位相空間論 100 本ノック

学部100 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ全章の定義と主な定理（開集合・連続写像・コンパクト性・連結性・分離公理・積位相・ネットなど）を一通り学んだ学部生。定義を使って自力で証明を書ける人向けです。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）、Claude Code（Opus 5.5）・監査 5 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• J. R. Munkres, Topology (2nd ed.)
• S. Willard, General Topology
• R. Engelking, General Topology
• L. A. Steen, J. A. Seebach Jr., Counterexamples in Topology
• 松坂和夫『集合・位相入門』
• 内田伏一『集合と位相』

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜9: 位相空間の基本概念
• 10〜16: 連続写像と同相写像
• 17〜24: コンパクト性
• 25〜31: 連結性
• 32〜38: 分離公理と距離づけ可能性
• 39〜45: 積位相・商位相と Tychonoff の定理
• 46〜50: 局所コンパクト空間と位相群
• 51〜55: 可算性・点列・可算コンパクト性
• 56〜60: ネットとフィルター
• 61〜65: 普遍ネット・Alexander の準基定理・完全写像
• 66〜71: 完全正則空間と Stone–Čech コンパクト化
• 72〜76: パラコンパクト空間
• 77〜81: 距離化定理
• 82〜86: 一様空間
• 87〜91: 次元論
• 92〜96: 反例の空間
• 97〜100: 順序位相・近傍系の公理・局所連結性

形式: 単一選択 31・複数選択 20・○× 12・数値 13・並べ替え 8・誤り探し 8・記述 8。難易度 ★〜★★★★: 8 / 48 / 36 / 8。

この冊で使う定義・定理（170）

• 定理 7.1 カントールの定理 濃度と無限：全単射で測る「無限の大小」 → 53 番
• 定義 3.1 同値関係 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 82 番
• 定義 4.3 集合の分割 関係と同値関係：「同じ」とは何か（同値類・商集合・well-defined） → 82 番
• 定理 4.2 上限の存在（ワイエルシュトラスの定理） 実数の完備性とコーシー列：解析学を支える「穴のなさ」 → 64 番
• 系 6.5 コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相 コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 → 14, 23, 24 番
• 系 6.2 最大値・最小値の定理 コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 → 20, 22 番
• 定義 3.2 コンパクト空間 コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 → 17, 18 番
• 定義 2.1 ハウスドルフ空間 コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 → 16, 59 番
• 命題 4.5 有限交叉性によるコンパクト性の特徴づけ コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 → 21 番
• 注意 5.4 コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 → 19 番
• 注意 6.6 コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 → 23 番
• 注意 4.6 コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 → 21 番
• 定理 4.1 コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 → 19 番
• 定理 4.2 ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 → 14, 19, 67 番
• 定理 6.1 コンパクト集合の連続像はコンパクト コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 → 14, 22, 40, 67, 90 番
• 定理 5.2 ハイネ・ボレルの定理 コンパクト性：有限部分被覆で捉える「有界閉集合」の一般化 → 17, 18, 20, 22, 83, 87 番
• 系 5.2 連結性は位相不変量 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する → 13 番
• 定義 9.1 連結成分 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する → 27, 29 番
