Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理：正の線形汎関数を測度で表す

0. この記事の要点

連続関数を一つ渡すと数が一つ返ってくる「規則」で、足し算とスカラー倍を保ち、非負の関数には非負の値を返すものがあったとします。たとえば積分がそうです。この記事は、そのような規則は例外なく何かの「重みの付け方」（測度）による積分の形で書ける、ということを示します。読み終えると、積分の規則さえ作れば測度が手に入る、という測度の作り方が使えるようになります。

• 測度 $\mu$ があれば、積分 $f\mapsto\int f\,d\mu$ は連続関数の空間の上の正の線形汎関数（線形で、非負の関数には非負の値を返す写像）になります。Riesz–Markov–角谷の表現定理はその逆で、局所コンパクト Hausdorff（LCH）空間 $X$ 上の $C_c(X)$ への正の線形汎関数は、必ずある Radon 測度の積分として、しかもただ一通りに書けると主張します。
• Radon 測度とは、コンパクト集合で有限、ボレル集合で外正則（外側から開集合で測度を近似できる）、開集合で内正則（内側からコンパクト集合で測度を近似できる）なボレル測度のことです。正則性の条件は、一意性を成り立たせるために入れる条件です。
• 証明は、開集合の測度を $\mu(U)=\sup\{\Lambda f: f\prec U\}$ で定め、外測度を作り、Carathéodory の定理（外測度から測度を取り出す定理）で測度にするという道筋です。使う位相の道具は Urysohn の補題と 1 の分割だけです。
• 第二可算な LCH 空間（たとえば $\mathbb{R}^n$ やコンパクト距離空間）では、コンパクト集合で有限なボレル測度は自動的に Radon です。
• 有界な線形汎関数まで広げると、$C_0(X)$ の双対空間は、有限符号付き Radon 測度の空間に全変動ノルム（符号付き測度の大きさを測るノルム）を入れたものと等長同型になります。
• この同一視のもとで、汎関数の弱 * 収束は「連続関数を当てたときの積分の収束」です。質量が一様に有界な測度の列は弱 * 収束する部分列をもちます（Helly の選出定理）。

この記事で使う事前知識

• コンパクト空間: どんな開被覆からも有限個を選んで覆える、という性質をもつ空間。→ コンパクト空間
• 局所コンパクト Hausdorff 空間: どの点もコンパクトな近傍をもち、異なる 2 点が互いに交わらない開集合で分離できる（Hausdorff）空間。→ 局所コンパクト
• Urysohn の補題と 1 の分割: コンパクト集合と、それを含む開集合のあいだに、1 から 0 へ連続につなぐ関数を挟める、という道具。→ 局所コンパクト空間
• 外測度と Carathéodory の定理: 外測度から、可測集合の上で可算加法的な測度を取り出す方法。→ 測度空間と Carathéodory の拡張定理
• 双対空間: ノルム空間上の有界な線形汎関数全体のなす空間。
• 有限符号付き測度と Hahn 分解: 負の値もとる測度と、空間を正の部分と負の部分に分ける分解。→ 有限符号付き測度

1. 動機 — 積分を「関数に数を割り当てる規則」として見る

リーマン積分 $f\mapsto\int_a^b f(x)\,dx$ を、連続関数 $f$ に実数を割り当てる写像として眺めると、二つの性質が目に付きます。線形であることと、$f\ge0$ なら値が $0$ 以上であることです。点 $0$ での値 $f\mapsto f(0)$ も同じ二つの性質をもち、こちらはディラック測度 $\delta_0$ の積分です。では、この二つの性質をもつ写像は、すべて何かの測度の積分なのでしょうか。

F. Riesz は 1909 年に、閉区間 $[0,1]$ 上の連続関数の空間について、有界な線形汎関数がスティルチェス積分 $\int f\,dg$（$g$ は有界変動関数）で書けることを示しました。その後、Markov や角谷静夫によって、一般の空間（LCH 空間）での形に整えられました。

この定理は、測度を作る道具として使われます。測度を直接作るには、σ-加法族の上で可算加法性を確かめなければなりません。しかし、連続関数への正の線形汎関数を作るだけなら、たいていずっと簡単です。たとえば次のような場面で使われます。

• Haar 測度：位相群の上で平行移動不変な積分を、正の線形汎関数として作り、表現定理で測度に直す。
• スペクトル定理：自己共役作用素 $A$ とベクトル $v$ から $f\mapsto\langle v,f(A)v\rangle$ という正の汎関数を作ると、表現定理によりスペクトル測度が得られる。
• 可換 C* 環の状態：$C(K)$ 上の状態は $K$ 上の確率測度と同じものになる（C* 環の状態と GNS 構成 の 例 3.10［C* 環の状態と GNS 構成］）。
• 極限で測度を作る：測度の列の極限を、まず汎関数の極限として作り、表現定理で測度に戻す。円板上の Herglotz の表現（調和関数と Poisson 積分）はこの型の議論です。

2. 準備 — 関数空間と記号

以下、$X$ は LCH 空間（局所コンパクト空間 の 定義 2.1［局所コンパクト空間］）とし、関数は実数値とします（複素数値の場合は 注意 6.3 で扱います）。$X$ の開集合から生成される σ-加法族をボレル σ-加法族 $\mathcal{B}(X)$ と書き、$\mathcal{B}(X)$ 上の測度をボレル測度といいます。連続関数 $f$ について $\{f>a\}$ は開集合なので、連続関数はボレル可測です（定義 3.1［ルベーグ積分の定義と収束定理］）。

定義 2.1（$C_c(X)$・$C_0(X)$ と記号 ≺）↗

• $C_c(X)$ は、台 $\operatorname{supp}f=\overline{\{f\ne0\}}$ がコンパクトな連続関数 $f:X\to\mathbb{R}$ 全体とする。
• $C_0(X)$ は、連続関数 $f:X\to\mathbb{R}$ で、すべての $\varepsilon>0$ について $\{x:|f(x)|\ge\varepsilon\}$ がコンパクトなもの（無限遠で消える関数）全体とし、一様ノルム $\|f\|=\sup_X|f|$ を入れる。
• $K$ がコンパクト、$U$ が開集合、$f\in C_c(X)$ のとき、$K\prec f$ は「$0\le f\le1$ かつ $K$ 上 $f=1$」を、$f\prec U$ は「$0\le f\le1$ かつ $\operatorname{supp}f\subseteq U$」を表す。

$X$ がコンパクトなら $C_c(X)=C_0(X)=C(X)$ です。記号 $\prec$ を使うと、Urysohn の補題（定理 4.1［局所コンパクト空間］）は「$K\subseteq U$ ならば $K\prec f\prec U$ となる $f$ が存在する」と短く書けます。この記事で最もよく使う事実です。

補題 2.2（$C_c$ は $C_0$ で稠密）✓

$C_c(X)\subseteq C_0(X)$ であり、$C_c(X)$ は $C_0(X)$ で一様ノルムについて稠密である。

証明（補題 2.2）

$f\in C_c(X)$ なら $\{|f|\ge\varepsilon\}$ はコンパクト集合 $\operatorname{supp}f$ の閉部分集合なのでコンパクトです（定理 4.1［コンパクト性］）。逆に $f\in C_0(X)$ と $\varepsilon>0$ を取り、$K=\{|f|\ge\varepsilon\}$ とします。$K$ はコンパクトなので、Urysohn の補題で $K\prec\varphi$ となる $\varphi\in C_c(X)$ を取ります。$\varphi f\in C_c(X)$ で、$K$ 上では $f-\varphi f=0$、$K$ の外では $|f-\varphi f|=(1-\varphi)|f|\le|f|<\varepsilon$ です。よって $\|f-\varphi f\|\le\varepsilon$ です。

