数学 › 位相空間論 › ネットとフィルターによる収束

閉包と連続性のフィルターによる特徴づけ

命題 5.1（「ネットとフィルターによる収束」§5）・ ✓公理まで証明済み

$X, Y$ を位相空間とする。

$A \subseteq X$ 、 $x \in X$ とする。 $x \in \overline{A}$ であるための必要十分条件は、 $A \in \mathcal{F}$ かつ $\mathcal{F} \to x$ なる $X$ 上のフィルター $\mathcal{F}$ が存在することである。
写像 $f : X \to Y$ が $x \in X$ で連続であるための必要十分条件は、 $x$ に収束する $X$ 上のすべてのフィルター $\mathcal{F}$ について $f_*\mathcal{F} \to f(x)$ となることである。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

内部と閉包の基本性質✓定理 6.5・位相空間の定義と基本概念
- 位相空間定義 4.1・位相空間の定義と基本概念
- 閉集合族の性質✓命題 4.3・位相空間の定義と基本概念
  - ド・モルガンの法則（集合族版）✓系 5.6・数学の国語
    量化子の否定✓定理 5.3・数学の国語この先をたどる →
    外延性の原理公理 3.2・数学の国語
- 近傍定義 6.1・位相空間の定義と基本概念
点における連続性定義 3.2・連続写像と同相写像
フィルター基・生成されるフィルター・細分定義 3.1・ネットとフィルターによる収束

これを使っている定理証明で参照している 1 件

始位相での収束✓定理 7.1・ネットとフィルターによる収束