数学 › 解析学（実解析） › Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

$ℝ^d$ のルベーグ測度は Radon でボレル正則

命題 5.4（「Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 48 件、定義なども含めて 56 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性

  • 閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性

    • 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  • コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性

    • 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  • ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
  • ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性

    • ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
    • 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
  • 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
• 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

  • 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理

    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
      • 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
    • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    • 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理

      • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

      • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理

    • Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    • 測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理（上で展開済み）
• 区間の外測度✓命題 3.5・可測集合とルベーグ測度

  • 外測度の基本性質✓命題 3.2・可測集合とルベーグ測度

    • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定 この先をたどる →
  • 可算集合の外測度は 0✓命題 3.3・可測集合とルベーグ測度
• 第二可算な LCH 空間の開集合は σ-コンパクト✓補題 5.2・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

  • LCH 空間の近傍基✓命題 2.2・局所コンパクト空間

    • コンパクトハウスドルフ空間は T4✓定理 4.5・分離公理と距離づけ可能性

      • T0・T1・T2定義 3.1・分離公理と距離づけ可能性
      • コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性（上で展開済み）
    • 縮小補題✓補題 4.4・分離公理と距離づけ可能性

      • 正則・正規と T3・T4定義 4.1・分離公理と距離づけ可能性
    • コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性（上で展開済み）
• 正則性の自動成立✓定理 5.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

  • Riesz–Markov–角谷の表現定理✓定理 4.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

    • 開集合は μ*-可測✓補題 4.3・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
    • コンパクト集合の測度✓補題 4.4・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
    • 積分との一致✓補題 4.5・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理 この先をたどる →
  • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理 この先をたどる →
    • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
    • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
• σ-有限な集合での内正則性✓命題 5.1・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• ルベーグ測度との比較✓命題 3.8・測度空間と Carathéodory の拡張定理
• $C_c$ は $L^p$ で稠密✓命題 7.2・L^p 空間と関数解析への導入