∎

3. Radon 測度

定義 3.1（Radon 測度）↗

$X$ 上のボレル測度 $\mu$ が Radon 測度であるとは、次の 3 条件を満たすことをいう。

1. （局所有限性）すべてのコンパクト集合 $K$ で $\mu(K)<\infty$。
2. （外正則性）すべての $E\in\mathcal{B}(X)$ で $\mu(E)=\inf\{\mu(U): U\supseteq E,\ U\text{ は開}\}$。
3. （開集合の内正則性）すべての開集合 $U$ で $\mu(U)=\sup\{\mu(K): K\subseteq U,\ K\text{ はコンパクト}\}$。

ボレル集合 $E$ について 3 の等式が成り立つとき、$\mu$ は $E$ で内正則であるといいます。定義ではすべてのボレル集合での内正則性を要求していないことに注意してください。この弱い形にしておくと、一意性と存在の両方が過不足なく成り立ちます（注意 4.7）。

定義 3.2（正の線形汎関数）↗

線形写像 $\Lambda:C_c(X)\to\mathbb{R}$ が正であるとは、$f\ge0$ ならば $\Lambda f\ge0$ となることをいう。

正の線形汎関数は単調です。$f\le g$ なら $g-f\ge0$ なので $\Lambda g-\Lambda f=\Lambda(g-f)\ge0$ です。証明で繰り返し使います。

$\mu$ がコンパクト集合で有限なボレル測度なら、$f\in C_c(X)$ について $|f|\le\|f\|\chi_{\operatorname{supp}f}$ なので $f$ は可積分で、$\Lambda_\mu f=\int f\,d\mu$ は $C_c(X)$ 上の正の線形汎関数です。表現定理はこの逆を述べます。

例 3.3（Radon 測度の例）

1. ルベーグ測度 $m$ は $\mathbb{R}^n$ 上の Radon 測度です（可測集合とルベーグ測度）。コンパクト集合は有界なので測度は有限で、正則性は下の 定理 5.3 から従います（$\mathbb{R}^n$ は第二可算です）。証明は 命題 5.4 に書きます。
2. ディラック測度 $\delta_a(E)=\chi_E(a)$ は任意の LCH 空間で Radon で、$\int f\,d\delta_a=f(a)$ です。
3. 離散空間 $\mathbb{Z}$ 上の数え上げ測度は Radon です。コンパクト集合は有限集合で、すべての集合が開かつ閉だからです。

4. Riesz–Markov–角谷の表現定理

定理 4.1（Riesz–Markov–角谷の表現定理）✓

$X$ を LCH 空間、$\Lambda:C_c(X)\to\mathbb{R}$ を正の線形汎関数とする。このとき $X$ 上の Radon 測度 $\mu$ で、すべての $f\in C_c(X)$ について

$$\Lambda f=\int_X f\,d\mu$$

となるものがただ一つ存在する。さらに $\mu$ は次を満たす。

1. 開集合 $U$ について $\mu(U)=\sup\{\Lambda f: f\prec U\}$。
2. コンパクト集合 $K$ について $\mu(K)=\inf\{\Lambda f: K\prec f\}$。

証明の方針は、まず開集合に対して $\mu_0$ で「大きさ」を決め、それを外側から近似して外測度 $\mu^{*}$ にし、Carathéodory の定理で測度に直し、最後にその測度の積分が $\Lambda$ に戻ることを確かめる、というものです。

証明は四つの補題に分けます。以下、$\Lambda$ を固定し、開集合 $U$ について

$$\mu_0(U):=\sup\{\Lambda f: f\prec U\},\qquad \mu^{*}(E):=\inf\{\mu_0(U): U\supseteq E,\ U\text{ は開}\}\quad(E\subseteq X)$$

とおきます。$f\prec U$ なら $f\ge0$ なので $\mu_0(U)\ge0$ です。$U\subseteq V$ なら $f\prec U$ は $f\prec V$ でもあるので $\mu_0(U)\le\mu_0(V)$、したがって開集合 $U$ では $\mu^{*}(U)=\mu_0(U)$ です。

補題 4.2（μ* は外測度）✓

$\mu^{*}$ は $X$ 上の外測度である。

証明（補題 4.2）

$f\prec\emptyset$ なら $f=0$ なので $\mu^{*}(\emptyset)=\mu_0(\emptyset)=0$ です。単調性は定義（下限を取る範囲が狭くなる）から従います。残るのは可算劣加法性です。

開集合の場合。 開集合 $U_1,U_2,\dots$ と $U=\bigcup_jU_j$ について $\mu_0(U)\le\sum_j\mu_0(U_j)$ を示します。$f\prec U$ を取ります。$\operatorname{supp}f$ はコンパクトで $\{U_j\}$ に覆われるので、有限個 $U_1,\dots,U_n$ で覆われます（番号を付け替えました）。1 の分割（定理 6.1［局所コンパクト空間］）により $h_i\prec U_i$ で $\operatorname{supp}f$ 上 $\sum_{i=1}^nh_i=1$ となるものを取ると、$f=\sum_ifh_i$ で $fh_i\prec U_i$ です。よって

$$\Lambda f=\sum_{i=1}^n\Lambda(fh_i)\le\sum_{i=1}^n\mu_0(U_i)\le\sum_{j=1}^\infty\mu_0(U_j).$$

$f\prec U$ について上限を取れば主張が出ます。

一般の場合。 $E_1,E_2,\dots\subseteq X$ とし、$\sum_j\mu^{*}(E_j)<\infty$ としてよいです。$\varepsilon>0$ について、開集合 $U_j\supseteq E_j$ で $\mu_0(U_j)<\mu^{*}(E_j)+\varepsilon2^{-j}$ となるものを取ります。$\bigcup E_j\subseteq\bigcup U_j$ なので、開集合の場合から

$$\mu^{*}\Bigl(\bigcup_jE_j\Bigr)\le\mu_0\Bigl(\bigcup_jU_j\Bigr)\le\sum_j\mu_0(U_j)\le\sum_j\mu^{*}(E_j)+\varepsilon.$$∎

次の補題は、$\mu^{*}$ を測度にするために、開集合 $U$ が「集合をきれいに二つに切り分ける」ことを確かめるものです。開集合 $V$ を $U$ の内側の部分と外側の部分に分け、前者に台をもつ関数 $f$ と、後者に台をもつ関数 $g$ を取って足し合わせると、$V$ の中の一つの関数 $f+g$ になる、というのが証明の考え方です。

補題 4.3（開集合は μ*-可測）✓

すべての開集合 $U$ は Carathéodory の意味で $\mu^{*}$-可測である。したがって $\mathcal{B}(X)\subseteq\mathcal{M}(\mu^{*})$ であり、$\mu:=\mu^{*}|_{\mathcal{B}(X)}$ はボレル測度で、外正則である。

証明（補題 4.3）

任意の $E\subseteq X$ について $\mu^{*}(E)\ge\mu^{*}(E\cap U)+\mu^{*}(E\setminus U)$ を示せば十分です（逆向きは劣加法性）。$\mu^{*}(E)=\infty$ なら明らかなので、有限とします。

