距離空間：完備化・Baire のカテゴリー定理・縮小写像の原理・コンパクト性

0. この記事の要点

ある数列が収束するかどうかを、極限の値を知らないまま判定できる。これが実数の完備性でした。この記事では、その見方が数直線だけでなく、関数全体の集まりのような「距離の測れる集合」でも使えることを示します。読み終えると、方程式を反復で解く方法（縮小写像の原理）と、「ほとんどすべて」の元がもつ性質を示す方法（Baire の定理）を、証明つきで使えるようになります。

• 実数の完備性（コーシー列は収束する）は、「距離」さえあれば意味をもつ性質です。距離空間では、点列の収束・コーシー列・完備性を $\mathbb{R}$ とまったく同じ言葉で定義できます。$\mathbb{R}^n$、連続関数の空間 $C[a,b]$（一様ノルム）、$L^p$ 空間（$p$ 乗が積分できる関数の空間）はみな完備な距離空間です。
• 完備化：どんな距離空間 $X$ も、$X$ を稠密な部分集合（$\hat{X}$ のどの点のそばにも $X$ の点がある）として含む完備距離空間 $\hat{X}$ に埋め込め、しかも $\hat{X}$ は（等長同型、つまり距離を保つ一対一対応を除いて）ただ一つです。$\mathbb{Q}$ から $\mathbb{R}$ を作る操作の一般化です。
• コンパクト性の同値条件：距離空間 $X$ について、「点列コンパクト」「開被覆コンパクト」「完備かつ全有界（どんなに小さな $\varepsilon$ でも、半径 $\varepsilon$ の球が有限個あれば全体を覆える）」は同値です。有界閉集合がコンパクトになるのは $\mathbb{R}^n$ の特殊事情だと分かります。
• Baire のカテゴリー定理：完備距離空間では、稠密な開集合の可算個の共通部分はまた稠密です。「ちょうど有理点でだけ連続な関数は存在しない」ことも、これで証明できます。
• 縮小写像の原理（Banach の不動点定理）：完備距離空間上の縮小写像はただ一つの不動点をもち、反復で近似できます。常微分方程式の初期値問題の解の存在と一意性（ピカール–リンデレーフの定理）が、この定理の応用として出ます。

この記事で使う事前知識

• コーシー列: 項どうしが、先へ進むほどいくらでも近づく列。実数ではこれが必ず収束する（完備性）。→ 実数の完備性とコーシー列
• 部分列: 元の列から、順序を保って無限個の項を取り出した列。→ 部分列
• 一様収束: 関数列が、区間のすべての点で同時に同じ精度で極限に近づく収束。→ 一様収束
• 一様連続性: 近さの目安 $\delta$ が、点によらず取れる連続性。→ 一様連続性
• 同値類: 同値関係で「同じ」とみなす元を一まとめにした集まり。→ 同値類
• 開集合・閉集合: 各点のまわりに小さな球が丸ごと入る集合が開集合、その補集合が閉集合。→ 距離空間の開集合

1. 動機 — 「点列」を「関数」にも使いたい

実数の完備性とコーシー列 で、$\mathbb{R}$ の完備性は解析のあらゆる存在定理の源だと見ました。コーシーの収束判定法（定理 7.3）［実数の完備性とコーシー列］ のおかげで、極限値を先に知らなくても、近づき合う点列があれば極限が存在すると言えます。

次に 関数列と一様収束 では、関数の列にも同じ議論を通しました。一様コーシー列は一様収束する（定理 6.2）［関数列と一様収束］ ことと、一様収束極限の連続性（定理 4.1）［関数列と一様収束］ を組み合わせると、「連続関数の一様コーシー列の極限はまた連続関数」になります。これは、連続関数全体を一つの「空間」と見て、その中で点列の極限をとっても外に出ないという主張です。

ここで次の観察が効いてきます。この議論で使われたのは「関数の差の大きさ $\sup|f-g|$」という距離だけで、実数の加減乗除や関数の連続性という中身は、完備性の証明の核心では要りません。距離という最小限の構造だけを取り出せば、

1. 方程式 $x = T(x)$ を、点列 $x, T(x), T(T(x)), \ldots$ の極限として解く（不動点定理）。
2. 「ほとんどすべての」元がもつ性質を、可算個の条件の共通部分として捉える（Baire の定理）。
3. 欠けている極限を補って「完全な」空間を作る（完備化）。
4. 有限個の情報から無限の情報を制御する（コンパクト性）。

という四つの道具が、$\mathbb{R}$ にも関数空間にも同時に使える形で手に入ります。この記事の目標は、この四つを証明つきで整えることです。以降の記事（Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass、$L^p$ 空間や関数解析）は、すべてここで用意する言葉の上に立っています。

2. 距離空間・収束・完備性

2.1. 定義

定義 2.1（距離空間）↗

集合 $X$ 上の関数 $d : X \times X \to [0, \infty)$ が次の三条件を満たすとき、距離（metric）といい、組 $(X, d)$ を距離空間という。すべての $x, y, z \in X$ について

1. $d(x, y) = 0 \iff x = y$,
2. $d(x, y) = d(y, x)$,
3. $d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)$（三角不等式）。

$x \in X$、$r > 0$ に対し $B(x, r) = \{\, y \in X \mid d(x, y) < r \,\}$ を開球、$\bar{B}(x, r) = \{\, y \in X \mid d(x, y) \le r \,\}$ を閉球と呼ぶ。部分集合 $A \subset X$ が開集合であるとは、すべての $a \in A$ に対して $B(a, r) \subset A$ となる $r > 0$ が存在することをいい、補集合が開集合であるものを閉集合という。

$\mathbb{R}^n$ のユークリッド距離はもちろん例です。ほかにも次の例を使います。

• 離散距離：$d(x, y) = 1$（$x \ne y$）、$d(x,x) = 0$。
• 一様距離：有界閉区間 $[a, b]$ 上の連続関数全体 $C[a, b]$ に $d_\infty(f, g) = \max_{t \in [a,b]} |f(t) - g(t)|$。三角不等式は各点での三角不等式から従います（関数列と一様収束 の 一様ノルム（定義 2.1）［関数列と一様収束］ を参照）。
• 積分距離：$C[0, 1]$ に $d_1(f, g) = \int_0^1 |f - g|\,dt$。
• $X$ の部分集合 $A$ には、$d$ を制限した距離が入ります。

