局所有限な閉集合族だから、その部分族の合併は閉（補題 3.1）で、$F^{*}$ は開集合。$F \subseteq F^{*}$（$F$ と交わらない $G$ は $F$ の点を含まない）。$V_F := F^{*} \cap U_F$ とおくと、$V_F$ は開で $F \subseteq V_F \subseteq U_F$。$\mathcal{F}$ が被覆だから $\{V_F\}$ は $\mathcal{U}$ の開細分で被覆。局所有限性：$x$ の開近傍 $N$ で、有限個の $G_1, \ldots, G_k \in \mathcal{G}$ としか交わらないものを取る。$N \cap V_F \ne \emptyset$ とすると、点 $z \in N \cap F^{*}$ があり、$\mathcal{G}$ が被覆だから $z \in G$ なる $G \in \mathcal{G}$ があって、$G \cap N \ne \emptyset$ より $G = G_i$（ある $i$）。$z \in F^{*}$ より $G_i \cap F \ne \emptyset$。したがって $N$ と交わる $V_F$ の $F$ は、$G_1, \ldots, G_k$ のどれかと交わるもので、各 $G_i$ が有限個の $F$ としか交わらないので、有限個。$\{V_F\}$ は局所有限な開細分であり、$X$ はパラコンパクト。

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系 4.2（正則 Lindelöf 空間はパラコンパクト）✓

正則かつ Lindelöf な空間はパラコンパクトである。

証明（系 4.2）

$\mathcal{U}$ を開被覆とする。Lindelöf 性（可算性の定義（定義 7.1）［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ の 4）により可算部分被覆 $\{U_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ が取れる。$\mathcal{V}_n := \{U_n\}$（1 元からなる族）は局所有限だから、$\bigcup_n \mathcal{V}_n = \{U_n\}_n$ は $\mathcal{U}$ の $\sigma$ 局所有限な開細分であり、定理 4.1 の 2 が成り立つ。正則性より $X$ はパラコンパクト。

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5. 距離空間のパラコンパクト性（A. H. Stone の定理）

距離空間では、被覆を整列順序で「前に出てきた元を削る」ことで、離散な細分を作れます。M. E. Rudin による証明を示します。

証明の考え方は次のとおりです。被覆の添字に整列順序を入れ、各点を「その点を含む最初の $U_s$」に割り当てます。$S_n(s)$ は半径 $1/n$ の球が $U_s$ に収まる点の集合、$T_n(s)$ はそのうち前の $U_r$（$r < s$）にまだ覆われていない点の集合で、各点がどの $s$ に割り当てられるかを決める役目です。$E_n(s)$ は $T_n(s)$ を半径 $1/(3n)$ の球で太らせて開集合にしたものです。異なる $s$ に割り当てられた点は $1/n$ 以上離れているので、太らせても $E_n(s)$ どうしは近づかず、各 $n$ で離散になります。

定理 5.1（A. H. Stone の定理）✓

距離空間 $(X, d)$ の任意の開被覆は、$\sigma$ 離散な開細分を持つ。したがって距離空間はパラコンパクトである。

証明（定理 5.1）

$\mathcal{U} = \{U_s\}_{s \in S}$ を開被覆とする。整列可能定理（定理 5.2［選択公理と Zorn の補題］）により $S$ に整列順序 $<$ を入れる。$B(x,r)$ を開球とする。各 $n \in \mathbb{N}$ と $s \in S$ に対し

$$S_n(s) := \{ x \in X : B(x, 1/n) \subseteq U_s \},\qquad T_n(s) := S_n(s) \setminus \bigcup_{r < s} U_r,\qquad E_n(s) := \bigcup_{x \in T_n(s)} B\bigl(x, \tfrac{1}{3n}\bigr)$$

とおく。$E_n(s)$ は開集合で、$x \in T_n(s)$ について $B(x, \tfrac1{3n}) \subseteq B(x, \tfrac1n) \subseteq U_s$ だから $E_n(s) \subseteq U_s$。

