Cauchy フィルター・完備・全有界

$(X,\mathcal{U})$ を一様空間とします。

1. $X$ 上のフィルター $\mathcal{F}$（定義 5.5［積位相・商位相と Tychonoff の定理］）が Cauchy フィルターであるとは、任意の $U\in\mathcal{U}$ に対し $F\times F\subseteq U$ となる $F\in\mathcal{F}$ が存在することをいう。$X$ のネット $(x_\lambda)$ が Cauchy ネットであるとは、任意の $U\in\mathcal{U}$ に対し、$\lambda_0$ が存在して $\lambda,\mu\ge\lambda_0$ ならば $(x_\lambda,x_\mu)\in U$ となることをいう。これは、尾のフィルター（定義 4.1［ネットとフィルターによる収束］）が Cauchy フィルターであることと同値である。
2. $X$ が完備であるとは、すべての Cauchy フィルターが（一様位相で）収束することをいう。
3. $X$ が全有界であるとは、任意の $U\in\mathcal{U}$ に対し、有限集合 $A\subseteq X$ で $X=U[A]$ となるものが存在することをいう。