$E=V$ が開集合の場合。 $\varepsilon>0$ とします。$V\cap U$ は開集合なので、$f\prec V\cap U$ で $\Lambda f>\mu_0(V\cap U)-\varepsilon$ となるものが取れます。$V\setminus\operatorname{supp}f$ も開集合（$\operatorname{supp}f$ はハウスドルフ空間のコンパクト集合なので閉）なので、$g\prec V\setminus\operatorname{supp}f$ で $\Lambda g>\mu_0(V\setminus\operatorname{supp}f)-\varepsilon$ となるものが取れます。$f$ と $g$ の台は交わらないので $0\le f+g\le1$、台は $V$ に含まれるコンパクト集合で、$f+g\prec V$ です。$V\setminus U\subseteq V\setminus\operatorname{supp}f$ にも注意すると

$$\mu^{*}(V)\ge\Lambda f+\Lambda g>\mu^{*}(V\cap U)+\mu^{*}(V\setminus U)-2\varepsilon.$$

一般の $E$ の場合。 開集合 $V\supseteq E$ で $\mu^{*}(V)<\mu^{*}(E)+\varepsilon$ となるものを取ると、前段と単調性から

$$\mu^{*}(E)+\varepsilon>\mu^{*}(V)\ge\mu^{*}(V\cap U)+\mu^{*}(V\setminus U)\ge\mu^{*}(E\cap U)+\mu^{*}(E\setminus U).$$

Carathéodory の定理（定理 3.2［測度空間と Carathéodory の拡張定理］）により $\mathcal{M}(\mu^{*})$ は σ-加法族で、$\mu^{*}$ はその上で測度です。$\mathcal{M}(\mu^{*})$ は開集合をすべて含むので $\mathcal{B}(X)$ を含みます。外正則性は $\mu^{*}$ の定義そのものです。

∎

補題 4.4（コンパクト集合の測度）✓

コンパクト集合 $K$ について $\mu(K)=\inf\{\Lambda f: f\in C_c(X),\ f\ge\chi_K\}=\inf\{\Lambda f: K\prec f\}$ であり、とくに $\mu(K)<\infty$ である。

証明（補題 4.4）

$f\in C_c(X)$, $f\ge\chi_K$ とし、$0<\varepsilon<1$ とします。$U_\varepsilon=\{f>1-\varepsilon\}$ は $K$ を含む開集合です。$g\prec U_\varepsilon$ なら、$U_\varepsilon$ 上 $g\le1<f/(1-\varepsilon)$、$U_\varepsilon$ の外で $g=0\le f/(1-\varepsilon)$ なので、単調性から $\Lambda g\le\Lambda f/(1-\varepsilon)$ です。よって $\mu(K)\le\mu_0(U_\varepsilon)\le\Lambda f/(1-\varepsilon)$ で、$\varepsilon\to0$ として $\mu(K)\le\Lambda f$ です。

逆に、外正則性から開集合 $U\supseteq K$ で $\mu(U)<\mu(K)+\varepsilon$ となるもの（$\mu(K)=\infty$ なら任意の $U$）を取り、Urysohn の補題で $K\prec f\prec U$ を取ると、$f\ge\chi_K$ かつ $\Lambda f\le\mu_0(U)=\mu(U)$ です。これで二つの下限がともに $\mu(K)$ に等しいことがわかります。最後に、$K\prec f$ となる $f\in C_c(X)$ は存在する（$U=X$ として Urysohn の補題）ので、$\mu(K)\le\Lambda f<\infty$ です。

∎

次の補題が積分との一致です。$f$ を値の高さで $N$ 枚の薄い層に切り、各層の汎関数の値を、上下のコンパクト集合の測度ではさみます。積分の値も同じ上下の測度ではさまれるので、$\Lambda f$ と $\int f\,d\mu$ は同じ区間に入り、層を細かくすれば区間の幅が $0$ に縮んで二つが一致します。

$0\le f\le 1$ を高さ $1/N$ ごとの層 $f_j$ に切る。$f_j$ は $K_j$ 上で $1/N$、$K_{j-1}$ の外で 0

補題 4.5（積分との一致）✓

すべての $f\in C_c(X)$ について $\Lambda f=\int_Xf\,d\mu$ である。

証明（補題 4.5）

$f=f^{+}-f^{-}$（$f^{\pm}=\max(\pm f,0)\in C_c(X)$）と両辺の線形性から $f\ge0$ の場合に帰着し、さらに正の定数倍して $0\le f\le1$ としてよいです。

$N\in\mathbb{N}$ を固定し、$K_0=\operatorname{supp}f$、$K_j=\{f\ge j/N\}$（$j=1,\dots,N$）とおきます。どれもコンパクト集合 $K_0$ の閉部分集合なのでコンパクトです。さらに

$$f_j:=\min\Bigl(\max\bigl(f-\tfrac{j-1}{N},\,0\bigr),\,\tfrac1N\Bigr)\qquad(j=1,\dots,N)$$

とおきます（図の 1 枚の層）。$f(x)\in[\frac{k-1}{N},\frac kN]$ なら、$j\lt k$ で $f_j(x)=\frac1N$、$j=k$ で $f_k(x)=f(x)-\frac{k-1}{N}$、$j\gt k$ で $f_j(x)=0$ なので、$f=\sum_{j=1}^Nf_j$ です。また $K_j$ 上では $f_j=\frac1N$、$f_j(x)>0$ なら $f(x)>\frac{j-1}{N}$ なので $x\in K_{j-1}$ です。よって

$$\tfrac1N\chi_{K_j}\le f_j\le\tfrac1N\chi_{K_{j-1}},\qquad \operatorname{supp}f_j\subseteq K_{j-1}.$$

積分の側。 積分の単調性から $\frac1N\mu(K_j)\le\int f_j\,d\mu\le\frac1N\mu(K_{j-1})$ です。

汎関数の側。 $Nf_j\ge\chi_{K_j}$ なので 補題 4.4 から $\mu(K_j)\le\Lambda(Nf_j)$ です。また $K_{j-1}$ を含む任意の開集合 $U$ について $Nf_j\prec U$ なので $\Lambda(Nf_j)\le\mu(U)$ で、外正則性から $\Lambda(Nf_j)\le\mu(K_{j-1})$ です。

$j=1,\dots,N$ について足すと、$\Lambda f$ と $\int f\,d\mu$ はどちらも区間

$$\Bigl[\tfrac1N\sum_{j=1}^{N}\mu(K_j),\ \tfrac1N\sum_{j=0}^{N-1}\mu(K_j)\Bigr]$$

に入ります。区間の幅は $\frac1N(\mu(K_0)-\mu(K_N))\le\frac1N\mu(\operatorname{supp}f)$ で、$\mu(\operatorname{supp}f)<\infty$（補題 4.4）なので $N\to\infty$ で $0$ に行きます。よって $\Lambda f=\int f\,d\mu$ です。

∎

証明（定理 4.1）

存在。 補題 4.3 の $\mu$ はボレル測度で外正則、補題 4.4 によりコンパクト集合で有限です。開集合 $U$ での内正則性を示します。$\alpha<\mu(U)=\mu_0(U)$ とすると、$f\prec U$ で $\Lambda f>\alpha$ となるものがあります。$K=\operatorname{supp}f\subseteq U$ とおくと、$g\ge\chi_K$ となる $g\in C_c(X)$ は $g\ge f$ を満たすので $\Lambda g\ge\Lambda f$ で、補題 4.4 から $\mu(K)\ge\Lambda f>\alpha$ です。よって $\mu$ は Radon です。表現 $\Lambda f=\int f\,d\mu$ は 補題 4.5、1 は $\mu=\mu^{*}$ が開集合で $\mu_0$ に一致すること、2 は 補題 4.4 です。

