順序集合上のフィルターとイデアル

$(P, \le)$ を半順序集合（定義 2.1［選択公理と Zorn の補題］）とする。空でない部分集合 $F \subseteq P$ が $P$ のフィルターであるとは、(i) 上に閉じている（$p \in F$、$p \le q$ ならば $q \in F$）、(ii) 下に有向である（$p, q \in F$ ならば $r \le p$ かつ $r \le q$ なる $r \in F$ がある）ことをいう。双対的に、空でない $I \subseteq P$ がイデアルであるとは、下に閉じていて上に有向であることをいう。