一様空間：近縁で「一様な近さ」を定め、完備化とコンパクト性を距離なしで語る

0. この記事の要点

「$x^2$ は連続だが、一様連続ではない」という違いは、点が「どれだけ近いか」を測る物差しがあって初めて意味をもちます。この記事は、距離を持ち出さずに、その物差しの本質だけを取り出す方法を扱います。読み終えると、距離のない空間でも「一様連続」「Cauchy 列」「完備」を定義でき、それがコンパクト性とどう結びつくかが説明できるようになります。

• 位相空間には「各点のまわり」はあっても、「$x$ と $y$ の近さを、別の点 $x'$ と $y'$ の近さと比べる」手段がありません。一様空間は、近縁（対角線を含む $X\times X$ の部分集合）の族を与えて、この比較を可能にした空間です。一様連続性・Cauchy 列（フィルターで一般化したもの）・完備性・全有界性が距離なしで定義できます。
• 近縁の族から一様位相が定まり、それは必ず正則です。距離空間・位相群・位相線形空間は自然な一様構造をもちます。
• 一様化可能な位相空間は、完全正則空間にちょうど一致します。 一様構造から（一様連続な）擬距離（異なる 2 点の距離が 0 になることを許した距離）を取り出せるという補題（Alexandroff–Urysohn）が鍵です。
• 一様空間がコンパクトであることは、完備かつ全有界であることと同値です。コンパクト空間の上で一様構造は位相からただ 1 つに決まり、連続写像はすべて一様連続になります（Heine–Cantor の一般化）。
• ハウスドルフな一様空間は、完備化（完備な一様空間への稠密な一様埋め込み）をただ 1 つ（同型を除いて）もちます。距離空間の完備化はその特別な場合です。
• 位相群の左一様構造は、$C_c(G)$ の関数がすべて一様連続になるような構造で、Haar 測度（群の演算で不変になるように定める測度）や位相線形空間の完備性の議論の下地になります。

この記事で使う事前知識

• フィルター: 集合の族で、有限個の共通部分と上位集合をとる操作で閉じているもの。点への収束をネットの代わりに語るために使う。→ フィルター
• 超フィルター: それ以上大きくできないフィルター。コンパクト性の特徴づけに使う。→ 超フィルター
• 完全正則空間: 点と、その点を含まない閉集合が、連続関数で分離できる空間。→ 完全正則空間
• コンパクト: どんな開被覆からも有限個を選んで覆える、という性質。→ コンパクト空間
• 距離空間の完備性: Cauchy 列がすべて収束する、という性質。→ 完備性
• 位相群: 群の演算と逆元をとる操作がどちらも連続な群。→ 位相群

1. 動機：位相には「一様な近さ」がない

閉区間 $[0,1]$ から $\mathbb{R}$ への連続関数は、すべて一様連続です（定理 7.1［連続関数と一様連続性］）。ところが $\mathbb{R}$ 上の連続関数 $x\mapsto x^2$ は一様連続ではありません。この違いは、位相だけを見ていては説明できません。開区間 $(0,1)$ と $\mathbb{R}$ は同相で、同相写像 $x\mapsto\tan(\pi(x-1/2))$ は連続ですが、一様連続ではありません（$(0,1)$ 上の関数 $x\mapsto1/x$ は連続でも一様連続でなく、$(0,1)$ は Cauchy 列が収束しない空間ですが、$\mathbb{R}$ は完備です）。一様連続性・Cauchy 列・完備性は位相不変量でなく、距離という追加の構造に属するのです。

一様空間は、この追加の構造のうち本質的な部分だけを抜き出したものです。距離 $d$ から、集合

$$U_\varepsilon=\{(x,y)\in X\times X: d(x,y)<\varepsilon\}$$

の族をつくると、「一様連続」は「$(f\times f)^{-1}$ が近縁を近縁にうつす」、「Cauchy 列」は「どの近縁についても、十分先の項は互いに近縁で結ばれる」と書けます。この言い換えの中に距離そのものは出てきません。そこで、近縁の族の満たすべき条件を公理にして、距離を落としたものが一様構造です。

この記事では、一様構造を定義し（第 2 節）、擬距離との関係から一様化可能性と完全正則性の同値を示します（第 3 節）。次に Cauchy フィルター・完備性・全有界性を定義して、コンパクト性との関係を調べます（第 4 節）。完備化の構成（第 5 節）と、位相群の一様構造（第 6 節）がそれに続きます。ネットとフィルターの定義は ネットとフィルターによる収束 を使います。

2. 近縁と一様構造

$X$ を集合とし、$X\times X$ の部分集合 $U,V$ に対し

$$U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\},\qquad V\circ U=\{(x,z):\exists y,\ (x,y)\in U,\ (y,z)\in V\}$$

とおきます。対角線を $\Delta=\{(x,x):x\in X\}$、$x\in X$ と $A\subseteq X$ に対し $U[x]=\{y:(x,y)\in U\}$、$U[A]=\bigcup_{a\in A}U[a]$ と書きます。$U=U^{-1}$ のとき $U$ は対称といいます。

定義 2.1（一様構造・近縁）↗

$X\times X$ の部分集合の族 $\mathcal{U}$ が $X$ の一様構造であるとは、次の 4 条件を満たすことをいいます。$\mathcal{U}$ の元を近縁（entourage）、組 $(X,\mathcal{U})$ を一様空間といいます。

• (U0) $\mathcal{U}$ は $X\times X$ 上のフィルターである（定義 5.5［積位相・商位相と Tychonoff の定理］。$X\times X\in\mathcal{U}$、有限個の近縁の共通部分も近縁、近縁を含む集合も近縁）。
• (U1) $U\in\mathcal{U}$ ならば $\Delta\subseteq U$。
• (U2) $U\in\mathcal{U}$ ならば $U^{-1}\in\mathcal{U}$。
• (U3) $U\in\mathcal{U}$ ならば、$V\circ V\subseteq U$ となる $V\in\mathcal{U}$ が存在する。

$\mathcal{U}$ の部分族 $\mathcal{B}$ が基本系であるとは、任意の近縁がある $B\in\mathcal{B}$ を含むことをいいます。

定義の記号を絵で見ておきます。$X\times X$ を正方形とみなすと、対角線 $\Delta$ は「$x$ と $x$ 自身」の点の集まりで、近縁 $U$ は $\Delta$ を含む帯のような領域です。$U[x]$ は、$x$ の位置で正方形を縦に切ったときの $U$ の切り口で、「$x$ から見て $U$ の意味で近い点の全体」を表します（距離なら $x$ を中心とする球にあたります）。また $V\circ V\subseteq U$ は、「$x$ から $y$ へ、$y$ から $z$ へ、どちらも $V$ で近いなら、$x$ から $z$ は $U$ で近い」という条件です。

X×X の中の対角線 Δ、近縁 U（対角線を含む帯）、点 x での切り口 U[x]。

(U1) は「$x$ は自分自身に近い」、(U2) は「近さの対称性」、(U3) は三角不等式の代わりで、「$\varepsilon/2$ 以内の点の $\varepsilon/2$ 以内は $\varepsilon$ 以内」にあたります。(U2) と (U3) から、任意の近縁 $U$ に対し、$V\circ V\subseteq U$ となる対称な近縁 $V$ がとれます（$V_0\circ V_0\subseteq U$ なる $V_0$ をとり、$V=V_0\cap V_0^{-1}$ とおけば $V\circ V\subseteq V_0\circ V_0\subseteq U$）。以下、これを断りなく使います。また、$V\circ V\subseteq U$ のとき $V\subseteq V\circ V$ より（(U1) から $\Delta\subseteq V$ なので、$(x,y)\in V$ は $(x,y)=(x,x)$ と $(x,y)$ の合成として $V\circ V$ に入る）$V\subseteq U$ です。

例 2.2（一様構造の例）

距離・擬距離。 $\mathcal{D}$ を $X$ 上の擬距離（$d(x,y)=0$ でも $x\ne y$ を許す距離）の族とします。$\{(x,y):d_i(x,y)<\varepsilon,\ 1\le i\le k\}$（$d_1,\dots,d_k\in\mathcal{D}$、$\varepsilon>0$）の形の集合を基本系とするフィルターを $\mathcal{U}_{\mathcal{D}}$ とすると、これは一様構造です。(U1)(U2) は明らか、(U3) は $\{d<\varepsilon/2\}\circ\{d<\varepsilon/2\}\subseteq\{d<\varepsilon\}$（三角不等式）から従います。$\mathcal{D}$ が 1 つの距離 $d$ からなるとき $\mathcal{U}_d$ と書きます。