一意性。 $\nu$ も $\Lambda$ を表す Radon 測度とします。開集合 $U$ とコンパクト集合 $K\subseteq U$ について、Urysohn の補題で $K\prec f\prec U$ を取ると

$$\nu(K)\le\int f\,d\nu=\Lambda f=\int f\,d\mu\le\mu(U).$$

$\nu$ は開集合で内正則なので、$K$ について上限を取って $\nu(U)\le\mu(U)$ です。$\mu,\nu$ を入れ替えれば $\nu(U)=\mu(U)$ で、両者は開集合で一致します。外正則性から、すべてのボレル集合で一致します。

∎

一意性の証明で、外正則性と開集合の内正則性を両方使ったことに注意してください。どちらかを外すと、同じ汎関数を表す別の測度が現れ得ます。

例 4.6（リーマン積分からルベーグ測度を作り直す）

$X=\mathbb{R}$、$\Lambda f=\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx$（台がコンパクトな連続関数のリーマン積分）とします。$\Lambda$ は正の線形汎関数なので、Radon 測度 $\mu$ が一つ決まります。区間 $[a,b]$ について、$[a,b]\prec f$ かつ $\operatorname{supp}f\subseteq[a-\delta,b+\delta]$ となる区分線形の $f$ を取ると $\Lambda f\le b-a+2\delta$ なので $\mu([a,b])\le b-a$、逆に $f\prec(a,b)$ で $\Lambda f\ge b-a-2\delta$ となるものが取れるので $\mu((a,b))\ge b-a$ です。したがって $\mu$ は区間に長さを与えるボレル測度で、測度の一意性（定理 5.2［測度空間と Carathéodory の拡張定理］）からボレル集合上のルベーグ測度に一致します。外測度を使わずに、リーマン積分だけからルベーグ測度が得られたことになります。

注意 4.7（なぜ内正則性を開集合だけに要求するのか）

すべてのボレル集合での内正則性まで要求すると、表現定理の存在の部分が一般の LCH 空間で成り立たなくなります。表現定理が作る測度が、ある（測度が無限大の）ボレル集合で内正則にならない LCH 空間の例が知られています（Folland, 第 7 章の演習を参照）。一方、測度が有限の集合（さらに σ-有限な集合）では内正則性が自動的に従います（次節）。

5. 正則性

この節のねらいは、Radon 測度の定義が開集合でしか内正則性を要求していなくても、測度が有限な集合（さらに σ-有限な集合）では内側からコンパクト集合で近似できる、と示すことです。証明の方針は、集合 $E$ を外側から開集合 $U$ で近似し、はみ出した部分 $U\setminus E$ も小さな開集合 $V$ で覆い、$U$ の内側のコンパクト集合から $V$ を除く、というものです。

命題 5.1（σ-有限な集合での内正則性）✓

$\mu$ を $X$ 上の Radon 測度とする。$E\in\mathcal{B}(X)$ が $\mu$ について σ-有限（測度有限なボレル集合の可算和）ならば、$\mu$ は $E$ で内正則である。

証明（命題 5.1）

$\mu(E)<\infty$ の場合。 $\varepsilon>0$ とします。外正則性から開集合 $U\supseteq E$ で $\mu(U)<\mu(E)+\varepsilon$ となるものを取ります。$\mu(U\setminus E)=\mu(U)-\mu(E)<\varepsilon$ なので、ふたたび外正則性から開集合 $V\supseteq U\setminus E$ で $\mu(V)<\varepsilon$ となるものが取れます。$U$ での内正則性から、コンパクト集合 $F\subseteq U$ で $\mu(F)>\mu(U)-\varepsilon$ となるものを取り、$K=F\setminus V$ とおきます。$K$ はコンパクト集合の閉部分集合なのでコンパクトで、$K\subseteq U\setminus V\subseteq U\setminus(U\setminus E)=E$ です。そして

$$\mu(K)\ge\mu(F)-\mu(V)>\mu(U)-2\varepsilon\ge\mu(E)-2\varepsilon.$$

σ-有限の場合。 $E=\bigcup_jE_j$（$\mu(E_j)<\infty$）とし、$E_j$ を $E_1\cup\cdots\cup E_j$ に取り替えて単調増加としてよいです。測度の下からの連続性で $\mu(E_j)\to\mu(E)$ で、各 $E_j$ は前段で内側からコンパクト集合で近似できるので、$E$ でも内正則です。

∎

次の定理は、実用上の多くの空間で「Radon であるか」を気にしなくてよいことを保証します。

補題 5.2（第二可算な LCH 空間の開集合は σ-コンパクト）✓

$X$ が第二可算な LCH 空間なら、$X$ のすべての開集合は可算個のコンパクト集合の和集合である。

証明（補題 5.2）

$\mathcal{V}$ を可算な開基とし、開集合 $U$ を固定します。$\mathcal{V}_U=\{B\in\mathcal{V}: \overline{B}\text{ はコンパクトで }\overline{B}\subseteq U\}$ とおきます。$x\in U$ について、命題 2.2［局所コンパクト空間］ により開近傍 $W$ で $\overline{W}$ がコンパクト、$\overline{W}\subseteq U$ となるものがあり、開基の元 $B$ で $x\in B\subseteq W$ となるものがあります。$\overline{B}$ はコンパクト集合 $\overline{W}$ の閉部分集合なのでコンパクトで、$B\in\mathcal{V}_U$ です。よって $U=\bigcup_{B\in\mathcal{V}_U}\overline{B}$ で、これは可算和です。

∎

次の定理の証明は三段階です。まず表現定理が作る Radon 測度 $\nu$ と与えられた $\mu$ が開集合で一致することを示し、次に $\nu$ についてボレル集合を開集合と閉集合ではさみ、最後にそのはさみ方を使って $\mu$ と $\nu$ がすべてのボレル集合で一致することを結論します。

定理 5.3（正則性の自動成立）✓

$X$ を LCH 空間で、すべての開集合が σ-コンパクトであるもの（たとえば第二可算なもの）とする。このとき、コンパクト集合で有限な $X$ 上のボレル測度は Radon 測度である。

証明（定理 5.3）

$\mu$ をコンパクト集合で有限なボレル測度とします。$\Lambda f=\int f\,d\mu$ は $C_c(X)$ 上の正の線形汎関数なので、定理 4.1 の Radon 測度 $\nu$ が取れます。$\mu=\nu$ を示せば終わりです。

第 1 段：開集合で一致する。 開集合 $U$ を $U=\bigcup_jK_j$（$K_j$ はコンパクト）と書き、$K_j$ を $K_1\cup\cdots\cup K_j$ に取り替えて単調増加とします。Urysohn の補題で $K_1\prec f_1\prec U$ を取り、帰納的に $K_n\cup\operatorname{supp}f_1\cup\cdots\cup\operatorname{supp}f_{n-1}\prec f_n\prec U$ を取ります。$f_n$ は $\operatorname{supp}f_{n-1}$ 上で $1\ge f_{n-1}$ なので $f_n\ge f_{n-1}$ です。$x\in U$ なら十分大きな $n$ で $x\in K_n$ なので $f_n(x)=1$、$x\notin U$ なら $f_n(x)=0$ です。すなわち $f_n\uparrow\chi_U$ で、単調収束定理（定理 5.2［ルベーグ積分の定義と収束定理］）を $\mu,\nu$ の両方に使うと

$$\mu(U)=\lim_n\int f_n\,d\mu=\lim_n\Lambda f_n=\lim_n\int f_n\,d\nu=\nu(U).$$

第 2 段：$\nu$ について、ボレル集合を開集合と閉集合ではさむ。 $X$ 自身も開集合なので $X=\bigcup_jL_j$（$L_j$ はコンパクト）と書けます。ボレル集合 $E$ と $\varepsilon>0$ について、$\nu(E\cap L_j)<\infty$ と外正則性から開集合 $U_j\supseteq E\cap L_j$ で $\nu(U_j\setminus(E\cap L_j))<\varepsilon2^{-j}$ となるものを取り、$U=\bigcup_jU_j$ とおくと、$U\supseteq E$ かつ $\nu(U\setminus E)\le\sum_j\nu(U_j\setminus(E\cap L_j))<\varepsilon$ です。同じことを $E^{c}$ に行うと開集合 $W\supseteq E^{c}$ で $\nu(W\setminus E^{c})<\varepsilon$ となるものが取れ、閉集合 $F=W^{c}\subseteq E$ について $\nu(E\setminus F)=\nu(W\cap E)<\varepsilon$ です。よって $F\subseteq E\subseteq U$、$\nu(U\setminus F)<2\varepsilon$ です。