離散性。 $s < r$、$x \in T_n(s)$、$y \in T_n(r)$ とする。$x \in S_n(s)$ より $B(x, 1/n) \subseteq U_s$。一方 $y \in T_n(r)$ は $s < r$ より $y \notin U_s$ なので $y \notin B(x, 1/n)$、すなわち $d(x,y) \ge 1/n$。したがって $a \in B(x, \tfrac1{3n})$、$b \in B(y, \tfrac1{3n})$ なら $d(a, b) \ge d(x,y) - \tfrac{2}{3n} \ge \tfrac1{3n}$。つまり $E_n(s)$ と $E_n(r)$ の点は $\tfrac1{3n}$ 以上離れている。そこで任意の点 $z$ の開近傍 $B(z, \tfrac1{6n})$ は、2 つ以上の $E_n(s)$ と交わりえない（交われば、そこから 2 点の距離が $\tfrac1{3n}$ 未満になる）。よって $\mathcal{E}_n := \{E_n(s)\}_{s \in S}$ は離散。

被覆。 $x \in X$ とする。$S$ の整列性から、$x \in U_s$ なる最小の $s$ が取れる。$U_s$ は開だから $B(x, 1/n) \subseteq U_s$ なる $n$ があり、$x \in S_n(s)$。最小性から $r < s$ なら $x \notin U_r$ なので $x \in T_n(s) \subseteq E_n(s)$。

以上、$\bigcup_n \mathcal{E}_n$ は $\mathcal{U}$ の $\sigma$ 離散な開細分である。距離空間は T4（定理 5.2［分離公理と距離づけ可能性］）で、とくに T1 なので $\{x\}$ は閉（命題 3.2［分離公理と距離づけ可能性］）。正規性を $\{x\}$ と閉集合 $F \not\ni x$ に適用すれば $X$ は正則である。離散族は局所有限だから、$\bigcup_n\mathcal{E}_n$ は $\sigma$ 局所有限な開細分であり、定理 4.1 の 2 により $X$ はパラコンパクトである。

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この定理の「$\sigma$ 離散な細分」という強い形は、次の記事の距離化定理（距離空間が $\sigma$ 離散な基底を持つこと）で使います。

6. 1 の分割

定理 6.1（1 の分割の存在）✓

$X$ をパラコンパクトなハウスドルフ空間、$\mathcal{U} = \{U_s\}_{s \in S}$ を $X$ の開被覆とする。このとき $\mathcal{U}$ に従属する 1 の分割が存在する。

証明の方針は 3 段です。第 1 段で、局所有限な開細分を、閉集合の局所有限な被覆に縮めます（閉集合にするのは、次の段でウリゾーンの補題を使うためです）。第 2 段で、各閉集合の上で 1、開細分の外で 0 となる連続関数を作り、その総和で割って和を 1 にそろえます。局所有限性のおかげで、総和は各点の近くで有限和になります。第 3 段で、添字を細分のものから $\mathcal{U}$ のものに付け替えます。

証明（定理 6.1）

$X$ は正規かつ正則である（定理 3.2）。

第 1 段（局所有限な閉被覆の作成）。 $\mathcal{U}$ の局所有限な開細分 $\mathcal{V} = \{V_t\}_{t \in T}$ を取り、各 $t$ に $V_t \subseteq U_{\sigma(t)}$ なる $\sigma(t) \in S$ を 1 つ選ぶ。正則性と 縮小補題（補題 4.4）［分離公理と距離づけ可能性］ の 1 により、各 $x \in X$ に開集合 $W_x$ で $x \in W_x \subseteq \overline{W_x} \subseteq V_{t}$（ある $t$）となるものがある。パラコンパクト性により、開被覆 $\{W_x\}$ の局所有限な開細分 $\mathcal{W}$ を取り、各 $W \in \mathcal{W}$ に対し $\overline{W} \subseteq V_{\tau(W)}$ なる $\tau(W) \in T$ を選ぶ。