両極端。 $\{X\times X\}$ は一様構造（密着一様構造）、$\Delta$ を含む集合の全体は一様構造（離散一様構造）です。

上の例の主張を、後で使う形で補題として述べておきます。

補題 2.3（擬距離の族が定める一様構造）✓

$\mathcal{D}$ を $X$ 上の擬距離の族とします。$\{(x,y):d_i(x,y)<\varepsilon,\ 1\le i\le k\}$（$d_i\in\mathcal{D}$、$\varepsilon>0$）の形の集合を基本系とするフィルター $\mathcal{U}_{\mathcal{D}}$ は一様構造です。

証明（補題 2.3）

基本系は共通部分で閉じ（$\varepsilon$ の小さいほうをとる）、(U0) が成り立つ。(U1)(U2) は擬距離の $d(x,x)=0$ と対称性から。(U3)：基本近縁 $U=\bigcap_{i\le k}\{d_i<\varepsilon\}$ に対し $V=\bigcap_{i\le k}\{d_i<\varepsilon/2\}$ とおけば、$(x,y),(y,z)\in V$ のとき三角不等式から $d_i(x,z)<\varepsilon$、すなわち $V\circ V\subseteq U$。

∎

近縁によって、「十分近い」を定める近傍が決まります。

定義 2.4（一様位相）↗

$(X,\mathcal{U})$ を一様空間とします。$O\subseteq X$ が開集合であるとは、任意の $x\in O$ に対してある近縁 $U\in\mathcal{U}$ で $U[x]\subseteq O$ となることをいいます。この開集合の全体を一様位相といいます。一様位相を入れた $X$ について、位相空間としての性質（閉包・コンパクト性など）を考えるときは、この位相を指します。

命題 2.5（一様位相の基本性質）✓

$(X,\mathcal{U})$ を一様空間とします。

1. 一様位相は $X$ の位相で、$x$ の近傍系は $\mathcal{N}(x)=\{V\subseteq X:\ \exists U\in\mathcal{U},\ U[x]\subseteq V\}$ である。特に $\{U[x]\}_{U\in\mathcal{U}}$ は $x$ の近傍基で、対称な近縁だけに制限してもよい。
2. $A\subseteq X$ の閉包は $\overline{A}=\bigcap_{U\in\mathcal{U}}U[A]$ である。
3. 近縁 $U$ に対し、$X\times X$ の積位相での閉包 $\overline{V}\subseteq U$ となる近縁 $V$ がある。したがって、$X\times X$ で閉である近縁の全体は基本系をなす。また、すべての近縁は対角線 $\Delta$ の（$X\times X$ における）近傍である。
4. 一様位相は正則である（定義 4.1［分離公理と距離づけ可能性］）。また、一様位相がハウスドルフであることは、$\bigcap_{U\in\mathcal{U}}U=\Delta$ と同値である。

証明（命題 2.5）

(1) $\mathcal{N}(x)$ が 定理 6.9［位相空間の定義と基本概念］ の (N1)〜(N4) を満たすことを確かめる。(N1)：$x\in U[x]$（(U1)）なので $x\in V$ で、$\mathcal{N}(x)\ni X$ は空でない。(N2) は定義から明らか。(N3)：$U[x]\subseteq V$、$U'[x]\subseteq V'$ なら $(U\cap U')[x]\subseteq V\cap V'$。(N4)：$U[x]\subseteq V$ とし、$V'\circ V'\subseteq U$ なる対称な近縁 $V'$ をとる。$W=V'[x]\in\mathcal{N}(x)$ は $W\subseteq U[x]\subseteq V$ を満たし（上で述べたとおり $V'\subseteq U$）、$y\in W$ なら $V'[y]\subseteq(V'\circ V')[x]\subseteq U[x]\subseteq V$ より $V\in\mathcal{N}(y)$。よって定理から、$\{O:\forall x\in O,\ O\in\mathcal{N}(x)\}$ は、各点の近傍系が $\mathcal{N}(x)$ であるような位相で、これは 定義 2.4 の開集合の全体にほかならない。

(2) $x\in\overline{A}$ であることは、$x$ の任意の近傍が $A$ と交わること（定理 6.5［位相空間の定義と基本概念］ の (4)）、すなわち (1) より任意の $U\in\mathcal{U}$ について $U[x]\cap A\ne\emptyset$ と同値。$U[x]\cap A\ne\emptyset$ は $x\in U^{-1}[A]$ と同値で、$U$ が $\mathcal{U}$ を動けば $U^{-1}$ もそうなる（(U2)）から、$x\in\overline{A}\Leftrightarrow\forall U,\ x\in U[A]$。

(3) $U$ に対し、対称な近縁 $V$ で $V\circ V\circ V\subseteq U$ となるものをとる（補題 3.1）。$(x,y)\in\overline{V}$（積位相での閉包）とする。$V[x]\times V[y]$ は $(x,y)$ の近傍（(1) と積位相の定義）なので $V$ と交わり、$(a,b)\in V$、$a\in V[x]$、$b\in V[y]$ がある。すなわち $(x,a)\in V$、$(a,b)\in V$、$(b,y)\in V$（$V$ の対称性）で、$(x,y)\in V\circ V\circ V\subseteq U$。よって $\overline{V}\subseteq U$ で、$\overline{V}\supseteq V$ は近縁、閉。後半：$V\circ V\subseteq U$ なる対称な $V$ について、$y,z\in V[x]$ なら $(y,x)\in V$、$(x,z)\in V$ より $(y,z)\in V\circ V\subseteq U$、すなわち $V[x]\times V[x]\subseteq U$。$V[x]$ は $x$ の近傍なので、$U$ は $(x,x)$ の近傍である。

(4) 正則性：$F$ を閉集合、$x\notin F$ とする。$X\setminus F$ は $x$ の近傍なので $U[x]\subseteq X\setminus F$ なる近縁 $U$ がある。$V\circ V\subseteq U$ なる対称な $V$ をとる。(2) より $\overline{V[x]}\subseteq V[V[x]]=(V\circ V)[x]\subseteq U[x]\subseteq X\setminus F$。$G=V[x]$ の内部を $G^\circ$ とすると、$x\in G^\circ$ は開集合で $\overline{G^\circ}\subseteq X\setminus F$。よって $G^\circ$ と $X\setminus\overline{G^\circ}$ が $x$ と $F$ を分ける開集合である。ハウスドルフ性：$\bigcap U=\Delta$ とし、$x\ne y$ をとる。$(x,y)\notin U$ なる近縁 $U$ と、$V\circ V\subseteq U$ なる対称な $V$ をとれば、$V[x]\cap V[y]=\emptyset$（共通点 $z$ があれば $(x,z),(z,y)\in V$ で $(x,y)\in U$）。逆に一様位相がハウスドルフとし、$x\ne y$ とする。交わらない近傍 $N_x\ni x$、$N_y\ni y$ をとり、近縁 $W$ を $W[x]\subseteq N_x$ ととる（(1)）。$(x,y)\in W$ なら $y\in W[x]\subseteq N_x$ で $N_x\cap N_y\ne\emptyset$ となり矛盾するから、$(x,y)\notin W$。よって $\bigcap U=\Delta$。

∎

$\bigcap_{U\in\mathcal{U}}U=\Delta$ をみたす一様構造を分離的（ハウスドルフ）といいます。たとえば擬距離の族 $\mathcal{D}$ が与える $\mathcal{U}_{\mathcal{D}}$ は、$d(x,y)=0\ (\forall d\in\mathcal{D})$ なら $x=y$ のとき分離的です。距離 $d$ の一様構造 $\mathcal{U}_d$ の一様位相は、$U_\varepsilon[x]=B(x,\varepsilon)$ から、距離の定める位相と一致します。

