解析学では「収束する部分列を取り出す」という操作をよく使います。点列だけでは扱えない空間でも同じ操作ができるように、点列を一般化した道具が ネット と フィルター です。この記事では、その 2 つが同じ内容の別の書き方であることを確かめ、読み終えると、位相空間で「収束する部分列がある」「極限が 1 つに決まる」といった主張を、どちらの言葉でも述べて証明できるようになります。
ネットの部分ネット を、「添字を十分先へ送る写像」で定義します。部分列の一般化で、点列では取れない「部分」も含みます。ネットの集積点とは、まさにその点に収束する部分ネットが存在する点のことです。
フィルター基 から生成されるフィルター、フィルターの細分 、フィルターの集積点 を定義します。フィルターの集積点とは、あるより細かいフィルターの極限になる点のことです。ネットには尾のフィルター が、フィルターには付随するネット が対応し、収束・集積点・細分と部分ネットがきれいに翻訳されます。ネットとフィルターは同じ内容を二通りに書いたものです。
閉包 ・連続性・ハウスドルフ 性は、フィルターの言葉でも述べられます。とくに ハウスドルフ ⟺ \iff ⟺ が成り立ちます。始位相では、ネット（フィルター）の収束は「各写像による像の収束」と同値です。積位相での座標ごとの収束はその特別な場合で、関数空間の点ごと収束の位相がこれに当たります。
補可算位相の R \mathbb{R} R
有向集合とネット : 「どの 2 元にも共通の上界がある」順序集合を添字にした点の族が、ネットです。点列の添字 N \mathbb{N} N ネット フィルター・超フィルター : 「十分大きい」集合を集めた集合族で、有限共通部分と上位集合で閉じ、空集合を含まないものです。→ フィルター 近傍 : 点 x x x 近傍 閉包 : 集合 A A A 閉包 ハウスドルフ空間 : 相異なる 2 点が、交わらない近傍で分けられる空間です。→ ハウスドルフ空間 積位相・商位相と Tychonoff の定理 では、点列で閉包・連続性・コンパクト性を調べられない空間が現れました。その対処として、添字集合 N \mathbb{N} N ネット と、収束に必要な情報だけを集合族として取り出したフィルター を導入し、閉包・連続性・コンパクト性の特徴づけと Tychonoff の定理の証明までを行いました。ただし、そこでは部分ネットという言葉を定義せず、ネットとフィルターの対応も注意で触れるだけにしていました。
この記事は、その先を扱います。解析学で「収束する部分列を取る」という操作は、位相空間論では次のどちらかで表されます。
ネットの言葉 ：集積点が存在する、収束する部分ネットが存在する。フィルターの言葉 ：与えられたフィルターより細かく、収束するフィルターが存在する。
2 つの言葉の対応を厳密に与えれば、証明の道具を状況に応じて選べます。たとえば、点ごと収束の位相のような始位相で収束を判定するときはネットが直観的で、超フィルターの議論（次の記事）ではフィルターが扱いやすい、という具合です。
また、この記事は点列では駄目だった場面の補強でもあります。補可算位相の R \mathbb{R} R 分離公理 の例）。ここでは、ネットを使えば非ハウスドルフ性が極限の非一意性として見えることを、命題として証明します。
以後、有向集合 は空でないもの定義 5.1［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ ）ですが、空の添字集合を許すと、そのネットはどの点にも収束しないのに、空間のすべての点が（条件が空虚に満たされて）集積点になり、定理 4.2 が成り立たなくなるためです。
定義 2.1 （部分ネット ） ↗
( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ X X X M M M φ : M → Λ \varphi : M \to \Lambda φ : M → Λ
∀ λ 0 ∈ Λ , ∃ μ 0 ∈ M , μ ≥ μ 0 ⟹ φ ( μ ) ≥ λ 0 \forall \lambda_0 \in \Lambda,\ \exists \mu_0 \in M,\quad \mu \ge \mu_0 \implies \varphi(\mu) \ge \lambda_0 ∀ λ 0 ∈ Λ , ∃ μ 0 ∈ M , μ ≥ μ 0 ⟹ φ ( μ ) ≥ λ 0 を満たすものに対し、ネット ( x φ ( μ ) ) μ ∈ M (x_{\varphi(\mu)})_{\mu \in M} ( x φ ( μ ) ) μ ∈ M ( x λ ) (x_\lambda) ( x λ ) 部分ネット という。
条件は「μ \mu μ φ ( μ ) \varphi(\mu) φ ( μ ) Λ = M = N \Lambda = M = \mathbb{N} Λ = M = N φ \varphi φ
フィルターの定義（定義 5.5［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ ）は集合族全体を指定するので、記述に冗長さがあります。小さな族で済ませる言い方がフィルター基 です。
定義 3.1 （フィルター基・生成されるフィルター・細分 ） ↗
X X X B ⊆ P ( X ) \mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X) B ⊆ P ( X ) X X X B ≠ ∅ \mathcal{B} \ne \emptyset B = ∅ ∅ ∉ B \emptyset \notin \mathcal{B} ∅ ∈ / B B 1 , B 2 ∈ B B_1, B_2 \in \mathcal{B} B 1 , B 2 ∈ B B 3 ⊆ B 1 ∩ B 2 B_3 \subseteq B_1 \cap B_2 B 3 ⊆ B 1 ∩ B 2 B 3 ∈ B B_3 \in \mathcal{B} B 3 ∈ B
F ( B ) : = { A ⊆ X : B ⊆ A ( ∃ B ∈ B ) } \mathcal{F}(\mathcal{B}) := \{ A \subseteq X : B \subseteq A\ (\exists B \in \mathcal{B}) \} F ( B ) := { A ⊆ X : B ⊆ A ( ∃ B ∈ B )} を B \mathcal{B} B 生成するフィルター という。X X X F , G \mathcal{F}, \mathcal{G} F , G F ⊆ G \mathcal{F} \subseteq \mathcal{G} F ⊆ G G \mathcal{G} G F \mathcal{F} F 細分 である（G \mathcal{G} G F \mathcal{F} F 細かい ）という。
F ( B ) \mathcal{F}(\mathcal{B}) F ( B ) X ∈ F ( B ) X \in \mathcal{F}(\mathcal{B}) X ∈ F ( B ) B ≠ ∅ \mathcal{B} \ne \emptyset B = ∅ ∅ ∉ F ( B ) \emptyset \notin \mathcal{F}(\mathcal{B}) ∅ ∈ / F ( B ) ∅ ∉ B \emptyset \notin \mathcal{B} ∅ ∈ / B ∅ ⊇ B \emptyset \supseteq B ∅ ⊇ B B = ∅ B = \emptyset B = ∅ A 1 ⊇ B 1 A_1 \supseteq B_1 A 1 ⊇ B 1 A 2 ⊇ B 2 A_2 \supseteq B_2 A 2 ⊇ B 2 A 1 ∩ A 2 ⊇ B 3 A_1 \cap A_2 \supseteq B_3 A 1 ∩ A 2 ⊇ B 3 B 3 ⊆ B 1 ∩ B 2 B_3 \subseteq B_1 \cap B_2 B 3 ⊆ B 1 ∩ B 2 F ( B ) \mathcal{F}(\mathcal{B}) F ( B ) B \mathcal{B} B
位相空間 X X X x x x N ( x ) \mathcal{N}(x) N ( x ) 定義 6.1［位相空間の定義と基本概念］ ）はフィルターです。X ∈ N ( x ) X \in \mathcal{N}(x) X ∈ N ( x ) x x x V , V ′ ∈ N ( x ) V, V' \in \mathcal{N}(x) V , V ′ ∈ N ( x ) x ∈ U ⊆ V x \in U \subseteq V x ∈ U ⊆ V x ∈ U ′ ⊆ V ′ x \in U' \subseteq V' x ∈ U ′ ⊆ V ′ U , U ′ U, U' U , U ′ x ∈ U ∩ U ′ ⊆ V ∩ V ′ x \in U \cap U' \subseteq V \cap V' x ∈ U ∩ U ′ ⊆ V ∩ V ′ U ∩ U ′ U \cap U' U ∩ U ′ V ∩ V ′ ∈ N ( x ) V \cap V' \in \mathcal{N}(x) V ∩ V ′ ∈ N ( x ) N ( x ) \mathcal{N}(x) N ( x ) x x x 近傍フィルター ともいいます。
