Cauchy フィルターの基本性質

$(X,\mathcal{U})$ を一様空間とします。

1. 収束するフィルターは Cauchy フィルターである。
2. Cauchy フィルター $\mathcal{F}$ が集積点 $x$（すべての $F\in\mathcal{F}$ について $x\in\overline{F}$）をもてば、$\mathcal{F}$ は $x$ に収束する。
3. $f:X\to Y$ が一様連続で $\mathcal{F}$ が $X$ の Cauchy フィルターならば、$\{f(F):F\in\mathcal{F}\}$ はフィルター基で、それが生成する $Y$ 上のフィルターは Cauchy である。
4. 距離空間 $(X,d)$ について、距離として完備（Cauchy 列がすべて収束する）であることと、一様空間 $(X,\mathcal{U}_d)$ として完備であることは同値である。