次に、写像の側の概念を定義します。

定義 2.6（一様連続写像・一様同型・一様埋め込み）↗

$(X,\mathcal{U})$、$(Y,\mathcal{V})$ を一様空間とします。

1. 写像 $f:X\to Y$ が一様連続であるとは、任意の近縁 $V\in\mathcal{V}$ に対し $(f\times f)^{-1}(V)=\{(x,x'):(f(x),f(x'))\in V\}\in\mathcal{U}$ となることをいいます。
2. 全単射 $f$ で、$f$ と $f^{-1}$ がともに一様連続なものを一様同型といいます。
3. 部分集合 $A\subseteq X$ には、部分空間の一様構造 $\mathcal{U}|_A=\{U\cap(A\times A):U\in\mathcal{U}\}$ を入れます。単射 $f:X\to Y$ が一様埋め込みであるとは、$f$ が $X$ から $f(X)$（$\mathcal{V}|_{f(X)}$ を入れたもの）への一様同型であることをいいます。
4. 擬距離 $d$ が $\mathcal{U}$ に関して一様連続であるとは、任意の $\varepsilon>0$ に対し $\{(x,y):d(x,y)<\varepsilon\}\in\mathcal{U}$ となることをいいます。

一様連続な写像は、一様位相に関して連続です。$f:X\to Y$ が一様連続で $x\in X$、$V\in\mathcal{V}$ なら、$U=(f\times f)^{-1}(V)$ について $U[x]\subseteq f^{-1}(V[f(x)])$ であり、$V[f(x)]$ は $f(x)$ の近傍基の元だからです。また、距離空間の一様構造 $\mathcal{U}_d$、$\mathcal{U}_{d'}$ の間の写像については、一様連続性は $\varepsilon$-$\delta$ による通常の一様連続性（定義 6.1［連続関数と一様連続性］）にほかなりません。

例 2.7（同じ位相で一様構造が違う例）

$\mathbb{R}$ に通常の距離 $d(x,y)=|x-y|$ と、$d'(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$ を入れます。$\arctan$ は $\mathbb{R}$ から $(-\pi/2,\pi/2)$ への同相写像で、$d'$ は $(-\pi/2,\pi/2)$ の通常の距離を引き戻したものなので、$d$ と $d'$ は同じ位相を定めます。しかし一様構造 $\mathcal{U}_d$ と $\mathcal{U}_{d'}$ は異なります。実際、$x_n=n$、$y_n=n+1$ とすると $d'(x_n,y_n)\to0$ ですが $d(x_n,y_n)=1$ で、恒等写像 $(\mathbb{R},\mathcal{U}_{d'})\to(\mathbb{R},\mathcal{U}_d)$ は一様連続でありません（$\varepsilon=1/2$ に対する $\delta$ が存在しない）。$(\mathbb{R},d')$ は有界な区間 $(-\pi/2,\pi/2)$ と同じで全有界ですが（第 4 節）完備でなく、$(\mathbb{R},d)$ は完備ですが全有界でない、という対比がここにあります。

3. 擬距離と一様化可能性

一様構造から擬距離を取り出す補題から始めます。可算な基本系をもつ一様構造は 1 つの擬距離で決まり、一般の場合も、近縁 1 つにつき擬距離を 1 つ見つけられます。まず、距離の三角不等式を 3 回使う場面のための準備です。

補題 (1) の証明のねらいは、「近縁の列が $2^{-n}$ の大きさの目盛りの役を果たす」ことを使って、距離を人工的に作ることです。各組 $(x,y)$ に「$(x,y)$ が入る最も小さい $V_n$（番号 $n$ が最大のもの）から決まる値 $2^{-n}$」を割り当てると、対称で $f(x,x)=0$ ですが、三角不等式は一般には成り立ちません。そこで点列をつないだ長さの下限をとって三角不等式を強制し、その下限が元の値の定数倍以内に収まること（証明中の「主張」）を帰納法で確かめます。この「主張」の証明で、$V_{n+1}\circ V_{n+1}\circ V_{n+1}\subseteq V_n$ という 3 重合成の条件が使われます。

補題 3.1（近縁の 3 重合成）✓

$(X,\mathcal{U})$ を一様空間とします。任意の近縁 $W$ に対し、$V\circ V\circ V\subseteq W$ をみたす対称な近縁 $V$ が存在します。

証明（補題 3.1）

(U3) を 2 回使って、近縁 $W',W''$ で $W'\circ W'\subseteq W$、$W''\circ W''\subseteq W'$ なるものをとる。$\Delta\subseteq W''$ なので $W''\subseteq W''\circ W''\subseteq W'$。$V=W''\cap(W'')^{-1}$ とおくと、$V$ は対称な近縁で、$V\circ V\circ V\subseteq W''\circ W''\circ W''\subseteq W'\circ W''\subseteq W'\circ W'\subseteq W$。

∎

補題 3.2（距離化補題（Alexandroff–Urysohn））✓

$(X,\mathcal{U})$ を一様空間とします。

1. 対称な近縁の列 $V_0=X\times X,\ V_1,V_2,\dots$ が $V_{n+1}\circ V_{n+1}\circ V_{n+1}\subseteq V_n$（$n\ge0$）を満たすならば、$\mathcal{U}$ に関して一様連続な擬距離 $d$ で、すべての $n\ge1$ について

$$\{d<2^{-n}\}\subseteq V_n\subseteq\{d\le2^{-n}\}$$

となるものが存在する。 2. 任意の近縁 $U$ に対し、$\mathcal{U}$ に関して一様連続な擬距離 $d$ で $\{d<1/2\}\subseteq U$ となるものが存在する。 3. $\mathcal{U}$ が可算な基本系 $\{B_n\}$ をもつならば、$\mathcal{U}$ は 1 つの擬距離 $d$ により $\mathcal{U}=\mathcal{U}_d$ と書ける。

証明（補題 3.2）

(1) $V_n$ は $n$ について減少する（$V_{n+1}\subseteq V_{n+1}\circ V_{n+1}\circ V_{n+1}\subseteq V_n$）。$(x,y)\in X\times X$ に対し、$f(x,y)=2^{-n}$（$(x,y)\in V_n\setminus V_{n+1}$、$n\ge0$）、すべての $V_n$ に属するとき $f(x,y)=0$ とおく。$f\le1$、$f$ は対称、$f(x,x)=0$ で、$f(x,y)\le2^{-n}$ と $(x,y)\in V_n$ は同値である（$n\ge0$）。

$d(x,y)=\inf\sum_{i=1}^kf(x_{i-1},x_i)$（$k\ge1$、$x_0=x$、$x_k=y$ なる点列について下限をとる）とおく。$d\le f\le1$、$d$ は対称、$d(x,x)=0$、三角不等式（点列をつなげる）より $d$ は擬距離である。

主張：すべての点列 $x_0,\dots,x_k$ について $f(x_0,x_k)\le2\sum_{i=1}^kf(x_{i-1},x_i)$。 $k$ に関する帰納法で示す。$k=1$ は明らか。$k\ge2$ とし、$s=\sum_if(x_{i-1},x_i)$ とおく。$s\ge1/2$ なら $f\le1\le2s$ で正しいので、$s<1/2$ とする。$j\in\{0,\dots,k-1\}$ を、$\sum_{i\le j}f(x_{i-1},x_i)\le s/2$ となる最大のものとする。すると $j<k-1$ なら $\sum_{i\le j+1}>s/2$ なので、どちらの場合も $\sum_{i\ge j+2}f(x_{i-1},x_i)\le s/2$ である。帰納法の仮定（$k$ より短い点列）より、$f(x_0,x_j)\le s$、$f(x_{j+1},x_k)\le s$、また $f(x_j,x_{j+1})\le s$。$s>0$ なら $2^{-n}\le s<2^{-n+1}$ なる $n\ge2$ をとる。$f$ の値は $0$ か $2$ のべきなので、3 つの値はいずれも $2^{-n}$ 以下で、$(x_0,x_j),(x_j,x_{j+1}),(x_{j+1},x_k)\in V_n$。よって $(x_0,x_k)\in V_n\circ V_n\circ V_n\subseteq V_{n-1}$ で $f(x_0,x_k)\le2^{-n+1}\le2s$。$s=0$ なら 3 つの値がすべて $0$ で、すべての $n$ について 3 つの組が $V_n$ に入るので、すべての $n$ について $(x_0,x_k)\in V_{n-1}$、$f(x_0,x_k)=0$。

主張から $f\le2d$。$d(x,y)<2^{-n}$ なら $f(x,y)<2^{-n+1}$、したがって $f(x,y)\le2^{-n}$ で $(x,y)\in V_n$。$(x,y)\in V_n$ なら $f(x,y)\le2^{-n}$ で $d(x,y)\le f(x,y)\le2^{-n}$。よって (1) の包含が示せた。一様連続性：$V_{n+1}\subseteq\{d\le2^{-n-1}\}\subseteq\{d<2^{-n}\}$ より $\{d<2^{-n}\}\in\mathcal{U}$ で、$n$ は任意。