$$A_t := \bigcup \{ \overline{W} : W \in \mathcal{W},\ \tau(W) = t \}$$

とおく。$\{\overline{W}\}_{W}$ は 補題 3.1 により局所有限で、その部分族の合併 $A_t$ は閉集合（同補題）である。$A_t \subseteq V_t$ であり、$\mathcal{W}$ が被覆だから $\bigcup_t A_t = X$。$\{A_t\}$ は局所有限：$x$ の開近傍 $N$ が有限個の $W \in \mathcal{W}$ としか交わらなければ、$N$ は有限個の $\overline{W}$ としか交わらず、したがって有限個の $A_t$ としか交わらない。

第 2 段（関数の作成）。 各 $t$ で $A_t \subseteq V_t$（$A_t$ は閉、$V_t$ は開）。$X$ は正規だから、縮小補題（補題 4.4）［分離公理と距離づけ可能性］ の 2 により開集合 $O_t$ で $A_t \subseteq O_t \subseteq \overline{O_t} \subseteq V_t$ となるものがある。$A_t$ と $X \setminus O_t$ は互いに素な閉集合だから、ウリゾーンの補題（補題 6.1）［分離公理と距離づけ可能性］ により連続関数 $g_t : X \to [0,1]$ で $X \setminus O_t$ 上 $g_t = 0$、$A_t$ 上 $g_t = 1$ となるものがある。$\operatorname{supp} g_t \subseteq \overline{O_t} \subseteq V_t$ である。

台の族 $\{\operatorname{supp}g_t\}$ は $\{V_t\}$ より小さいので局所有限であり、各点 $x$ にはその近傍 $N_x$ があって、$N_x$ 上では有限個を除く $g_t$ が $0$ になる。したがって $g := \sum_t g_t$ は各 $N_x$ 上で有限和で、連続である。$A_t$ 上 $g_t = 1$ で $\{A_t\}$ は被覆だから $g \ge 1$。$\psi_t := g_t / g$ は連続で、$\sum_t \psi_t = 1$、$\operatorname{supp}\psi_t = \operatorname{supp}g_t \subseteq V_t$。

第 3 段（添字を $S$ に付け替える）。 $\varphi_s := \sum_{t : \sigma(t) = s} \psi_t$（$\{t : \sigma(t) = s\}$ が空なら $\varphi_s := 0$）とおく。この和も局所的に有限和だから連続で、$\sum_s \varphi_s = \sum_t \psi_t = 1$、$0 \le \varphi_s \le 1$。台について、$\{\operatorname{supp}\psi_t\}_t$ は局所有限だから 補題 3.1 により

$$\operatorname{supp}\varphi_s \subseteq \overline{\bigcup_{\sigma(t) = s}\operatorname{supp}\psi_t} = \bigcup_{\sigma(t) = s}\operatorname{supp}\psi_t \subseteq \bigcup_{\sigma(t) = s} V_t \subseteq U_s .$$

$\{\operatorname{supp}\varphi_s\}_s$ の局所有限性：$x$ の開近傍 $N$ が有限個の $V_t$ としか交わらないとすれば、$N$ が $\operatorname{supp}\varphi_s$ と交わるのは、$\sigma(t) = s$ かつ $N \cap V_t \ne \emptyset$ なる $t$ があるときに限り、そのような $s$ は有限個。

∎

例 6.2（1 の分割による関数の貼り合わせ）

$X$ をパラコンパクトなハウスドルフ空間、$\{U_s\}$ を開被覆、各 $U_s$ 上の連続関数 $f_s : U_s \to \mathbb{R}$ が与えられているとする。定理 6.1 の 1 の分割 $\{\varphi_s\}$ に対し、$\varphi_s f_s$ を $U_s$ の外では $0$ として $X$ 全体に延長すると連続になる（$\operatorname{supp}\varphi_s \subseteq U_s$ だから、$X \setminus \operatorname{supp}\varphi_s$ と $U_s$ が $X$ の開被覆をなし、それぞれの上で連続）。したがって $F := \sum_s \varphi_s f_s$ は、各点の近くで有限和だから連続な関数で、$f_s$ たちの「重みつき平均」を与える。多様体上の関数や計量を局所的に作って貼り合わせる標準的な手順は、この形をしている。

