位相空間

$X$ を集合、$\mathcal{O}\subseteq\mathfrak{P}(X)$ を $X$ の部分集合の族とします。$\mathcal{O}$ が次の 3 条件を満たすとき、$\mathcal{O}$ を $X$ 上の位相といい、組 $(X,\mathcal{O})$ を位相空間といいます。

• (O1) $\emptyset\in\mathcal{O}$ かつ $X\in\mathcal{O}$。
• (O2) $\Lambda$ を任意の添字集合とし、各 $\lambda\in\Lambda$ に対し $U_\lambda\in\mathcal{O}$ とすると、$\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda\in\mathcal{O}$。
• (O3) $U,V\in\mathcal{O}$ ならば $U\cap V\in\mathcal{O}$。

$\mathcal{O}$ に属する集合を開集合、補集合が開集合であるような集合を閉集合といいます。