位相空間のフィルターについて、収束と並ぶもう 1 つの概念を定義します。
定義 3.2 （フィルターの集積点 ） ↗
X X X F \mathcal{F} F X X X x ∈ X x \in X x ∈ X F \mathcal{F} F 集積点 であるとは、すべての F ∈ F F \in \mathcal{F} F ∈ F x ∈ F ‾ x \in \overline{F} x ∈ F x x x U U U F ∈ F F \in \mathcal{F} F ∈ F U ∩ F ≠ ∅ U \cap F \ne \emptyset U ∩ F = ∅ 定理 6.5［位相空間の定義と基本概念］ の 4）。
収束は「x x x F \mathcal{F} F x x x F ∈ F F \in \mathcal{F} F ∈ F
補題 3.3 （フィルターの収束・集積点・細分 ） ✓
X X X F \mathcal{F} F X X X x ∈ X x \in X x ∈ X
F → x \mathcal{F} \to x F → x F \mathcal{F} F x x x x x x F \mathcal{F} F x x x F \mathcal{F} F F \mathcal{F} F x x x 証明（補題 3.3）
N ( x ) ⊆ F ⊆ G \mathcal{N}(x) \subseteq \mathcal{F} \subseteq \mathcal{G} N ( x ) ⊆ F ⊆ G G → x \mathcal{G} \to x G → x U ∈ N ( x ) U \in \mathcal{N}(x) U ∈ N ( x ) F ∈ F F \in \mathcal{F} F ∈ F U , F ∈ F U, F \in \mathcal{F} U , F ∈ F U ∩ F ∈ F U \cap F \in \mathcal{F} U ∩ F ∈ F U ∩ F ≠ ∅ U \cap F \ne \emptyset U ∩ F = ∅ x x x 十分性は 1 の後半と細分を使えばよい：G ⊇ F \mathcal{G} \supseteq \mathcal{F} G ⊇ F x x x x x x G \mathcal{G} G F ⊆ G \mathcal{F} \subseteq \mathcal{G} F ⊆ G x x x F \mathcal{F} F F ∈ F F \in \mathcal{F} F ∈ F F ∈ G F \in \mathcal{G} F ∈ G x ∈ F ‾ x \in \overline{F} x ∈ F x x x F \mathcal{F} F B : = { U ∩ F : U ∈ N ( x ) , F ∈ F } \mathcal{B} := \{ U \cap F : U \in \mathcal{N}(x),\ F \in \mathcal{F} \} B := { U ∩ F : U ∈ N ( x ) , F ∈ F } ( U ∩ F ) ∩ ( U ′ ∩ F ′ ) = ( U ∩ U ′ ) ∩ ( F ∩ F ′ ) ∈ B (U \cap F) \cap (U' \cap F') = (U \cap U') \cap (F \cap F') \in \mathcal{B} ( U ∩ F ) ∩ ( U ′ ∩ F ′ ) = ( U ∩ U ′ ) ∩ ( F ∩ F ′ ) ∈ B N ( x ) \mathcal{N}(x) N ( x ) F \mathcal{F} F N ( x ) \mathcal{N}(x) N ( x ) B \mathcal{B} B G : = F ( B ) \mathcal{G} := \mathcal{F}(\mathcal{B}) G := F ( B ) F \mathcal{F} F N ( x ) \mathcal{N}(x) N ( x ) F = U ∩ F F = U \cap F F = U ∩ F U = X U = X U = X U = U ∩ X U = U \cap X U = U ∩ X F = X F = X F = X B \mathcal{B} B G \mathcal{G} G F \mathcal{F} F x x x
∎ 最後に、順序集合上のフィルターの定義を述べておきます。集合上のフィルターは、その特別な場合として位置づけられます。
定義 3.4 （順序集合上のフィルターとイデアル ） ↗
( P , ≤ ) (P, \le) ( P , ≤ ) 定義 2.1［選択公理と Zorn の補題］ ）とする。空でない部分集合 F ⊆ P F \subseteq P F ⊆ P P P P フィルター であるとは、(i) 上に閉じている（p ∈ F p \in F p ∈ F p ≤ q p \le q p ≤ q q ∈ F q \in F q ∈ F p , q ∈ F p, q \in F p , q ∈ F r ≤ p r \le p r ≤ p r ≤ q r \le q r ≤ q r ∈ F r \in F r ∈ F I ⊆ P I \subseteq P I ⊆ P イデアル であるとは、下に閉じていて上に有向であることをいう。
集合 X X X 定義 5.5［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ ）とは、冪集合の半順序集合 ( P ( X ) , ⊆ ) (\mathcal{P}(X), \subseteq) ( P ( X ) , ⊆ ) ∅ \emptyset ∅ F \mathcal{F} F ∅ ∉ F \emptyset \notin \mathcal{F} ∅ ∈ / F F ≠ ∅ \mathcal{F} \ne \emptyset F = ∅ X ∈ F X \in \mathcal{F} X ∈ F A , B ∈ F A, B \in \mathcal{F} A , B ∈ F C ⊆ A ∩ B C \subseteq A \cap B C ⊆ A ∩ B C ∈ F C \in \mathcal{F} C ∈ F A ∩ B ∈ F A \cap B \in \mathcal{F} A ∩ B ∈ F A ↦ X ∖ A A \mapsto X \setminus A A ↦ X ∖ A ( P ( X ) , ⊆ ) (\mathcal{P}(X), \subseteq) ( P ( X ) , ⊆ ) P ( X ) \mathcal{P}(X) P ( X ) X X X
ネットから、その「十分先で成り立つ集合」を集めたフィルターが作れます。たとえば点列 x n = 1 / n x_n = 1/n x n = 1/ n n n n x n x_n x n F F F a a a
定義 4.1 （尾のフィルターと付随するネット ） ↗
x = ( x λ ) λ ∈ Λ \boldsymbol{x} = (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} x = ( x λ ) λ ∈ Λ X X X λ 0 ∈ Λ \lambda_0 \in \Lambda λ 0 ∈ Λ T λ 0 : = { x λ : λ ≥ λ 0 } T_{\lambda_0} := \{ x_\lambda : \lambda \ge \lambda_0 \} T λ 0 := { x λ : λ ≥ λ 0 } T ( x ) : = { A ⊆ X : ∃ λ 0 ∈ Λ , ∀ λ ≥ λ 0 , x λ ∈ A } \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) := \{ A \subseteq X : \exists \lambda_0 \in \Lambda,\ \forall \lambda \ge \lambda_0,\ x_\lambda \in A \} T ( x ) := { A ⊆ X : ∃ λ 0 ∈ Λ , ∀ λ ≥ λ 0 , x λ ∈ A } を x \boldsymbol{x} x 尾のフィルター という。{ T λ 0 } λ 0 \{T_{\lambda_0}\}_{\lambda_0} { T λ 0 } λ 0 F \mathcal{F} F X X X Λ F : = { ( a , F ) : F ∈ F , a ∈ F } \Lambda_{\mathcal{F}} := \{ (a, F) : F \in \mathcal{F},\ a \in F \} Λ F := {( a , F ) : F ∈ F , a ∈ F } ( a , F ) ≤ ( a ′ , F ′ ) ⟺ F ⊇ F ′ (a, F) \le (a', F') \iff F \supseteq F' ( a , F ) ≤ ( a ′ , F ′ ) ⟺ F ⊇ F ′ n ( F ) : = ( a ) ( a , F ) ∈ Λ F \boldsymbol{n}(\mathcal{F}) := (a)_{(a, F) \in \Lambda_{\mathcal{F}}} n ( F ) := ( a ) ( a , F ) ∈ Λ F ( a , F ) (a, F) ( a , F ) a a a F \mathcal{F} F 付随するネット という。