7. 全体正規空間との同値

定理 7.1（パラコンパクト性と全体正規性（A. H. Stone））✓

$X$ を T1 空間とする。$X$ が全体正規であることと、$X$ がハウスドルフかつパラコンパクトであることは同値である。

全体正規は、どんな開被覆に対しても、各元を一回り太らせてもはみ出さないほど細かい開被覆が取れる、という性質です（定義 2.4 と 定義 2.2）。

証明は少し長いので Appendix に置きます。なお、概要に出てくる擬距離とは、距離の条件のうち「異なる 2 点の距離は正」を外したもの（異なる点の距離が 0 になってもよい）です。方向ごとに概要だけ述べます。全体正規なら、星細分の列 $\mathcal{W}_0 \succ \mathcal{W}_1 \succ \cdots$ を取って 定理 5.1 と同じ構成を行い（開球を $\operatorname{St}(x,\mathcal{W}_n)$ に置き換える）、$\sigma$ 離散な開細分を作って 定理 4.1 に帰着させます。逆に、パラコンパクトなハウスドルフ空間では、1 の分割（定理 6.1）から作る連続な擬距離の球が星細分を与えます。

8. パラコンパクト性の遺伝と十分条件

命題 8.1（パラコンパクト性の遺伝・積・σ コンパクト空間）✓

1. パラコンパクト空間の閉部分空間はパラコンパクトである。
2. $X$ をパラコンパクト空間、$K$ をコンパクト空間とすると、積空間 $X \times K$ はパラコンパクトである。
3. $\sigma$ コンパクトな LCH 空間（可算個のコンパクト集合の合併として書ける LCH 空間）はパラコンパクトで、ハウスドルフである。

証明（命題 8.1）

1. $A \subseteq X$ を閉集合、$X$ をパラコンパクトとし、$\{O_i\}_{i \in I}$ を $A$ の開被覆とする。$O_i = A \cap G_i$（$G_i$ は $X$ の開集合）と書く。$\{G_i\}_{i \in I} \cup \{X \setminus A\}$ は $X$ の開被覆だから、局所有限な開細分 $\mathcal{V}$ が取れる。$\{V \cap A : V \in \mathcal{V},\ V \cap A \ne \emptyset\}$ を考える。$V \cap A \ne \emptyset$ なら $V \not\subseteq X \setminus A$ だから、ある $G_i \supseteq V$ で、$V \cap A \subseteq O_i$。これは $A$ の開被覆で、局所有限（$N$ が $x \in A$ の $X$ での近傍として有限個の $V$ としか交わらなければ、$N \cap A$ は有限個の $V \cap A$ としか交わらない）であり、$\{O_i\}$ の細分。

2. $\mathcal{U}$ を $X \times K$ の開被覆とする。各 $x \in X$ について、$\{x\} \times K$ はコンパクトだから、積位相の開基（命題 3.2）［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ により、有限個の $U_1, \ldots, U_m \in \mathcal{U}$ と $x$ の開近傍 $O_x$ で $O_x \times K \subseteq U_1 \cup \cdots \cup U_m$ となるものが取れる（各 $k \in K$ に $(x,k) \in A_k \times B_k \subseteq U$ なる開集合を取り、$K$ の有限個の $B_{k_i}$ で覆って $O_x := \bigcap_i A_{k_i}$ とする）。$X$ のパラコンパクト性により、$\{O_x\}$ の局所有限な開細分 $\mathcal{W}$ を取る。各 $W \in \mathcal{W}$ について $W \subseteq O_x$ なる $x$ を選ぶと、$W \times K$ は $\mathcal{U}$ の有限個の元 $\mathcal{U}_W$ で覆われる。$\mathcal{V} := \{ U \cap (W \times K) : W \in \mathcal{W},\ U \in \mathcal{U}_W \}$ は $X \times K$ の開被覆で $\mathcal{U}$ を細分する。局所有限：$(x,k)$ に対し、$x$ の開近傍 $N$ が有限個の $W$ としか交わらなければ、$N \times K$ は $(x,k)$ の開近傍で、有限個の $W$ に対する有限個の $U$ に対応する $V$ としか交わらない。