第 3 段：ボレル集合で一致する。 $U\setminus F$ は開集合なので、第 1 段から $\mu(U\setminus F)=\nu(U\setminus F)<2\varepsilon$ です。すると

$$\nu(E)\le\nu(U)=\mu(U)\le\mu(E)+\mu(U\setminus F)<\mu(E)+2\varepsilon,\qquad \mu(E)\le\mu(U)=\nu(U)\le\nu(E)+\nu(U\setminus F)<\nu(E)+2\varepsilon.$$

$\varepsilon$ は任意なので $\mu(E)=\nu(E)$ です。

∎

コンパクト距離空間は第二可算です（有限個の $1/k$ 球で覆い、その中心全体が可算な稠密集合になり、中心と有理半径の球が開基になります）。$\mathbb{R}^n$ とその開集合も第二可算です。したがってこれらの空間上の有限ボレル測度、たとえば確率分布は、すべて Radon です。

この定理をルベーグ測度に当てはめた結果を、命題として書いておきます。なお $G_\delta$ 集合とは、可算個の開集合の共通部分として書ける集合のことです。$\mathbb{R}^d$ のルベーグ測度は、$\mathbb{R}$ のルベーグ測度 $m$ をボレル集合に制限したものの $d$ 個の直積測度として定めます。命題 2.3［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］ により $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)=\mathcal{B}(\mathbb{R})^{\otimes d}$ なので、これは $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ 上の測度です。

命題 5.4（$ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則）✓

$m_d=m\times\cdots\times m$ を $\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)$ 上のルベーグ測度とする。

1. $m_d$ は Radon 測度であり、さらにすべてのボレル集合で内正則である。
2. （ボレル正則性）任意の $E\subseteq\mathbb{R}^d$ について $m_d^{*}(E):=\inf\{m_d(B): B\supseteq E,\ B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^d)\}$ とおくと、$m_d^{*}(E)=\inf\{m_d(U): U\supseteq E,\ U\text{ は開}\}$ であり、$G_\delta$ 集合 $G\supseteq E$ で $m_d(G)=m_d^{*}(E)$ となるものが存在する。

証明（命題 5.4）

1. $\mathbb{R}^d$ は LCH 空間です。コンパクト集合 $K\subseteq\mathbb{R}^d$ は有界なので（定理 5.2［コンパクト性］）、ある $k$ で $K\subseteq[-k,k]^d$ です。直積測度の長方形での値（定理 3.2［直積測度と Fubini–Tonelli の定理］ を $d-1$ 回使う）と区間の測度（命題 3.5［可測集合とルベーグ測度］）から $m_d(K)\le m_d([-k,k]^d)=(2k)^d<\infty$ です。

次に、$\mathbb{R}^d$ の開集合 $U$ は σ-コンパクトです。各点 $x\in U$ について $x$ を含む有理数端点の閉立方体 $\prod_i[a_i,b_i]\subseteq U$ が取れ、そのような立方体は可算個で、それぞれ有界閉集合なのでコンパクトです（定理 5.2［コンパクト性］）。よって $U$ はそれらの可算和です（補題 5.2 の特別な場合です）。以上で 定理 5.3 の仮定が満たされ、$m_d$ は Radon 測度です。$\mathbb{R}^d=\bigcup_k[-k,k]^d$ はどのボレル集合 $E$ に対しても $E=\bigcup_k(E\cap[-k,k]^d)$ を測度有限な集合の可算和として与えるので、命題 5.1 により $m_d$ はすべてのボレル集合で内正則です。

2. 開集合はボレル集合なので $m_d^{*}(E)\le\inf\{m_d(U): U\supseteq E\text{ 開}\}$ です。逆に、ボレル集合 $B\supseteq E$ について外正則性（1 で示した Radon 性）から $m_d(B)=\inf\{m_d(U): U\supseteq B\text{ 開}\}$ で、$U\supseteq B$ なら $U\supseteq E$ なので、右辺の下限は $m_d(B)$ 以下です。$B$ について下限を取れば等号が出ます。

$m_d^{*}(E)=\infty$ なら $G=\mathbb{R}^d$ とすればよいです。$m_d^{*}(E)<\infty$ なら、各 $n$ について開集合 $U_n\supseteq E$ で $m_d(U_n)<m_d^{*}(E)+1/n$ となるものを取り、$G=\bigcap_nU_n$ とおきます。$G$ は $G_\delta$ 集合で $E\subseteq G$ なので、$m_d^{*}(E)\le m_d(G)\le m_d(U_n)<m_d^{*}(E)+1/n$ がすべての $n$ で成り立ち、$m_d(G)=m_d^{*}(E)$ です。

∎

$d=1$ のとき、$m_1^{*}$ は 可測集合とルベーグ測度 の外測度 $m^{*}$ に一致します。$E$ を覆う開区間の列 $\{I_n\}$ からは開集合 $U=\bigcup_nI_n\supseteq E$ が得られて $m(U)\le\sum_n\ell(I_n)$、逆に開集合 $U\supseteq E$ については $m^{*}(E)\le m(U)$ なので、2 の第 1 式の下限と外測度の定義の下限が一致するからです。2 の $G$ は 命題 6.6［可測集合とルベーグ測度］ の (3) の $G$ の $d$ 次元版にあたります。

6. $C_0(X)$ の双対空間

この節のねらいは、正の汎関数に限らず、符号をもつ有界な汎関数も、符号付きの測度による積分として書けると示すことです。そのために、符号付き測度の大きさを測る全変動ノルムを使います。Hahn 分解とは、符号付き測度 $\mu$ に対して、空間を $\mu$ が正の側の部分 $P$ と負の側の部分 $N$ に分ける分解のことです。

ここまでは正の汎関数でした。次に、符号を許した有界な汎関数を扱います。$X$ 上の有限符号付き Radon 測度とは、有限 Radon 測度 $\mu_1,\mu_2$ の差 $\mu=\mu_1-\mu_2$ と書ける $\mathcal{B}(X)$ 上の有限符号付き測度（定義 2.3［符号付き測度と Radon–Nikodym の定理］）のことで、その全体を $M(X)$ と書きます。Hahn 分解（定理 3.2［符号付き測度と Radon–Nikodym の定理］）$X=P\sqcup N$ を使って、全変動ノルムを $\|\mu\|:=\mu(P)-\mu(N)$ と定めます（分解の取り方によらないことは Hahn 分解の一意性の部分から従います）。$\int f\,d\mu:=\int f\,d\mu_1-\int f\,d\mu_2$ は表し方 $\mu=\mu_1-\mu_2$ によりません（$\mu_1+\mu_2'=\mu_1'+\mu_2$ の両辺を積分すればよい）。