距離空間の開集合・閉集合の性質は 位相空間の定義と基本概念 で詳しく扱っています。ここでは点列による言い換えだけを使います。

定義 2.2（収束・コーシー列・完備性）↗

距離空間 $(X, d)$ の点列 $(x_n)$ が $x \in X$ に収束するとは、$d(x_n, x) \to 0$ であること、すなわち任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $N$ があって $n \ge N$ ならば $d(x_n, x) < \varepsilon$ となることをいう。点列 $(x_n)$ がコーシー列であるとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $N$ があって $m, n \ge N$ ならば $d(x_m, x_n) < \varepsilon$ となることをいう。$X$ のコーシー列がすべて $X$ の点に収束するとき、$X$ は完備であるという。

収束列はコーシー列です（$d(x_m, x_n) \le d(x_m, x) + d(x, x_n)$）。逆が成り立つかどうかが完備性の問いです。極限の一意性は $d(x, y) \le d(x, x_n) + d(x_n, y) \to 0$ から従います。

命題 2.3（閉集合と点列、完備部分空間）✓

$(X, d)$ を距離空間、$A \subset X$ とする。

1. $A$ が閉集合であることは、「$A$ の点列 $(a_n)$ が $x \in X$ に収束するならば $x \in A$」と同値である。
2. $X$ が完備で $A$ が閉集合ならば、$A$（制限した距離）も完備である。
3. $A$ が（制限した距離で）完備ならば、$A$ は $X$ の閉集合である。

証明（命題 2.3）

(1) $A$ が閉集合で $a_n \to x$、$x \notin A$ とする。$X \setminus A$ は開集合だから $B(x, r) \subset X \setminus A$ となる $r > 0$ があるが、$n$ が大きければ $a_n \in B(x, r)$ なので矛盾する。逆に、点列条件が成り立つのに $X \setminus A$ が開でないとすると、ある $x \in X \setminus A$ ですべての $B(x, 1/n)$ が $A$ の点 $a_n$ を含む。$a_n \to x$ なので条件から $x \in A$ となり矛盾する。

(2) $A$ のコーシー列は $X$ のコーシー列だから $X$ の点 $x$ に収束し、(1) から $x \in A$。

(3) $a_n \in A$、$a_n \to x \in X$ とする。収束列はコーシー列だから、$A$ の完備性より $(a_n)$ は $A$ のある点に収束する。極限の一意性から、その点は $x$ である。よって $x \in A$ で、(1) から $A$ は閉集合。

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2.2. 完備な空間・完備でない空間

命題 2.4（連続関数の空間 C[a,b] は一様距離で完備）✓

$a < b$ とする。$[a,b]$ 上の実数値連続関数の全体 $C[a,b]$ は、一様距離 $d_\infty(f,g) = \max_{[a,b]}|f-g|$ に関して完備である。

証明（命題 2.4）

$(f_n)$ が $d_\infty$ でコーシー列なら一様コーシー列だから、定理 6.2［関数列と一様収束］ によりある関数 $f$ に一様収束し、定理 4.1［関数列と一様収束］ により $f$ は連続です。つまり $f \in C[a, b]$ で $d_\infty(f_n, f) \to 0$ です。

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例 2.5（完備な空間と完備でない空間）

(a) $\mathbb{R}$ は完備、$\mathbb{Q}$ は完備でない。 前者は 定理 7.3［実数の完備性とコーシー列］、後者はニュートン法で作った $\sqrt{2}$ に近づく有理数のコーシー列（例 7.4［実数の完備性とコーシー列］）が示します。

(b) $\mathbb{R}^n$ は完備。 $(x^{(k)})$ をユークリッド距離でのコーシー列とすると、各成分 $|x^{(k)}_i - x^{(l)}_i| \le \|x^{(k)} - x^{(l)}\|$ から各成分列が $\mathbb{R}$ のコーシー列なので収束し、その極限を並べた点に $\|\cdot\|$ で収束します。

(c) $(C[a,b], d_\infty)$ は完備。 $(f_n)$ が $d_\infty$ でコーシー列なら一様コーシー列だから、定理 6.2［関数列と一様収束］ によりある関数 $f$ に一様収束し、定理 4.1［関数列と一様収束］ により $f$ は連続です。つまり $f \in C[a, b]$ で $d_\infty(f_n, f) \to 0$ です。

(d) $(C[0,1], d_1)$ は完備でない。 階段状に $0$ から $1$ へ上がる連続関数 $f_n$（$[0, 1/2 - 1/n]$ で $0$、$[1/2, 1]$ で $1$、間は線形）を考えると、$m < n$ で $d_1(f_m, f_n) \le 1/m$ となってコーシー列ですが、連続関数には収束しません（詳しくは 例 1.1［L^p 空間と関数解析への導入］）。同じ集合 $C[0,1]$ でも、距離の選び方で完備性は変わります。

完備でない空間があるなら、「欠けている極限を足して完備にする」ことを考えたくなります。これが次の節です。

3. 完備化

定義 3.1（等長写像と完備化）↗

距離空間 $(X, d_X)$ から $(Y, d_Y)$ への写像 $\iota$ が等長写像であるとは、すべての $x, x' \in X$ で $d_Y(\iota(x), \iota(x')) = d_X(x, x')$ が成り立つことをいう（このとき $\iota$ は単射）。距離空間 $X$ の完備化とは、完備距離空間 $Y$ と、像 $\iota(X)$ が $Y$ で稠密であるような等長写像 $\iota : X \to Y$ の組 $(Y, \iota)$ のことである。ここで $A \subset Y$ が稠密とは、任意の $y \in Y$ と $\varepsilon > 0$ に対して $d(y, a) < \varepsilon$ となる $a \in A$ が存在することをいう。

定理 3.2（完備化の存在と一意性）✓

任意の距離空間 $X$ は完備化 $(\hat{X}, \iota)$ をもつ。さらに $(Y, j)$ が $X$ の別の完備化ならば、全単射な等長写像 $\varphi : \hat{X} \to Y$ で $\varphi \circ \iota = j$ を満たすものが（ただ一つ）存在する。