3. $X = \bigcup_n K_n$（$K_n$ はコンパクト）とする。LCH 空間はハウスドルフであり、Tychonoff（命題 2.4［完全正則空間と埋め込み定理］ の 5）、したがって正則（同 1）である。$X$ は Lindelöf：開被覆 $\mathcal{U}$ に対し、各 $K_n$ は有限個の元で覆われ、それらを集めれば可算部分被覆。系 4.2 により $X$ はパラコンパクト。

∎

例 8.2（パラコンパクト空間の例）

1. 離散空間：開被覆の細分として 1 点集合の族 $\{\{x\}\}$ が取れる。これは離散族（各点の近傍 $\{x\}$ は 1 つの元としか交わらない）で、パラコンパクト。
2. $\mathbb{R}^n$：LCH（LCH の例（例 2.4）［局所コンパクト空間］ と同様に閉球はコンパクト）で、$\mathbb{R}^n = \bigcup_{m}\overline{B}(0, m)$ は $\sigma$ コンパクト。命題 8.1 の 3 により、またそれとは別に距離空間として 定理 5.1 により、パラコンパクト。第二可算でハウスドルフな局所ユークリッド空間（位相多様体）も、可算基底から座標球の閉包がコンパクトな可算個の座標近傍を選べるので $\sigma$ コンパクトな LCH 空間であり、パラコンパクトで、定理 6.1 により 1 の分割を持つ。
3. コンパクト空間とパラコンパクト空間の積はパラコンパクト（命題 8.1 の 2）。たとえば $\mathbb{R} \times [0,1]$。

9. 演習

演習 9.1易

$\mathbb{R}$ の部分集合の族 (a) $\{(n, n+2) : n \in \mathbb{Z}\}$、(b) $\{(0, 1/n) : n \in \mathbb{N}\}$、(c) $\{\{1/n\} : n \in \mathbb{N}\}$ のうち、局所有限なものを選べ。また (c) について 補題 3.1 の合併と閉包の交換が成り立つかを調べよ。

解答

(a) 点 $x$ の近傍 $(x-1, x+1)$ は有限個（$x - 3 < n < x + 1$ なる $n$ に対応する高々 4 個）の区間としか交わらないので局所有限。(b) 点 $0$ の任意の近傍は、十分大きい $n$ について $(0, 1/n)$ のすべてと交わるので局所有限でない。(c) 点 $0$ の任意の近傍は無限個の $\{1/n\}$ を含むので、$0$ で局所有限性が破れる。(c) では $\overline{\bigcup_n\{1/n\}} = \{1/n : n \in \mathbb{N}\} \cup \{0\}$ だが $\bigcup_n \overline{\{1/n\}} = \{1/n : n \in \mathbb{N}\}$ で、合併と閉包は交換できない。局所有限性の仮定が必要である。

演習 9.2標準

$X$ をパラコンパクトなハウスドルフ空間、$A \subseteq X$ を閉集合、$f : A \to \mathbb{R}$ を連続関数とする。各点 $x \in X$ が開近傍 $U_x$ と連続関数 $g_x : U_x \to \mathbb{R}$ を持ち、$A \cap U_x$ 上で $g_x = f$ となるとき、$f$ は $X$ 全体の連続関数 $F$ に延長できることを示せ。