有限 Radon 測度の和は Radon です。外正則性は二つの下限をそれぞれ $\varepsilon/2$ の精度で近似する開集合の共通部分を取れば、開集合の内正則性は二つのコンパクト集合の合併を取れば確かめられます。

補題 6.1（正の汎関数の有界性と分解）✓

1. $C_0(X)$ 上の正の線形汎関数 $\Lambda$ は有界である。
2. $C_0(X)$ 上の有界線形汎関数 $\Lambda$ は、二つの正の線形汎関数の差 $\Lambda=\Lambda^{+}-\Lambda^{-}$ に書ける。

証明（補題 6.1）

1. 有界でないとすると、$\|g_n\|\le1$ で $|\Lambda g_n|\ge 8^n$ となる $g_n$ があり、$|\Lambda g_n|\le\Lambda g_n^{+}+\Lambda g_n^{-}$ なので、$f_n\in\{g_n^{+},g_n^{-}\}$ を選んで $f_n\ge0$、$\|f_n\|\le1$、$\Lambda f_n\ge 8^n/2\ge4^n$ とできます。$f=\sum_n2^{-n}f_n$ は一様収束し、$C_0(X)$ は一様収束で閉じているので $f\in C_0(X)$ です。正値性から各 $n$ で $\Lambda f\ge2^{-n}\Lambda f_n\ge2^n$ となり、矛盾です。

2. $f\ge0$ について $\Lambda^{+}f:=\sup\{\Lambda g: g\in C_0(X),\ 0\le g\le f\}$ とおきます。$0\le\Lambda^{+}f\le\|\Lambda\|\|f\|$（$g=0$ を取れば下界）で、$c\ge0$ について $\Lambda^{+}(cf)=c\Lambda^{+}f$ です。$f_1,f_2\ge0$ について加法性を示します。$0\le g_i\le f_i$ なら $0\le g_1+g_2\le f_1+f_2$ なので $\Lambda^{+}(f_1+f_2)\ge\Lambda^{+}f_1+\Lambda^{+}f_2$。逆に $0\le g\le f_1+f_2$ なら $g_1=\min(g,f_1)$、$g_2=g-g_1$ とおくと $0\le g_1\le f_1$、$0\le g_2\le f_2$（$g\le f_1$ の点では $g_2=0$、そうでない点では $g_2=g-f_1\le f_2$）なので $\Lambda g=\Lambda g_1+\Lambda g_2\le\Lambda^{+}f_1+\Lambda^{+}f_2$ です。

一般の $f$ には $\Lambda^{+}f:=\Lambda^{+}f^{+}-\Lambda^{+}f^{-}$ と定めます。$f=a-b$（$a,b\ge0$）と書けば $a+f^{-}=b+f^{+}$ なので加法性から $\Lambda^{+}a-\Lambda^{+}b=\Lambda^{+}f$ となり、これを使うと $\Lambda^{+}$ は線形です。$f\ge0$ なら $g=f$ を取って $\Lambda^{+}f\ge\Lambda f$ なので、$\Lambda^{-}:=\Lambda^{+}-\Lambda$ も正です。

∎

定理 6.2（C₀(X) の双対（Riesz–Markov–角谷））✓

$X$ を LCH 空間とする。$\mu\in M(X)$ に $\Lambda_\mu f=\int f\,d\mu$ を対応させる写像は、$M(X)$ から $C_0(X)$ の双対空間 $C_0(X)^{*}$ への全単射な線形写像で、$\|\Lambda_\mu\|=\|\mu\|$ を満たす。

証明（定理 6.2）

正の汎関数の表現。 $\Lambda$ を $C_0(X)$ 上の正の線形汎関数とし、$C_c(X)$ に制限して 定理 4.1 の Radon 測度 $\mu$ を取ります。定理 4.1 の 1 により $\mu(X)=\sup\{\Lambda f: f\prec X\}\le\|\Lambda\|$（補題 6.1 の 1）で、$\mu$ は有限です。$f\mapsto\int f\,d\mu$ と $\Lambda$ はともに $C_0(X)$ 上で有界（前者は $|\int f\,d\mu|\le\mu(X)\|f\|$）で、稠密な $C_c(X)$（補題 2.2）上で一致するので、$C_0(X)$ 全体で一致します。

全射。 $\Lambda\in C_0(X)^{*}$ を 補題 6.1 の 2 で $\Lambda^{+}-\Lambda^{-}$ と分け、それぞれを有限 Radon 測度 $\mu_1,\mu_2$ で表せば $\Lambda=\Lambda_{\mu_1-\mu_2}$ です。

単射。 $\Lambda_{\mu_1-\mu_2}=\Lambda_{\nu_1-\nu_2}$ なら、有限 Radon 測度 $\mu_1+\nu_2$ と $\nu_1+\mu_2$ は $C_c(X)$ 上で同じ正の汎関数を表すので、定理 4.1 の一意性から等しく、$\mu_1-\mu_2=\nu_1-\nu_2$ です。

ノルム。 $\mu=\mu_1-\mu_2$、$\lambda=\mu_1+\mu_2$ とし、Hahn 分解を $X=P\sqcup N$ とします。$\rho_P(E):=\mu(E\cap P)$、$\rho_N(E):=-\mu(E\cap N)$ は（正の）有限測度で、$\mu=\rho_P-\rho_N$ です。単関数では $\int s\,d\mu=\int s\,d\rho_P-\int s\,d\rho_N$ が定義から成り立ち、有界な可測関数は単関数の一様極限なので（定理 3.7［ルベーグ積分の定義と収束定理］）、極限を取って $f\in C_0(X)$ でも成り立ちます。よって $\|f\|\le1$ なら $|\int f\,d\mu|\le\rho_P(X)+\rho_N(X)=\mu(P)-\mu(N)$ で、$\|\Lambda_\mu\|\le\|\mu\|$ です。

逆向きを示します。$\varepsilon>0$ とします。有限 Radon 測度 $\lambda$ は 命題 5.1 によりすべてのボレル集合で内正則なので、コンパクト集合 $K\subseteq P$、$L\subseteq N$ で $\lambda(P\setminus K)<\varepsilon$、$\lambda(N\setminus L)<\varepsilon$ となるものが取れます。$K,L$ は交わらないコンパクト集合なので、交わらない開集合 $U_0\supseteq K$、$V_0\supseteq L$ で分離できます。実際、各 $p\in L$ について 定理 4.2［コンパクト性］ により交わらない開集合 $U_p\supseteq K$、$V_p\ni p$ が取れ、$L$ はコンパクトなので有限個の $V_{p_1},\dots,V_{p_r}$ で覆われます。$U_0=\bigcap_iU_{p_i}$、$V_0=\bigcup_iV_{p_i}$ とおけばよいです。外正則性から開集合 $U\supseteq K$、$V\supseteq L$ で $\lambda(U\setminus K)<\varepsilon$、$\lambda(V\setminus L)<\varepsilon$ となるものを取り、$U\cap U_0$、$V\cap V_0$ に取り替えて $U\cap V=\emptyset$ とします。Urysohn の補題で $K\prec g\prec U$、$L\prec h\prec V$ を取り、$f=g-h$ とおくと $\|f\|\le1$ で、

$$\Bigl|\int g\,d\mu-\mu(K)\Bigr|\le\lambda(U\setminus K)<\varepsilon,\qquad |\mu(K)-\mu(P)|\le\lambda(P\setminus K)<\varepsilon$$