証明の発想は、$\mathbb{Q}$ から $\mathbb{R}$ を作る古典的な構成（コーシー列の同値類）そのものです。「欠けている極限」を、「近づき合う点列」自身で代用します。

証明（定理 3.2）

(存在) $X$ のコーシー列全体を $\mathcal{C}$ とし、$\mathcal{C}$ に関係 $(x_n) \sim (y_n) \iff d(x_n, y_n) \to 0$ を入れる。反射律・対称律は明らか、推移律は三角不等式 $d(x_n, z_n) \le d(x_n, y_n) + d(y_n, z_n)$ から従う。同値類全体を $\hat{X} = \mathcal{C}/{\sim}$ とする。

距離の定義。 コーシー列 $(x_n), (y_n)$ に対し、

$$|d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)| \le d(x_n, x_m) + d(y_n, y_m)$$

（三角不等式を 2 回使えば得られる）なので、実数列 $(d(x_n, y_n))_n$ は $\mathbb{R}$ のコーシー列であり、定理 7.3［実数の完備性とコーシー列］ により収束する。そこで $\hat{d}([x], [y]) = \lim_{n \to \infty} d(x_n, y_n)$ と定める。代表元を $(x_n) \sim (x'_n)$、$(y_n) \sim (y'_n)$ に取り替えても、$|d(x_n, y_n) - d(x'_n, y'_n)| \le d(x_n, x'_n) + d(y_n, y'_n) \to 0$ なので値は変わらない（well-defined）。距離の公理を確かめる。対称性は明らか。三角不等式は $d(x_n, z_n) \le d(x_n, y_n) + d(y_n, z_n)$ の両辺で $n \to \infty$ とすればよい。$\hat{d}([x], [y]) = 0$ は定義そのものにより $(x_n) \sim (y_n)$、すなわち $[x] = [y]$ と同値である。

埋め込み。 $\iota(a)$ を定数列 $(a, a, a, \ldots)$ の類とする。$\hat{d}(\iota(a), \iota(b)) = d(a, b)$ だから $\iota$ は等長写像である。

稠密性。 $\xi = [(x_n)] \in \hat{X}$ と $\varepsilon > 0$ をとる。$(x_n)$ はコーシー列だから、ある $N$ があって $m, n \ge N$ で $d(x_m, x_n) < \varepsilon$。$k \ge N$ とすると $\hat{d}(\iota(x_k), \xi) = \lim_{n} d(x_k, x_n) \le \varepsilon$。よって $\iota(X)$ は稠密であり、特に $\iota(x_k) \to \xi$ である。

完備性。 $(\xi_k)$ を $\hat{X}$ のコーシー列とする。稠密性から、各 $k$ に対して $a_k \in X$ を $\hat{d}(\xi_k, \iota(a_k)) < 1/k$ ととれる。すると

$$d(a_k, a_l) = \hat{d}(\iota(a_k), \iota(a_l)) \le \tfrac{1}{k} + \hat{d}(\xi_k, \xi_l) + \tfrac{1}{l}$$

だから $(a_k)$ は $X$ のコーシー列である。$\xi = [(a_k)]$ とおく。稠密性の項で見たとおり $\iota(a_k) \to \xi$ なので、$\hat{d}(\xi_k, \xi) \le \hat{d}(\xi_k, \iota(a_k)) + \hat{d}(\iota(a_k), \xi) \le 1/k + \hat{d}(\iota(a_k), \xi) \to 0$。よって $\xi_k \to \xi$ であり、$\hat{X}$ は完備である。

(一意性) $(Y, j)$ を別の完備化とする。$\xi = [(a_n)] \in \hat{X}$ に対し、$j$ が等長写像だから $(j(a_n))$ は $Y$ のコーシー列であり、$Y$ の完備性により収束する。その極限を $\varphi(\xi)$ とおく。同値な代表元 $(a'_n) \sim (a_n)$ をとっても $d_Y(j(a_n), j(a'_n)) = d(a_n, a'_n) \to 0$ だから極限は同じで、$\varphi$ は well-defined。定義から $\varphi(\iota(a)) = j(a)$（定数列）である。距離の保存：$d_Y(\varphi(\xi), \varphi(\eta)) = \lim_n d_Y(j(a_n), j(b_n)) = \lim_n d(a_n, b_n) = \hat{d}(\xi, \eta)$。したがって $\varphi$ は等長写像であり、特に単射。なお $\varphi \circ \iota = j$ を満たす連続写像は $\varphi$ に限る：$\iota(a_n) \to \xi$（稠密性の項）だから、そのような $\psi$ は $\psi(\xi) = \lim_n \psi(\iota(a_n)) = \lim_n j(a_n)$ を満たし、$\psi = \varphi$ である。全射性：$y \in Y$ に対し、$j(X)$ が稠密だから $d_Y(y, j(a_n)) < 1/n$ となる $a_n \in X$ がとれる。$(j(a_n))$ は収束列なのでコーシー列、等長性から $(a_n)$ も $X$ のコーシー列であり、$\varphi([(a_n)]) = y$。

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注意 3.3（完備化の例）

$X = \mathbb{Q}$（通常の距離）の完備化は $\mathbb{R}$ です。この見方では、実数とは有理コーシー列の同値類にほかなりません。$X = (C[0,1], d_1)$ の完備化は、ルベーグ可積分関数の空間 $L^1[0,1]$ と同一視できます（$L^p$ 空間と関数解析への導入 の 注意 7.1［L^p 空間と関数解析への導入］ で述べる $C[0,1]$ の稠密性が、この同一視の中身です）。リーマン積分の枠組みでは完備にならなかった空間を、ルベーグ積分は完備化として与えている、とも読めます。

また、一意性は「完備化はどんな構成法でも同じもの」という意味ですが、等長同型を除いてです。コーシー列を使う構成が唯一の方法なのではなく、$\mathbb{Q}$ に対してデデキント切断で $\mathbb{R}$ を作っても同じ結果になります。

4. 全有界性とコンパクト性

有界閉区間 $[a,b]$ では、すべての点列が収束部分列をもちます（ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理（定理 6.3）［実数の完備性とコーシー列］）。この性質を一般の距離空間に持ち出し、$\mathbb{R}^n$ での「有界閉集合」に代わる条件を調べます。