(2) $V_0=X\times X$ とし、$V_1=U\cap U^{-1}$（$U$ に含まれる対称な近縁）とする。$n\ge1$ について、$V_n$ が定まっているとき、補題 3.1 により $V_{n+1}\circ V_{n+1}\circ V_{n+1}\subseteq V_n$ なる対称な近縁 $V_{n+1}$ がとれる。（$n=0$ の条件 $V_1\circ V_1\circ V_1\subseteq V_0=X\times X$ は自明。）(1) の $d$ について $\{d<1/2\}\subseteq V_1\subseteq U$。

(3) $\{B_n\}$ を基本系とする。(2) の構成で、$V_1\subseteq B_1$、さらに各 $n\ge1$ で $V_{n+1}\subseteq B_{n+1}$ となるようにとる（補題 3.1 で得た近縁と $B_{n+1}\cap B_{n+1}^{-1}$ の共通部分をとり直せば、3 重合成の条件は保たれる）。(1) の $d$ は一様連続である。任意の近縁 $U$ はある $B_n$ を含み、$B_n\supseteq V_n\supseteq\{d<2^{-n}\}$ なので $U\supseteq\{d<2^{-n}\}$。逆に $\{d<\varepsilon\}\in\mathcal{U}$ だから、$\mathcal{U}=\mathcal{U}_d$。

∎

位相空間が一様構造から来るかどうかの判定は、完全正則性で尽きます。

定理 3.3（一様化可能性と完全正則性）✓

位相空間 $(X,\tau)$ について、次が成り立ちます。

1. $\tau$ がある一様構造の一様位相であること（一様化可能）は、$X$ が完全正則であることと同値である。
2. $X$ が Tychonoff 空間（$T_1$ かつ完全正則、定義 2.3［完全正則空間と埋め込み定理］）であることは、$\tau$ が分離的な一様構造の一様位相であることと同値である。

証明（定理 3.3）

(1) ($\Rightarrow$) 一様構造 $\mathcal{U}$ の一様位相が $\tau$ とする。$F$ を閉集合、$x\notin F$ とする。$X\setminus F$ は $x$ の近傍なので、近縁 $U$ で $U[x]\subseteq X\setminus F$ なるものがある。補題 3.2 の (2) より、$\mathcal{U}$ に関して一様連続な擬距離 $d$ で $\{d<1/2\}\subseteq U$ となるものがある。関数 $g(y)=\min\{1,2d(x,y)\}$ は $[0,1]$ に値をとり、$|g(y)-g(y')|\le2d(y,y')$ で、$\{y':d(y,y')<\varepsilon\}=\{d<\varepsilon\}[y]$ は $y$ の近傍なので連続である。$g(x)=0$ で、$y\in F$ なら $y\notin U[x]$、したがって $(x,y)\notin\{d<1/2\}$、すなわち $d(x,y)\ge1/2$ で $g(y)=1$。よって $X$ は完全正則である。

(1) ($\Leftarrow$) $X$ を完全正則とし、$\mathcal{C}$ を連続関数 $X\to[0,1]$ の全体とする。$f\in\mathcal{C}$ に擬距離 $d_f(x,y)=|f(x)-f(y)|$ を対応させ、$\mathcal{D}=\{d_f\}_{f\in\mathcal{C}}$ が定める一様構造 $\mathcal{U}_{\mathcal{D}}$（補題 2.3）の一様位相が $\tau$ に一致することを示す。$\mathcal{U}_{\mathcal{D}}$ の開集合 $O$ は、各 $x\in O$ に対し、$\bigcap_{i\le k}\{y:|f_i(y)-f_i(x)|<\varepsilon\}\subseteq O$ なる $f_1,\dots,f_k\in\mathcal{C}$、$\varepsilon>0$ をもつ。左辺は $f_i$ の連続性から $\tau$ における $x$ の近傍なので、$O\in\tau$。逆に $O\in\tau$、$x\in O$ とすると、完全正則性から $f\in\mathcal{C}$ で $f(x)=0$、$X\setminus O$ 上 $f=1$ となるものがあり、$\{y:|f(y)-f(x)|<1\}\subseteq O$。よって $O$ は $\mathcal{U}_{\mathcal{D}}$ の一様位相で開である。

(2) ($\Rightarrow$) $X$ が Tychonoff なら、(1) の $\mathcal{U}_{\mathcal{D}}$ が $\tau$ を与える。$x\ne y$ なら、$T_1$ 性から $X\setminus\{y\}$ は $x$ の開近傍（命題 3.2［分離公理と距離づけ可能性］）で、完全正則性より $f\in\mathcal{C}$、$f(x)=0$、$f(y)=1$ となるものがある。$(x,y)\notin\{d_f<1\}\in\mathcal{U}_{\mathcal{D}}$ なので、$\bigcap U=\Delta$、分離的。($\Leftarrow$) 分離的な一様構造の一様位相は、命題 2.5 の (4) よりハウスドルフで、ハウスドルフ空間は $T_1$ である（相異なる 2 点を分ける開集合から、各点が他の点を含まない開近傍をもつ）。また (1) の ($\Rightarrow$) より完全正則。

∎

(1) の ($\Leftarrow$) で作った一様構造は、連続関数 $X\to[0,1]$ の族に関する「始位相の一様構造版」です（定義 2.3［積位相・商位相と Tychonoff の定理］）。コンパクトハウスドルフ空間は $T_4$（定理 4.5［分離公理と距離づけ可能性］）、したがって Tychonoff（命題 2.4［完全正則空間と埋め込み定理］ の (4)）なので、上の定理により一様構造をもちます。次節で、その一様構造がただ 1 つであることを見ます。

4. Cauchy フィルター・完備性・全有界性とコンパクト性

距離空間の「Cauchy 列」は、近縁の言葉では「どの近縁をとっても、十分先の項どうしがその近縁で結ばれる」です。点列の代わりにフィルターを使うと、一様空間の一般の場合に述べられます。

定義 4.1（Cauchy フィルター・完備・全有界）↗

$(X,\mathcal{U})$ を一様空間とします。

1. $X$ 上のフィルター $\mathcal{F}$（定義 5.5［積位相・商位相と Tychonoff の定理］）が Cauchy フィルターであるとは、任意の $U\in\mathcal{U}$ に対し $F\times F\subseteq U$ となる $F\in\mathcal{F}$ が存在することをいう。$X$ のネット $(x_\lambda)$ が Cauchy ネットであるとは、任意の $U\in\mathcal{U}$ に対し、$\lambda_0$ が存在して $\lambda,\mu\ge\lambda_0$ ならば $(x_\lambda,x_\mu)\in U$ となることをいう。これは、尾のフィルター（定義 4.1［ネットとフィルターによる収束］）が Cauchy フィルターであることと同値である。
2. $X$ が完備であるとは、すべての Cauchy フィルターが（一様位相で）収束することをいう。
3. $X$ が全有界であるとは、任意の $U\in\mathcal{U}$ に対し、有限集合 $A\subseteq X$ で $X=U[A]$ となるものが存在することをいう。

以下の補題は、Cauchy フィルターの基本的な性質です。

補題 4.2（Cauchy フィルターの基本性質）✓

$(X,\mathcal{U})$ を一様空間とします。

1. 収束するフィルターは Cauchy フィルターである。
2. Cauchy フィルター $\mathcal{F}$ が集積点 $x$（すべての $F\in\mathcal{F}$ について $x\in\overline{F}$）をもてば、$\mathcal{F}$ は $x$ に収束する。
3. $f:X\to Y$ が一様連続で $\mathcal{F}$ が $X$ の Cauchy フィルターならば、$\{f(F):F\in\mathcal{F}\}$ はフィルター基で、それが生成する $Y$ 上のフィルターは Cauchy である。
4. 距離空間 $(X,d)$ について、距離として完備（Cauchy 列がすべて収束する）であることと、一様空間 $(X,\mathcal{U}_d)$ として完備であることは同値である。

証明（補題 4.2）

(1) $\mathcal{F}\to x$ とし、$U\in\mathcal{U}$、$V\circ V\subseteq U$ なる対称な $V$ をとる。$V[x]\in\mathcal{N}(x)\subseteq\mathcal{F}$ で、$y,z\in V[x]$ なら $(y,z)\in V\circ V\subseteq U$、すなわち $V[x]\times V[x]\subseteq U$。