2 のものが有向集合であること：X ∈ F X \in \mathcal{F} X ∈ F ∅ ∉ F \emptyset \notin \mathcal{F} ∅ ∈ / F X ≠ ∅ X \ne \emptyset X = ∅ Λ F \Lambda_{\mathcal{F}} Λ F ( a , F ) (a, F) ( a , F ) ( a ′ , F ′ ) (a', F') ( a ′ , F ′ ) F ∩ F ′ ∈ F F \cap F' \in \mathcal{F} F ∩ F ′ ∈ F a ′ ′ ∈ F ∩ F ′ a'' \in F \cap F' a ′′ ∈ F ∩ F ′ ( a ′ ′ , F ∩ F ′ ) (a'', F \cap F') ( a ′′ , F ∩ F ′ ) T ( x ) \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) T ( x ) Λ ≠ ∅ \Lambda \ne \emptyset Λ = ∅ A , B ∈ T ( x ) A, B \in \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) A , B ∈ T ( x ) λ A , λ B \lambda_A, \lambda_B λ A , λ B λ 0 \lambda_0 λ 0 λ ≥ λ 0 \lambda \ge \lambda_0 λ ≥ λ 0 x λ ∈ A ∩ B x_\lambda \in A \cap B x λ ∈ A ∩ B
まず、集積点と部分ネットの関係を示します。これはネットの側の主定理です。証明の方針は、集積点であることから「x x x U U U U U U λ \lambda λ x x x
定理 4.2 （集積点は収束する部分ネットの極限 ） ✓
( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ X X X x ∈ X x \in X x ∈ X x x x x x x
証明（定理 4.2） （⇐ \Leftarrow ⇐ ( x φ ( μ ) ) μ ∈ M (x_{\varphi(\mu)})_{\mu \in M} ( x φ ( μ ) ) μ ∈ M x x x x x x U U U λ 0 ∈ Λ \lambda_0 \in \Lambda λ 0 ∈ Λ 定義 2.1 の条件から μ 0 \mu_0 μ 0 μ ≥ μ 0 ⇒ φ ( μ ) ≥ λ 0 \mu \ge \mu_0 \Rightarrow \varphi(\mu) \ge \lambda_0 μ ≥ μ 0 ⇒ φ ( μ ) ≥ λ 0 μ 1 \mu_1 μ 1 μ ≥ μ 1 ⇒ x φ ( μ ) ∈ U \mu \ge \mu_1 \Rightarrow x_{\varphi(\mu)} \in U μ ≥ μ 1 ⇒ x φ ( μ ) ∈ U M M M μ ≥ μ 0 , μ 1 \mu \ge \mu_0, \mu_1 μ ≥ μ 0 , μ 1 μ \mu μ λ : = φ ( μ ) \lambda := \varphi(\mu) λ := φ ( μ ) λ ≥ λ 0 \lambda \ge \lambda_0 λ ≥ λ 0 x λ ∈ U x_\lambda \in U x λ ∈ U x x x
（⇒ \Rightarrow ⇒ x x x
M : = { ( λ , U ) ∈ Λ × N ( x ) : x λ ∈ U } M := \{ (\lambda, U) \in \Lambda \times \mathcal{N}(x) : x_\lambda \in U \} M := {( λ , U ) ∈ Λ × N ( x ) : x λ ∈ U } に、( λ , U ) ≤ ( λ ′ , U ′ ) ⟺ λ ≤ λ ′ (\lambda, U) \le (\lambda', U') \iff \lambda \le \lambda' ( λ , U ) ≤ ( λ ′ , U ′ ) ⟺ λ ≤ λ ′ U ⊇ U ′ U \supseteq U' U ⊇ U ′
M ≠ ∅ M \ne \emptyset M = ∅ λ \lambda λ x λ ∈ X ∈ N ( x ) x_\lambda \in X \in \mathcal{N}(x) x λ ∈ X ∈ N ( x ) ( λ , X ) ∈ M (\lambda, X) \in M ( λ , X ) ∈ M M M M ( λ 1 , U 1 ) , ( λ 2 , U 2 ) ∈ M (\lambda_1, U_1), (\lambda_2, U_2) \in M ( λ 1 , U 1 ) , ( λ 2 , U 2 ) ∈ M ν ≥ λ 1 , λ 2 \nu \ge \lambda_1, \lambda_2 ν ≥ λ 1 , λ 2 U : = U 1 ∩ U 2 ∈ N ( x ) U := U_1 \cap U_2 \in \mathcal{N}(x) U := U 1 ∩ U 2 ∈ N ( x ) λ ≥ ν \lambda \ge \nu λ ≥ ν x λ ∈ U x_\lambda \in U x λ ∈ U ( λ , U ) ∈ M (\lambda, U) \in M ( λ , U ) ∈ M φ ( λ , U ) : = λ \varphi(\lambda, U) := \lambda φ ( λ , U ) := λ 定義 2.1 の条件を満たす：λ 0 \lambda_0 λ 0 X X X λ 1 ≥ λ 0 \lambda_1 \ge \lambda_0 λ 1 ≥ λ 0 μ 0 : = ( λ 1 , X ) \mu_0 := (\lambda_1, X) μ 0 := ( λ 1 , X ) ( λ , U ) ≥ μ 0 (\lambda, U) \ge \mu_0 ( λ , U ) ≥ μ 0 λ ≥ λ 1 ≥ λ 0 \lambda \ge \lambda_1 \ge \lambda_0 λ ≥ λ 1 ≥ λ 0 部分ネット y ( λ , U ) : = x λ y_{(\lambda, U)} := x_\lambda y ( λ , U ) := x λ x x x V V V x x x λ 1 ∈ Λ \lambda_1 \in \Lambda λ 1 ∈ Λ x λ 1 ∈ V x_{\lambda_1} \in V x λ 1 ∈ V μ 0 : = ( λ 1 , V ) ∈ M \mu_0 := (\lambda_1, V) \in M μ 0 := ( λ 1 , V ) ∈ M ( λ , U ) ≥ μ 0 (\lambda, U) \ge \mu_0 ( λ , U ) ≥ μ 0 x λ ∈ U ⊆ V x_\lambda \in U \subseteq V x λ ∈ U ⊆ V
∎ 次に、ネットとフィルターを行き来する定理を述べます。
定理 4.3 （ネットとフィルターの対応 ） ✓
X X X
ネット x = ( x λ ) \boldsymbol{x} = (x_\lambda) x = ( x λ ) x ∈ X x \in X x ∈ X x λ → x x_\lambda \to x x λ → x T ( x ) → x \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) \to x T ( x ) → x x x x x \boldsymbol{x} x x x x T ( x ) \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) T ( x )