• 定義 9.6 局所連結・局所弧状連結 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する → 96 番
• 定義 2.1 分離と連結性 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する → 25, 30, 31 番
• 定義 8.1 トポロジストの正弦曲線 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する → 28 番
• 命題 3.1 連結性の特徴づけ 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する → 88 番
• 命題 5.4 連結集合の閉包も連結 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する → 26, 30 番
• 命題 9.2 連結成分の基本性質 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する → 29, 100 番
• 命題 9.7 局所連結性と成分・弧状連結性 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する → 100 番
• 命題 8.2 連結だが弧状連結でない空間 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する → 26, 28, 96 番
• 注意 9.3 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する → 29 番
• 定理 5.1 連結集合の連続像 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する → 26, 31, 40, 100 番
• 定理 4.1 R の連結部分集合の決定 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する → 25 番
• 定理 9.4 ユークリッド空間の開集合では連結と弧状連結が一致する 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する → 27 番
• 定理 7.3 弧状連結ならば連結 連結性：「ひとつながり」を開集合で測り、中間値の定理を位相の言葉で証明する → 26, 28 番
• 定義 3.1 連続写像 連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す → 10, 12 番
• 定義 5.2 同相写像 連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す → 13 番
• 定義 5.1 開写像・閉写像 連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す → 11 番
• 定義 5.5 位相的性質 連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す → 15 番
• 例 3.7 極端な位相のもとでの連続性 連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す → 10 番
• 例 3.8 連続だが開写像でも閉写像でもない写像 連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す → 11 番
• 例 5.6 R と開区間 (0,1) は同相 連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す → 15 番
• 定理 3.3 連続性の同値条件 連続写像と同相写像：開集合の逆像で連続性を捉え直す → 11, 12, 16, 24, 50 番
• 定義 4.1 導集合・自己稠密集合・完全集合・完全核 可算性・点列・可算コンパクト性：点列で何がどこまで言えるか → 55 番
• 定義 2.1 点列閉集合・点列空間・Fréchet–Urysohn 空間・点列連続 可算性・点列・可算コンパクト性：点列で何がどこまで言えるか → 51, 54 番
• 命題 3.3 コンパクト性の諸概念の含意 可算性・点列・可算コンパクト性：点列で何がどこまで言えるか → 52, 80, 93 番
• 命題 3.5 コンパクトだが点列コンパクトでない空間 可算性・点列・可算コンパクト性：点列で何がどこまで言えるか → 52 番
• 命題 2.2 第一可算 ⇒ Fréchet–Urysohn ⇒ 点列空間 可算性・点列・可算コンパクト性：点列で何がどこまで言えるか → 51 番
• 定理 4.2 Cantor–Bendixson の定理 可算性・点列・可算コンパクト性：点列で何がどこまで言えるか → 55 番
• 定理 5.1 Hewitt–Marczewski–Pondiczery の定理 可算性・点列・可算コンパクト性：点列で何がどこまで言えるか → 53 番
• 定理 2.3 点列空間は距離空間の商空間 可算性・点列・可算コンパクト性：点列で何がどこまで言えるか → 51 番
• 定義 5.1 長い半直線・長い直線 反例の空間：Sorgenfrey 平面・Moore 平面・長い直線・櫛空間・ハワイの耳輪 → 95 番
• 定義 4.1 Moore 平面（接円板位相） 反例の空間：Sorgenfrey 平面・Moore 平面・長い直線・櫛空間・ハワイの耳輪 → 94 番