(2) $N$ を $x$ の近傍とし、$V[x]\subseteq N$ なる対称な近縁 $V$ をとる。$W\circ W\subseteq V$ なる対称な $W$ と、$F\times F\subseteq W$ なる $F\in\mathcal{F}$ をとる。$x$ は集積点なので、$F\cap W[x]\ne\emptyset$ で、$y$ をその元とする。任意の $z\in F$ について $(y,z)\in W$（$F\times F\subseteq W$）かつ $(x,y)\in W$ なので $(x,z)\in W\circ W\subseteq V$、$z\in V[x]\subseteq N$。よって $F\subseteq N$ で、$N\in\mathcal{F}$。すなわち $\mathcal{N}(x)\subseteq\mathcal{F}$。

(3) 像の集合は、$f(F\cap F')\subseteq f(F)\cap f(F')$ からフィルター基である。$V\in\mathcal{V}$（$Y$ の近縁）に対し、$f$ の一様連続性より $(f\times f)^{-1}(V)\in\mathcal{U}$ で、$F\times F\subseteq(f\times f)^{-1}(V)$ なる $F\in\mathcal{F}$ がある。このとき $f(F)\times f(F)\subseteq V$。

(4) ($\Leftarrow$) $(x_n)$ を距離の意味の Cauchy 列とする。尾のフィルターは、各 $\varepsilon>0$ に対し $\{x_n:n\ge N\}$（$N$ は $d(x_n,x_m)<\varepsilon$ $(n,m\ge N)$ なる番号）をもつので Cauchy フィルターである。完備性より尾のフィルターは $x$ に収束し、$B(x,\varepsilon)$ は尾のフィルターに属すので、$n$ が大きければ $x_n\in B(x,\varepsilon)$、すなわち $x_n\to x$。($\Rightarrow$) $\mathcal{F}$ を Cauchy フィルターとする。各 $n$ について $F_n\times F_n\subseteq\{d<1/n\}$ なる $F_n\in\mathcal{F}$ をとり、$x_n\in F_1\cap\cdots\cap F_n$（フィルターなので空でない）をとる。$n,m\ge N$ ならば $x_n,x_m\in F_N$ で $d(x_n,x_m)<1/N$ より $(x_n)$ は Cauchy 列で、$x_n\to x$ とする。$\varepsilon>0$ をとり、$1/N<\varepsilon/2$ かつ $n\ge N$ で $d(x_n,x)<\varepsilon/2$ となる $n$ をとれば、$F_N\subseteq B(x_n,1/N)\subseteq B(x,\varepsilon)$（$x_n\in F_N$）。よって $B(x,\varepsilon)\in\mathcal{F}$、$\mathcal{F}\to x$。

∎

コンパクト性は、完備性と全有界性の組として特徴づけられます。距離空間の場合（定理 4.3［距離空間］）の一般化です。

定理 4.3（コンパクトは完備かつ全有界）✓

一様空間 $(X,\mathcal{U})$ について、$X$ が（一様位相で）コンパクトであることと、$X$ が完備かつ全有界であることは同値です。

証明（定理 4.3）

($\Rightarrow$) $X$ がコンパクトとする。全有界：近縁 $U$ に対し、$V\circ V\subseteq U$ なる対称な $V$ をとる。$V[x]$（$x\in X$）は $x$ の近傍なので、その内部は開被覆をなし、コンパクト性（定義 3.2［コンパクト性］）から有限個 $x_1,\dots,x_n$ で $X=\bigcup V[x_i]\subseteq U[\{x_1,\dots,x_n\}]$（$V\subseteq U$ より）。完備：$\mathcal{F}$ を Cauchy フィルターとする。超フィルターの補題（定理 5.8［積位相・商位相と Tychonoff の定理］）より超フィルター $\mathcal{G}\supseteq\mathcal{F}$ があり、$X$ はコンパクトなので $\mathcal{G}$ はある点 $x$ に収束する（定理 5.9［積位相・商位相と Tychonoff の定理］）。$x$ の近傍 $N$ と $F\in\mathcal{F}$ に対し $N,F\in\mathcal{G}$ より $N\cap F\in\mathcal{G}$ は空でないので、$x\in\overline{F}$ で $x$ は $\mathcal{F}$ の集積点。補題 4.2 の (2) より $\mathcal{F}\to x$。

($\Leftarrow$) $X$ が完備かつ全有界とし、$\mathcal{G}$ を $X$ 上の超フィルターとする。$\mathcal{G}$ が Cauchy フィルターであることを示す。近縁 $U$ に対し、対称な $V$ で $V\circ V\subseteq U$ をとり、全有界性から有限集合 $A$ で $X=V[A]=\bigcup_{a\in A}V[a]$ とする。有限個の集合の合併 $X$ が超フィルターに属するので、ある $a$ について $V[a]\in\mathcal{G}$（どれも属さなければ、補題 5.7［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ によりそれぞれの補集合が属し、その共通部分 $\emptyset$ が属して矛盾）。$V[a]\times V[a]\subseteq V\circ V\subseteq U$（$b,c\in V[a]$ なら $(b,a),(a,c)\in V$）。よって $\mathcal{G}$ は Cauchy で、完備性より収束する。すべての超フィルターが収束するので、定理 5.9［積位相・商位相と Tychonoff の定理］ により $X$ はコンパクトである。

∎

次の定理は、コンパクト空間では、一様構造が位相の中に「隠れている」ことを述べます。

定理 4.4（コンパクト空間の一様構造の一意性）✓

$X$ をコンパクトな位相空間とし、$\mathcal{U}$ を $X$ の位相を一様位相とする一様構造とします。

1. $\mathcal{U}$ は、対角線 $\Delta$ の $X\times X$ における近傍全体と一致する。特に $\mathcal{U}$ は位相から一意に決まる。
2. $X$ から任意の一様空間への連続写像は、一様連続である。
3. $X$ がコンパクトハウスドルフ空間ならば、そのような一様構造がちょうど 1 つ存在する。

証明（定理 4.4）

(1) 近縁が $\Delta$ の近傍であることは 命題 2.5 の (3)。逆に $W$ を $\Delta$ の近傍とする。各 $x\in X$ について、$W$ は $(x,x)$ の近傍なので、積位相の基本開集合として $O\times O'\subseteq W$（$O,O'$ は $x$ の開近傍）。$N_x=O\cap O'$ は $x$ の近傍で $N_x\times N_x\subseteq W$。近縁 $U_x$ を $U_x[x]\subseteq N_x$ ととり、対称な近縁 $V_x$ を $V_x\circ V_x\subseteq U_x$ ととる。$V_x[x]$ の内部は $x$ を含む開集合なので、$X$ のコンパクト性から有限個 $x_1,\dots,x_n$ で $X=\bigcup V_{x_i}[x_i]$ となる。$V=\bigcap_iV_{x_i}\in\mathcal{U}$ とおく。$(y,z)\in V$ とする。ある $i$ で $y\in V_{x_i}[x_i]$ であり、$(x_i,y)\in V_{x_i}$、$(y,z)\in V\subseteq V_{x_i}$ なので $(x_i,z)\in V_{x_i}\circ V_{x_i}\subseteq U_{x_i}$。よって $y\in V_{x_i}[x_i]\subseteq U_{x_i}[x_i]\subseteq N_{x_i}$、$z\in U_{x_i}[x_i]\subseteq N_{x_i}$、$(y,z)\in N_{x_i}\times N_{x_i}\subseteq W$。したがって $V\subseteq W$ で、$W\in\mathcal{U}$。

(2) $f:X\to(Y,\mathcal{V})$ を連続写像、$V\in\mathcal{V}$ とする。$V$ は $\Delta_Y$ の近傍（命題 2.5 の (3)）で、$f\times f$ は連続（定理 3.4［積位相・商位相と Tychonoff の定理］）なので、$(f\times f)^{-1}(V)$ は $\Delta_X$ の近傍である。(1) から $(f\times f)^{-1}(V)\in\mathcal{U}$。

(3) 存在：コンパクトハウスドルフ空間は $T_4$（定理 4.5［分離公理と距離づけ可能性］）、したがって Tychonoff（命題 2.4［完全正則空間と埋め込み定理］ の (4)）で、定理 3.3 の (2) により一様構造が存在する。一意性は (1)。