フィルター F \mathcal{F} F F \mathcal{F} F T ( n ( F ) ) = F \mathcal{T}(\boldsymbol{n}(\mathcal{F})) = \mathcal{F} T ( n ( F )) = F F → x \mathcal{F} \to x F → x n ( F ) → x \boldsymbol{n}(\mathcal{F}) \to x n ( F ) → x x x x F \mathcal{F} F n ( F ) \boldsymbol{n}(\mathcal{F}) n ( F )
( y μ ) (y_\mu) ( y μ ) x \boldsymbol{x} x T ( y ) \mathcal{T}(\boldsymbol{y}) T ( y ) T ( x ) \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) T ( x ) T ( x ) \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) T ( x ) G \mathcal{G} G x \boldsymbol{x} x y \boldsymbol{y} y T ( y ) = G \mathcal{T}(\boldsymbol{y}) = \mathcal{G} T ( y ) = G 証明（定理 4.3）
収束：x λ → x x_\lambda \to x x λ → x x x x U U U λ 0 \lambda_0 λ 0 λ ≥ λ 0 ⇒ x λ ∈ U \lambda \ge \lambda_0 \Rightarrow x_\lambda \in U λ ≥ λ 0 ⇒ x λ ∈ U U ∈ T ( x ) U \in \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) U ∈ T ( x ) N ( x ) ⊆ T ( x ) \mathcal{N}(x) \subseteq \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) N ( x ) ⊆ T ( x ) x x x U U U A ∈ T ( x ) A \in \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) A ∈ T ( x ) λ 0 \lambda_0 λ 0 λ ≥ λ 0 ⇒ x λ ∈ A \lambda \ge \lambda_0 \Rightarrow x_\lambda \in A λ ≥ λ 0 ⇒ x λ ∈ A λ ≥ λ 0 \lambda \ge \lambda_0 λ ≥ λ 0 x λ ∈ U x_\lambda \in U x λ ∈ U x λ ∈ U ∩ A x_\lambda \in U \cap A x λ ∈ U ∩ A x x x T ( x ) \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) T ( x ) x x x T ( x ) \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) T ( x ) U U U λ 0 \lambda_0 λ 0 T λ 0 ∈ T ( x ) T_{\lambda_0} \in \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) T λ 0 ∈ T ( x ) λ 0 \lambda_0 λ 0 U ∩ T λ 0 ≠ ∅ U \cap T_{\lambda_0} \ne \emptyset U ∩ T λ 0 = ∅ λ ≥ λ 0 \lambda \ge \lambda_0 λ ≥ λ 0 x λ ∈ U x_\lambda \in U x λ ∈ U
B ∈ F B \in \mathcal{F} B ∈ F B ≠ ∅ B \ne \emptyset B = ∅ a 0 ∈ B a_0 \in B a 0 ∈ B ( a 0 , B ) ∈ Λ F (a_0, B) \in \Lambda_{\mathcal{F}} ( a 0 , B ) ∈ Λ F ( a , F ) ≥ ( a 0 , B ) (a, F) \ge (a_0, B) ( a , F ) ≥ ( a 0 , B ) F ⊆ B F \subseteq B F ⊆ B a ∈ F ⊆ B a \in F \subseteq B a ∈ F ⊆ B B ∈ T ( n ( F ) ) B \in \mathcal{T}(\boldsymbol{n}(\mathcal{F})) B ∈ T ( n ( F )) B ∈ T ( n ( F ) ) B \in \mathcal{T}(\boldsymbol{n}(\mathcal{F})) B ∈ T ( n ( F )) ( a 0 , F 0 ) (a_0, F_0) ( a 0 , F 0 ) ( a , F ) ≥ ( a 0 , F 0 ) ⇒ a ∈ B (a, F) \ge (a_0, F_0) \Rightarrow a \in B ( a , F ) ≥ ( a 0 , F 0 ) ⇒ a ∈ B a ∈ F 0 a \in F_0 a ∈ F 0 ( a , F 0 ) ≥ ( a 0 , F 0 ) (a, F_0) \ge (a_0, F_0) ( a , F 0 ) ≥ ( a 0 , F 0 ) a ∈ B a \in B a ∈ B F 0 ⊆ B F_0 \subseteq B F 0 ⊆ B B ∈ F B \in \mathcal{F} B ∈ F n ( F ) \boldsymbol{n}(\mathcal{F}) n ( F ) ( y μ ) = ( x φ ( μ ) ) (y_\mu) = (x_{\varphi(\mu)}) ( y μ ) = ( x φ ( μ ) ) A ∈ T ( x ) A \in \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) A ∈ T ( x ) λ 0 \lambda_0 λ 0 λ ≥ λ 0 ⇒ x λ ∈ A \lambda \ge \lambda_0 \Rightarrow x_\lambda \in A λ ≥ λ 0 ⇒ x λ ∈ A 定義 2.1 の条件から μ 0 \mu_0 μ 0 μ ≥ μ 0 ⇒ φ ( μ ) ≥ λ 0 \mu \ge \mu_0 \Rightarrow \varphi(\mu) \ge \lambda_0 μ ≥ μ 0 ⇒ φ ( μ ) ≥ λ 0 μ ≥ μ 0 \mu \ge \mu_0 μ ≥ μ 0 y μ = x φ ( μ ) ∈ A y_\mu = x_{\varphi(\mu)} \in A y μ = x φ ( μ ) ∈ A A ∈ T ( y ) A \in \mathcal{T}(\boldsymbol{y}) A ∈ T ( y ) 逆を示す。G ⊇ T ( x ) \mathcal{G} \supseteq \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) G ⊇ T ( x )
M : = { ( λ , A ) ∈ Λ × G : x λ ∈ A } , ( λ , A ) ≤ ( λ ′ , A ′ ) ⟺ λ ≤ λ ′ かつ A ⊇ A ′ M := \{ (\lambda, A) \in \Lambda \times \mathcal{G} : x_\lambda \in A \},\qquad (\lambda, A) \le (\lambda', A') \iff \lambda \le \lambda'\text{ かつ }A \supseteq A' M := {( λ , A ) ∈ Λ × G : x λ ∈ A } , ( λ , A ) ≤ ( λ ′ , A ′ ) ⟺ λ ≤ λ ′ かつ A ⊇ A ′ とおき、φ ( λ , A ) : = λ \varphi(\lambda, A) := \lambda φ ( λ , A ) := λ y ( λ , A ) : = x λ y_{(\lambda, A)} := x_\lambda y ( λ , A ) := x λ T ν ∈ T ( x ) ⊆ G T_\nu \in \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) \subseteq \mathcal{G} T ν ∈ T ( x ) ⊆ G