定義 4.1（全有界・点列コンパクト・コンパクト）↗

距離空間 $X$ について次を定義する。

• $X$ が全有界であるとは、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、有限個の点 $p_1, \ldots, p_m \in X$ があって $X = \bigcup_{i=1}^{m} B(p_i, \varepsilon)$ となることをいう。
• $X$ が点列コンパクトであるとは、$X$ の任意の点列が $X$ の点に収束する部分列をもつことをいう。
• $X$ がコンパクトであるとは、$X$ の開集合の族 $\{U_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda}$ が $X = \bigcup_\lambda U_\lambda$ を満たすとき、有限個の $\lambda_1, \ldots, \lambda_m$ で $X = U_{\lambda_1} \cup \cdots \cup U_{\lambda_m}$ となるものが選べることをいう。

全有界なら有界ですが、逆は成り立ちません（離散距離を入れた無限集合は有界だが全有界でない：$\varepsilon = 1/2$ の球は 1 点しか含まない）。コンパクトの定義は コンパクト性 の 定義 3.2［コンパクト性］ と同じものです。

全有界性のイメージ。平面の正方形（空間の例）を、同じ半径の 9 個の球（円）で覆っています。半径をもっと小さくしても、有限個の球で覆えることが全有界です。

次の補題は、開被覆のそれぞれの開集合に入る「小さい集合」の大きさを、被覆だけで決まる一つの $\delta$ でそろえて測れる、という主張です。定理の (1) ⇒ (3) で、全有界性と組み合わせて有限個の開集合による被覆を作るために使います。

補題 4.2（ルベーグ数の補題）✓

$X$ を点列コンパクトな距離空間、$\{U_\lambda\}$ を $X$ の開被覆とする。このとき $\delta > 0$ が存在して、直径が $\delta$ 未満の $X$ の任意の部分集合（すなわち $A$ で $\sup_{x,y \in A} d(x,y) < \delta$ となるもの）は、ある $U_\lambda$ に含まれる。

証明（補題 4.2）

そのような $\delta$ が存在しないとすると、各 $n$ に対して、直径が $1/n$ 未満なのにどの $U_\lambda$ にも含まれない集合 $A_n$ がある。$X = \emptyset$ なら自明なので $X \ne \emptyset$ とする。このとき被覆は空でなく、空集合は $U_\lambda$ に含まれるから、$A_n$ は空でない。$x_n \in A_n$ をとる。点列コンパクト性により部分列 $x_{n_k} \to x \in X$ がとれる。$x \in U_\lambda$ となる $\lambda$ をとり、$B(x, r) \subset U_\lambda$ となる $r > 0$ を選ぶ。$k$ を十分大きくとって $d(x_{n_k}, x) < r/2$ かつ $1/n_k < r/2$ とすると、$A_{n_k}$ の任意の点 $y$ は $d(y, x) \le d(y, x_{n_k}) + d(x_{n_k}, x) < r/2 + r/2 = r$ を満たす。よって $A_{n_k} \subset B(x, r) \subset U_\lambda$ となり、$A_{n_k}$ の選び方に反する。

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定理 4.3（距離空間のコンパクト性の同値条件）✓

距離空間 $X$ について、次の三つは同値である。

1. $X$ は点列コンパクトである。
2. $X$ は完備かつ全有界である。
3. $X$ はコンパクトである。

証明は (1) ⇒ (2) ⇒ (1) と、(1) ⇒ (3) ⇒ (1) の二組で進みます。(2) ⇒ (1) の方針は、全有界性を使って、無限個の項を含む半径 $1$ の球、その中で無限個の項を含む半径 $1/2$ の球、…と、前の段の部分列の中から次の段の部分列を選んで絞り込むことです。各段から一つずつ項を取って並べた列は互いに近づき合うコーシー列になり、完備性で収束します。

証明（定理 4.3）

(1) ⇒ (2)。 完備性：コーシー列 $(x_n)$ は収束部分列 $x_{n_k} \to x$ をもつ。$\varepsilon > 0$ に対し $N$ を、$m, n \ge N$ で $d(x_m, x_n) < \varepsilon/2$ となるようにとり、$n_k \ge N$ かつ $d(x_{n_k}, x) < \varepsilon/2$ となる $k$ を選ぶと、$n \ge N$ で $d(x_n, x) \le d(x_n, x_{n_k}) + d(x_{n_k}, x) < \varepsilon$。よって $x_n \to x$。全有界性：ある $\varepsilon > 0$ に対して有限個の $\varepsilon$ 球では $X$ を覆えないとする。$X \ne \emptyset$ とし、任意に $y_1 \in X$ をとる。$y_1, \ldots, y_k$ が決まったとき、$B(y_1, \varepsilon) \cup \cdots \cup B(y_k, \varepsilon) \ne X$ なので、これらのどの球にも入らない $y_{k+1}$ がとれる。こうして $m \ne n$ ならば $d(y_m, y_n) \ge \varepsilon$ となる点列 $(y_n)$ ができる。この点列のどの部分列もコーシー列になれないから収束しない。点列コンパクト性に反する。

(2) ⇒ (1)。 $(x_n)$ を全有界な完備空間 $X$ の点列とする。$X$ は半径 $1$ の有限個の球で覆われるので、そのうちの一つは $x_n$ を無限個含む。それらの項を取り出した部分列を $S_1$ とする。$S_1$ は半径 $1/2$ の有限個の球で覆われるから、その一つが $S_1$ の項を無限個含む。それらを取り出した $S_1$ の部分列を $S_2$ とする。以下同様に、$S_k$ が半径 $1/k$ の球に含まれる部分列 $S_k$ の部分列として $S_{k+1}$ を作る。$y_k$ を $S_k$ の第 $k$ 項とする。$S_{k+1}$ が $S_k$ の部分列なので、$y_{k+1}$ の元の番号は $y_k$ のそれより大きく、$(y_k)$ は $(x_n)$ の部分列である。$k < l$ のとき、$y_k$ も $y_l$ も $S_k$ の項だから、半径 $1/k$ の同じ球に入っていて $d(y_k, y_l) < 2/k$。よって $(y_k)$ はコーシー列であり、$X$ の完備性から収束する。