です（$h$ と $L,N$ についても同様）。したがって $\Lambda_\mu f\ge\mu(P)-\mu(N)-4\varepsilon=\|\mu\|-4\varepsilon$ で、$\|\Lambda_\mu\|\ge\|\mu\|$ です。

∎

注意 6.3

複素数値の $C_0(X)$ では、有界線形汎関数 $\Lambda$ の実数値関数への制限を実部と虚部 $\Lambda=\Lambda_1+i\Lambda_2$ に分け、それぞれに 定理 6.2 を適用すると、$\Lambda f=\int f\,d\mu$ となる複素 Radon 測度 $\mu=\mu_1+i\mu_2$ がただ一つ得られます（複素数値の $f=u+iv$ には線形性で延ばします）。ノルムの等式 $\|\Lambda\|=|\mu|(X)$ も成り立ちますが、全変動測度 $|\mu|$ の定義が必要になるので、ここでは扱いません。

7. 測度の弱 * 収束と Helly の選出定理

定理 6.2 により、$M(X)$ は Banach 空間 $C_0(X)$ の双対空間とみなせます。双対空間の弱 * 位相（定義 7.1［Banach 空間の基本定理］）を測度の言葉に直したものが、次の収束です。

定義 7.1（測度の弱 * 収束）↗

$\mu_n,\mu\in M(X)$ について、すべての $f\in C_0(X)$ で $\int f\,d\mu_n\to\int f\,d\mu$ となるとき、$\mu_n$ は $\mu$ に弱 * 収束する（または漠収束する）という。

例 7.2（質量が無限遠へ逃げる）

$X=\mathbb{R}$、$\mu_n=\delta_n$ とします。$f\in C_0(\mathbb{R})$ なら $\int f\,d\delta_n=f(n)\to0$ なので、$\delta_n$ は零測度に弱 * 収束します。全質量は $1$ のまま、極限では $0$ です。弱 * 収束は全質量を保存しません。全質量を保つには、質量が無限遠へ逃げないこと（緊密性）を別に仮定する必要があります。また $\mu_n=\delta_{1/n}$ は $\delta_0$ に弱 * 収束しますが、開集合 $U=(0,1)$ について $\mu_n(U)=1\not\to0=\delta_0(U)$ です。弱 * 収束は集合ごとの値の収束を意味しません（演習 8.3）。

補題 7.3（C(X) の可分性）✓

$X$ がコンパクト距離空間なら、$C(X)$ は一様ノルムについて可分である。

証明（補題 7.3）

$X\ne\emptyset$ とし、可算な稠密集合 $\{x_k\}$ を取ります（コンパクト距離空間は第二可算）。$\varphi_0=1$、$\varphi_k(x)=d(x,x_k)$ とおきます。$x\ne y$ なら $d(x_k,x)<d(x,y)/2$ となる $k$ があり、三角不等式から $d(x_k,y)>d(x,y)/2$ なので $\varphi_k(x)\ne\varphi_k(y)$ です。$\varphi_0,\varphi_1,\dots$ の実係数多項式全体 $A$ は、$1$ を含み点を分離する部分環なので、Stone–Weierstrass の定理（定理 4.3［Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass］）により $C(X)$ で稠密です。各 $\varphi_k$ は有界なので、$A$ の元の係数を近い有理数に替えると一様に近い元が得られます。有理係数の多項式は可算個なので、$C(X)$ は可分です。

∎

定理 7.4（Helly の選出定理）✓

$X$ をコンパクト距離空間、$\mu_n$ を $X$ 上の有限ボレル測度の列で $\sup_n\mu_n(X)<\infty$ とする。このとき部分列 $\mu_{n_k}$ と有限ボレル測度 $\mu$ で、すべての $f\in C(X)$ について $\int f\,d\mu_{n_k}\to\int f\,d\mu$ となるものが存在し、$\mu(X)=\lim_k\mu_{n_k}(X)$ である。

証明（定理 7.4）

$M=\sup_n\mu_n(X)$ とし、補題 7.3 の可算稠密集合 $\{g_1,g_2,\dots\}\subseteq C(X)$ を取ります。$|\int g_k\,d\mu_n|\le M\|g_k\|$ なので、各 $k$ について数列 $(\int g_k\,d\mu_n)_n$ は有界です。$k=1$ について収束部分列を取り、その中から $k=2$ について収束部分列を取り……と続け、$j$ 番目の部分列の $j$ 番目の項を並べた対角線の列を $\mu_{n_j}$ とします。これはすべての $k$ で $\int g_k\,d\mu_{n_j}$ が収束する列です。

任意の $f\in C(X)$ と $\varepsilon>0$ について $\|f-g_k\|<\varepsilon$ となる $k$ を取ると

$$\Bigl|\int f\,d\mu_{n_i}-\int f\,d\mu_{n_j}\Bigr|\le2M\varepsilon+\Bigl|\int g_k\,d\mu_{n_i}-\int g_k\,d\mu_{n_j}\Bigr|$$

なので、$(\int f\,d\mu_{n_j})_j$ はコーシー列で収束します。極限を $\Lambda f$ とすると、$\Lambda$ は $C(X)$ 上の線形汎関数で、$f\ge0$ なら $\Lambda f\ge0$ です。$X$ はコンパクトなので $C(X)=C_c(X)$ で、定理 4.1 により Radon 測度 $\mu$ で $\Lambda f=\int f\,d\mu$ となるものがあります。$f=1$ を代入すれば $\mu(X)=\Lambda 1=\lim_j\mu_{n_j}(X)\le M$ です。

∎

定理 7.4 の $\mu_n$ はどれも Radon です（定理 5.3）。証明は、この記事の冒頭で述べた「汎関数の極限を作ってから測度に戻す」という使い方そのものです。

系 7.5（ℝⁿ 上の Helly の選出定理）✓

$\mu_n$ を $\mathbb{R}^n$ 上の有限ボレル測度の列で $\sup_n\mu_n(\mathbb{R}^n)<\infty$ とする。このとき部分列 $\mu_{n_k}$ と有限ボレル測度 $\mu$ で、すべての $f\in C_0(\mathbb{R}^n)$ について $\int f\,d\mu_{n_k}\to\int f\,d\mu$ となるものが存在し、$\mu(\mathbb{R}^n)\le\liminf_k\mu_{n_k}(\mathbb{R}^n)$ である。

証明の方針は、$\mathbb{R}^n$ に無限遠点を一つ足した一点コンパクト化が球面と同じ形（同相）であることを示し、コンパクト距離空間になったところで 定理 7.4 を使う、というものです。