M M M A ∈ G A \in \mathcal{G} A ∈ G ν ∈ Λ \nu \in \Lambda ν ∈ Λ A ∩ T ν ∈ G A \cap T_\nu \in \mathcal{G} A ∩ T ν ∈ G λ ≥ ν \lambda \ge \nu λ ≥ ν x λ ∈ A x_\lambda \in A x λ ∈ A T ν T_\nu T ν A = X A = X A = X M ≠ ∅ M \ne \emptyset M = ∅ ( λ 1 , A 1 ) , ( λ 2 , A 2 ) ∈ M (\lambda_1, A_1), (\lambda_2, A_2) \in M ( λ 1 , A 1 ) , ( λ 2 , A 2 ) ∈ M ν ≥ λ 1 , λ 2 \nu \ge \lambda_1, \lambda_2 ν ≥ λ 1 , λ 2 A : = A 1 ∩ A 2 ∈ G A := A_1 \cap A_2 \in \mathcal{G} A := A 1 ∩ A 2 ∈ G λ ≥ ν \lambda \ge \nu λ ≥ ν x λ ∈ A x_\lambda \in A x λ ∈ A ( λ , A ) (\lambda, A) ( λ , A ) φ \varphi φ λ 0 \lambda_0 λ 0 μ 0 : = ( λ 1 , X ) \mu_0 := (\lambda_1, X) μ 0 := ( λ 1 , X ) λ 1 ≥ λ 0 \lambda_1 \ge \lambda_0 λ 1 ≥ λ 0 A = X A = X A = X ( λ , A ) ≥ μ 0 (\lambda, A) \ge \mu_0 ( λ , A ) ≥ μ 0 λ ≥ λ 1 ≥ λ 0 \lambda \ge \lambda_1 \ge \lambda_0 λ ≥ λ 1 ≥ λ 0 T ( y ) = G \mathcal{T}(\boldsymbol{y}) = \mathcal{G} T ( y ) = G B ∈ G B \in \mathcal{G} B ∈ G λ 1 \lambda_1 λ 1 x λ 1 ∈ B x_{\lambda_1} \in B x λ 1 ∈ B μ 0 : = ( λ 1 , B ) ∈ M \mu_0 := (\lambda_1, B) \in M μ 0 := ( λ 1 , B ) ∈ M ( λ , A ) ≥ μ 0 (\lambda, A) \ge \mu_0 ( λ , A ) ≥ μ 0 y ( λ , A ) = x λ ∈ A ⊆ B y_{(\lambda, A)} = x_\lambda \in A \subseteq B y ( λ , A ) = x λ ∈ A ⊆ B B ∈ T ( y ) B \in \mathcal{T}(\boldsymbol{y}) B ∈ T ( y ) B ∈ T ( y ) B \in \mathcal{T}(\boldsymbol{y}) B ∈ T ( y ) ( λ 0 , A 0 ) ∈ M (\lambda_0, A_0) \in M ( λ 0 , A 0 ) ∈ M μ ≥ ( λ 0 , A 0 ) ⇒ y μ ∈ B \mu \ge (\lambda_0, A_0) \Rightarrow y_\mu \in B μ ≥ ( λ 0 , A 0 ) ⇒ y μ ∈ B λ ≥ λ 0 \lambda \ge \lambda_0 λ ≥ λ 0 x λ ∈ A 0 x_\lambda \in A_0 x λ ∈ A 0 λ \lambda λ ( λ , A 0 ) ∈ M (\lambda, A_0) \in M ( λ , A 0 ) ∈ M ( λ , A 0 ) ≥ ( λ 0 , A 0 ) (\lambda, A_0) \ge (\lambda_0, A_0) ( λ , A 0 ) ≥ ( λ 0 , A 0 ) x λ = y ( λ , A 0 ) ∈ B x_\lambda = y_{(\lambda, A_0)} \in B x λ = y ( λ , A 0 ) ∈ B A 0 ∩ T λ 0 ⊆ B A_0 \cap T_{\lambda_0} \subseteq B A 0 ∩ T λ 0 ⊆ B A 0 , T λ 0 ∈ G A_0, T_{\lambda_0} \in \mathcal{G} A 0 , T λ 0 ∈ G B ∈ G B \in \mathcal{G} B ∈ G
∎ この定理により、ネットの側の定義・主張はフィルターの側に、逆も同様に移せます。たとえば 定理 4.2 は 補題 3.3 の 2 に、T ( x ) \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) T ( x )
ネット 収束・集積点・部分ネット フィルター 収束・集積点・細分 尾のフィルター T(x) 付随するネット n(F) y が x の部分ネット ⇒ T(y) は T(x) の細分（逆も成り立つ） ネットとフィルターの対応。上向きの矢印は尾のフィルター、下向きは付随するネット。フィルターの細分は部分ネットに、収束と集積点はそのまま対応する。 写像 f : X → Y f : X \to Y f : X → Y F \mathcal{F} F f ∗ F = { B ⊆ Y : f − 1 ( B ) ∈ F } f_*\mathcal{F} = \{ B \subseteq Y : f^{-1}(B) \in \mathcal{F} \} f ∗ F = { B ⊆ Y : f − 1 ( B ) ∈ F } Y Y Y 補題 6.1［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ の証明の前半）。
命題 5.1 （閉包と連続性のフィルターによる特徴づけ ） ✓
X , Y X, Y X , Y
A ⊆ X A \subseteq X A ⊆ X x ∈ X x \in X x ∈ X x ∈ A ‾ x \in \overline{A} x ∈ A A ∈ F A \in \mathcal{F} A ∈ F F → x \mathcal{F} \to x F → x X X X F \mathcal{F} F 写像 f : X → Y f : X \to Y f : X → Y x ∈ X x \in X x ∈ X x x x X X X F \mathcal{F} F f ∗ F → f ( x ) f_*\mathcal{F} \to f(x) f ∗ F → f ( x )
証明（命題 5.1）
（⇒ \Rightarrow ⇒ x ∈ A ‾ x \in \overline{A} x ∈ A x x x U U U U ∩ A ≠ ∅ U \cap A \ne \emptyset U ∩ A = ∅ 定理 6.5［位相空間の定義と基本概念］ の 4）。B : = { U ∩ A : U ∈ N ( x ) } \mathcal{B} := \{ U \cap A : U \in \mathcal{N}(x) \} B := { U ∩ A : U ∈ N ( x )} N ( x ) \mathcal{N}(x) N ( x ) F : = F ( B ) \mathcal{F} := \mathcal{F}(\mathcal{B}) F := F ( B ) A = X ∩ A A = X \cap A A = X ∩ A U ⊇ U ∩ A U \supseteq U \cap A U ⊇ U ∩ A N ( x ) ⊆ F \mathcal{N}(x) \subseteq \mathcal{F} N ( x ) ⊆ F F → x \mathcal{F} \to x F → x ⇐ \Leftarrow ⇐ A ∈ F → x A \in \mathcal{F} \to x A ∈ F → x U U U F \mathcal{F} F U ∩ A ∈ F U \cap A \in \mathcal{F} U ∩ A ∈ F x ∈ A ‾ x \in \overline{A} x ∈ A