• 定義 3.1 Sorgenfrey 直線・Sorgenfrey 平面 反例の空間：Sorgenfrey 平面・Moore 平面・長い直線・櫛空間・ハワイの耳輪 → 92 番
• 補題 3.3 Jones の補題 反例の空間：Sorgenfrey 平面・Moore 平面・長い直線・櫛空間・ハワイの耳輪 → 92 番
• 補題 5.3 長い半直線の切片は区間と順序同型 反例の空間：Sorgenfrey 平面・Moore 平面・長い直線・櫛空間・ハワイの耳輪 → 95 番
• 補題 2.2 $\omega_1$ の可算部分集合は上に有界 反例の空間：Sorgenfrey 平面・Moore 平面・長い直線・櫛空間・ハワイの耳輪 → 95 番
• 補題 5.4 パラコンパクトな可算コンパクト空間はコンパクト 反例の空間：Sorgenfrey 平面・Moore 平面・長い直線・櫛空間・ハワイの耳輪 → 76 番
• 命題 6.2 櫛空間は可縮だが局所連結でない 反例の空間：Sorgenfrey 平面・Moore 平面・長い直線・櫛空間・ハワイの耳輪 → 96 番
• 命題 5.5 長い半直線・長い直線の性質 反例の空間：Sorgenfrey 平面・Moore 平面・長い直線・櫛空間・ハワイの耳輪 → 52, 76, 80, 81, 93 番
• 命題 4.2 Moore 平面は Tychonoff だが正規でない 反例の空間：Sorgenfrey 平面・Moore 平面・長い直線・櫛空間・ハワイの耳輪 → 68, 69, 70, 94 番
• 命題 3.2 Sorgenfrey 直線の性質 反例の空間：Sorgenfrey 平面・Moore 平面・長い直線・櫛空間・ハワイの耳輪 → 53, 68, 73, 78, 79, 81, 88 番
• 命題 3.4 Sorgenfrey 平面は正規でない 反例の空間：Sorgenfrey 平面・Moore 平面・長い直線・櫛空間・ハワイの耳輪 → 73, 76, 92 番
• 定義 2.1 被覆次元 次元論の入口：被覆次元と帰納的次元、Cantor 集合、dim I^n = n → 89 番
• 補題 2.3 閉部分空間の被覆次元 次元論の入口：被覆次元と帰納的次元、Cantor 集合、dim I^n = n → 87 番
• 補題 2.2 コンパクト距離空間の被覆次元の判定 次元論の入口：被覆次元と帰納的次元、Cantor 集合、dim I^n = n → 91 番
• 命題 4.2 Cantor 集合の性質 次元論の入口：被覆次元と帰納的次元、Cantor 集合、dim I^n = n → 89 番
• 命題 3.2 0 次元空間の特徴づけ 次元論の入口：被覆次元と帰納的次元、Cantor 集合、dim I^n = n → 88 番
• 定理 5.1 R^N のコンパクト部分集合の被覆次元 次元論の入口：被覆次元と帰納的次元、Cantor 集合、dim I^n = n → 87, 89, 90 番
• 定理 6.3 立方体の被覆次元（Lebesgue の被覆定理） 次元論の入口：被覆次元と帰納的次元、Cantor 集合、dim I^n = n → 87, 89, 90, 91 番
• 定義 3.1 一点コンパクト化 局所コンパクト空間：一点コンパクト化・Urysohn・Tietze・1 の分割・位相群 → 47 番
• 定義 2.1 局所コンパクト・LCH 空間 局所コンパクト空間：一点コンパクト化・Urysohn・Tietze・1 の分割・位相群 → 46 番
• 定義 7.1 位相群 局所コンパクト空間：一点コンパクト化・Urysohn・Tietze・1 の分割・位相群 → 50, 86 番
• 例 3.3 (ℝⁿ)* は球面 局所コンパクト空間：一点コンパクト化・Urysohn・Tietze・1 の分割・位相群 → 48 番
• 演習 8.2 局所コンパクト空間：一点コンパクト化・Urysohn・Tietze・1 の分割・位相群 → 48 番
• 演習 8.1 局所コンパクト空間：一点コンパクト化・Urysohn・Tietze・1 の分割・位相群 → 46 番
• 補題 2.3 コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む 局所コンパクト空間：一点コンパクト化・Urysohn・Tietze・1 の分割・位相群 → 49 番
• 命題 2.5 局所コンパクト性の遺伝 局所コンパクト空間：一点コンパクト化・Urysohn・Tietze・1 の分割・位相群 → 46 番
• 定理 3.2 一点コンパクト化の性質 局所コンパクト空間：一点コンパクト化・Urysohn・Tietze・1 の分割・位相群 → 47, 48, 49 番
• 定理 4.1 Urysohn の補題（台がコンパクトな版） 局所コンパクト空間：一点コンパクト化・Urysohn・Tietze・1 の分割・位相群 → 49 番
• 系 7.2 パラコンパクトな位相多様体は距離づけ可能 距離化定理：Nagata–Smirnov・Bing・Smirnov と多様体の距離化可能性 → 81 番
• 定義 2.1 $\sigma$ 局所有限な基底・$\sigma$ 離散な基底 距離化定理：Nagata–Smirnov・Bing・Smirnov と多様体の距離化可能性 → 77 番
• 定義 2.3 位相多様体 距離化定理：Nagata–Smirnov・Bing・Smirnov と多様体の距離化可能性 → 81 番
• 定理 5.2 Bing の距離化定理 距離化定理：Nagata–Smirnov・Bing・Smirnov と多様体の距離化可能性 → 77 番