解答

開被覆 $\mathcal{U} := \{U_x\}_{x \in X} \cup \{X \setminus A\}$ に 定理 6.1 を適用し、1 の分割 $\{\varphi_x\}_{x \in X} \cup \{\varphi_\infty\}$（$\varphi_\infty$ は $U_\infty = X \setminus A$ に対応）を得る。$U_\infty$ 上で $g_\infty := 0$ とし、$F := \sum_x \varphi_x g_x + \varphi_\infty g_\infty$ とおく。各項は連続（例 6.2 と同様、台が定義域に含まれるので）で、和は局所有限だから $F$ は連続。$a \in A$ では $\operatorname{supp}\varphi_\infty \subseteq X \setminus A$ より $\varphi_\infty(a) = 0$ で、$\varphi_x(a) \ne 0$ なる $x$ では $a \in U_x$ なので $g_x(a) = f(a)$。よって $F(a) = \sum_x \varphi_x(a) f(a) = f(a)\sum_x \varphi_x(a) = f(a)$。

演習 9.3標準

無限集合 $X$ の補有限位相は強パラコンパクトであることを示し、強パラコンパクト空間は正規とは限らないことを説明せよ。

解答

例 3.3 で $X$ はコンパクトであることが示されている。開被覆 $\mathcal{U}$ の有限部分被覆 $\mathcal{V}$ は有限個の元しか持たないので、各元は有限個の元としか交わらず、星有限な開細分である。よって $X$ は強パラコンパクト（したがってパラコンパクト）である。ところが同例で見たとおり $X$ は正規でない。定理 3.2 の結論を得るにはハウスドルフ性が必要で、パラコンパクト性や強パラコンパクト性だけでは足りない。

参考文献

• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, 1989 — 第 5 章（パラコンパクト空間）。
• James R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000 — §39（局所有限性）、§41（パラコンパクト性）、§36（1 の分割）。
• E. Michael, “A note on paracompact spaces”, Proceedings of the American Mathematical Society 4 (1953), 831–838.
• A. H. Stone, “Paracompactness and product spaces”, Bulletin of the American Mathematical Society 54 (1948), 977–982.
• M. E. Rudin, “A new proof that metric spaces are paracompact”, Proceedings of the American Mathematical Society 20 (1969), 603.
• Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970（Dover 版 2004）— パラコンパクト空間の章。

Appendix: 全体正規性とパラコンパクト性の同値の証明

証明（定理 7.1）

（$\Rightarrow$） $X$ を T1 かつ全体正規とする。

正規・正則・ハウスドルフ。 $E, F$ を互いに素な閉集合とし、開被覆 $\{X \setminus E, X \setminus F\}$ の開星細分 $\mathcal{V}$ を取る。$G_E := \operatorname{St}(E, \mathcal{V})$、$G_F := \operatorname{St}(F, \mathcal{V})$ は開集合で $E \subseteq G_E$、$F \subseteq G_F$（$\mathcal{V}$ は被覆）。$G_E \cap G_F \ne \emptyset$ とすると、$V \cap E \ne \emptyset$、$V' \cap F \ne \emptyset$、$V \cap V' \ne \emptyset$ なる $V, V' \in \mathcal{V}$ がある。$\operatorname{St}(V, \mathcal{V})$ は $V$ の点（$E$ の点）と $V'$ の点（$F$ の点）の両方を含むので、$X \setminus E$ にも $X \setminus F$ にも含まれず、星細分の定義に反する。よって $X$ は正規。T1 より点は閉集合なので、正規性を $\{x\}$ と閉集合に適用して正則、さらに $x \ne y$ に $\{y\}$ を適用してハウスドルフ。

$\sigma$ 離散な細分。 $\mathcal{U} = \{U_s\}_{s \in S}$ を開被覆とし、$S$ に整列順序を入れる（定理 5.2［選択公理と Zorn の補題］）。$\mathcal{W}_0 := \mathcal{U}$ とし、$\mathcal{W}_{n+1}$ を $\mathcal{W}_n$ の開星細分とする。次の事実を使う（$n \ge 0$）。