連続性は 定義 3.2［連続写像と同相写像］ による。（⇒ \Rightarrow ⇒ f f f x x x F → x \mathcal{F} \to x F → x V V V f ( x ) f(x) f ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) V ′ ⊆ V V' \subseteq V V ′ ⊆ V x x x U U U f ( U ) ⊆ V ′ f(U) \subseteq V' f ( U ) ⊆ V ′ U ⊆ f − 1 ( V ) U \subseteq f^{-1}(V) U ⊆ f − 1 ( V ) U ∈ N ( x ) ⊆ F U \in \mathcal{N}(x) \subseteq \mathcal{F} U ∈ N ( x ) ⊆ F f − 1 ( V ) ∈ F f^{-1}(V) \in \mathcal{F} f − 1 ( V ) ∈ F V ∈ f ∗ F V \in f_*\mathcal{F} V ∈ f ∗ F ⇐ \Leftarrow ⇐ F : = N ( x ) \mathcal{F} := \mathcal{N}(x) F := N ( x ) x x x 定義 3.1 の直後で確かめた）。仮定から f ∗ N ( x ) → f ( x ) f_*\mathcal{N}(x) \to f(x) f ∗ N ( x ) → f ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) V V V V ∈ f ∗ N ( x ) V \in f_*\mathcal{N}(x) V ∈ f ∗ N ( x ) U : = f − 1 ( V ) ∈ N ( x ) U := f^{-1}(V) \in \mathcal{N}(x) U := f − 1 ( V ) ∈ N ( x ) x ∈ U ′ ⊆ U x \in U' \subseteq U x ∈ U ′ ⊆ U U ′ U' U ′ f ( U ′ ) ⊆ V f(U') \subseteq V f ( U ′ ) ⊆ V f f f x x x
∎ 収束先が一意であることは、解析学で lim \lim lim 分離公理 の補可算位相の例。この記事でも 命題 8.1 で証明し直します）。ネットまたはフィルターで言えば、同値になります。
定理 6.1 （ハウスドルフ性と極限の一意性 ） ✓
X X X
相異なる x , y ∈ X x, y \in X x , y ∈ X x x x U U U y y y V V V U ∩ V ≠ ∅ U \cap V \ne \emptyset U ∩ V = ∅ x x x y y y x x x y y y
次の 3 条件は同値である。(a) X X X X X X X X X
証明（定理 6.1）
（i ⇒ \Rightarrow ⇒ B : = { U ∩ V : U ∈ N ( x ) , V ∈ N ( y ) } \mathcal{B} := \{ U \cap V : U \in \mathcal{N}(x),\ V \in \mathcal{N}(y) \} B := { U ∩ V : U ∈ N ( x ) , V ∈ N ( y )} ( U ∩ V ) ∩ ( U ′ ∩ V ′ ) = ( U ∩ U ′ ) ∩ ( V ∩ V ′ ) ∈ B (U \cap V) \cap (U' \cap V') = (U \cap U') \cap (V \cap V') \in \mathcal{B} ( U ∩ V ) ∩ ( U ′ ∩ V ′ ) = ( U ∩ U ′ ) ∩ ( V ∩ V ′ ) ∈ B N ( x ) \mathcal{N}(x) N ( x ) N ( y ) \mathcal{N}(y) N ( y ) B \mathcal{B} B F : = F ( B ) \mathcal{F} := \mathcal{F}(\mathcal{B}) F := F ( B ) U = U ∩ X U = U \cap X U = U ∩ X N ( x ) \mathcal{N}(x) N ( x ) V = X ∩ V V = X \cap V V = X ∩ V N ( y ) \mathcal{N}(y) N ( y ) F \mathcal{F} F x x x y y y ⇒ \Rightarrow ⇒ F \mathcal{F} F n ( F ) \boldsymbol{n}(\mathcal{F}) n ( F ) 定理 4.3 の 2）。（ii ⇒ \Rightarrow ⇒ ( x λ ) (x_\lambda) ( x λ ) x x x y y y U ∋ x U \ni x U ∋ x V ∋ y V \ni y V ∋ y λ 1 \lambda_1 λ 1 λ ≥ λ 1 ⇒ x λ ∈ U \lambda \ge \lambda_1 \Rightarrow x_\lambda \in U λ ≥ λ 1 ⇒ x λ ∈ U λ 2 \lambda_2 λ 2 λ ≥ λ 2 ⇒ x λ ∈ V \lambda \ge \lambda_2 \Rightarrow x_\lambda \in V λ ≥ λ 2 ⇒ x λ ∈ V λ ≥ λ 1 , λ 2 \lambda \ge \lambda_1, \lambda_2 λ ≥ λ 1 , λ 2 x λ ∈ U ∩ V x_\lambda \in U \cap V x λ ∈ U ∩ V
X X X x , y x, y x , y U ∋ x U \ni x U ∋ x V ∋ y V \ni y V ∋ y U , V U, V U , V U ′ ⊆ U U' \subseteq U U ′ ⊆ U V ′ ⊆ V V' \subseteq V V ′ ⊆ V x , y x, y x , y x , y x, y x , y x , y x, y x , y ∎ この定理は、ハウスドルフ空間の議論で lim \lim lim 定理 3.5［分離公理と距離づけ可能性］ ）を、ネットとフィルターに拡張したものです。
始位相（定義 2.3［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ ）は、写像の族に対して連続性を保証する最も粗い位相です。そこでの収束は、各写像の像の収束と同値です。
定理 7.1 （始位相での収束 ） ✓
X X X { ( Y j , τ j ) } j ∈ J \{(Y_j, \tau_j)\}_{j \in J} {( Y j , τ j ) } j ∈ J f j : X → Y j f_j : X \to Y_j f j : X → Y j X X X x ∈ X x \in X x ∈ X
X X X ( x λ ) (x_\lambda) ( x λ ) x x x j j j f j ( x λ ) → f j ( x ) f_j(x_\lambda) \to f_j(x) f j ( x λ ) → f j ( x ) X X X F \mathcal{F} F x x x j j j ( f j ) ∗ F → f j ( x ) (f_j)_*\mathcal{F} \to f_j(x) ( f j ) ∗ F → f j ( x ) 証明（定理 7.1） S = { f j − 1 ( V ) : j ∈ J , V ∈ τ j } \mathcal{S} = \{ f_j^{-1}(V) : j \in J,\ V \in \tau_j \} S = { f j − 1 ( V ) : j ∈ J , V ∈ τ j } x x x N N N x x x O O O O O O S \mathcal{S} S B ( S ) \mathcal{B}(\mathcal{S}) B ( S ) 補題 2.2［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ の 1）の合併だから、x x x W = f j 1 − 1 ( V 1 ) ∩ ⋯ ∩ f j m − 1 ( V m ) ⊆ N W = f_{j_1}^{-1}(V_1) \cap \cdots \cap f_{j_m}^{-1}(V_m) \subseteq N W = f j 1 − 1 ( V 1 ) ∩ ⋯ ∩ f j m − 1 ( V m ) ⊆ N V k ∈ τ j k V_k \in \tau_{j_k} V k ∈ τ j k f j k ( x ) ∈ V k f_{j_k}(x) \in V_k f j k ( x ) ∈ V k
（⇒ \Rightarrow ⇒ f j f_j f j 定理 2.4［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ の 1）なので、定理 5.2［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ の 2。（⇐ \Leftarrow ⇐ N N N W W W k k k λ k \lambda_k λ k λ ≥ λ k ⇒ f j k ( x λ ) ∈ V k \lambda \ge \lambda_k \Rightarrow f_{j_k}(x_\lambda) \in V_k λ ≥ λ k ⇒ f j k ( x λ ) ∈ V k λ k \lambda_k λ k λ 0 \lambda_0 λ 0 m = 0 m = 0 m = 0 λ 0 \lambda_0 λ 0 λ ≥ λ 0 \lambda \ge \lambda_0 λ ≥ λ 0 x λ ∈ W ⊆ N x_\lambda \in W \subseteq N x λ ∈ W ⊆ N
