数学 › 解析学（実解析） › ルベーグ積分の定義と収束定理

非負可測関数の積分の線型性と項別積分

系 5.3（「ルベーグ積分の定義と収束定理」§5）・ ✓公理まで証明済み

$f, g, f_1, f_2, \ldots : X \to [0,\infty]$ を可測関数、 $c \ge 0$ を定数とする。

$\displaystyle\int_X (f+g)\,d\mu = \int_X f\,d\mu + \int_X g\,d\mu$ 、かつ $\displaystyle\int_X cf\,d\mu = c\int_X f\,d\mu$ 。
$\displaystyle\int_X \sum_{n=1}^{\infty} f_n \,d\mu = \sum_{n=1}^{\infty}\int_X f_n\,d\mu$ （両辺とも $+\infty$ の場合を許す）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
- 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理証明で参照している 7 件

零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
$L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合✓定理 8.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
Lebesgue 分解✓定理 4.2・符号付き測度と Radon–Nikodym の定理
一般化固有関数の存在（Schnol–Berezanskii 型）✓補題 8.1・Harper 模型とほぼ Mathieu 作用素

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