一様位相の基本性質

$(X,\mathcal{U})$ を一様空間とします。

1. 一様位相は $X$ の位相で、$x$ の近傍系は $\mathcal{N}(x)=\{V\subseteq X:\ \exists U\in\mathcal{U},\ U[x]\subseteq V\}$ である。特に $\{U[x]\}_{U\in\mathcal{U}}$ は $x$ の近傍基で、対称な近縁だけに制限してもよい。
2. $A\subseteq X$ の閉包は $\overline{A}=\bigcap_{U\in\mathcal{U}}U[A]$ である。
3. 近縁 $U$ に対し、$X\times X$ の積位相での閉包 $\overline{V}\subseteq U$ となる近縁 $V$ がある。したがって、$X\times X$ で閉である近縁の全体は基本系をなす。また、すべての近縁は対角線 $\Delta$ の（$X\times X$ における）近傍である。
4. 一様位相は正則である（定義 4.1［分離公理と距離づけ可能性］）。また、一様位相がハウスドルフであることは、$\bigcap_{U\in\mathcal{U}}U=\Delta$ と同値である。