（⇒ \Rightarrow ⇒ 命題 5.1 の 2 を連続な f j f_j f j ⇐ \Leftarrow ⇐ N N N W W W V k ∈ ( f j k ) ∗ F V_k \in (f_{j_k})_*\mathcal{F} V k ∈ ( f j k ) ∗ F V k V_k V k f j k ( x ) f_{j_k}(x) f j k ( x ) f j k − 1 ( V k ) ∈ F f_{j_k}^{-1}(V_k) \in \mathcal{F} f j k − 1 ( V k ) ∈ F W ∈ F W \in \mathcal{F} W ∈ F m = 0 m = 0 m = 0 W = X ∈ F W = X \in \mathcal{F} W = X ∈ F N ∈ F N \in \mathcal{F} N ∈ F N ( x ) ⊆ F \mathcal{N}(x) \subseteq \mathcal{F} N ( x ) ⊆ F
∎ 積位相は射影の族に関する始位相なので、定理 5.3［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ は 1 の特別な場合です。部分空間の位相は包含写像に関する始位相なので、1 を包含写像に適用すると、A A A A A A X X X
例 7.2 （連続関数の空間は点ごと収束の位相で閉でない ）
C : = C ( [ 0 , 1 ] ) C := C([0, 1]) C := C ([ 0 , 1 ]) [ 0 , 1 ] [0, 1] [ 0 , 1 ] R [ 0 , 1 ] \mathbb{R}^{[0,1]} R [ 0 , 1 ] f ↦ f ( t ) f \mapsto f(t) f ↦ f ( t ) f n ( t ) = t n f_n(t) = t^n f n ( t ) = t n C C C t ∈ [ 0 , 1 ) t \in [0, 1) t ∈ [ 0 , 1 ) f n ( t ) → 0 f_n(t) \to 0 f n ( t ) → 0 t = 1 t = 1 t = 1 f n ( 1 ) = 1 f_n(1) = 1 f n ( 1 ) = 1 1 { 1 } \mathbf{1}_{\{1\}} 1 { 1 } 1 1 1 1 1 1 0 0 0 定理 7.1 の 1 により f n → 1 { 1 } f_n \to \mathbf{1}_{\{1\}} f n → 1 { 1 } 1 { 1 } \mathbf{1}_{\{1\}} 1 { 1 } C C C 1 { 1 } \mathbf{1}_{\{1\}} 1 { 1 } C C C C C C
最後に、点列とネットの違いを示す反例を、命題として証明します。R \mathbb{R} R
τ c c : = { ∅ } ∪ { U ⊆ R : R ∖ U は高々可算 } \tau_{\mathrm{cc}} := \{\emptyset\} \cup \{ U \subseteq \mathbb{R} : \mathbb{R} \setminus U\text{ は高々可算} \} τ cc := { ∅ } ∪ { U ⊆ R : R ∖ U は高々可算 } を入れます。これが位相であることは、開集合の任意合併の補集合は、空でない合併項の補集合に含まれるので高々可算 で、有限共通部分の補集合は高々可算集合の有限合併なので高々可算であること、および ∅ , R \emptyset, \mathbb{R} ∅ , R
命題 8.1 （補可算位相では点列の極限は一意だがネットの極限は一意でない ） ✓
( R , τ c c ) (\mathbb{R}, \tau_{\mathrm{cc}}) ( R , τ cc )
空でない開集合 U , V U, V U , V
点列 ( x n ) (x_n) ( x n ) x x x N N N n ≥ N n \ge N n ≥ N x n = x x_n = x x n = x
相異なる任意の 2 点 x , y x, y x , y x x x y y y ( R , τ c c ) (\mathbb{R}, \tau_{\mathrm{cc}}) ( R , τ cc )
証明（命題 8.1）
R ∖ ( U ∩ V ) = ( R ∖ U ) ∪ ( R ∖ V ) \mathbb{R} \setminus (U \cap V) = (\mathbb{R} \setminus U) \cup (\mathbb{R} \setminus V) R ∖ ( U ∩ V ) = ( R ∖ U ) ∪ ( R ∖ V ) R \mathbb{R} R 定理 6.3［濃度と無限］ ）なので、U ∩ V ≠ ∅ U \cap V \ne \emptyset U ∩ V = ∅ C : = { x n : x n ≠ x } C := \{ x_n : x_n \ne x \} C := { x n : x n = x } U : = R ∖ C U := \mathbb{R} \setminus C U := R ∖ C x ∈ U x \in U x ∈ U N N N n ≥ N ⇒ x n ∈ U n \ge N \Rightarrow x_n \in U n ≥ N ⇒ x n ∈ U x n ∉ C x_n \notin C x n ∈ / C x n = x x_n = x x n = x x , y x, y x , y n n n x n = x x_n = x x n = x x n = y x_n = y x n = y x = y x = y x = y x ≠ y x \ne y x = y x x x U U U y y y V V V U , V U, V U , V U ′ ∋ x U' \ni x U ′ ∋ x V ′ ∋ y V' \ni y V ′ ∋ y U ′ ∩ V ′ ≠ ∅ U' \cap V' \ne \emptyset U ′ ∩ V ′ = ∅ U ∩ V ≠ ∅ U \cap V \ne \emptyset U ∩ V = ∅ 定理 6.1 の 1 の (i) が成り立ち、(ii) により両方に収束するネットがある。ハウスドルフでないことは、同定理の 2 の (a) と (b) の同値による。 ∎ 3 で作るネットは、具体的には 定理 6.1 の 1 の証明にあるとおり、N ( x ) \mathcal{N}(x) N ( x ) N ( y ) \mathcal{N}(y) N ( y )
2 は、補可算位相では点列が「最終的に定数」になるものしか収束しないことを示しています。点列は、位相の大きさ（非可算性）を見るには短すぎるのです。ネットは、N ( x ) × N ( y ) \mathcal{N}(x) \times \mathcal{N}(y) N ( x ) × N ( y )
例 9.1 （点列の尾のフィルターと Fréchet フィルター ）
点列 ( x n ) n ∈ N (x_n)_{n \in \mathbb{N}} ( x n ) n ∈ N T ( x ) \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) T ( x ) N \mathbb{N} N n ↦ x n n \mapsto x_n n ↦ x n A ∈ T ( x ) A \in \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) A ∈ T ( x ) N N N n ≥ N ⇒ x n ∈ A n \ge N \Rightarrow x_n \in A n ≥ N ⇒ x n ∈ A { n : x n ∉ A } \{n : x_n \notin A\} { n : x n ∈ / A } x n = n x_n = n x n = n E E E 補題 5.7［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ の条件が成り立たないからです。
例 9.2 （集積点だが極限でない点 ）