(1) ⇒ (3)。 $\{U_\lambda\}$ を開被覆とし、補題 4.2 の $\delta$ をとる。(1) ⇒ (2) より $X$ は全有界だから、$X$ は有限個の球 $B(p_i, \delta/3)$（$i = 1, \ldots, m$）で覆われる。各球の直径は $2\delta/3 < \delta$ なので、ある $\lambda_i$ に対して $B(p_i, \delta/3) \subset U_{\lambda_i}$。よって $X = U_{\lambda_1} \cup \cdots \cup U_{\lambda_m}$。

(3) ⇒ (1)。 $(x_n)$ が収束部分列をもたないとする。すると、どの $x \in X$ に対しても、ある $r_x > 0$ があって $\{n \mid x_n \in B(x, r_x)\}$ は有限集合である。（そうでなければ、すべての $r$ について $x_n \in B(x, r)$ となる $n$ が無限個あるので、$n_1 < n_2 < \cdots$ を $x_{n_k} \in B(x, 1/k)$ となるように選べて、$x_{n_k} \to x$ となってしまう。）$\{B(x, r_x)\}_{x \in X}$ は開被覆だから、有限個 $B(z_1, r_{z_1}), \ldots, B(z_m, r_{z_m})$ で $X$ が覆われる。すべての $n$ について $x_n$ はこれらのどれかに入るが、各球に入る $n$ は有限個だから、自然数全体が有限集合になって矛盾する。

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例 4.4（$\mathbb{R}^n$ の有界閉集合と $\ell^2$ の閉単位球）

(a) $\mathbb{R}^n$ の有界閉集合 $K$ はコンパクト（ハイネ・ボレル）。 $K \subset [-M, M]^n$ とする。$\varepsilon > 0$ に対し、各辺を長さ $\varepsilon/\sqrt{n}$ 以下の有限個の区間に分割すると、$[-M, M]^n$ は直径 $\varepsilon$ 以下の有限個の小直方体に分かれる。$K$ と交わる小直方体のそれぞれから $K$ の点を一つずつ選ぶと、その点を中心とする半径 $2\varepsilon$ の有限個の球で $K$ が覆われる。$\varepsilon$ は任意なので $K$ は全有界。$K$ は完備な $\mathbb{R}^n$ の閉集合だから 命題 2.3 (2) で完備。定理 4.3 より $K$ はコンパクトである。この結果は 定理 5.2［コンパクト性］ と同じ定理を、別の道で示したものです。

(b) 無限次元では有界閉集合はコンパクトでない。 数列空間 $\ell^2 = \{(a_k) \mid \sum |a_k|^2 < \infty\}$ に距離 $d(a, b) = (\sum |a_k - b_k|^2)^{1/2}$ を入れる。単位ベクトル $e_n$（第 $n$ 成分のみ $1$）は $m \ne n$ で $d(e_m, e_n) = \sqrt{2}$ をみたす。したがって、閉単位球 $\bar{B}(0, 1)$ は $\varepsilon < \sqrt{2}/2$ の球で有限個では覆えず、全有界でない。閉かつ有界なのにコンパクトでないわけです。「有界閉集合がコンパクト」は、有限次元の事情であって、距離空間の一般論ではありません。

コンパクト距離空間上の連続関数が最大値をとること、一様連続になることは、定理 4.3 の（1）を使えば、連続関数と一様連続性 で $[a,b]$ に対して行った議論がそのまま通ります。次の記事では、コンパクト距離空間 $K$ 上の連続関数の空間 $C(K)$ を主役にします。

5. Baire のカテゴリー定理

完備性が生む第二の道具です。有限個の稠密な開集合の共通部分は稠密な開集合ですが、可算無限個では開集合でなくなります。完備性があれば、それでも稠密性が保たれます。

定理 5.1（Baire のカテゴリー定理）✓

$(X, d)$ を空でない完備距離空間とし、$U_1, U_2, \ldots$ を $X$ の稠密な開集合とする。このとき $\bigcap_{n=1}^{\infty} U_n$ は $X$ で稠密である。特に $\bigcap_n U_n \ne \emptyset$ である。

証明の方針は、与えられた開集合 $V$ の中に閉球を取り、その中にさらに小さな閉球を取り、と入れ子に縮めていくことです。各段で $U_n$ の中に入るように取るので、すべての閉球に共通して含まれる点は $U_n$ すべてに属します。半径を $1/n$ 未満に縮めるのは、球の中心の列がコーシー列になるようにするためで、完備性によってその極限が存在します。

証明（定理 5.1）

$V \subset X$ を空でない開集合とする。$V \cap \bigcap_n U_n \ne \emptyset$ を示せばよい。

$U_1$ は稠密で $V$ は空でない開集合だから、$V \cap U_1$ は空でない開集合である。その点 $x_1$ をとり、$0 < r_1 < 1$ を $\bar{B}(x_1, r_1) \subset V \cap U_1$ となるようにとる（$B(x_1, 2 r_1) \subset V \cap U_1$ となる $r_1$ をとれば、閉球は $B(x_1, 2r_1)$ に含まれる）。

次に、$B(x_1, r_1)$ は空でない開集合で $U_2$ は稠密だから、$B(x_1, r_1) \cap U_2$ は空でない開集合である。その点 $x_2$ と $0 < r_2 < 1/2$ を、$\bar{B}(x_2, r_2) \subset B(x_1, r_1) \cap U_2$ となるようにとる。これを繰り返して、各 $n$ について

$$\bar{B}(x_{n+1}, r_{n+1}) \subset B(x_n, r_n) \cap U_{n+1}, \qquad 0 < r_{n+1} < \tfrac{1}{n+1}$$

となる点列 $(x_n)$ と半径 $(r_n)$ を作る。$m \ge n$ ならば $x_m \in \bar{B}(x_n, r_n)$ なので $d(x_m, x_n) \le r_n < 1/n$。よって $(x_n)$ はコーシー列で、完備性によりある $x \in X$ に収束する。各 $n$ について $x_m \in \bar{B}(x_n, r_n)$（$m \ge n$）であり、閉球は閉集合（命題 2.3 (1)）だから $x \in \bar{B}(x_n, r_n)$。したがって $x \in \bar{B}(x_{n}, r_{n}) \subset U_n$（$n \ge 2$ で）、さらに $x \in \bar{B}(x_1, r_1) \subset V \cap U_1$。ゆえに $x \in V \cap \bigcap_n U_n$ である。