証明（系 7.5）

一点コンパクト化 $Y=(\mathbb{R}^n)^{*}$ が球面 $S^n=\{(x,t)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}:|x|^2+t^2=1\}$ と同相であることを、立体射影で確かめます。$\tau(y)=\bigl(2y/(1+|y|^2),\,(|y|^2-1)/(|y|^2+1)\bigr)$ とおくと、$|2y|^2+(|y|^2-1)^2=(|y|^2+1)^2$ より $\tau(y)\in S^n$ で、$t$ 成分は $1$ にならないので $\tau\colon\mathbb{R}^n\to S^n\setminus\{N\}$（$N=(0,1)$）です。逆に $\sigma(x,t)=x/(1-t)$ とおくと、$\tau(y)$ について $1-t=2/(1+|y|^2)$ なので $\sigma\circ\tau=\mathrm{id}$、また $(x,t)\in S^n\setminus\{N\}$ と $y=\sigma(x,t)$ について $|y|^2=(1+t)/(1-t)$（$|x|^2=1-t^2$ による）から $1+|y|^2=2/(1-t)$ となり $\tau(y)=(x,t)$ です。$\sigma,\tau$ は座標の有理式で連続なので $\tau$ は同相写像です。$S^n$ は $\mathbb{R}^{n+1}$ の有界閉集合なのでコンパクトハウスドルフ（定理 5.2［コンパクト性］）で、定理 3.2［局所コンパクト空間］ の 4 により $Y\cong S^n$、無限遠点は $N$ に対応します。したがって $Y$ はコンパクト距離空間です。$\mathbb{R}^n$ は $Y$ の開集合なので、$Y$ のボレル集合 $E$ について $E\cap\mathbb{R}^n$ は $\mathbb{R}^n$ のボレル集合です。$\nu_n(E)=\mu_n(E\cap\mathbb{R}^n)$ は $Y$ 上の有限ボレル測度なので、定理 7.4 により部分列と $Y$ 上の有限ボレル測度 $\nu$ で、すべての $g\in C(Y)$ について $\int g\,d\nu_{n_k}\to\int g\,d\nu$ となるものが取れます。$\mu$ を $\nu$ の $\mathbb{R}^n$ への制限とします。

$f\in C_0(\mathbb{R}^n)$ を $f(\infty)=0$ で $Y$ に延ばしたものを $\tilde f$ とします。$\varepsilon>0$ について $\{|\tilde f|<\varepsilon\}=Y\setminus\{|f|\ge\varepsilon\}$ はコンパクト集合の補集合なので $Y$ で開（定義 3.1［局所コンパクト空間］）、すなわち $\tilde f$ は $\infty$ で連続で、$\tilde f\in C(Y)$ です。$\int\tilde f\,d\nu_n=\int f\,d\mu_n$、$\int\tilde f\,d\nu=\int f\,d\mu+\tilde f(\infty)\nu(\{\infty\})=\int f\,d\mu$ なので主張の収束が得られます。最後に $\mu(\mathbb{R}^n)=\nu(Y)-\nu(\{\infty\})\le\nu(Y)=\lim_k\mu_{n_k}(\mathbb{R}^n)$ です。

∎

不等号が真になり得ることは 例 7.2 が示しています。$\{\infty\}$ に溜まった質量 $\nu(\{\infty\})$ が、無限遠へ逃げた質量です。

8. 演習

演習 8.1易

$X=[0,1]$ 上の汎関数 $\Lambda f=f(0)+\int_0^1xf(x)\,dx$ を考える。定理 4.1 の測度 $\mu$ を具体的に求め、$\mu(\{0\})$ と $\mu([0,1])$ を計算せよ。

解答

$\Lambda$ は線形で、$f\ge0$ なら $\Lambda f\ge0$ です。候補は $\nu=\delta_0+\rho$、$\rho(E)=\int_Ex\,dm$ で、$\int f\,d\nu=\Lambda f$ が成り立ちます。$\nu$ は有限ボレル測度で、$[0,1]$ はコンパクト距離空間なので 定理 5.3 により Radon です。定理 4.1 の一意性から $\mu=\nu$ です。よって $\mu(\{0\})=1+0=1$、$\mu([0,1])=1+\int_0^1x\,dx=3/2$ です。後者は $\Lambda 1$ に一致します。

演習 8.2標準

$X=[0,1]$ 上の汎関数 $\Lambda f=f(0)-f(1)+\int_0^1f(x)\,dx$ のノルムを、定理 6.2 を使って求めよ。さらに、ノルムに近い値を実現する $f$ を具体的に作れ。

解答

$\Lambda$ は $\mu=\delta_0-\delta_1+m$ を表します（$\mu_1=\delta_0+m$、$\mu_2=\delta_1$ はどちらも有限 Radon）。$P=[0,1)$、$N=\{1\}$ は Hahn 分解で（$P$ の部分集合では $\mu=\delta_0+m\ge0$、$\mu(\{1\})=-1+0$）、$\|\mu\|=\mu(P)-\mu(N)=(1+1)-(-1)=3$ です。よって $\|\Lambda\|=3$ です。

具体的には、$0<\delta<1$ について $[0,1-\delta]$ 上で $1$、$[1-\delta,1]$ 上で $1$ から $-1$ へ一次関数で下がる $f_\delta$ を取ると、$\|f_\delta\|=1$ で $\Lambda f_\delta=1+1+(1-\delta)+0=3-\delta$ です（傾斜部分の積分は対称性から $0$）。

演習 8.3標準

$X$ をコンパクト距離空間、$\mu_n,\mu$ を $X$ 上の有限ボレル測度とし、$\mu_n$ が $\mu$ に弱 * 収束するとする。開集合 $U$ について $\mu(U)\le\liminf_n\mu_n(U)$、閉集合 $F$ について $\limsup_n\mu_n(F)\le\mu(F)$ を示せ。

解答

$\mu$ は Radon です（定理 5.3）。コンパクト集合 $K\subseteq U$ について Urysohn の補題で $K\prec f\prec U$ を取ると、$\mu(K)\le\int f\,d\mu=\lim_n\int f\,d\mu_n\le\liminf_n\mu_n(U)$ です。開集合の内正則性から $K$ について上限を取れば第一の不等式です。$f=1$ を当てると $\mu_n(X)\to\mu(X)$ なので、$U=X\setminus F$ に第一の不等式を使って $\limsup_n\mu_n(F)=\lim_n\mu_n(X)-\liminf_n\mu_n(U)\le\mu(X)-\mu(U)=\mu(F)$ です。例 7.2 の $\delta_{1/n}$ と $U=(0,1)$（$[0,1]$ の中の開集合）では、第一の不等式は $0\le1$ で、等号は成り立ちません。

演習 8.4易

$\Lambda f=\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx$ は $C_c(\mathbb{R})$ 上の正の線形汎関数だが、一様ノルムについて有界でないことを示せ。これは 補題 6.1 の 1 と矛盾しないか。

解答

$f_n$ を $[-n,n]$ で $1$、$[-n-1,-n]$ と $[n,n+1]$ で一次関数で $0$ に下がる関数とすると、$\|f_n\|=1$ で $\Lambda f_n=2n+1\to\infty$ です。矛盾はしません。補題 6.1 の証明は、級数 $\sum2^{-n}f_n$ の極限が空間に属すること（$C_0$ の完備性）を使いましたが、$C_c(\mathbb{R})$ は一様収束で閉じていません。実際 $\Lambda$ はルベーグ測度を表し、$m(\mathbb{R})=\infty$ なので $C_0(\mathbb{R})$ 上の有界汎関数には延びません。

参考文献

• W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd ed., McGraw-Hill, 1987 — 第 2 章（正の汎関数の表現定理と正則性）、第 6 章（$C_0(X)$ の双対）。
• G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed., Wiley, 1999 — 第 7 章（Radon 測度、$C_0(X)$ の双対、漠収束）。この記事の構成は主にこちらに従った。
• F. Riesz, “Sur les opérations fonctionnelles linéaires”, C. R. Acad. Sci. Paris 149 (1909), 974–977.
• S. Kakutani, “Concrete representation of abstract (M)-spaces (A characterization of the space of continuous functions)”, Ann. of Math. 42 (1941), 994–1024.
• P. Billingsley, Convergence of Probability Measures, 2nd ed., Wiley, 1999 — 第 1 章（測度の弱収束）。