X = R X = \mathbb{R} X = R x n = ( − 1 ) n x_n = (-1)^n x n = ( − 1 ) n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − 1 -1 − 1 ( 1 / 2 , 3 / 2 ) (1/2, 3/2) ( 1/2 , 3/2 ) 定理 4.2 により 1 1 1 x 2 m = 1 x_{2m} = 1 x 2 m = 1 1 1 1 補題 3.3 の 2 により、それを細分した 1 1 1 ( x 2 m ) (x_{2m}) ( x 2 m ) 定理 4.3 の 3 により細分になっています）。− 1 -1 − 1 ± 1 \pm 1 ± 1
演習 10.1 易
( x λ ) λ ∈ Λ (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} ( x λ ) λ ∈ Λ Λ ′ ⊆ Λ \Lambda' \subseteq \Lambda Λ ′ ⊆ Λ λ ∈ Λ \lambda \in \Lambda λ ∈ Λ λ ≤ λ ′ \lambda \le \lambda' λ ≤ λ ′ λ ′ ∈ Λ ′ \lambda' \in \Lambda' λ ′ ∈ Λ ′ Λ ′ \Lambda' Λ ′ Λ \Lambda Λ ( x λ ) λ ∈ Λ ′ (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda'} ( x λ ) λ ∈ Λ ′
解答 Λ ′ ≠ ∅ \Lambda' \ne \emptyset Λ ′ = ∅ λ 1 , λ 2 ∈ Λ ′ \lambda_1, \lambda_2 \in \Lambda' λ 1 , λ 2 ∈ Λ ′ Λ \Lambda Λ ν \nu ν λ ′ ∈ Λ ′ \lambda' \in \Lambda' λ ′ ∈ Λ ′ λ ′ ≥ ν \lambda' \ge \nu λ ′ ≥ ν λ ′ \lambda' λ ′ λ 1 , λ 2 \lambda_1, \lambda_2 λ 1 , λ 2 Λ ′ \Lambda' Λ ′ φ : Λ ′ → Λ \varphi : \Lambda' \to \Lambda φ : Λ ′ → Λ λ 0 ∈ Λ \lambda_0 \in \Lambda λ 0 ∈ Λ μ 0 ∈ Λ ′ \mu_0 \in \Lambda' μ 0 ∈ Λ ′ μ 0 ≥ λ 0 \mu_0 \ge \lambda_0 μ 0 ≥ λ 0 μ ≥ μ 0 \mu \ge \mu_0 μ ≥ μ 0 φ ( μ ) = μ ≥ μ 0 ≥ λ 0 \varphi(\mu) = \mu \ge \mu_0 \ge \lambda_0 φ ( μ ) = μ ≥ μ 0 ≥ λ 0 定義 2.1 の条件が満たされる。
演習 10.2 標準
ネット ( x λ ) (x_\lambda) ( x λ ) x x x x x x ( x λ ) (x_\lambda) ( x λ ) x x x ( x λ ) (x_\lambda) ( x λ ) x x x
解答 前半：定理 4.3 の 3 により T ( y ) ⊇ T ( x ) ⊇ N ( x ) \mathcal{T}(\boldsymbol{y}) \supseteq \mathcal{T}(\boldsymbol{x}) \supseteq \mathcal{N}(x) T ( y ) ⊇ T ( x ) ⊇ N ( x ) y \boldsymbol{y} y x x x 定理 4.3 の 1）。後半：x λ ↛ x x_\lambda \not\to x x λ → x x x x U U U λ 0 \lambda_0 λ 0 λ ≥ λ 0 \lambda \ge \lambda_0 λ ≥ λ 0 x λ ∉ U x_\lambda \notin U x λ ∈ / U λ \lambda λ Λ ′ : = { λ : x λ ∉ U } \Lambda' := \{ \lambda : x_\lambda \notin U \} Λ ′ := { λ : x λ ∈ / U } 演習 10.1 により制限 ( x λ ) λ ∈ Λ ′ (x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda'} ( x λ ) λ ∈ Λ ′ U U U x x x
演習 10.3 標準
a ∈ R a \in \mathbb{R} a ∈ R B : = { ( a , a + ε ) : ε > 0 } \mathcal{B} := \{ (a, a + \varepsilon) : \varepsilon > 0 \} B := {( a , a + ε ) : ε > 0 } F \mathcal{F} F a a a f : R → R f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} f : R → R lim x → a + f ( x ) = L \lim_{x \to a+} f(x) = L lim x → a + f ( x ) = L f ∗ F → L f_*\mathcal{F} \to L f ∗ F → L
解答 ( a , a + ε ) ∩ ( a , a + ε ′ ) = ( a , a + min ( ε , ε ′ ) ) (a, a + \varepsilon) \cap (a, a + \varepsilon') = (a, a + \min(\varepsilon, \varepsilon')) ( a , a + ε ) ∩ ( a , a + ε ′ ) = ( a , a + min ( ε , ε ′ )) B \mathcal{B} B a a a N N N δ > 0 \delta > 0 δ > 0 ( a − δ , a + δ ) ⊇ ( a , a + δ ) (a - \delta, a + \delta) \supseteq (a, a + \delta) ( a − δ , a + δ ) ⊇ ( a , a + δ ) F \mathcal{F} F B \mathcal{B} B N ∈ F N \in \mathcal{F} N ∈ F N ( a ) ⊆ F \mathcal{N}(a) \subseteq \mathcal{F} N ( a ) ⊆ F F → a \mathcal{F} \to a F → a lim x → a + f ( x ) = L \lim_{x \to a+} f(x) = L lim x → a + f ( x ) = L η > 0 \eta > 0 η > 0 ε > 0 \varepsilon > 0 ε > 0 x ∈ ( a , a + ε ) ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < η x \in (a, a + \varepsilon) \Rightarrow |f(x) - L| < \eta x ∈ ( a , a + ε ) ⇒ ∣ f ( x ) − L ∣ < η f − 1 ( ( L − η , L + η ) ) ⊇ ( a , a + ε ) f^{-1}((L - \eta, L + \eta)) \supseteq (a, a + \varepsilon) f − 1 (( L − η , L + η )) ⊇ ( a , a + ε ) f − 1 ( ( L − η , L + η ) ) ∈ F f^{-1}((L-\eta, L+\eta)) \in \mathcal{F} f − 1 (( L − η , L + η )) ∈ F ( L − η , L + η ) ∈ f ∗ F (L - \eta, L + \eta) \in f_*\mathcal{F} ( L − η , L + η ) ∈ f ∗ F L L L ( L − η , L + η ) (L - \eta, L + \eta) ( L − η , L + η ) f ∗ F → L f_*\mathcal{F} \to L f ∗ F → L
J. L. Kelley, General Topology , Van Nostrand, 1955 — Chapter 2（Moore–Smith 収束）。ネットと部分ネット、ネットとフィルターの対応の古典的な扱い。
S. Willard, General Topology , Addison-Wesley, 1970 — ネットとフィルターを扱う章。部分ネットの定義（本稿の広い定義）と、集積点・フィルターの対応。
R. Engelking, General Topology , Heldermann, 1989 — Chapter 1。収束・ネット・フィルターの扱い。
N. Bourbaki, Topologie générale , Chap. I — フィルターによる収束の体系的な扱い。