∎

(2) は、コンパクト距離空間上の連続関数が一様連続である、という Heine–Cantor の定理（定理 7.1［連続関数と一様連続性］）の一般化です。

5. 完備化

$\mathbb{Q}$ から $\mathbb{R}$ を作るように、ハウスドルフな一様空間にも「足りない極限を補う」完備化があります。

定義 5.1（一様空間の完備化）↗

分離的な一様空間 $(X,\mathcal{U})$ の完備化とは、完備で分離的な一様空間 $(Y,\mathcal{V})$ と一様埋め込み $\iota:X\to Y$ で、像 $\iota(X)$ が $Y$ で稠密であるものの組 $(Y,\iota)$ をいいます。

構成には、完備性が閉部分空間・積で保たれること、および一様連続写像が稠密部分空間から全体へ延長できることを使います。

補題 5.2（閉部分空間と積の完備性）✓

1. 完備な一様空間の閉部分集合は、部分空間の一様構造で完備である。
2. 一様空間の族 $\{(X_j,\mathcal{U}_j)\}_{j\in J}$ の積 $P=\prod X_j$ に、基本系 $\bigcap_{j\in J_0}(\pi_j\times\pi_j)^{-1}(U_j)$（$J_0\subseteq J$ は有限、$U_j\in\mathcal{U}_j$）をもつ積一様構造を入れる。これは一様構造で、その一様位相は積位相である。各 $X_j$ が完備ならば $P$ は完備である。

証明（補題 5.2）

(1) $X$ を完備、$A\subseteq X$ を閉、$\mathcal{F}$ を $A$ の部分空間の一様構造に関する Cauchy フィルターとする。$\mathcal{F}'=\{B\subseteq X:B\supseteq F\ (\exists F\in\mathcal{F})\}$ は $X$ の Cauchy フィルターである（$F\times F\subseteq U\cap(A\times A)\subseteq U$）。$\mathcal{F}'\to x$ とする。$x$ の近傍 $N$ は $\mathcal{F}'$ に属するので、$N\supseteq F$ なる $F\in\mathcal{F}$（$F\subseteq A$）があり、$N\cap A\ne\emptyset$。よって $x\in\overline{A}=A$。また $N\cap A\supseteq F$ より $N\cap A\in\mathcal{F}$ で、$A$ における $x$ の近傍はすべて $\mathcal{F}$ に属す（部分空間の一様位相は相対位相：近縁 $U\cap(A\times A)$ について $(U\cap(A\times A))[x]=U[x]\cap A$）。すなわち $\mathcal{F}\to x$。

(2) 基本系が $\mathcal{U}_P$ の条件 (U0)〜(U3) を満たすことは、各条件を成分ごとに確かめればよい。一様位相：$x\in P$ と基本近縁 $U=\bigcap_{j\in J_0}(\pi_j\times\pi_j)^{-1}(U_j)$ について $U[x]=\bigcap_{j\in J_0}\pi_j^{-1}(U_j[x_j])$。これは積位相における $x$ の近傍で、逆に積位相の基本近傍 $\bigcap_{j\in J_0}\pi_j^{-1}(N_j)$（$N_j$ は $x_j$ の近傍）はこの形の $U[x]$ を含む（$U_j[x_j]\subseteq N_j$ ととる）。よって近傍系が一致する。完備性：$\mathcal{F}$ を $P$ の Cauchy フィルターとする。$\pi_{j*}\mathcal{F}=\{A\subseteq X_j:\pi_j^{-1}(A)\in\mathcal{F}\}$ は $X_j$ の Cauchy フィルターである（$U_j\in\mathcal{U}_j$ に対し $F\times F\subseteq(\pi_j\times\pi_j)^{-1}(U_j)$ なる $F\in\mathcal{F}$ をとれば、$\pi_j(F)\times\pi_j(F)\subseteq U_j$ で、$\pi_j^{-1}(\pi_j(F))\supseteq F$ より $\pi_j(F)\in\pi_{j*}\mathcal{F}$）。$X_j$ の完備性から $\pi_{j*}\mathcal{F}\to x_j$ となる $x_j$ をとり、$x=(x_j)$ とおく。$x$ の近傍は $\bigcap_{j\in J_0}\pi_j^{-1}(N_j)$（$N_j\in\mathcal{N}(x_j)\subseteq\pi_{j*}\mathcal{F}$）を含み、各 $\pi_j^{-1}(N_j)\in\mathcal{F}$ で $\mathcal{F}$ は有限共通部分で閉じているので、これは $\mathcal{F}$ に属す。よって $\mathcal{F}\to x$。

∎

補題 5.3（一様連続写像の延長）✓

$(Y,\mathcal{V})$ を一様空間、$X\subseteq Y$ を稠密な部分集合（部分空間の一様構造 $\mathcal{V}|_X$ を入れる）、$(Z,\mathcal{W})$ を完備で分離的な一様空間、$f:X\to Z$ を一様連続写像とします。このとき、$F|_X=f$ なる一様連続写像 $F:Y\to Z$ がただ 1 つ存在します。

証明（補題 5.3）

$y\in Y$ に対し $\mathcal{G}_y=\{N\cap X:N\in\mathcal{N}(y)\}$ とおく。$X$ は稠密なので、近傍 $N$ は開集合を含み $N\cap X\ne\emptyset$ で、$\mathcal{G}_y$ はフィルター基である。Cauchy 性：$U\in\mathcal{V}$ に対し、$V\circ V\subseteq U$ なる対称な $V$ をとると $V[y]\cap X\in\mathcal{G}_y$ で $(V[y]\cap X)^2\subseteq U\cap(X\times X)$。よって $\mathcal{G}_y$（が生成するフィルター）は $\mathcal{V}|_X$ の Cauchy フィルターである。補題 4.2 の (3) により、$\{f(G):G\in\mathcal{G}_y\}$ が生成する $Z$ のフィルターは Cauchy で、$Z$ は完備なので収束する。極限は一意である（$Z$ はハウスドルフ、命題 2.5 の (4) と 定理 6.1［ネットとフィルターによる収束］）。それを $F(y)$ とおく。

$y\in X$ なら $F(y)=f(y)$：$f$ は連続（一様連続だから）で、$f(y)$ の近傍 $N$ に対し $f^{-1}(N)$ は $y$ の $X$ における近傍（部分空間の一様位相は相対位相）、すなわち $N'\cap X$ ($N'\in\mathcal{N}(y)$) を含む。よって $N\supseteq f(N'\cap X)$ で、$f(\mathcal{G}_y)$ が生成するフィルターは $f(y)$ に収束し、極限の一意性から $F(y)=f(y)$。

一様連続性：$\mathcal{W}$ の基本系として、閉じた近縁をとれる（命題 2.5 の (3)）。閉な近縁 $W$ をとる。$f$ の一様連続性から、$U_0\in\mathcal{V}$ で、$a,a'\in X$、$(a,a')\in U_0$ ならば $(f(a),f(a'))\in W$ となるものがある。補題 3.1 により、対称な $S\in\mathcal{V}$ で $S\circ S\circ S\subseteq U_0$ なるものがある。$(y,y')\in S$ とする。$N\ni F(y)$、$N'\ni F(y')$ を $Z$ の近傍とする。収束の定義から $G\in\mathcal{G}_y$ で $f(G)\subseteq N$、$G'\in\mathcal{G}_{y'}$ で $f(G')\subseteq N'$。$S[y]\cap X\in\mathcal{G}_y$、$S[y']\cap X\in\mathcal{G}_{y'}$ なので、$a\in G\cap S[y]$、$a'\in G'\cap S[y']$ がとれる（$\mathcal{G}_y$ はフィルター基で、これらの共通部分は空でない）。$(a,y),(y,y'),(y',a')\in S$ より $(a,a')\in S\circ S\circ S\subseteq U_0$ で、$(f(a),f(a'))\in W$。$f(a)\in N$、$f(a')\in N'$ なので、$(N\times N')\cap W\ne\emptyset$。$N,N'$ は任意なので $(F(y),F(y'))\in\overline{W}=W$。したがって $S\subseteq(F\times F)^{-1}(W)$、すなわち $(F\times F)^{-1}(W)\in\mathcal{V}$ で、$F$ は一様連続である。

一意性：$F,F'$ が延長で、どちらも連続（一様連続だから）なら、稠密集合 $X$ 上で一致し、$Z$ はハウスドルフなので、補題 5.1［完全正則空間と埋め込み定理］ より $Y$ 全体で一致する。