• 定理 5.1 Nagata–Smirnov の距離化定理 距離化定理：Nagata–Smirnov・Bing・Smirnov と多様体の距離化可能性 → 78 番
• 定理 7.1 Smirnov の距離化定理 距離化定理：Nagata–Smirnov・Bing・Smirnov と多様体の距離化可能性 → 78, 80 番
• 定義 3.1 フィルター基・生成されるフィルター・細分 ネットとフィルターによる収束：部分ネット・集積点・始位相での収束 → 56 番
• 定義 2.1 部分ネット ネットとフィルターによる収束：部分ネット・集積点・始位相での収束 → 57, 63 番
• 命題 8.1 補可算位相では点列の極限は一意だがネットの極限は一意でない ネットとフィルターによる収束：部分ネット・集積点・始位相での収束 → 51 番
• 定理 4.2 集積点は収束する部分ネットの極限 ネットとフィルターによる収束：部分ネット・集積点・始位相での収束 → 60 番
• 定理 6.1 ハウスドルフ性と極限の一意性 ネットとフィルターによる収束：部分ネット・集積点・始位相での収束 → 59, 85 番
• 定理 7.1 始位相での収束 ネットとフィルターによる収束：部分ネット・集積点・始位相での収束 → 58 番
• 定義 2.1 局所有限・σ 局所有限・離散・点有限 パラコンパクト空間と 1 の分割：局所有限被覆・Michael の定理・Stone の定理 → 72, 75 番
• 定義 2.3 パラコンパクト・メタコンパクト・強パラコンパクト パラコンパクト空間と 1 の分割：局所有限被覆・Michael の定理・Stone の定理 → 74, 75, 80 番
• 補題 3.1 局所有限族の閉包 パラコンパクト空間と 1 の分割：局所有限被覆・Michael の定理・Stone の定理 → 74 番
• 命題 8.1 パラコンパクト性の遺伝・積・σ コンパクト空間 パラコンパクト空間と 1 の分割：局所有限被覆・Michael の定理・Stone の定理 → 73, 76 番
• 定理 3.2 パラコンパクトなハウスドルフ空間は正規 パラコンパクト空間と 1 の分割：局所有限被覆・Michael の定理・Stone の定理 → 74 番
• 定理 6.1 1 の分割の存在 パラコンパクト空間と 1 の分割：局所有限被覆・Michael の定理・Stone の定理 → 76 番
• 定理 5.1 A. H. Stone の定理 パラコンパクト空間と 1 の分割：局所有限被覆・Michael の定理・Stone の定理 → 73 番
• 定義 7.1 第一可算・第二可算・可分・Lindelöf 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 44, 53 番
• 定義 5.5 フィルター・超フィルター・収束 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 56, 82 番
• 定義 2.1 準基と生成される位相 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 61, 64 番
• 定義 5.1 有向集合・ネット・収束・集積点 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 59, 60 番
• 定義 3.1 積空間と積位相 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 39, 41, 42 番
• 定義 4.1 商位相・商写像 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 40, 54, 100 番
• 定義 4.6 直和位相 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 75, 77 番
• 例 3.3 箱位相では連続でなくなる写像 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 43 番
• 補題 6.1 超フィルターの像は超フィルター 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 43 番
• 命題 7.2 可算性の含意関係 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 93 番
• 命題 7.4 可算積の可算性 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 41 番
• 命題 3.2 積位相の開基 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 42, 45, 66 番
• 命題 3.5 積空間の基本性質 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 41, 50 番
• 命題 7.3 第一可算空間では点列で十分 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 44 番
• 命題 7.5 非可算積は第一可算でない 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 41, 45 番
