一様連続写像・一様同型・一様埋め込み

$(X,\mathcal{U})$、$(Y,\mathcal{V})$ を一様空間とします。

1. 写像 $f:X\to Y$ が一様連続であるとは、任意の近縁 $V\in\mathcal{V}$ に対し $(f\times f)^{-1}(V)=\{(x,x'):(f(x),f(x'))\in V\}\in\mathcal{U}$ となることをいいます。
2. 全単射 $f$ で、$f$ と $f^{-1}$ がともに一様連続なものを一様同型といいます。
3. 部分集合 $A\subseteq X$ には、部分空間の一様構造 $\mathcal{U}|_A=\{U\cap(A\times A):U\in\mathcal{U}\}$ を入れます。単射 $f:X\to Y$ が一様埋め込みであるとは、$f$ が $X$ から $f(X)$（$\mathcal{V}|_{f(X)}$ を入れたもの）への一様同型であることをいいます。
4. 擬距離 $d$ が $\mathcal{U}$ に関して一様連続であるとは、任意の $\varepsilon>0$ に対し $\{(x,y):d(x,y)<\varepsilon\}\in\mathcal{U}$ となることをいいます。