内部と閉包の基本性質

$(X,\mathcal{O})$ を位相空間、$A\subseteq X$ とします。

1. $A^{\circ}$ は開集合で $A^{\circ}\subseteq A$ であり、$U$ が開集合で $U\subseteq A$ ならば $U\subseteq A^{\circ}$ である。すなわち $A^{\circ}$ は $A$ に含まれる最大の開集合である。特に $A$ が開集合であることと $A=A^{\circ}$ は同値。
2. $\overline{A}$ は閉集合で $A\subseteq\overline{A}$ であり、$F$ が閉集合で $A\subseteq F$ ならば $\overline{A}\subseteq F$ である。すなわち $\overline{A}$ は $A$ を含む最小の閉集合である。特に $A$ が閉集合であることと $A=\overline{A}$ は同値。
3. $x\in A^{\circ}$ であることと、$A$ が $x$ の近傍であることは同値。
4. $x\in\overline{A}$ であることと、$x$ の任意の近傍 $V$ に対し $V\cap A\ne\emptyset$ となることは同値。
5. $X\setminus\overline{A}=(X\setminus A)^{\circ}$ かつ $X\setminus A^{\circ}=\overline{X\setminus A}$。
6. $X$ は $A^{\circ}$、$\partial A$、$(X\setminus A)^{\circ}$ の 3 つの互いに交わらない部分に分割される。