(a) $\mathcal{W}_{n+1}$ は $\mathcal{W}_n$ の細分で、各 $x$ に対し $x \in M \in \mathcal{W}_n$ かつ $\operatorname{St}(x, \mathcal{W}_{n+1}) \subseteq M$ となる $M$ がある。したがって $\operatorname{St}(x, \mathcal{W}_{n+1}) \subseteq \operatorname{St}(x, \mathcal{W}_n)$。実際、$x \in V \in \mathcal{W}_{n+1}$ を取ると $\operatorname{St}(V, \mathcal{W}_{n+1}) \subseteq M \in \mathcal{W}_n$ で、$x$ を含む $\mathcal{W}_{n+1}$ の元は $V$ と交わるから $\operatorname{St}(x, \mathcal{W}_{n+1}) \subseteq \operatorname{St}(V, \mathcal{W}_{n+1}) \subseteq M$、また $x \in V \subseteq M$。

(b) $n \ge 1$ について $S_n(s) := \{x : \operatorname{St}(x, \mathcal{W}_n) \subseteq U_s\}$ とおくと、(a) より $S_n(s) \subseteq S_{n+1}(s)$。

(c) $x \in S_n(s)$ で $y \in \operatorname{St}(x, \mathcal{W}_{n+1})$ なら $y \in S_{n+1}(s)$。実際、$x, y \in W \in \mathcal{W}_{n+1}$ で、$\operatorname{St}(y, \mathcal{W}_{n+1}) \subseteq \operatorname{St}(W, \mathcal{W}_{n+1}) \subseteq M \in \mathcal{W}_n$。$x \in W \subseteq M$ だから $M \subseteq \operatorname{St}(x, \mathcal{W}_n) \subseteq U_s$。

$n \ge 1$、$s \in S$ に対し

$$T_n(s) := S_n(s) \setminus \bigcup_{r < s} S_{n+1}(r),\qquad E_n(s) := \bigcup \{ V \in \mathcal{W}_{n+2} : V \cap T_n(s) \ne \emptyset \}$$

とおく。$E_n(s)$ は開集合。

(d) $E_n(s) \subseteq U_s$：$x' \in V \cap T_n(s)$ とすると、(a) により $V \subseteq M_1 \in \mathcal{W}_{n+1}$、$M_1 \subseteq M_2 \in \mathcal{W}_n$ で、$x' \in M_2$ だから $M_2 \subseteq \operatorname{St}(x', \mathcal{W}_n) \subseteq U_s$（$x' \in S_n(s)$）。

(e) $s < r$、$x \in T_n(s)$、$y \in T_n(r)$ なら、$x, y$ をともに含む $\mathcal{W}_{n+1}$ の元はない：あれば $y \in \operatorname{St}(x, \mathcal{W}_{n+1}) \subseteq S_{n+1}(s)$（(c)）だが、$y \in T_n(r)$ で $s < r$ だから $y \notin S_{n+1}(s)$。

(f) $\{E_n(s)\}_{s \in S}$ は離散：点 $z$ を含む $W \in \mathcal{W}_{n+2}$ が $E_n(s)$ と $E_n(r)$（$s < r$）の両方と交わるとする。$V \cap T_n(s) \ni x$、$V' \cap T_n(r) \ni y$（$V, V' \in \mathcal{W}_{n+2}$）で $V \cap W \ne \emptyset$、$V' \cap W \ne \emptyset$ とすると、$V, V' \subseteq \operatorname{St}(W, \mathcal{W}_{n+2}) \subseteq M \in \mathcal{W}_{n+1}$ となり、$x, y \in M$ で (e) に反する。

