フィルター基・生成されるフィルター・細分

$X$ を集合とする。$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$ が $X$ 上のフィルター基であるとは、$\mathcal{B} \ne \emptyset$、$\emptyset \notin \mathcal{B}$ で、任意の $B_1, B_2 \in \mathcal{B}$ に対し $B_3 \subseteq B_1 \cap B_2$ なる $B_3 \in \mathcal{B}$ が存在することをいう。このとき

を $\mathcal{B}$ が生成するフィルターという。$X$ 上のフィルター $\mathcal{F}, \mathcal{G}$ が $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{G}$ を満たすとき、$\mathcal{G}$ は $\mathcal{F}$ の細分である（$\mathcal{G}$ は $\mathcal{F}$ より細かい）という。