∎

この定理は「閉集合の言葉」に直した形でよく使われます。部分集合 $F$ が疎（どこにも稠密でない）とは、閉包 $\bar{F}$（$F$ に、$F$ の点列の極限を加えた集合）が内点（その点を中心とする小さな球が丸ごと集合に入る点）をもたないことです。

系 5.2（完備距離空間は疎な集合の可算和にならない）✓

空でない完備距離空間 $X$ は、疎な集合の可算和 $\bigcup_n F_n$ としては書けない。特に、内点をもたない閉集合 $F_n$（$n = 1, 2, \ldots$）に対して $\bigcup_n F_n \ne X$ である。

証明（系 5.2）

$F_n$ が疎なら $\bar{F}_n$ も内点をもたない閉集合だから、$\bar{F}_n$ について示せばよい。$U_n = X \setminus \bar{F}_n$ は開集合である。$U_n$ が稠密であること：空でない開集合 $V$ が $U_n$ と交わらないとすると $V \subset \bar{F}_n$ となり、$\bar{F}_n$ が内点をもたないことに反する。定理 5.1 により $\bigcap_n U_n \ne \emptyset$ だから、$x \in \bigcap U_n$ は $\bigcup_n \bar{F}_n$ に属さない。

∎

次の例の筋書きは、「点 $x$ のまわりで関数値がどれだけ揺れるか」を数にして（振動 $\omega_f(x)$）、連続点を「揺れが $1/n$ 未満の点」の集合 $O_n$ の共通部分として表すことです。$O_n$ が開集合であることが分かれば、有理点だけが連続点という仮定は、稠密な開集合の共通部分が空になるという、Baire の定理に反する状況を導きます。

例 5.3（有理点でだけ連続な関数は存在しない）

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ の連続点全体の集合が $\mathbb{Q}$ になることはない。これを示す。

関数 $f$ の点 $x$ での振動を $\omega_f(x) = \inf_{\delta > 0} \sup\{\, |f(y) - f(z)| \mid y, z \in (x - \delta, x + \delta) \,\} \in [0, \infty]$ と定める。$f$ が $x$ で連続であることは $\omega_f(x) = 0$ と同値である（$\varepsilon$-$\delta$ の定義を並べ替えただけ）。各 $n$ について $O_n = \{\, x \mid \omega_f(x) < 1/n \,\}$ は開集合である。実際、$x \in O_n$ ならば、ある $\delta > 0$ で $\sup$ が $1/n$ 未満となり、この開区間 $(x-\delta, x+\delta)$ の任意の点 $x'$ についても、$x'$ を中心とする十分小さい区間は $(x-\delta, x+\delta)$ に含まれるので $\omega_f(x') < 1/n$ である。したがって連続点の集合 $C_f = \bigcap_n O_n$ は開集合の可算共通部分（$G_\delta$ 集合）である。

$C_f = \mathbb{Q}$ だったとする。$\mathbb{Q} = \{q_1, q_2, \ldots\}$ と番号を付ける（定理 5.6［濃度と無限］）。各 $O_n \supset \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ を含むので稠密であり、$W_k = \mathbb{R} \setminus \{q_k\}$ も稠密な開集合である。すると $\bigcap_n O_n \cap \bigcap_k W_k = \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Q} = \emptyset$ となるが、$\mathbb{R}$ は完備だから 定理 5.1 に反する。

逆に、無理点でだけ連続な関数（トマエ関数、例 8.4［ルベーグ積分の定義と収束定理］）は存在する。連続点の集合になれるかどうかには、有理数と無理数で非対称性がある、というのが Baire の定理の教えです。

注意 5.4（「典型的な」連続関数）

Baire の定理の使われ方の典型は、「性質 $P$ を満たさない元の集合が疎な集合の可算和になる」ことを示して、$P$ を満たす元が存在することを結論する、というものです。たとえば $C[0,1]$（一様距離で完備）の中で、どこでも微分可能でない関数の全体は稠密な開集合の可算共通部分を含み、その補集合は疎な集合の可算和になります。つまり連続関数のほとんどすべてがどこでも微分できません。ここでは主張だけを述べ、証明は省略します。具体的な例を 関数列と一様収束 の 例 6.5［関数列と一様収束］ で見ました。Baire の定理は、その「例外的な関数」が実は例外ではないことを教えます。同じ定理は一様有界性原理・開写像定理・閉グラフ定理の証明の核でもあります。それらは Banach 空間 で証明しており、そこでは Baire の定理（定理 4.1［Banach 空間の基本定理］）を 2 つの形で述べ直しています。

6. 縮小写像の原理

最後の道具は、方程式の解を「反復の極限」として作る定理です。

定義 6.1（縮小写像）↗

距離空間 $(X, d)$ の写像 $T : X \to X$ が縮小写像であるとは、ある定数 $0 \le k < 1$ があって、すべての $x, y \in X$ について $d(T(x), T(y)) \le k\, d(x, y)$ が成り立つことをいう。

縮小写像は連続（リプシッツ連続、つまり距離の増え方が定数倍以下に収まる）です。

定理 6.2（縮小写像の原理（Banach の不動点定理））✓

$(X, d)$ を空でない完備距離空間とし、$T : X \to X$ を定数 $k < 1$ の縮小写像とする。このとき

1. $T(x^{*}) = x^{*}$ を満たす点 $x^{*} \in X$（不動点）がただ一つ存在する。
2. 任意の $x_0 \in X$ から出発して $x_{n+1} = T(x_n)$ と定めた点列は $x^{*}$ に収束し、

$$d(x_n, x^{*}) \le \frac{k^{n}}{1 - k}\, d(x_0, x_1)$$

が成り立つ。

証明（定理 6.2）

$x_0 \in X$ を任意にとり $x_{n+1} = T(x_n)$ とおく。縮小性を繰り返し使うと $d(x_{n+1}, x_n) \le k\, d(x_n, x_{n-1}) \le \cdots \le k^{n} d(x_1, x_0)$。$m > n$ のとき三角不等式と等比級数の和から

$$d(x_m, x_n) \le \sum_{j=n}^{m-1} d(x_{j+1}, x_j) \le \sum_{j=n}^{m-1} k^{j} d(x_1, x_0) \le \frac{k^{n}}{1-k}\, d(x_1, x_0).$$