(g) $\bigcup_{n \ge 1}\{E_n(s)\}_{s}$ は被覆：$x \in X$ とする。(a) より $\operatorname{St}(x, \mathcal{W}_n) \subseteq \operatorname{St}(x, \mathcal{W}_1) \subseteq$ ある $M \in \mathcal{W}_0 = \mathcal{U}$ なので、各 $n \ge 1$ に対し $s_n := \min\{s : x \in S_n(s)\}$ が存在し、(b) より $s_{n+1} \le s_n$。$S$ は整列されているので、この列はある $N$ 以降で一定値 $s$ になる。すると $x \in S_N(s)$、また $r < s$ なら $s_{N+1} = s$ より $x \notin S_{N+1}(r)$。よって $x \in T_N(s)$、$x \in V \in \mathcal{W}_{N+2}$ なる $V$ について $x \in E_N(s)$。

以上により $\mathcal{U}$ は $\sigma$ 離散な開細分を持つ（(d) より細分）。$X$ は正則だから 定理 4.1 の 2 により $X$ はパラコンパクトである。

（$\Leftarrow$） $X$ をハウスドルフかつパラコンパクトとし、$\mathcal{U} = \{U_s\}_{s \in S}$ を開被覆とする。定理 6.1 により従属する 1 の分割 $\{\varphi_s\}$ を取る。各 $x$ で有限個を除いて $\varphi_s(x) = 0$ で $\sum_s\varphi_s(x) = 1$ だから、$m(x) := \max_s \varphi_s(x) > 0$ が定まる。$\rho(x,y) := \sup_s |\varphi_s(x) - \varphi_s(y)| \in [0,1]$ とおく。三角不等式と対称性は明らか。

$\rho(x, \cdot)$ は連続。 $y_0 \in X$ とすると、台の局所有限性から $y_0$ の開近傍 $N$ と有限集合 $S_0 \subseteq S$ があり、$s \notin S_0$ なら $N$ 上で $\varphi_s = 0$。$y \in N$ で $\rho(x,y) = \max\bigl( \sup_{s \notin S_0}\varphi_s(x),\ \max_{s \in S_0}|\varphi_s(x) - \varphi_s(y)| \bigr)$ で、これは $y$ の連続関数。したがって球 $B_\rho(x, r) := \{y : \rho(x,y) < r\}$ は開集合で、$x$ を含む。また、各 $s$ で $\varphi_s(z) \le \varphi_s(x) + \rho(x,z)$ だから $|m(x) - m(z)| \le \rho(x,z)$。

$s_x$ を $\varphi_{s_x}(x) = m(x)$ なる添字とし、$N_x := B_\rho(x, m(x)/8)$、$\mathcal{N} := \{N_x\}_{x \in X}$（開被覆）とする。$w \in \operatorname{St}(N_x, \mathcal{N})$ とすると、ある $z$ と $y \in N_x \cap N_z$ があり $w \in N_z$。すると

$$\rho(x,z) \le \rho(x,y) + \rho(y,z) < \frac{m(x)}{8} + \frac{m(z)}{8} \le \frac{2m(x) + \rho(x,z)}{8}$$

（最後に $m(z) \le m(x) + \rho(x,z)$ を使った）より $\rho(x,z) < \tfrac27 m(x)$、したがって $m(z) < \tfrac97 m(x)$。さらに

$$\rho(x,w) \le \rho(x,z) + \rho(z,w) < \tfrac27 m(x) + \tfrac{1}{8}\cdot\tfrac97 m(x) = \tfrac{25}{56}m(x) < \tfrac12 m(x).$$

よって $\varphi_{s_x}(w) \ge \varphi_{s_x}(x) - \rho(x,w) > \tfrac12 m(x) > 0$ で、$w \in \{\varphi_{s_x} \ne 0\} \subseteq U_{s_x}$。すなわち $\operatorname{St}(N_x, \mathcal{N}) \subseteq U_{s_x}$ で、$\mathcal{N}$ は $\mathcal{U}$ の開星細分である。よって $X$ は全体正規。

∎