細分・星細分

$\mathcal{U}$ を $X$ の被覆とする。被覆 $\mathcal{V}$ が $\mathcal{U}$ の細分であるとは、すべての $V \in \mathcal{V}$ に対し $V \subseteq U$ となる $U \in \mathcal{U}$ が存在することをいう。部分集合 $A$ と被覆 $\mathcal{V}$ に対し $\operatorname{St}(A, \mathcal{V}) := \bigcup \{ V \in \mathcal{V} : V \cap A \ne \emptyset \}$ とおき、$\operatorname{St}(x, \mathcal{V}) := \operatorname{St}(\{x\}, \mathcal{V})$ と書く。$\mathcal{V}$ が $\mathcal{U}$ の星細分であるとは、すべての $V \in \mathcal{V}$ に対し $\operatorname{St}(V, \mathcal{V}) \subseteq U$ となる $U \in \mathcal{U}$ が存在することをいう。