$k < 1$ だから右辺は $n \to \infty$ で $0$ に収束し、$(x_n)$ はコーシー列である。$X$ の完備性により $x_n \to x^{*}$ となる $x^{*} \in X$ が存在する。

$T$ は連続だから $T(x^{*}) = \lim T(x_n) = \lim x_{n+1} = x^{*}$。よって不動点が存在する。別の不動点 $y^{*}$ があれば $d(x^{*}, y^{*}) = d(T(x^{*}), T(y^{*})) \le k\, d(x^{*}, y^{*})$ で、$k < 1$ から $d(x^{*}, y^{*}) = 0$、すなわち $y^{*} = x^{*}$（一意性）。誤差評価は、上の不等式で $m \to \infty$ としたもの（$d(x_m, x_n) \to d(x^{*}, x_n)$）である。

∎

ここで、$x_0$ と $x_1 = T(x_0)$ という最初の一歩の大きさだけで、$n$ 段目の誤差が事前に評価できる点が実用上重要です。

縮小写像 T(x) = 0.6x + 0.2（不動点 0.5）の反復。x0 = 0.05 から出発し、グラフと対角線を交互にたどると不動点に巻き込まれていきます。

例 6.3（cos x = x の解を反復で求める）

$X = [0, 1]$、$T(x) = \cos x$ とする。$\cos$ は $[0, 1]$ で減少して $T([0,1]) = [\cos 1, 1] \subset [0, 1]$ だから $T$ は $X$ を $X$ に写す。平均値の定理から、$x, y \in [0,1]$ に対して $|\cos x - \cos y| = |\sin \xi|\,|x - y|$（$\xi$ は $x$ と $y$ の間）であり、$[0,1]$ では $|\sin \xi| \le \sin 1 < 0.8415$ なので $k = \sin 1 < 1$ の縮小写像になる。$X$ は $\mathbb{R}$ の閉集合として完備だから、定理 6.2 により $\cos x = x$ はただ一つの解 $x^{*}$ をもつ。$x_0 = 1$ から始めると $d(x_0, x_1) = 1 - \cos 1 < 0.4597$ なので、$n = 50$ の誤差は $0.8415^{50} \cdot 0.4597/(1-0.8415) < 6 \times 10^{-4}$ と、計算する前に評価できる。実際の値は $x^{*} = 0.7390851\ldots$ である。

例 6.4（仮定を外すと何が壊れるか）

(a) $k < 1$ は外せない。 $X = [1, \infty)$（完備）、$T(x) = x + 1/x$ とすると、平均値の定理から $|T(x) - T(y)| = |1 - 1/\xi^2||x-y| < |x - y|$（$x \ne y$）で、距離は真に縮む。しかし $T(x) = x$ は $1/x = 0$ を意味し、解がない。縮小率が $1$ に張り付く（$\xi \to \infty$ のとき $1 - 1/\xi^2 \to 1$）ため、一様な定数 $k < 1$ が存在しないのが原因である。

(b) 完備性は外せない。 $X = (0, 1]$（完備でない）、$T(x) = x/2$ は $k = 1/2$ の縮小写像だが、不動点 $0$ が $X$ に属さない。

縮小写像の原理の最も重要な応用は、微分方程式の解の存在です。

定理 6.5（ピカール–リンデレーフの定理（初期値問題の局所解））✓

$f : [t_0 - a, t_0 + a] \times [y_0 - b, y_0 + b] \to \mathbb{R}$ を連続関数とし、$|f| \le M$、かつ $y$ についてのリプシッツ条件

$$|f(t, y) - f(t, z)| \le L\,|y - z|$$

をみたすとする（$M, L > 0$）。$h = \min\{a,\, b/M,\, 1/(2L)\}$ とおく。このとき、初期値問題 $y'(t) = f(t, y(t))$、$y(t_0) = y_0$ は、区間 $I = [t_0 - h, t_0 + h]$ 上で $C^1$ 級の解をただ一つもつ。

証明の方針は、微分方程式を積分を使った式 $y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, y(s))\,ds$ に書き直し、右辺を「関数 $\varphi$ から関数 $T\varphi$ を作る写像」$T$ と見ることです。関数一つを空間の「点」と見れば、解は $T$ の不動点になり、縮小写像の原理が使えます。$h$ を小さく取るのは二つの理由からで、$Mh \le b$ で $T\varphi$ が長方形の外に出ないようにするためと、$Lh \le 1/2$ で $T$ が縮小写像になるようにするためです。

証明（定理 6.5）

連続関数 $\varphi : I \to [y_0 - b, y_0 + b]$ の全体を $X$ とし、一様距離 $d_\infty$ を入れる。$X$ は完備な空間 $C(I)$ の閉部分集合（一様収束で不等式 $|\varphi - y_0| \le b$ が保たれる）だから、命題 2.4 と 命題 2.3 (2) により完備である（$X \ne \emptyset$：定数関数 $y_0$ が属する）。

$\varphi \in X$ に対し、$t \mapsto f(t, \varphi(t))$ は連続だから、

$$(T\varphi)(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, \varphi(s))\,ds$$

は微積分学の基本定理により $C^1$ 級である。$|(T\varphi)(t) - y_0| \le M|t - t_0| \le M h \le b$ だから $T\varphi \in X$ であり、$T : X \to X$ である。さらに、$\varphi, \psi \in X$ に対し

$$|(T\varphi)(t) - (T\psi)(t)| \le \left| \int_{t_0}^{t} L\,|\varphi(s) - \psi(s)|\,ds \right| \le L h\, d_\infty(\varphi, \psi) \le \tfrac{1}{2}\, d_\infty(\varphi, \psi).$$

よって $T$ は $k = 1/2$ の縮小写像であり、定理 6.2 によって不動点 $\varphi^{*} = T\varphi^{*}$ がただ一つ存在する。$\varphi^{*}$ は $\varphi^{*}(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f(s, \varphi^{*}(s))\,ds$ を満たすから、$C^1$ 級で $\varphi^{*\prime} = f(t, \varphi^{*})$、$\varphi^{*}(t_0) = y_0$。逆に初期値問題の $C^1$ 級の解は、両辺を積分すれば $T$ の不動点であり、一意性は不動点の一意性に帰着する。