∎

完備化の構成の方針は、$\mathbb{Q}$ から $\mathbb{R}$ を作る場合と同じく、足りない極限を補うことです。一様構造を一様連続な擬距離の全体 $\mathcal{D}$ で表し、擬距離 $d$ ごとに距離空間としての完備化を作ります。これらをすべて並べた積の中に $X$ を埋め込み、その閉包をとれば、完備な空間の閉部分集合として完備になり、$X$ が稠密に入っています。積をとるのは、1 つの $d$ だけでは $X$ の点を区別しきれない（$d(x,y)=0$ となる組がある）のを、すべての $d$ を並べて補うためです。

定理 5.4（完備化の存在と一意性）✓

分離的な一様空間 $(X,\mathcal{U})$ は完備化をもちます。さらに、$(Y,\iota)$ が完備化で、$(Z,\mathcal{W})$ が完備で分離的な一様空間、$f:X\to Z$ が一様連続写像ならば、$F\circ\iota=f$ なる一様連続写像 $F:Y\to Z$ がただ 1 つ存在します。特に、完備化は一様同型を除いて一意です。すなわち $(Y,\iota)$、$(Y',\iota')$ が完備化ならば、$F\circ\iota=\iota'$ なる一様同型 $F:Y\to Y'$ がただ 1 つ存在します。

証明（定理 5.4）

存在。 $\mathcal{D}$ を $\mathcal{U}$ に関して一様連続な擬距離の全体とする。補題 3.2 の (2) から、任意の近縁 $U$ に対し $\{d<1/2\}\subseteq U$ なる $d\in\mathcal{D}$ があり、各 $\{d<\varepsilon\}$ は近縁なので、$\mathcal{U}=\mathcal{U}_{\mathcal{D}}$。$d\in\mathcal{D}$ に対し、$X/{\sim_d}$（$d(x,y)=0$ で同一視）は距離 $\bar d([x],[y])=d(x,y)$ で距離空間 $M_d$ になる。その距離空間としての完備化（定理 3.2［距離空間］）を $(\widehat{M_d},\rho_d)$ とする。補題 4.2 の (4) により、これは一様空間として完備である。積 $P=\prod_{d\in\mathcal{D}}\widehat{M_d}$ に積一様構造を入れる。補題 5.2 の (2) により $P$ は完備で、各因子が分離的なので $P$ も分離的（相異なる 2 点は、ある座標が異なり、その座標の距離の近縁がこの組を含まない）である。$\Phi:X\to P$ を $\Phi(x)=([x]_d)_d$ とする。

$\Phi$ は単射：$x\ne y$ なら $\mathcal{U}$ は分離的なので $(x,y)\notin U$ なる近縁 $U$ があり、$\{d<1/2\}\subseteq U$ なる $d\in\mathcal{D}$ について $d(x,y)\ge1/2$、したがって $d$-座標が異なる。$\Phi$ は一様埋め込み：$d\in\mathcal{D}$、$\varepsilon>0$ について、$(\Phi\times\Phi)^{-1}\bigl((\pi_d\times\pi_d)^{-1}(\{\rho_d<\varepsilon\})\bigr)=\{d<\varepsilon\}\in\mathcal{U}$ なので $\Phi$ は一様連続。逆に近縁 $U\in\mathcal{U}$ をとり、$\{d<1/2\}\subseteq U$ なる $d$ をとると、$\Phi(X)$ 上の $(\pi_d\times\pi_d)^{-1}(\{\rho_d<1/2\})\cap(\Phi(X)\times\Phi(X))$ に属する組 $(\Phi(x),\Phi(y))$ は $d(x,y)<1/2$ を満たし、$(x,y)\in U$。よって $\Phi^{-1}:\Phi(X)\to X$ も一様連続。

$Y=\overline{\Phi(X)}$（$P$ における閉包）に $P$ からの部分空間の一様構造を入れると、補題 5.2 の (1) により完備、分離的で、$\Phi(X)$ は $Y$ で稠密である。したがって $(Y,\Phi)$ は完備化。

普遍性と一意性。 $(Y,\iota)$ を完備化、$f:X\to Z$ を一様連続とする。$\iota$ は一様同型 $X\to\iota(X)$ なので、$f\circ\iota^{-1}:\iota(X)\to Z$ は一様連続で、$\iota(X)$ は $Y$ で稠密。補題 5.3 から、$F|_{\iota(X)}=f\circ\iota^{-1}$、すなわち $F\circ\iota=f$ なる一様連続な $F:Y\to Z$ がただ 1 つ存在する。$(Y',\iota')$ を別の完備化とすると、$f=\iota'$ に使って $F:Y\to Y'$、$F\circ\iota=\iota'$、また役割を入れ替えて $G:Y'\to Y$、$G\circ\iota'=\iota$ が得られる。$G\circ F:Y\to Y$ は連続で $\iota(X)$ 上で恒等写像に一致し、$Y$ はハウスドルフなので、補題 5.1［完全正則空間と埋め込み定理］ から $G\circ F=\mathrm{id}_Y$。同様に $F\circ G=\mathrm{id}_{Y'}$。よって $F$ は一様同型で、一意性は上と同じ。

∎

距離空間 $(X,d)$ の完備化 $(\hat{X},\iota)$（定理 3.2［距離空間］）は、$\mathcal{U}_d$ をもつ一様空間として見たとき、この定理の完備化と一様同型です（どちらも、完備で、稠密な一様埋め込みをもつ空間なので、上の一意性から）。この定理は、距離ではなく擬距離の族で定まる一様構造（関数空間の点ごと収束・コンパクト一様収束の構造など）にもそのまま使えます。

例 5.5（有理数の完備化）

$\mathbb{Q}$ の通常の距離の一様構造の完備化は $\mathbb{R}$ です。素数 $p$ を固定し、$0$ でない有理数 $r$ を $r=p^{k}a/b$（$a,b$ は $p$ で割り切れない整数、$k\in\mathbb{Z}$）と書いたときの指数 $k$ を $v_p(r)$ とします。同じ $\mathbb{Q}$ に $p$ 進距離 $d_p(x,y)=p^{-v_p(x-y)}$（$x\ne y$）、$d_p(x,x)=0$（超距離）を入れた一様構造の完備化は $p$ 進数体 $\mathbb{Q}_p$ で、同じ集合 $\mathbb{Q}$ の別の一様構造から別の完備化が得られる例になっています。

6. 位相群の一様構造

位相群（定義 7.1［局所コンパクト空間］）は、群の演算が連続なので、単位元 $e$ の近傍系をすべての点に平行移動して、一様構造を作れます。

命題 6.1（位相群の左一様構造）✓

$G$ を位相群とします。単位元 $e$ の近傍 $V$ に対し $U_V=\{(x,y)\in G\times G:x^{-1}y\in V\}$ とおき、$\mathcal{U}_L$ を $\{U_V\}_V$ を基本系とするフィルターとします。

1. $\mathcal{U}_L$ は一様構造（左一様構造）で、その一様位相は $G$ の位相と一致する。
2. $G$ がハウスドルフであることと、$\mathcal{U}_L$ が分離的であることは同値である。
3. 台がコンパクトな連続関数 $f:G\to\mathbb{R}$ は、$\mathcal{U}_L$ に関して一様連続である。すなわち、任意の $\varepsilon>0$ に対し $e$ の近傍 $W$ が存在して、$x^{-1}y\in W$ ならば $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ となる。

(3) のねらいは、台がコンパクトな関数が一様連続になることです。連続性は各点のまわりだけの性質ですが、台 $K$ はコンパクトなので有限個の点のまわりだけを見れば十分で、有限個の近傍の共通部分をとることで全体に通用する 1 つの近傍 $W$ を得ます。群の左移動 $y\mapsto xy$ は近傍 $V$ を $xV$ にうつすので、$x^{-1}y\in W$ という条件は「$y$ が $x$ を $W$ だけ左移動した範囲にある」という意味になります。

