数学 › 解析学（実解析） › ルベーグ積分の定義と収束定理

リーマン積分はルベーグ積分の特別な場合

定理 8.1（「ルベーグ積分の定義と収束定理」§8） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 17 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
• 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

  • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列

    • アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列

      • 完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
      • 数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
    • 整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列

      • アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列（上で展開済み）
      • 整列性公理 3.1・証明の技術
• 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

  • 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
• 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理

  • 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理

    • 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  • 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
• $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理

  • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  • 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
• 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理

  • 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  • 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

• 断面積による体積✓定理 3.1・積分の応用
• 円板のルベーグ測度✓補題 3.2・積分の応用
• 1 次元の置換積分（二乗の場合）✓命題 4.7・ℝ^d の変数変換公式と極座標
• べき関数の可積分性✓命題 6.6・ℝ^d の変数変換公式と極座標
• 球の体積と球面の面積✓定理 6.8・ℝ^d の変数変換公式と極座標