∎

反復 $\varphi_{n+1} = T\varphi_n$ は、定数関数 $\varphi_0 = y_0$ から始めると、ピカールの逐次近似に一致します。$f(t, y) = y$、$y_0 = 1$ ならば $\varphi_n$ は指数関数のテイラー多項式 $\sum_{j \le n} (t - t_0)^j / j!$ になり、反復が一様収束して $e^{t-t_0}$ に近づくことが見えます。

7. 演習

演習 7.1標準

距離空間 $X$ が全有界であることと、その完備化 $\hat{X}$ がコンパクトであることは同値であることを示せ。

解答

$X$ を $\hat{X}$ の稠密な部分集合と同一視する。($\Rightarrow$) $X$ が全有界とし、$\varepsilon > 0$ をとる。有限個の $p_i \in X$ で $X \subset \bigcup B(p_i, \varepsilon/2)$。任意の $\xi \in \hat{X}$ に対して、稠密性により $d(\xi, a) < \varepsilon/2$ となる $a \in X$ があり、$a \in B(p_i, \varepsilon/2)$ だから $d(\xi, p_i) < \varepsilon$。よって $\hat{X}$ も全有界で、完備だから 定理 4.3 によりコンパクト。($\Leftarrow$) $\hat{X}$ がコンパクトなら全有界で、$\varepsilon > 0$ に対し $\hat{X} = \bigcup_{i=1}^m B(q_i, \varepsilon/2)$。各 $i$ について、$B(q_i,\varepsilon/2) \cap X \ne \emptyset$ ならば $X$ の点 $p_i$ をそこにとる。このとき $x \in X$ は、ある $B(q_i, \varepsilon/2)$ に入り、$d(x, p_i) < \varepsilon$。よって $X$ は有限個の $\varepsilon$ 球で覆われる。

演習 7.2標準

孤立点をもたない空でない完備距離空間は非可算であることを示せ。（ここで $x \in X$ が孤立点とは $\{x\}$ が開集合であること。）

解答

$X$ が可算、$X = \{x_1, x_2, \ldots\}$ とする。各 $\{x_n\}$ は閉集合（命題 2.3 (1)：点列が収束すれば一定のものしか通らず、距離空間では 1 点集合は閉）で、孤立点がないから内点をもたない（$\{x_n\}$ が内点をもつなら、$\{x_n\}$ 自身が開集合になり $x_n$ は孤立点）。ゆえに 系 5.2 により $\bigcup_n \{x_n\} \ne X$ となり、仮定に矛盾する。この結果は $\mathbb{R}$ の非可算性の別証明を与える（$\mathbb{R}$ は完備で孤立点をもたない）。

演習 7.3標準

$X$ を空でない完備距離空間とし、$T : X \to X$ の合成 $T^m = T \circ \cdots \circ T$（$m$ 回）がある $m \ge 1$ で縮小写像であるとする。$T$ もただ一つの不動点をもつことを示せ。また、$T$ 自身は縮小写像でない例を挙げよ。

解答

$T^m$ の唯一の不動点を $x^{*}$ とする。$T^m(T x^{*}) = T(T^m x^{*}) = T x^{*}$ だから $T x^{*}$ も $T^m$ の不動点であり、一意性から $T x^{*} = x^{*}$。$T$ の不動点は $T^m$ の不動点でもあるから、$T$ の不動点は $x^{*}$ に限る。例：$X = \mathbb{R}^2$（ユークリッド距離）、$T(u, v) = (0, 2u)$ とする。$T^2(u, v) = T(0, 2u) = (0, 0)$ で $T^2$ は定数写像だから縮小写像である。一方 $T(1, 0) = (0, 2)$、$T(0,0) = (0,0)$ なので $\|T(1,0) - T(0,0)\| = 2 \|(1,0) - (0,0)\|$ となり、$T$ は縮小写像ではない。不動点は $(0, 0)$ のみ。

演習 7.4難

$X$ を距離空間、$Y$ を完備距離空間とし、$g : X \to Y$ を一様連続とする。$\hat{X}$ を $X$ の完備化とするとき、$g$ の連続な拡張 $\hat{g} : \hat{X} \to Y$（$\hat{g} \circ \iota = g$）がただ一つ存在することを示せ。

解答

$\xi = [(a_n)] \in \hat{X}$ とする。$g$ が一様連続なので $(g(a_n))$ は $Y$ のコーシー列である（$\varepsilon$ に対して $\delta$ をとり、$d(a_m, a_n) < \delta$ ならば $d(g(a_m), g(a_n)) < \varepsilon$）。$Y$ は完備だから極限 $\hat{g}(\xi)$ が存在する。同値な代表元 $(a'_n)$ でも $d(a_n, a'_n) \to 0$ から $d(g(a_n), g(a'_n)) \to 0$ で極限は同じ。$\hat{g}(\iota(a)) = g(a)$ は定数列から明らか。$\hat{g}$ が（一様）連続であることは、$\hat{d}(\xi, \eta) < \delta/2$ のとき代表元の十分後の項で $d(a_n, b_n) < \delta$ となるので $d(g(a_n), g(b_n)) < \varepsilon$、極限をとって $d(\hat{g}(\xi), \hat{g}(\eta)) \le \varepsilon$ からわかる。一意性は、$\iota(X)$ が稠密なので、連続な 2 つの拡張が $\iota(X)$ で一致すれば、$\xi = \lim \iota(a_n)$ に対して両者が $\lim g(a_n)$ に等しくなることから従う。

参考文献

• W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1976 — Chapter 2（距離空間、コンパクト性）、Chapter 3（コーシー列と完備性）。
• J. R. Munkres, Topology, 2nd ed., Prentice Hall, 2000 — §43（完備距離空間）、§45（距離空間のコンパクト性）、§48（Baire 空間）。
• W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw–Hill, 1987 — Chapter 5（Baire の定理の帰結）。
• J. Dieudonné, Foundations of Modern Analysis, Academic Press, 1960 — 第 3 章（完備距離空間、不動点定理）。
• 杉浦光夫『解析入門 I』東京大学出版会、1980 — 距離空間を扱う章。
• 松坂和夫『集合・位相入門』岩波書店、1968 — 距離空間と位相空間を扱う章。