• 定理 5.9 コンパクト性の超フィルターによる特徴づけ 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 43 番
• 定理 5.2 ネットによる閉包・連続性の特徴づけ 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 54 番
• 定理 5.3 積空間での収束は座標ごとの収束 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 39, 43, 58 番
• 定理 4.2 商位相の普遍性 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 40 番
• 定理 6.2 Tychonoff の定理 積位相・商位相と Tychonoff の定理：ネットと超フィルターで見るコンパクト性 → 45, 62 番
• 系 5.4 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 → 77 番
• 定義 5.3 距離づけ可能 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 → 36 番
• 定義 4.1 正則・正規と T3・T4 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 → 34, 70 番
• 定義 2.1 第二可算公理 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 → 36, 79 番
• 定義 3.1 T0・T1・T2 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 → 32, 33, 38 番
• 例 3.6 補可算位相：点列の極限は一意だがハウスドルフでない 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 → 33 番
• 例 7.5 ゾルゲンフライ直線：T4 だが距離づけ可能でない 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 → 34 番
• 例 6.3 距離空間ではウリゾーン関数を明示的に書ける 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 → 35 番
• 演習 8.1 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 → 34 番
• 補題 5.1 集合までの距離 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 → 35, 37 番
• 命題 7.2 正則な Lindelöf 空間は正規 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 → 94 番
• 命題 3.2 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 → 38 番
• 定理 4.5 コンパクトハウスドルフ空間は T4 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 → 34, 49, 70 番
• 定理 5.2 距離空間は T4 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 → 32, 33, 34, 37, 68 番
• 定理 7.3 ウリゾーンの距離化定理 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 → 36, 78, 79 番
• 定義 5.1 位相の基底 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る → 5 番
• 定義 6.4 内部・閉包・境界 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る → 7, 9 番
• 定義 3.1 距離空間の開集合・閉集合 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る → 2, 8 番
• 定義 5.5 順序位相 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る → 95, 97, 99 番
• 定義 4.1 位相空間 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る → 1, 3, 4 番
• 例 3.4 無限個の交わりは開とは限らない 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る → 2 番
• 補題 5.6 順序位相の基底は有限交叉で閉じる 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る → 97 番
• 補題 5.7 実数の順序位相は通常の位相 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る → 99 番
• 命題 3.2 開球は開集合 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る → 8 番