証明（命題 6.1）

(1) $U_V\cap U_{V'}=U_{V\cap V'}$ なので、$\{U_V\}$ は共通部分で閉じ、(U0) が成り立つ。(U1)：$e\in V$ なので $(x,x)\in U_V$。(U2)：$U_V^{-1}=\{(y,x):x^{-1}y\in V\}=\{(x',y'):y'^{-1}x'\in V\}$ と書くと $y'^{-1}x'=(x'^{-1}y')^{-1}$ なので $U_V^{-1}=U_{V^{-1}}$ で、逆元写像は同相写像で $e$ を $e$ にうつすので $V^{-1}$ は $e$ の近傍。(U3)：$V$ に対し、補題 7.4［局所コンパクト空間］ により $e$ の開近傍 $W$ で $WW\subseteq V$ となるものがとれる。$(x,y),(y,z)\in U_W$ なら $x^{-1}z=(x^{-1}y)(y^{-1}z)\in WW\subseteq V$ で、$U_W\circ U_W\subseteq U_V$。一様位相：$U_V[x]=\{y:x^{-1}y\in V\}=xV$ で、左移動 $y\mapsto xy$ は同相写像（逆写像は $y\mapsto x^{-1}y$、どちらも乗法の連続性から連続）なので、$\{xV\}_V$ は群の位相における $x$ の近傍系をなす。命題 2.5 の (1) により、一様位相の近傍系も同じ。

(2) $\bigcap_VU_V=\{(x,y):x^{-1}y\in\bigcap V\}$（$V$ は $e$ の近傍全体を動く）。$G$ がハウスドルフなら、$g\ne e$ に対し $e$ の近傍 $V\not\ni g$ があるので $\bigcap V=\{e\}$ で、$\bigcap U_V=\Delta$。逆に $\mathcal{U}_L$ が分離的なら、一様位相（$=G$ の位相、(1)）は 命題 2.5 の (4) によりハウスドルフ。

(3) $K$ を $f$ の台（$f\ne0$ の閉包）とし、$\varepsilon>0$ とする。各 $x\in K$ について、$f$ の連続性と (1) から $e$ の開近傍 $V_x$ で、$y\in xV_x$ ならば $|f(y)-f(x)|<\varepsilon/2$ となるものがある。補題 7.4［局所コンパクト空間］ で、対称な開近傍 $W_x$ を $W_xW_x\subseteq V_x$ ととる。$\{xW_x\}_{x\in K}$ は $K$ の開被覆なので、有限個 $x_1,\dots,x_n$ で $K\subseteq\bigcup x_iW_{x_i}$。$W=\bigcap_iW_{x_i}$（対称）とおく。$x^{-1}y\in W$ とする。$x\in K$ なら、ある $i$ で $x\in x_iW_{x_i}$、$|f(x)-f(x_i)|<\varepsilon/2$。$y=x(x^{-1}y)\in x_iW_{x_i}W\subseteq x_iW_{x_i}W_{x_i}\subseteq x_iV_{x_i}$ なので $|f(y)-f(x_i)|<\varepsilon/2$、よって $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。$y\in K$ なら、$y^{-1}x=(x^{-1}y)^{-1}\in W^{-1}=W$ で、$x,y$ の役割を入れ替えて同じ議論ができる。どちらも $K$ に入らなければ $f(x)=f(y)=0$。

∎

右一様構造 $\{(x,y):xy^{-1}\in V\}$ も同様に定義でき、一般には左一様構造と異なります。位相線形空間 $E$（定義 2.1［局所凸空間と弱位相］）は加法について位相群なので、同じ構成で（加法は可換なので左右の区別なく）一様構造をもち、この一様構造に関する完備性が Fréchet 空間・Banach 空間の完備性です。

注意 6.2

一様構造は「小さいスケールでの近さ」の一様な比較を与えますが、「大きいスケールでの近さ」を一様に比較する枠組みもあり、粗構造（coarse structure）と呼ばれます。粗構造は、対角線を含み、部分集合・有限個の合併・合成・逆で閉じる $X\times X$ の部分集合（「有界な近縁」）の族として定義され、一様構造とは「小さい集合ほど細かい」という向きが逆になります。群の語法でいえば、一様構造は単位元のまわりの小さい近傍 $V$ による $\{(x,y):x^{-1}y\in V\}$ で決まり、粗構造は有限生成群なら語の長さが一定以下の元の集まり（有限集合）$F$ による $\{(x,y):x^{-1}y\in F\}$ で決まります。粗構造は粗幾何（群の漸近幾何・指数定理）で使われますが、この記事の定理はそれを使いません。

7. 演習

演習 7.1易

一様連続写像 $f:X\to Y$、$g:Y\to Z$ の合成 $g\circ f$ が一様連続であることを示してください。また、一様連続写像が連続であることを、近縁の言葉で確かめてください。

解答

$W\in\mathcal{W}$（$Z$ の近縁）に対し、$(g\times g)^{-1}(W)\in\mathcal{V}$（$g$ の一様連続性）、したがって $(f\times f)^{-1}\bigl((g\times g)^{-1}(W)\bigr)\in\mathcal{U}$（$f$ の一様連続性）。この集合は $((g\circ f)\times(g\circ f))^{-1}(W)$ に等しいので、$g\circ f$ は一様連続である。連続性は、本文のとおり $x\in X$、$V\in\mathcal{V}$ に対し $U=(f\times f)^{-1}(V)\in\mathcal{U}$ とおくと $U[x]\subseteq f^{-1}(V[f(x)])$ となることから従う。

演習 7.2標準

全有界な一様空間 $X$ の一様連続写像による像 $f(X)\subseteq Y$（部分空間の一様構造）が全有界であることを示してください。

解答

$V$ を $Y$ の近縁とする。$(f\times f)^{-1}(V)$ は $X$ の近縁なので、有限集合 $A\subseteq X$ で $X=(f\times f)^{-1}(V)[A]$ となる。$y=f(x)\in f(X)$ に対し、ある $a\in A$ で $(a,x)\in(f\times f)^{-1}(V)$、すなわち $(f(a),y)\in V$。よって $f(X)\subseteq V[f(A)]$ で、$f(A)$ は有限集合。部分空間の近縁は $V\cap(f(X)\times f(X))$ の形（$V$ は $Y$ の近縁を動く）なので、$f(X)=(V\cap(f(X)\times f(X)))[f(A)]$、すなわち $f(X)$ は全有界である。

演習 7.3標準

集合 $X$ に離散一様構造（$\Delta$ を含む集合の全体）を入れる。(a) 一様位相は離散位相であること、(b) 任意の写像 $X\to Y$ は一様連続であること、(c) $X$ が全有界であることと有限であることが同値であること、(d) $X$ は完備であること、を示してください。(c)(d) から、定理 4.3 の結論は何を述べていますか。

解答

(a) $\Delta[x]=\{x\}$ で $\Delta$ は近縁なので、$\{x\}$ は開。(b) $(f\times f)^{-1}(V)\supseteq\Delta_X$ なので近縁。(c) 全有界なら $\Delta$ に対して $X=\Delta[A]=A$ となる有限集合 $A$ があり $X$ は有限。逆は明らか。(d) $\mathcal{F}$ を Cauchy フィルターとすると、$\Delta$ に対し $F\times F\subseteq\Delta$ なる $F\in\mathcal{F}$ があり、$F$ は 1 点集合 $\{x\}$。$\{x\}\in\mathcal{F}$ から $\mathcal{N}(x)\subseteq\mathcal{F}$（$x$ を含むすべての集合が $\mathcal{F}$ に属す）で $\mathcal{F}\to x$。したがって離散一様空間は完備で、コンパクトであることと全有界であること（有限であること）が同値という、離散空間のコンパクト性の特徴づけ（有限集合）を再現する。

演習 7.4標準

$\mathbb{R}$ の通常の一様構造について、$f(x)=x^2$ が一様連続でないことを示してください。また、$f$ は $\mathbb{R}$ の各有界閉区間に制限すれば一様連続であることを、定理 4.4 から説明してください。

解答

$x_n=n$、$y_n=n+1/n$ とすると $|x_n-y_n|=1/n\to0$ だが $|f(y_n)-f(x_n)|=2+1/n^2\ge2$。よって $\varepsilon=1$ に対し $\delta$ が存在しない。有界閉区間 $[-n,n]$ はコンパクト（定理 5.2［コンパクト性］）で、$f$ はそこで連続なので、定理 4.4 の (2) により一様連続である。

参考文献

• N. Bourbaki, General Topology, Chapters 1–4, Springer, 1998（原著 1940 年代〜）— 第 II 章（一様構造）。
• J. L. Kelley, General Topology, Springer GTM 27, 1975 — 第 6 章（一様空間）。
• S. Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970 — 第 9 章（一様空間）。
• R. Engelking, General Topology, Heldermann, 1989 — 第 8 章（一様空間）。