• 命題 5.2 基底から位相を作る 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る → 5 番
• 命題 4.3 閉集合族の性質 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る → 3, 6 番
• 命題 5.8 順序位相はハウスドルフ 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る → 99 番
• 定理 6.5 内部と閉包の基本性質 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る → 6, 9 番
• 定理 6.9 近傍系の公理 位相空間の定義と基本概念：距離を捨てても「近さ」は残る → 98 番
• 系 5.3 有界連続関数の延長 完全正則空間と埋め込み定理：Tychonoff 立方体・Alexandroff 立方体・Stone–Čech コンパクト化 → 67 番
• 定義 4.1 Sierpiński 空間 完全正則空間と埋め込み定理：Tychonoff 立方体・Alexandroff 立方体・Stone–Čech コンパクト化 → 66 番
• 定義 2.1 零集合・余零集合・$G_\delta$ 集合・$F_\sigma$ 集合 完全正則空間と埋め込み定理：Tychonoff 立方体・Alexandroff 立方体・Stone–Čech コンパクト化 → 69 番
• 補題 5.1 稠密集合上で一致する連続写像 完全正則空間と埋め込み定理：Tychonoff 立方体・Alexandroff 立方体・Stone–Čech コンパクト化 → 71 番
• 命題 6.2 完全正規空間の特徴づけ（Vedenissoff） 完全正則空間と埋め込み定理：Tychonoff 立方体・Alexandroff 立方体・Stone–Čech コンパクト化 → 69 番
• 命題 7.2 正則開集合の基本性質 完全正則空間と埋め込み定理：Tychonoff 立方体・Alexandroff 立方体・Stone–Čech コンパクト化 → 69 番
• 命題 4.2 Sierpiński 空間の普遍性 完全正則空間と埋め込み定理：Tychonoff 立方体・Alexandroff 立方体・Stone–Čech コンパクト化 → 66 番
• 命題 2.4 完全正則性の遺伝と十分条件 完全正則空間と埋め込み定理：Tychonoff 立方体・Alexandroff 立方体・Stone–Čech コンパクト化 → 68, 94 番
• 定理 3.4 Tychonoff の埋め込み定理 完全正則空間と埋め込み定理：Tychonoff 立方体・Alexandroff 立方体・Stone–Čech コンパクト化 → 70 番
• 定理 5.2 Stone–Čech コンパクト化の存在と普遍性 完全正則空間と埋め込み定理：Tychonoff 立方体・Alexandroff 立方体・Stone–Čech コンパクト化 → 67, 71 番
• 定義 4.1 Cauchy フィルター・完備・全有界 一様空間：近縁で「一様な近さ」を定め、完備化とコンパクト性を距離なしで語る → 85 番
• 定義 2.1 一様構造・近縁 一様空間：近縁で「一様な近さ」を定め、完備化とコンパクト性を距離なしで語る → 82 番
• 定義 2.6 一様連続写像・一様同型・一様埋め込み 一様空間：近縁で「一様な近さ」を定め、完備化とコンパクト性を距離なしで語る → 84 番
• 補題 4.2 Cauchy フィルターの基本性質 一様空間：近縁で「一様な近さ」を定め、完備化とコンパクト性を距離なしで語る → 83, 85, 86 番
• 命題 6.1 位相群の左一様構造 一様空間：近縁で「一様な近さ」を定め、完備化とコンパクト性を距離なしで語る → 86 番
• 命題 2.5 一様位相の基本性質 一様空間：近縁で「一様な近さ」を定め、完備化とコンパクト性を距離なしで語る → 84, 85 番
• 定理 4.3 コンパクトは完備かつ全有界 一様空間：近縁で「一様な近さ」を定め、完備化とコンパクト性を距離なしで語る → 84 番
• 定理 4.4 コンパクト空間の一様構造の一意性 一様空間：近縁で「一様な近さ」を定め、完備化とコンパクト性を距離なしで語る → 83, 84 番
• 定理 3.3 一様化可能性と完全正則性 一様空間：近縁で「一様な近さ」を定め、完備化とコンパクト性を距離なしで語る → 83 番
• 定義 6.1 完全写像・固有写像 普遍ネット・超フィルターとコンパクト性：Alexander の準基定理と完全写像 → 62, 65 番
• 定義 2.1 普遍ネット 普遍ネット・超フィルターとコンパクト性：Alexander の準基定理と完全写像 → 63 番
• 定義 7.1 Vietoris 位相 普遍ネット・超フィルターとコンパクト性：Alexander の準基定理と完全写像 → 61 番
• 補題 2.2 普遍ネットと超フィルター 普遍ネット・超フィルターとコンパクト性：Alexander の準基定理と完全写像 → 63 番
• 定理 4.1 Alexander の準基定理 普遍ネット・超フィルターとコンパクト性：Alexander の準基定理と完全写像 → 64 番
• 定理 3.1 コンパクト性の普遍ネットによる特徴づけ 普遍ネット・超フィルターとコンパクト性：Alexander の準基定理と完全写像 → 63 番
• 定理 6.2 完全写像と固有写像 普遍ネット・超フィルターとコンパクト性：Alexander の準基定理と完全写像 → 62, 65 番